Novos Talentos em Matemática - Fundação Calouste Gulbenkian Luso – Setembro de 2006Faculdade de Ciências Universidade de Lisboa Maria Cristina Gonçalves.

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1 Novos Talentos em Matemática - Fundação Calouste Gulbenkian Luso – Setembro de 2006Faculdade de Ciências Universidade de Lisboa Maria Cristina Gonçalves Silveira de Serpa INTEGRAL CALIBRADO Integral de Riemann Generalizado Integral de Henstock-Kurzweil

2 Faculdade de Ciências Universidade de Lisboa Maria Cristina Gonçalves Silveira de SerpaLuso – Setembro de 2006 Novos Talentos em Matemática - Fundação Calouste Gulbenkian Definições de INTEGRAL Integral de Riemann Integral de Lebesgue Integral Impróprio de Riemann Integral Calibrado Ralph Henstock (1955) Jaroslav Kurzweil (1957)

3 Faculdade de Ciências Universidade de Lisboa Maria Cristina Gonçalves Silveira de SerpaLuso – Setembro de 2006 Novos Talentos em Matemática - Fundação Calouste Gulbenkian Definições de INTEGRAL Integral Calibrado Integral de Riemann Integral Impróprio de Riemann Integral de Lebesgue

4 Faculdade de Ciências Universidade de Lisboa Maria Cristina Gonçalves Silveira de SerpaLuso – Setembro de 2006 Novos Talentos em Matemática - Fundação Calouste Gulbenkian A definição de Integral de Riemann Sejam f: [a,b] R uma função e V R. V é o integral de Riemann de f e escreve-se V= se, para cada Ɛ > 0, Ǝ δ > 0, tal que: n N e os números t 0, t 1, t 2,…, t n e s 1, s 2,…, s n, satisfazendo a = t 0 s 1 t 1 s 2 t 2 … t n-1 s n t n = b e t i - t i-1 < δ, para todo o i, então

5 Faculdade de Ciências Universidade de Lisboa Maria Cristina Gonçalves Silveira de SerpaLuso – Setembro de 2006 Novos Talentos em Matemática - Fundação Calouste Gulbenkian A definição de Integral Calibrado Sejam f: [a,b] R uma função e V R. V é o integral calibrado de f e escreve-se V= se, para cada Ɛ > 0, Ǝ δ: [a,b] (0,+): n N e os números t 0, t 1, t 2,…, t n e s 1, s 2,…, s n, satisfazendo a = t 0 s 1 t 1 s 2 t 2 … t n-1 s n t n = b e t i - t i-1 < δ(s i ), para todo o i, então

6 Faculdade de Ciências Universidade de Lisboa Maria Cristina Gonçalves Silveira de SerpaLuso – Setembro de 2006 Novos Talentos em Matemática - Fundação Calouste Gulbenkian O que há de novo? --- δ --- Integral de Riemann δ é uma constante positiva Integral Calibrado δ é uma função positiva, chamada calibre

7 Faculdade de Ciências Universidade de Lisboa Maria Cristina Gonçalves Silveira de SerpaLuso – Setembro de 2006 Novos Talentos em Matemática - Fundação Calouste Gulbenkian Temos: Dado Ɛ > 0, seja e para s > 0, δ(s) > 0 é tal que: Exemplo com Integral Calibrado Demonstração: Seja f uma função tal que: Com a definição integral calibrado, temos:

8 Faculdade de Ciências Universidade de Lisboa Maria Cristina Gonçalves Silveira de SerpaLuso – Setembro de 2006 Novos Talentos em Matemática - Fundação Calouste Gulbenkian Logo,, pelo que concluímos que existe uma função δ, nas condições exigidas para mostrarmos que Concretizando, podemos considerar a função:, que satisfaz as condições. Exemplo com Integral Calibrado

