Problemas de roteamento em arcos

Apresentação em tema: "Problemas de roteamento em arcos"— Transcrição da apresentação:

1 Problemas de roteamento em arcos
Otimização em grafos Problemas de roteamento em arcos

2 roteamento em nós roteamento em arcos

3 [I] H. A. Eiselt, M. Gendreau, and G
[I] H.A. Eiselt, M. Gendreau, and G. Laporte, Arc routing problems, part I: The Chinese postman problem, Operations Research 43 (1995), 231–242. [II] H.A. Eiselt, M. Gendreau, and G. Laporte, Arc routing problems, part II: The rural postman problem, Oper Res 43 (1995), 399–414. [III] S. Whlk, A decade of capacitated arc routing, in: The vehicle routing problem, Bruce Golden et al. (eds), (2008) [IV] Computers & Operations Research, 33, Issue 12, December 2006, Pages Part Special Issue: Recent Algorithmic Advances for Arc Routing Problems 10: mar 2009.

4 As pontes de Königsberg
retirado de [I] desenho original de Euler 10: mar 2009.

5 Kaliningrado Irina Gribkovskaia, Øyvind Halskau Sr. and Gilbert Laporte, The Bridges of Königsberg—A Historical Perspective, Networks, Vol. 49(3), 199– 10: mar 2009.

6 Michael Clegg & Martin Guttmann’s sculpture
The Seven Bridges of Königsberg is an installation based on a partial selection from the themes of the original project, an Open Public Library which operated in Duisburg in connection with the exhibition Kant Park which took place in the Lehmbruck Museum in The structure of this library is based on a diagram of the seven bridges of Königsberg. The mathematician Euler proved that one cannot cross all the bridges, each only once and, without gap or overlap, return to the point of origin. As a consequence, the books in the library, whose structure is based on the same diagram, cannot be arranged alphabetically, from A to Z, when all the shelves are full. This is a library, which resists order, an anarchist library, if we may. Based on the original project we designed a new installation, which emphasizes the mathematical properties of the structure in virtue of which it cannot be ordered. 10: mar 2009.

7 Uma solução (ciclo euleriano) existe se:
a) o grafo é conexo b) cada nó tem grau par E se dois nós tiverem grau impar ? ! Então é possível obter um caminho euleriano saindo de um nó e chegando no outro. 10: mar 2009.

8 10: mar 2009.

9 Qual o caminho ? Euller estava preocupado com existência.
Qual caminho ? 10: mar 2009.

10 Qual o caminho ? 10: mar 2009.

11 Grafos direcionados e mistos
Grafos não-direcionados Grafos direcionados (puros) 10: mar 2009.

12 Grafos direcionados e mistos
Grafos mistos 10: mar 2009.

13 General routing problems (Orloff, 1974)
10: mar 2009.

14 retirado de [I] 10: mar 2009.

15 Rural/Chinese retirado de [I] 10: mar 2009.

16 General routing problems (Orloff, 1974)
Problema do carteiro chinês (CPP) Problema do carteiro rural (RPP) ... 10: mar 2009.

17 Problema do carteiro chinês:
"A mailman has to cover his assigned segment before returning to the post office. The problem is to find the shortest walking distance for the mailman". Meigu Guan (O "matemático/carteiro" chinês) 10: mar 2009.

18 Estratégias de solução
Quando não existe um ciclo euleriano... Duas etapas: Fazer o menor "aumento" no gráfico que o torna euleriano. Obter o ciclo euleriano (tempo polinomial). 10: mar 2009.

19 Grafos não-direcionados:
matching problem (Edmonds and Johnson, 1973) 10: mar 2009.

20 Edmonds and Johnson, 1973 10: mar 2009.

21 Idéia grafo não euleriano grafo euleriano 10: mar 2009.

22 the matching problem 10: mar 2009.

23 Algoritmo (Edmonds e Johnson)
Se o grafo é euleriano, determinar tour. FIM Seja I o conjunto de todos os nós de grau ímpar. Seja dij a distância do caminho mínimo entre os nós i e j, para cada i,j 2 I. Determinar o matching M entre os elementos de I que minimiza os custos dij envolvidos. Adicione os arcos dos caminhos mínimos associados ao matching. O novo grafo é euleriano, determinar tour. FIM. 10: mar 2009.

24 Exemplo matchings possíveis: 1 e 2, 3 e 4 1 e 3, 2 e 4 1 e 4, 2 e 3 2
10: mar 2009.

25 Caso direcionado ? +1 -1 +1 -1 10: mar 2009.

26 Caso direcionado (completamente)
Grafos completamente direcionados. minimum cost flow problem (Edmonds and Johnson, 1973) -1 +1 10: mar 2009.

27 Caso direcionado (completamente)
xij=1, se o arco (i,j) está na solução -1 +1 10: mar 2009.

28 Caso misto NP-Hard mesmo se: (Papadimitriou, 1976) o grafo é planar;
todos os cij's são iguais. (Papadimitriou, 1976) 10: mar 2009.

