Lógica proposicional: Equivalência, regras de dedução

Apresentação em tema: "Lógica proposicional: Equivalência, regras de dedução"— Transcrição da apresentação:

1 Lógica proposicional: Equivalência, regras de dedução

2 Agenda Exercício da aula passada Regras de Inferência
Representação de Conhecimento com Lógica Proposicional Regras de Inferência Regras de equivalência Exercícios

3 Regras de inferência Dizemos que uma fórmula α é semanticamente equivalente a fórmula β, denotado α ≡ β, somente se α ↔ β for uma tautologia.

4 Regras de equivalência
(ID) E01 α ∧ α ≡ α (Idempotência da conjunção). (ID) E02 α ∨ α ≡ α (Idempotência da disjunção). (COM) E03 α ∧ β ≡ β ∧ α (Comutativa da conjunção). (COM) E04 α ∨ β ≡ β ∨ α (Comutativa da disjunção). (ASSOC) E05 (α ∧ β) ∧ γ ≡ α ∧ (β ∧ γ) (Associativa da conjunção). (ASSOC) E06 (α ∨ β) ∨ γ ≡ α ∨ (β ∨ γ) (Associativa da disjunção). (DIST) E07 α ∧ (β ∨ γ) ≡ (α ∧ β) ∨ (α ∧ γ) (Distributiva da conjunção). (DIST) E08 α ∨ (β ∧ γ) ≡ (α ∨ β) ∧ (α ∨ γ) (Distributiva da disjunção). (DM) E09 ¬¬α ≡ α (Dupla negação). (DM)E10 ¬(α ∧ β) ≡ ¬α ∨ ¬β (DeMorgan da conjunção). (DM)E11 ¬(α ∨ β) ≡ ¬α ∧ ¬β (DeMorgan da disjunção). (COND) E12 α → β ≡ ¬α ∨ β (Implicação). (BICOND) E13 α ↔ β ≡ (α → β) ∧ (β → α) (Dupla implicação) (CP) E14 α → β ≡ ¬β → ¬α

5 Regras de equivalência
As propriedades comutativas e associativas da conjunção e da disjunção significam que em uma proposição envolvendo só conjunções ou disjunções podemos dispensar o uso de parênteses. E01 α ∧ α ≡ α (Idempotência da conjunção). E02 α ∨ α ≡ α (Idempotência da disjunção). E03 α ∧ β ≡ β ∧ α (Comutativa da conjunção). E04 α ∨ β ≡ β ∨ α (Comutativa da disjunção).

6 Regras de equivalência
A dupla implicação também possui propriedades comutativa e associativa. E13 α ↔ β ≡ (α → β) ∧ (β → α)

7 Regras de equivalência
A implicação NÃO é comutativa (vide a propriedade contrapositiva) α → β NÃO é equivalente a β → α A implicação NÃO é associativa (vide propriedade da implicação) (α → β) → γ NÃO é equivalente a α → (β → γ)

8 As leis de De Morgan descrevem como a negação é distribuída sobre a conjunção e sobre a disjunção
¬(α ∧ β) ≡ ¬α ∨ ¬β (DeMorgan da conjunção). ¬(α ∨ β) ≡ ¬α ∧ ¬β (DeMorgan da disjunção).

9 Regras de equivalência
α, β α (Simplificação) α α ∨ β (Adição) α, α → β β (Modus pones) ¬β,α → β ¬α (Modus Tollens) α → β,β → γ α → γ (Silogismo hipotético)

10 Axiomas A01 x = x Axioma da identidade.
A02 ((x = y) ∧ P(x)) P(y) Axioma da substituição. A03 (α → (β ∧ ¬β)) ¬α Axioma da não-contradição. A04 (α → β) ∧ (¬α → β) β Axioma do terceiro excluído.

11 x = x Axioma da identidade.
Qualquer objeto é igual a si mesmo. Em Matemática não existe nada óbvio tudo tem que ser provado, demonstrado ou axiomatizado isto é, assumido como verdade

12 ((x = y) ∧ P(x)) P(y) Axioma da substituição.
base sólida para muitas das demonstrações em Matemática. Se dois objetos matemáticos são iguais, onde aparecem uma instância do primeiro, ela pode ser substituída pelo segundo.

13 (α → (β ∧ ¬β)) ¬α Axioma da não-contradição.
Uma proposição não pode ser provada dentro da lógica se sua negação também for provada.

14 (α → β) ∧ (¬α → β) β Axioma do terceiro excluído.
Meio termo excluído, diz que uma proposição deverá ser ou falsa ou verdadeira, sendo vedado o direito de ser falsa e verdadeira e também negado o direito de ser nem falsa nem verdadeira.

15 Axiomas adicionais (sempre verdadeiros)

16 Equivalências Notáveis

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