Função Polinomial do 1º Grau PROFESSOR: ALEXSANDRO DE sOUSA

Apresentação em tema: "Função Polinomial do 1º Grau PROFESSOR: ALEXSANDRO DE sOUSA"— Transcrição da apresentação:

1 Função Polinomial do 1º Grau PROFESSOR: ALEXSANDRO DE sOUSA
E.E. Dona Antônia Valadares Matemática Ensino MÉDIO - 1º Ano Função Polinomial do 1º Grau (FUNÇão afim) PROFESSOR: ALEXSANDRO DE sOUSA

2 Toda função do tipo: f(x) = ax + b (x ϵ IR)
Definição: Toda função do tipo: f(x) = ax + b (x ϵ IR) São funções afim: Não são funções afim: f(x) = 2x2 + 1 f(x) = -4x3 f(x) = f(x) = 2x + 1 a = 2 b = 1 a = -4 b = 0 f(x) = -4x a = -3 b = -11 f(x) = -3x - 11 a = 0 b = 7 f(x) = Prof: Alexsandro de Sousa

3 Valor para x = x0: f(x0) = ax0 + b
MATEMÁTICA, 9º Ano Pontos no plano cartesiano/pares ordenados Valor da função afim Valor para x = x0: f(x0) = ax0 + b Exemplo: Seja a função afim f(x) = 3x + 7 Seu valor para x = 5: f(5) = = 22 Seu valor para x = -4: f(-4) = 3 . (-4) + 7 = -5 Seu valor para x = 0: f(0) = = 7 Prof: Alexsandro de Sousa

4 Portanto, a taxa desta função vale 3, o mesmo valor de a.
MATEMÁTICA, 9º Ano Pontos no plano cartesiano/pares ordenados Taxa de variação da função afim Definição: Interpretação: Acréscimo (ou decréscimo) de f(x) quando o valor de x aumenta em uma unidade. Exemplo para: f(x) = 3x + 7 Portanto, a taxa desta função vale 3, o mesmo valor de a. x = 1  f(1) = = 10 x = 2  f(2) = = 13 x cresceu uma unidade f(x) cresceu três unidades Prof: Alexsandro de Sousa

5 MATEMÁTICA, 9º Ano Pontos no plano cartesiano/pares ordenados Zero ou raiz da função: É o valor de x para qual a função f(x) = ax + b se anula, ou seja, quando f(x) = Exemplo: Seja a função f(x) = x – 1 O zero ou raiz da função é determinado igualando a função f(x) a zero Exemplo: f(x) = x – 1 x - 1 = 0 x = 1 Prof: Alexsandro de Sousa

6 Definição: Valor de x para o qual a função f(x) se anula.
MATEMÁTICA, 9º Ano Pontos no plano cartesiano/pares ordenados Definição: Valor de x para o qual a função f(x) se anula. Consequência: f(x) = ax + b = 0  x = Exemplo: f(x) = 2x – 10  x = = 5 x y Zero da função: abscissa (x) em que o gráfico intersecta o eixo Ox. Prof: Alexsandro de Sousa

7 É sempre uma reta não vertical.
MATEMÁTICA, 9º Ano Pontos no plano cartesiano/pares ordenados Gráfico de uma função afim É sempre uma reta não vertical. x y O Prof: Alexsandro de Sousa

8 MATEMÁTICA, 9º Ano Pontos no plano cartesiano/pares ordenados Gráfico da função afim Vamos construir o gráfico da função f(x) = 3x – 2. x f(x) –1 –5 –2 2 3 1 2 4 Prof: Alexsandro de Sousa

9 Exemplos de gráfico de função afim
MATEMÁTICA, 9º Ano Pontos no plano cartesiano/pares ordenados Exemplos de gráfico de função afim g(x) = –2x + 1 x g(x) –1 3 2 –3 Dois pontos distintos são suficientes para determinar uma reta. Prof: Alexsandro de Sousa

10 MATEMÁTICA, 9º Ano Pontos no plano cartesiano/pares ordenados Coeficiente linear A ordenada y onde a reta do gráfico intersecta o eixo Oy é o coeficiente linear (b) da função: f(x) = ax + b x y O Este y = b = coeficiente linear da reta Prof: Alexsandro de Sousa

11 MATEMÁTICA, 9º Ano Pontos no plano cartesiano/pares ordenados Coeficiente angular A taxa de variação (a) da função afim também é chamada de coeficiente angular da reta: f(x) = ax + b x y O y = cateto oposto  x = cateto adjacente cateto oposto = a = = tg cateto adjacente Prof: Alexsandro de Sousa

12 Casos Especiais Função linear b = 0, ex.: f(x) = 3x
Função Identidade b = 0 e a = 1, ou seja, f(x) = x Função constante a = 0, ex.: f(x) = 3 Prof: Alexsandro de Sousa

13 Função linear: f(x) = ax
MATEMÁTICA, 9º Ano Pontos no plano cartesiano/pares ordenados Função linear: f(x) = ax Quanto maior o coeficiente angular (a), maior o ângulo () x y O Coeficiente linear: b = 0 Portanto, as retas sempre passam pela origem. f(x) = 2,4x f(x) = 1,5x f(x) = 0,8x f(x) = 0,3x linear h(x) = –7x h(x) = 3x g(x) = –6x f(x) = x Uma função f: ℝ  ℝ é função linear quando existe número real a, com a ≠ 0, tal que f(x) = ax, para todo x  ℝ. Prof: Alexsandro de Sousa

14 Função linear (b = 0) MATEMÁTICA, 9º Ano
Pontos no plano cartesiano/pares ordenados Função linear (b = 0) Prof: Alexsandro de Sousa

15  Função identidade: f(x) = x Coeficiente linear: b = 0  = 45o
MATEMÁTICA, 9º Ano Pontos no plano cartesiano/pares ordenados Função identidade: f(x) = x Coeficiente angular: a = = tg  = 1 x y 3 2 1  Coeficiente linear: b = 0 Passa pela origem y  = 45o  = 45o x Prof: Alexsandro de Sousa

16 Exemplos de gráfico de função afim
MATEMÁTICA, 9º Ano Pontos no plano cartesiano/pares ordenados Exemplos de gráfico de função afim h(x) = x (função identidade) a = 1 e b = 0 x h(x) –1 1 O gráfico de uma função linear é uma reta que passa pela origem (0,0). Prof: Alexsandro de Sousa

17 Função constante: f(x) = b
MATEMÁTICA, 9º Ano Pontos no plano cartesiano/pares ordenados Função constante: f(x) = b Coeficiente angular: a = 0. Portanto, as retas são sempre paralelas ao eixo Ox , ou seja, o ângulo é  = 0 para todas elas. x y O b = 6 f(x) = 6 b = 4 f(x) = 4 b = 2 f(x) = 2 b = -2 f(x) = -2 O gráfico de uma função constante é uma reta paralela ao eixo x, por isso podemos traçá-la conhecendo um único ponto. Prof: Alexsandro de Sousa

18 Pontos no plano cartesiano/pares ordenados
MATEMÁTICA, 9º Ano Pontos no plano cartesiano/pares ordenados Prof: Alexsandro de Sousa

19 Determinação de uma função a partir do seu gráfico
MATEMÁTICA, 9º Ano Pontos no plano cartesiano/pares ordenados Determinação de uma função a partir do seu gráfico 1. Dado o gráfico de uma função afim, vamos determinar a lei de formação dessa função. Prof: Alexsandro de Sousa

20 Pontos no plano cartesiano/pares ordenados
MATEMÁTICA, 9º Ano Pontos no plano cartesiano/pares ordenados y = ax + b A(–2, 1)  x = –2 e y = 1  1 = a ∙ (–2) + b B(1, 4)  x = 1 e y = 4  4 = a ∙ (1) + b Então:  2a + b = 1 a + b = 4 ⇒ a = 1 e b = 3 Portanto: f(x) = x + 3  Prof: Alexsandro de Sousa

21 Para x = –2, temos: f(–2) = g(–2) = 3
2. Determinar o ponto de intersecção das retas correspondentes aos gráficos das funções afins f(x) = 4x + 11 e g(x) = –x + 1.  Para que as retas tenham um ponto em comum, deve existir um valor de x de modo que as imagens desse valor pelas duas funções coincidam, ou seja, f(x) = g(x). 4x + 11 = –x x = –10 x = –2  Para x = –2, temos: f(–2) = g(–2) = 3 Logo, o ponto de intersecção é (–2, 3). Prof: Alexsandro de Sousa

22 Análise do gráfico da função afim
Intersecção da reta... ... com o eixo x: zero da função ... com o eixo y: coeficiente b Prof: Alexsandro de Sousa

23 Função crescente (a > 0)
Crescimento e decrescimento de uma função afim f(x) = 2x – 1  f(x) é crescente quando aumentamos o valor x, os valores correspondentes de f(x) também aumentam. x2 > x1 f(x2) > f(x1) Função crescente (a > 0) Prof: Alexsandro de Sousa

24 Função decrescente (a < 0)
Crescimento e decrescimento de uma função afim g(x) = –3x + 1 g(x) é decrescente quando aumentamos o valor x, os valores correspondentes de g(x) diminuem. x2 > x1  f(x2) < f(x1) Função decrescente (a < 0) Prof: Alexsandro de Sousa

25 Função crescente (a > 0)
Estudo do sinal da função afim Função crescente (a > 0) f(x) = 0 para x = f(x) > 0 para x > f(x) < 0 para x < Prof: Alexsandro de Sousa

26 Função decrescente (a < 0)
Estudo do sinal da função afim Função decrescente (a < 0) f(x) = 0 para x = f(x) > 0 para x < f(x) < 0 para x > Prof: Alexsandro de Sousa

27 Determinar o valor de m para que o gráfico da função
Exemplo Determinar o valor de m para que o gráfico da função j(x) = (–3 + 6m)x + 5 intercepte o eixo das abscissas no ponto (1, 0). Resolução Como o ponto (1, 0) pertence ao gráfico da função j, então j(1) = 0. Assim: 0 = (–3 + 6m) ∙ ⇒ 6m = –2 ⇒ m = – Logo, para m = – , o gráfico da função interceptará o eixo das abscissas no ponto (1, 0). Prof: Alexsandro de Sousa

28 Exemplo Dada a função afim f(x) = (–3 + m)x + 7, discutir para quais valores de m a função é crescente, decrescente ou constante. Resolução Observe que o coeficiente de x nessa função é (–3 + m). A função é crescente se: –3 + m > 0 ⇒ m > 3 A função é decrescente se: –3 + m < 0 ⇒ m < 3 A função é constante se: –3 + m = 0 ⇒ m = 3 Para esses casos temos uma função do tipo ax + b, com a ≠ 0. 14243 Prof: Alexsandro de Sousa

29 Considere a função g(x) = (m – 2)x + 1, com m real.
Exemplos: Considere a função g(x) = (m – 2)x + 1, com m real. Calcule m de modo que g seja crescente. Determine m para que o ângulo entre o eixo x e a reta de g seja obtuso. Resolução: Para que f seja crescente, m – 2 > 0. Logo, m > 2. Se o ângulo é obtuso, então o gráfico é decrescente. Logo, m – 2 < 0. Conclui-se que m < 2. Prof: Alexsandro de Sousa

30 Sabendo que a função y = mx + n admite 3 como raiz e
Exemplo Sabendo que a função y = mx + n admite 3 como raiz e f(1) = - 8, calcule: a) Os valores de m e n b) f(10) Prof: Alexsandro de Sousa