29 Windy Postman Problem (WPP)
O grafo é não-direcionado, mas o custo de percorrer uma aresta depende do sentido tomado. NP-hard mas pode ser resolvido em tempo polinomial sob algumas condições. cada aresta (i,j) gera custos cij iguais para os dois sentidos caso direc. caso misto WPP caso ñ-direc. cada arco (i,j) gera custos cij no sentido i! j e 1 no sentido inverso 10: mar 2009.

30 WPP Formulação 10: mar 2009.

31 Algumas variações Hierarchical Postman Problem. 10: mar 2009.

32 Exemplo 10: mar 2009.

33 Algumas variações The cumulative chinese postman problem:
10: mar 2009.

34 General routing problems (Orloff, 1974)
Problema do carteiro chinês (CPP) Problema do carteiro rural (RPP) ... 10: mar 2009.

35 A maioria das aplicações práticas estão relacionadas ao carteiro rural
vila rural vila rural arcos não necessários. 10: mar 2009.

36 Aplicações Street sweeping Bodin and Kursh (1978, 1979)
Restrições nos horários ("janelas de tempo") 10: mar 2009.

37 Aplicações Retirada de neve Níveis de prioridade (HRPP).
Restrições adicionais: roteamento dos veículos depósito, estratégias de re-roteamento em caso de intensificação da tempestade ... 10: mar 2009.

38 Coleta de lixo questão do aterro sanitário tarifação
10: mar 2009.

39 Aplicações Problema dos leituristas
Retirado de: "Algoritmos para o problema de roteamento de leituristas", Fábio Usberti 10: mar 2009.

40 Entrega de correspondências
depósitos... PRA PRV 10: mar 2009.

41 Para o CPP: Versão não-direcionada ou totalmente direcionada: polinomial Versão mista ou WPP: NP-Hard. Para o RPP: Versões não-direcionada e direcionada são NP-Hard. (Salvo quando R=A ! CPP). 10: mar 2009.

42 RPP não direcionado Resolução
I) O grafo G(V,R) é conexo II) O grafo G(V,R) não é conexo Unem-se os vértices de grau ímpar de R e se resolve um problema CPP (ciclo euleriano). 10: mar 2009.

43 RPP não direcionado II) pre-processamento 10: mar 2009.

44 RPP não direcionado II) pre-processamento 10: mar 2009.

45 Heurística para o RPP não-direcionado
O grafo resultante do pre-processamento tem "ilhas" conexas de subgrafos com arestas requeridas G2 G1 ...Gn 10: mar 2009.

46 1) Construa a menor árvore ligando G1
1) Construa a menor árvore ligando G1...Gn, seja l(t) o custo desta árvore; seja l(R) o custo dos arcos em R. l(R)+l(t) · z* No exemplo: l(R) = 11, l(t)=3 10: mar 2009.

47 2) Obtenha o menor matching entre os nós de grau ímpar do grafo induzido por R + a árvore.
seja l(M) o custo deste matching. l(R)+l(t)+l(M) · 1.5z* No exemplo: l(R) = 11, l(t)=3, l(M) =5 10: mar 2009.

48 Este algoritmo foi proposto por
Frederickson (1979) baseado no trabalho de Christofides (1976) 10: mar 2009.

49 Heurística para o RPP direcionado
Pode ser reduzido ao caso direcionado do CPP sempre que R for conexo. Procedimento de pre-processamento similar ao anterior. 10: mar 2009.

50 Cristofides et al. (1986) Construa uma arborescência centrada em um vértice qualquer e atingindo G1...Gn Resolva um problema de transporte tal que o número de arcos chegando em cada vértice seja igual ao número de arcos saindo do vértice Determine um grafo euleriano 10: mar 2009.

51 Atualmente... Computers & Operations Research, 33, Issue 12, December 2006, Pages Part Special Issue: Recent Algorithmic Advances for Arc Routing Problems 10: mar 2009.

52 Recent Algorithmic Advances (títulos)
Lower and upper bounds for the mixed capacitated arc routing problem New lower bound for the Capacitated Arc Routing Problem A comparison of two different formulations for arc routing problems on mixed graphs A tabu search algorithm for the min–max k-Chinese postman problem (min–max k-Chinese postman problem: k ciclos, com cada arco sendo atravessado ao menos uma vez. Objetivo: minimizar o comprimento do ciclo mais longo.) 10: mar 2009.

53 Recent Algorithmic Advances (títulos)
A constraint programming approach to the Chinese postman problem with time windows Privatized rural postman problems be (lucro) - na primeira vez que o arco é atravessado ce (custo) - sempre que o arco é atravessado 10: mar 2009.

54 Recent Algorithmic Advances (títulos)
A constructive heuristic for the Undirected Rural Postman Problem 10: mar 2009.

55 Recent Algorithmic Advances (títulos)
Road network monitoring: algorithms and a case study A genetic algorithm for a bi-objective capacitated arc routing problem 10: mar 2009.