O que você deve saber sobre

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1 O que você deve saber sobre
Mat-cad-1-top Prova O que você deve saber sobre TRIGONOMETRIA: COMPLEMENTOS E ESTUDO DE TRIÂNGULOS QUAISQUER A trigonometria desenvolvida até aqui foi fundamentada em triângulos retângulos, mas será que não há relações trigonométricas para os demais triângulos? Com base nos conhecimentos que possuímos sobre trigonometria, vamos expandir esse conceito para quaisquer triângulos, bem como utilizá-lo na resolução de equações e inequações trigonométricas.

2 I. Outras razões trigonométricas
Mat-cad-1-top Prova I. Outras razões trigonométricas Secante: (cos x  0) Cossecante: (sen x  0) Cotangente: (sen x  0) Na circunferência trigonométrica de raio unitário ao lado, observa-se a localização de cada razão trigonométrica citada: TRIGONOMETRIA: COMPLEMENTOS E ESTUDO DE TRIÂNGULOS QUAISQUER

3 II. Relações trigonométricas fundamentais
Mat-cad-1-top Prova II. Relações trigonométricas fundamentais ; (cos x  0); (cos x  0); (sen x  0) TRIGONOMETRIA: COMPLEMENTOS E ESTUDO DE TRIÂNGULOS QUAISQUER

4 III. Equações e inequações trigonométricas em
Mat-cad-1-top Prova III. Equações e inequações trigonométricas em Nesta seção os valores de x podem assumir qualquer valor real. Desse modo, é possível chegar a conjuntos de infinitas soluções múltiplas da solução de 1a volta. TRIGONOMETRIA: COMPLEMENTOS E ESTUDO DE TRIÂNGULOS QUAISQUER

5 Equações Determine os valores de x para os quais cos
Mat-cad-1-top Prova Equações Determine os valores de x para os quais cos No intervalo [0, 2], os ângulos cujo cosseno vale Assim:  ou  As soluções para U = são: TRIGONOMETRIA: COMPLEMENTOS E ESTUDO DE TRIÂNGULOS QUAISQUER

6 Mat-cad-1-top Prova Equações Determine os valores de x para os quais tg 2x = 0. Na 1a volta da circunferência trigonométrica, os ângulos cuja tangente é nula são 0 rad,  rad e 2 rad. Esses valores correspondem a 2x; sendo assim: Desse modo, a solução em é:    TRIGONOMETRIA: COMPLEMENTOS E ESTUDO DE TRIÂNGULOS QUAISQUER

7 Mat-cad-1-top Prova Inequações Determine os valores de x tal que tg x > 3. Sabemos que a tangente pode assumir qualquer valor real. Além disso, sabemos que ela não é definida para os ângulos do tipo + k (k  ). Desse modo, tg x = 3 para x = + 2k e para x = + 2k.  2 4 2 Assim, os valores de x que atendem à inequação são: TRIGONOMETRIA: COMPLEMENTOS E ESTUDO DE TRIÂNGULOS QUAISQUER

8 Mat-cad-1-top Prova Inequações 3 2 1 2 Resolva a inequação – < cos x  . Vamos desenvolver separadamente cada lado da inequação: O conjunto solução é: TRIGONOMETRIA: COMPLEMENTOS E ESTUDO DE TRIÂNGULOS QUAISQUER

9 IV. Adição e subtração de ângulos
Mat-cad-1-top Prova IV. Adição e subtração de ângulos • Seno da soma e da diferença: • Cosseno da soma e da diferença: • Tangente da soma e da diferença: TRIGONOMETRIA: COMPLEMENTOS E ESTUDO DE TRIÂNGULOS QUAISQUER

10 V. Relações em um triângulo qualquer
Mat-cad-1-top Prova V. Relações em um triângulo qualquer O triângulo ABC da figura é escaleno. O teorema de Pitágoras não pode ser utilizado, já que não temos hipotenusa nem catetos. Entretanto, traçando as alturas desse triângulo, obtêm-se diversos triângulos retângulos e, com base neles, torna-se possível deduzir outras relações, úteis na aplicação em quaisquer triângulos. TRIGONOMETRIA: COMPLEMENTOS E ESTUDO DE TRIÂNGULOS QUAISQUER

11 V. Relações em um triângulo qualquer
Mat-cad-1-top Prova V. Relações em um triângulo qualquer a) Lei dos senos: b) Lei dos cossenos: c) Área da superfície triangular: TRIGONOMETRIA: COMPLEMENTOS E ESTUDO DE TRIÂNGULOS QUAISQUER

12 Mat-cad-1-top Prova 2 (UFBA) As medidas dos lados de um ABC formam uma progressão aritmética de razão igual a 1. Determine a altura do ABC, relativa ao lado AB, sabendo que AC < AB < BC e cos (ABC) = EXERCÍCIOS ESSENCIAIS ^ 3 5 RESPOSTA: TRIGONOMETRIA: COMPLEMENTOS E ESTUDO DE TRIÂNGULOS QUAISQUER – NO VESTIBULAR

13 Mat-cad-1-top Prova 3 (Unesp) Paulo e Marta estão brincando de jogar dardos. O alvo é um disco circular de centro O. Paulo joga um dardo, que atinge o alvo num ponto, que vamos denotar por P; em seguida, Marta joga outro dardo, que atinge um ponto denotado por M, conforme a figura. Sabendo-se que a distância do ponto P ao centro O do alvo é PO = 10 cm, que a distância de P a M é PM = 14 cm e que o ângulo POM mede 120º, a distância, em centímetros, do ponto M ao centro O é: a) 12. b) 9. c) 8. d) 6. e) 5. EXERCÍCIOS ESSENCIAIS ^ RESPOSTA: D TRIGONOMETRIA: COMPLEMENTOS E ESTUDO DE TRIÂNGULOS QUAISQUER – NO VESTIBULAR

14 Quantas soluções a equação sen2x + + + ... = 2,
Mat-cad-1-top Prova 4 (UFPE) Quantas soluções a equação sen2x = 2, cujo lado esquerdo consiste da soma infinita dos termos de uma progressão geométrica, de primeiro termo sen2x e razão sen2x, admite, no intervalo [0, 20]? 2 sen4x 2 sen6x 4 EXERCÍCIOS ESSENCIAIS RESPOSTA: TRIGONOMETRIA: COMPLEMENTOS E ESTUDO DE TRIÂNGULOS QUAISQUER – NO VESTIBULAR

15 b) Qual a altura da escarpa? RESPOSTA:
Mat-cad-1-top Prova 11 1 (Unicamp-SP) De uma praia, um topógrafo observa uma pequena escarpa sobre a qual foi colocada, na vertical, uma régua de 2 m de comprimento. Usando seu teodolito, o topógrafo constatou que o ângulo formado entre a reta vertical que passa pelo teodolito e o segmento de reta que une o teodolito ao topo da régua é de 60º, enquanto o ângulo formado entre a mesma reta vertical e o segmento que une o teodolito à base da régua é de 75º. Sabendo que o teodolito está a uma altura de 1,6 m do nível da base da escarpa, responda às questões a seguir. a) Qual a distância horizontal entre a reta vertical que passa pelo teodolito e a régua sobre a escarpa? b) Qual a altura da escarpa? RESPOSTA: EXERCÍCIOS ESSENCIAIS TRIGONOMETRIA: COMPLEMENTOS E ESTUDO DE TRIÂNGULOS QUAISQUER – NO VESTIBULAR

16 (Dado: use as aproximações sen 59º 0,87 e sen 64º 0,90.)
Mat-cad-1-top Prova 12 1 (UFPE) Uma ponte deve ser construída sobre um rio, unindo os pontos A e B, como ilustrado na figura abaixo. Para calcular o comprimento AB, escolhe-se um ponto C, na mesma margem em que B está, e medem-se os ângulos CBA = 57º e ACB = 59º. Sabendo que BC mede 30 m, indique, em metros, a distância AB. (Dado: use as aproximações sen 59º 0,87 e sen 64º 0,90.) EXERCÍCIOS ESSENCIAIS ^ ^ RESPOSTA: TRIGONOMETRIA: COMPLEMENTOS E ESTUDO DE TRIÂNGULOS QUAISQUER – NO VESTIBULAR

17 a) Determine o valor de . b) Determine a altura dessa torre.
Mat-cad-1-top Prova 15 1 (Ufes) Uma pessoa, quando situada a 300 metros de uma torre, avista o topo da torre sob um ângulo  em relação à horizontal. Quando está a 100 metros da torre, ela avista o topo da torre sob um ângulo 2 (veja a figura). O nível dos olhos dessa pessoa está a 1,6 m da horizontal em que está situada a base da torre. a) Determine o valor de . b) Determine a altura dessa torre. EXERCÍCIOS ESSENCIAIS RESPOSTA: TRIGONOMETRIA: COMPLEMENTOS E ESTUDO DE TRIÂNGULOS QUAISQUER – NO VESTIBULAR