9 Faculdade de Ciências Universidade de Lisboa Maria Cristina Gonçalves Silveira de SerpaLuso – Setembro de 2006 Novos Talentos em Matemática - Fundação Calouste Gulbenkian Exemplo com Integral Calibrado

10 Faculdade de Ciências Universidade de Lisboa Maria Cristina Gonçalves Silveira de SerpaLuso – Setembro de 2006 Novos Talentos em Matemática - Fundação Calouste Gulbenkian Temos então um calibre δ sobre [a,b]. Seja para cada 1 j m, x j – δ(x j ) a j -1 x j a j x j + δ(x j ) Demonstração: Fixado Ɛ > 0. Para cada x [a,b], como F(x) = f(x), Ǝ δ(x) > 0, tal que, para cada u [a,b] [x –δ(x),x +δ(x)], temos: Sejam F:[a,b] R, uma função diferenciável e f a sua derivada: F(x) = f(x), para cada x [a,b]. Então, f é integrável em [a,b] e tem-se: Teorema Fundamental do Cálculo

11 Faculdade de Ciências Universidade de Lisboa Maria Cristina Gonçalves Silveira de SerpaLuso – Setembro de 2006 Novos Talentos em Matemática - Fundação Calouste Gulbenkian Teorema Fundamental do Cálculo

12 Faculdade de Ciências Universidade de Lisboa Maria Cristina Gonçalves Silveira de SerpaLuso – Setembro de 2006 Novos Talentos em Matemática - Fundação Calouste Gulbenkian Teorema Fundamental do Cálculo

13 Faculdade de Ciências Universidade de Lisboa Maria Cristina Gonçalves Silveira de SerpaLuso – Setembro de 2006 Novos Talentos em Matemática - Fundação Calouste Gulbenkian Teorema da Convergência Monótona Sejam f : I R uma função e f k : I R, k N uma sucessão de funções, verificam-se as seguintes condições: 1. A sucessão (f k ) k converge pontualmente para f 2. A sucessão (f k ) k é monótona 3. Cada função f k é integrável 4. A sucessão real ( I f k ) k tem limite finito Então f é integrável em I e I f = lim I f k K Este Teorema não é aplicável ao Integral de Riemann

14 Faculdade de Ciências Universidade de Lisboa Maria Cristina Gonçalves Silveira de SerpaLuso – Setembro de 2006 Novos Talentos em Matemática - Fundação Calouste Gulbenkian Teorema da Convergência Monótona Corolário Sejam f : I R uma função e f k : I R, k N uma sucessão de funções, verificam-se as seguintes condições: 1. A série Σ k f k converge pontualmente para f 2. Para cada k N e cada x I, temos f k (x) 0 3. Cada função f k é integrável 4. A série Σ k ( I f k ) k converge Então f é integrável em I e

15 Faculdade de Ciências Universidade de Lisboa Maria Cristina Gonçalves Silveira de SerpaLuso – Setembro de 2006 Novos Talentos em Matemática - Fundação Calouste Gulbenkian Este Teorema não é aplicável ao Integral de Riemann Lema: Sejam f 1, f 2, …, f n : I R funções integráveis Se existe uma função integrável g: I R tal que, para cada x I e 1 k n tem-se: g(x) f k (x), então também são integráveis: min {f 1, f 2, …, f n } e max {f 1, f 2, …, f n } Teorema da Convergência Dominada

16 Faculdade de Ciências Universidade de Lisboa Maria Cristina Gonçalves Silveira de SerpaLuso – Setembro de 2006 Novos Talentos em Matemática - Fundação Calouste Gulbenkian Teorema da Convergência Dominada Sejam f : I R uma função e f k : I R, k N uma sucessão de funções, verificam-se as seguintes condições: 1. A sucessão (f k ) k converge pontualmente para f 2. Cada função f k é integrável 3. Existem duas funções g, h : I R tal que g(x) f k (x) h(x), para cada k I Então a sucessão ( I f k ) k tem limite finito, f é integrável em I e