Material de Apoio Interacção Gravítica.

Material de Apoio Interacção Gravítica

Material de apoio: interacção gravítica
Lei Universal da Gravitação – Isaac Newton sec. XVII cada partícula do Universo atrai outra com uma força que é proporcional ao produto das suas massas e inversamente proporcional ao quadrado da distância entre elas força que m1exerce em m2 força que m2exerce em m1 formam par acção/reacção constante gravítica universal Nota: Lei formulada para massas pontuais

massa gravítica e massa inercial força gravítica que M exerce em m massa gravítica referencial do CM de M lei fundamental da dinâmica massa inercial experiência mostra que a razão das massa gravítica e inercial tem o mesmo valor para todos os objectos  massas gravítica e inercial podem ser feitas iguais por ajuste da constante G

Baseado na lei anterior, válida para massas pontuais, Newton demonstrou que a força gravítica exercida por uma camada esférica de massa M homogénea e sem espessura: numa massa m, colocada num ponto que lhe é exterior de vector posição , é igual à que seria produzida por uma massa M pontual colocada no seu centro geométrico

Baseado na lei anterior, válida para massas pontuais, Newton demonstrou que a força gravítica exercida por uma camada esférica de massa M homogénea e sem espessura: numa massa m, colocada num ponto que lhe é interior, é nula; o cancelamento de todas as forças é exacto

Consequência - a força gravítica exercida por uma esfera homogénea de massa M, raio R e densidade r : numa massa m, colocada num ponto que lhe é exterior de vector posição , é igual à que seria produzida por uma massa M pontual colocada no seu centro geométrico

Consequência - a força gravítica exercida por uma esfera homogénea de massa M, raio R e densidade r: numa massa m, colocada num ponto que lhe é interior de vector posição , é equivalente à força que seria exercida uma massa M’ pontual colocada no seu centro, onde M’ é a massa contida na esfera de raio r camada que não contribui para a força gravítica

Campo gravítico, , gerado pela massa M no ponto P de vector posição no referencial fixo ao CM de M condição criada no espaço por M, tal que uma massa m colocada em P fica sujeita à força gravítica Nota: pode ser interpretado como a força gravítica que M exerce numa massa unitária colocada em P

Peso da massa m – força gravítica que o planeta, de massa Mp e raio Rp, exerce em m à altura h da sua superfície vertical do lugar horizontal do lugar raio do planeta correcção do peso com a altura massa do planeta aproximação corrente Terra -

Energia potencial gravítica força gravítica conservativa  deriva de uma energia potencial energia potencial da massa m sob a acção do campo gravítico criado por M no referencial fixo ao CM de M – só depende do módulo de : resulta do facto da força ser central

Energia potencial gravítica de m à altura h da superfície de um planeta de massa Mp e raio Rp massa do planeta raio do planeta vertical do lugar horizontal do lugar aproximação corrente Terra -

Energia mecânica de m sujeita apena à acção da força gravítica conserva-se no referencial do CM de M conserva-se energia potencial aumenta com r energia cinética diminui com r

Energia potencial do sistema de duas massas no referencial do CM do sistema energia potencial do sistema só depende da coordenada relativa  independente do sistema de referência

Energia mecânica do sistema de duas massas no referencial do CM do sistema energia mecânica do sistema conserva-se m1>>>m2  CM do sistema coincide aproximadamente com CM de m1 e v1~0  dinâmica do sistema é descrita pela dinâmica de m2 no referencial do CM de m1

potencial gravítico, V(r), gerado pela massa M no ponto P de vector posição no referencial fixo ao CM de M condição criada por M no espaço, tal que uma massa m colocada em P adquire a energia potencial gravítica Ep Nota: V(r) pode ser interpretado como a energia potencial gravítica de uma massa unitária colocada no campo gravítico criado por M em P

Campo e potencial gravítico gerado por uma distribuição de N massas no ponto P, de vector posição campo criado pela massa mi força exercida numa massa unitária força é uma grandeza aditiva campo gravítico total criado pela distribuição de N massas no ponto P potencial gravítico total criado pela distribuição das N massas no ponto P potencial criado pela massa mi energia de uma massa unitária energia é uma grandeza aditiva

Momento Angular força central vectores paralelos momentos calculados relativamente ao sistema soliário com CM de M momento angular de um objecto sob a acção de uma força gravítica conserva-se perpendicular ao plano da trajectória formado por e constante  plano da trajectória constante  movimento plano

Momento Angular w e r variam por forma a que L permaneça constante

Força gravítica e trajectória circular ex: órbita circular de um satélite em torno de um planeta planeta e satélites esferas homogéneas referencial do CM do planeta força puramente normal  norma da velocidade é constante raio do planeta relação entre o raio da órbita e a velocidade com que é descrita altitude da órbita

Força gravítica e trajectória circular satélite geoestacionário: em órbita equatorial, mantem-se sobre o mesmo ponto da superfície do planeta  movimentos de rotação do planeta e satélite têm a mesma velocidade angular velocidade angular constante  período do movimento de rotação do planeta altitude de um satélite geoestacionário Ex: satélite geoestacionário da Terra

Velocidade de escape - ve velocidade mínima comunicada a um objecto à superfície de um planeta por forma a escapar ao seu campo gravítico  velocidade que lhe permite chegar ao infinito com velocidade nula conservação da energia mecânica energia no infinito energia à superfície do planeta massa do objecto massa do planeta raio do planeta objecto escapa - trajectória aberta objecto não escapa - trajectória fechada Ex: Terra -

Velocidade de escape - ve objecto escapa, independentemente da direcção de lançamento, desde que momento angular é conservado em qualquer das situações: lançamento radial vectores paralelos indeterminação matemática por continuidade lançamento não radial vectores não paralelos indeterminação matemática por continuidade

Distância máxima num lançamento com vi<ve  E<0 lançamento radial trajectória rectilínea conservação do momento angular vectores paralelos  ponto de distância máxima - ponto onde a velocidade se anula conservação da energia mecânica equação que determina

Distância máxima num lançamento com vi<ve  E<0 lançamento não radial trajectória curvilínea conservação do momento angular vectores não paralelos  a velocidade nunca se pode anular  ponto de distância máxima: instante que maximiza a distância distância máxima  no ponto de distância máxima o vector posição é perpendicular à velocidade

Distância máxima num lançamento com vi<ve  E<0 lançamento não radial trajectória curvilínea conservação do momento angular ângulo de lançamento vectores perpendiculares conservação da energia mecânica sistema de equações que determina rmax

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