Problema ξ1ξ1 ξ2ξ2 ξ3ξ3 a b x y f(x) Zeros de funções  Polinomiais: 1º grau: equação da reta 2º grau: fórmula de báskara N-ésimo grau: ?  Transcedentais.

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2 Problema ξ1ξ1 ξ2ξ2 ξ3ξ3 a b x y f(x)

3 Zeros de funções  Polinomiais: 1º grau: equação da reta 2º grau: fórmula de báskara N-ésimo grau: ?  Transcedentais (não-algébricas): Combinam funções trigonométricas (seno, cosseno,...), exponenciais (e x, 3 x 2,...) ou logarítmicas (log x, ln x,...)

4 Procedimentos 1. Localizar (isolar) uma raiz de f(x) num intervalo (a,b) 2. Partindo de um valor inicial, aproximar- se sucessivamente do valor da raiz, até atingir uma precisão ε

5 1. Isolamento das raízes  Teorema 1 Se f(a)f(b) < 0 então existe pelo menos um ponto x = ξ entre a e b que é zero de f(x) x f(x) x a a bbξξ1ξ1 ξ2ξ2 ξ3ξ3

6 1. Isolamento das raízes  Observação Sob as hipóteses do teorema anterior, se f’(x) existir e preservar sinal em (a,b), então este intervalo contém um único zero de f(x) x f(x) x ξ ξ b a b a

7 1. Isolamento das raízes Ex. 1) Análise do sinal de f(x): Como f(x) é contínua, existe ao menos um zero de f(x) em cada um dos intervalos I 1 =[-5,-3],I 2 =[0,1], I 3 =[2,3]. Além disso, como f(x) é um polinômio de grau 3, cada intervalo contém um único zero de f(x). x-5-3012345 f(x) -+++--+++

8 1. Isolamento das raízes Ex. 2) Temos que D(f)= e o sinal de f(x) fica: Logo, f(x) tem ao menos um zero em (1,2). Para saber se este zero é único, devemos analisar o sinal de f’(x): Assim f(x) admite um único zero em (1,2). x0123... f(x) --++...

9 1. Isolamento das raízes  Observação: Se f(a)f(b)>0 então podemos ter nenhuma raiz ou um número par de raízes (Teorema de Bolzano) x f(x) x x b a b a b a ξ1ξ1 ξ2ξ2 ξ 1 =ξ 2

10 1. Isolamento das raízes Procedimentos por análise gráfica: i) esboçar o gráfico de f(x) e localizar as abcissas dos pontos onde a curva intercepta o eixo x; ou ii) a partir de f(x), desmembrá-la numa equação equivalente g(x) = h(x), esboçar os gráficos de g(x) e h(x) e localizar os pontos onde as curvas se interceptam, pois f(ξ)=0 ↔ g(ξ)=h(ξ)

11 1. Isolamento das raízes  Ex. 1: (pelo método i) xf(x) -4-25 -33 -13.39 11 03 1-5 -7.39 2-7 33 x f(x) ξ1ξ1 ξ2ξ2 ξ3ξ3

12 1. Isolamento das raízes  Ex 1: (pelo método ii) Equação equivalente onde x ξ1ξ1 ξ2ξ2 ξ3ξ3

13 2. Refinamento da solução  É realizado através de métodos iterativos  Método iterativo: sequência de instruções executadas passo a passo, repetidas em ciclos (iterações), que fornecem uma aproximação para a solução exata b a ε x f(x) x0x0 x1x1 x2x2 x3x3

14 2. Refinamento da solução  Métodos iterativos a serem estudados: Bissecção Falsa posição Ponto fixo (iteração linear) Newton-Raphson (tangente) Secante

15 Critério de parada  A execução de um método iterativo é interrompida quando: 1. Alcançou-se uma precisão desejada para a solução. Neste caso: i) (abordagem pelo eixo-x) ou ii) (abordagem pelo eixo-y)

16 Teste da precisão da solução  Como efetuar o teste (i) sem conhecer ξ ? ξ ba ε x f(x)

17 Teste da precisão da solução  Nem sempre é possível satisfazer os critérios (i) e (ii) ao mesmo tempo x f(x) x x ξ ξ ξ

18 Outro critério de parada 2. Executou-se um número máximo de iterações estipuladas. b a ε x f(x) x0x0 x1x1 x2x2 x3x3 x4x4 x5x5

