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Prof. Roberto Cristóvão robertocristovao@gmail.com
Aula 15 Séries Alternadas
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Séries Alternadas Uma série alternada é aquela cujos termos são alternadamente positivos e negativos. Exemplos:
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Observação Vemos desses exemplos que o n-ésimo termo de uma série alternada é da forma ou onde o número é um número positivo. (De fato, )
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O Teste da Série Alternada
Se a série alternada Satisfizer para todo então, a série é convergente.
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Exemplo 1 A série harmônica alternada Satisfaz porque Logo a série é convergente pelo Teste da Série Alternada.
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Exemplo 2 A série é alternada mas, Assim a condição (ii) não é satisfeita. Em vez disto, olhamos para o limite do n-ésimo termo da série:
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Exemplo 2 O limite não existe, de modo que a série diverge pelo Teste para Divergência.
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Exemplo 3 Teste a série quanto a divergência ou divergência. Solução: Não é óbvio que a sequência dada por é decrescente. Contudo, consideremos a função associada
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Exemplo 3 Como estamos apenas considerando positivo, vemos que se isto é, Então é decrescente no intervalo Isto significa que e portanto quando
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Exemplo 3 Então, a série dada é convergente pelo Teste da Série Alternada.
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Teste de Estimativa de Séries Alternadas
Se for a soma de uma série alternada que satisfaz então,
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Exemplo 4 Encontre a soma da série com precisão de três casas decimais. Solução: então quando
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Exemplo 4 Logo a série é convergente pelo Teste da Série Alternada. Agora note que Observe ainda que
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Exemplo 4 E pelo Teorema da Estimativa da Série Alternada, sabemos que Esse erro menor que não afeta a terceira casa decimal. Assim temos com precisão de três casas decimais.
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