19 Método da bissecção  Seja f(x) contínua em (a,b) e tal que f(a)f(b) < 0  Suponha que o intervalo (a,b) contenha uma única raiz da equação f(x)=0  Objetivo: reduzir a amplitude do intervalo até que (b-a) < ε, dividindo sucessivamente o intervalo ao meio b =b 0 a =a 0 =a 1 x f(x) x 0 =b 1 =b 2 =b 3 x 1 =a 2 x 2 =a 3

20 Método da bissecção  Iterações:

21 Método da bissecção Algoritmo: Bissecção Entrada: a, b (intervalo inicial), ε (precisão) Saída: (raiz aproximada)

22 Método da bissecção  Ex.1 abx_nf(a)f(b)f(x_n)| x_n - a || f(x_n) | 010,53-5-1,3750,51,375 00,50,253-1,3750,7656250,250,765625 0,250,50,3750,765625-1,375-0,322270,1250,322266 0,250,3750,31250,765625-0,322270,2180180,06250,218018 0,31250,3750,343750,218018-0,32227-0,053130,031250,053131 0,31250,343750,3281250,218018-0,053130,0822030,0156250,082203 0,3281250,343750,3359380,082203-0,053130,0144740,0078130,014474 0,3359380,343750,3398440,014474-0,05313-0,019340,0039060,019344 0,3359380,3398440,3378910,014474-0,01934-0,002440,0019530,002439 0,3359380,3378910,3369140,014474-0,002440,0060170,0009770,006017 < ε =0,001

23 Método da bissecção  Considerações finais A vantagem do método é que as iterações não envolvem cálculos laboriosos A convergência é lenta, pois se b 0 -a 0 >>ε e se ε for muito pequeno, o número de iterações tende a ser muito grande É normalmente utilizado apenas para diminuir o intervalo que contém a raiz

24 Método da falsa posição  Seja f(x) contínua em (a,b). Se f(a) está mais próximo de zero que f(b), então é provável que a raiz esteja mais próxima de a que de b (ao menos se f(x) é linear em (a,b)). O inverso também é verdadeiro (se f(b) está mais próximo de zero então a raiz deve estar mais próxima de b).  Ou seja, podemos usar a idéia do método da bissecção, mas fazendo uma média ponderada de a e b:

25 Método da falsa posição  Como f(a) e f(b) têm sinais opostos:  Graficamente: x y a b ξ f(x)

26 Método da falsa posição  Aplicação do método: b =b 0 =b 1 a = a 0 x y x2x2 x 1 =b 2 x 0 =a 1 =a 2 f(x)

27 Método da falsa posição Algoritmo: Falsa Posição Entrada: a, b (intervalo inicial), ε (precisão) Saída: (raiz aproximada)

28 Método da bissecção  Ex.1 abf(a)f(b)x_nf(x_n)|a-b||f(x_n)| 013-50,375-0,3222710,322266 00,3753-0,322270,338624-0,008790,3750,00879 00,3386243-0,008790,337635-0,000230,3386240,000226 < ε =0,001

29 Método do ponto fixo (ou iteração linear) 1. Construir uma função φ(x) a partir da equação f(x) = 0, tal que: x = φ(x) (Obs: este passo consiste em aplicar o método gráfico (ii), visto anteriormente, com g(x) = x e h(x) = φ(x) ) 2. A partir de uma aproximação inicial x 0, gerar a sequência {x k }, a partir da relação: x k+1 =φ(x k ) 3. A raiz ξ de f(x)=0 corresponde a um ponto fixo da relação anterior, isto é, f(x)=0 ↔ φ(ξ) = ξ {x 0, x 1 =φ(x 0 ), x 2 =φ(x 1 ), x 3 =φ(x 2 ),..., x k =φ(x k-1 ), x k = φ(x k )= ξ} 4. A função φ(x) que satisfaz as condições acima é dita uma função de iteração para f(x)=0

30 Método do ponto fixo  Geometricamente x y g(x) = x h(x) = φ(x) f(x)

31 Método do ponto fixo  Geometricamente x y g(x) = x h(x) = φ(x) x0x0 x1x1 x2x2

32 Método do ponto fixo  Geometricamente x y g(x) = x h(x) = φ(x) x2x2 x1x1 x0x0 x3x3

33 Método do ponto fixo  Teorema 2 Seja ξ uma raiz da equação f(x)=0, isolada num intervalo I centrado em ξ. Seja φ(x) uma função de iteração para f(x)=0. Se i) ii) iii) Então a sequência {x k } gerada pelo processo iterativo x k+1 =φ(x k ) converge para ξ.

34 Método do ponto fixo  Geometricamente x y g(x) = x h(x) = φ(x) x0x0 x1x1 x2x2

35 Método do ponto fixo  Geometricamente x y g(x) = x x2x2 x1x1 x0x0 x3x3 h(x) = φ(x)

36 Método do ponto fixo  Análise da primeira derivada de φ(x): -1 < φ’(x) < 0 : convergência oscilante φ’(x) < -1 : divergência oscilante 0 < φ’(x) < 1 : convergência monotônica φ’(x) > 1 : divergência monotônica

37 Método do ponto fixo  Ex: Possíveis funções de iteração: Sabendo que existe uma raiz ξ 1 num intervalo centrado em -3 e outra raiz ξ 2 num intervalo centrado em 2, podemos estudar a convergência das funções de iteração para o intervalo centrado em 2, utilizando o Teorema 2: (i) (ii) Portanto, não existe um intervalo centrado em 2 que satisfaça a condição (ii) do Teorema 2. Logo, φ 1 (x) gerará uma seqüência divergente.

38 Método do ponto fixo  Para (i) (ii) Portanto, é possível obter um intervalo centrado em 2 tal que as condições (i), (ii) e (iii) do Teorema 2 são satisfeitas. Logo, φ 2 (x) gera uma seqüência convergente.

39 Método do ponto fixo  Para (i) (ii) É possível obter um intervalo centrado em -3 tal que as condições (i), (ii) e (iii) do Teorema 2 são satisfeitas. Logo, φ 3 (x) gera uma seqüência convergente para x 0 =-2,5, no intervalo I = [-3,5, -2,5], por exemplo.

40 Método do ponto fixo Algoritmo: Ponto fixo Entrada: x 0 (aproximação inicial), ε (precisão) Saída: x n (raiz aproximada)

41 Método do ponto fixo  Exercício:

42 Método de Newton-Raphson (ou das tangentes)  Seja f(x) contínua em (a,b) e f’(x) ≠ 0, então: x y x 0 =b ξ f(x) x1x1 α f(x 0 ) x2x2 a

43 Método de Newton-Raphson  Condições de Newton-Raphson-Fourier O método converge para a raiz contida no intervalo (a,b) se e somente se: f(a)f(b) < 0 (extremos com sinais contrários) f’(a)f’(b) > 0 (função apenas crescente ou decrescente) f’’(a)f’’(b)>0 (concavidade não muda no intervalo)

44 Método de Newton-Raphson  Condições de Newton-Raphson-Fourier x y x’ 0 ξ f(x) x’ 1 x0x0 x1x1

45 Método de Newton-Raphson Algoritmo: Newton-Raphson Entrada: x 0 (aproximação inicial), ε (precisão) Saída: x n (raiz aproximada)

46 Método da secante  Utiliza a mesma forma da função φ de iteração do método de Newton, mas aproximando o valor da derivada de f(x) pelo quociente das diferenças: onde x n e x n-1 são aproximações para a raiz. Assim, a função de iteração fica:

47 Método da secante  Geometricamente, o ponto x n+1 =φ(x n ) é a absissa do ponto de intersecção do eixo x e da reta secante que passa por (x n-1,f(x n-1 )) e (x n,f(x n )) x f(x) x0x0 ξ x1x1 x2x2 x3x3

48 Método da secante Algoritmo: Secante Entrada: x 0, x 1 (aproximações iniciais), ε (precisão) Saída: (raiz aproximada)

49 Observações acerca de equações polinomiais  Regra de sinal de Descartes: “Dado um polinômio com coeficientes reais, o número de zeros reais positivos p desse polinômio, não excede o número v de variações de sinal dos coeficientes. Ainda mais, v-p é inteiro, par e não negativo”.

50 Regra de sinal de Descartes  Ex:

51 Regra de sinal de Descartes  Para se determinar o número de raízes reais negativas, neg, faz-se p n (-x) e usa-se a regra de Descartes para raízes positivas:

52 Regra de sinal de Descartes  Exercício: Determinar o número de raízes reais das equações: