Probabilidade e Estatística Aplicadas à Contabilidade II

Apresentação em tema: "Probabilidade e Estatística Aplicadas à Contabilidade II"— Transcrição da apresentação:

1 Probabilidade e Estatística Aplicadas à Contabilidade II
Prof. Dr. Marcelo Botelho da Costa Moraes

2 Comparações Envolvendo Médias
Capítulo 10 – parte B

3 Comparações Envolvendo Médias – Parte B
Introdução à Análise de Variância Análise da Variância: como Testar a Igualdade de k Médias da População

4 Introdução à Análise de Variância
Análise de Variância (ANOVA) pode ser usada para testar as hipóteses de que três ou mais populações são iguais Os dados obtidos a partir de estudos de observação ou experimentação podem ser utilizados para a análise Queremos usar os resultados da amostra para testar as seguintes hipóteses: H0: µ1 = µ2 = µ3 = ... = µk H1: Nem todas as médias populacionais são iguais

5 Introdução à Análise de Variância
H0: µ1 = µ2 = µ3 = ... = µk H1: Nem todas as médias populacionais são iguais Se H0 é rejeitado, não poderemos concluir que todas as médias populacionais são diferentes Rejeitar H0 significa que pelo menos duas médias populacionais têm valores diferentes

6 Introdução à Análise de Variância
Distribuição amostral de 𝑥 , dado que H0 seja verdadeira As médias amostrais são próximas umas das outras, porque há apenas uma distribuição amostral quando H0 é verdadeira. 𝝈 𝒙 𝟐 = 𝝈 𝟐 𝒏 𝒙 𝟐 𝒙 𝟏 𝒙 𝟑 𝝁

7 Introdução à Análise de Variância
Distribuição amostral de 𝑥 , dado que H0 seja falsa As médias amostrais são provenientes de diferentes distribuições amostrais e não estão tão próximas entre si quando H0 é falsa. 𝒙 𝟑 𝒙 𝟐 𝒙 𝟏 𝝁 𝟑 𝝁 𝟐 𝝁 𝟏

8 Hipóteses para a Análise de Variância
Para cada população, a variável de resposta é normalmente distribuída A variância da variável de resposta, denotado por σ2, é idêntica em todas as populações As observações devem ser independentes

9 Análise de Variância: como Testar a Igualdade de k médias da População
Estimativa da Variância Populacional entre Tratamentos Estimativa da Variância Populacional dentro de Tratamentos Comparando as Estimativas de Variância: o Teste F A Tabela ANOVA

10 Estimativa da Variância Populacional entre Tratamentos
A estimativa de σ2 é chamada quadrado da média em razão do tratamento e é denotada por MSTR (mean square due to treatments) 𝑀𝑆𝑇𝑅= 𝑗=1 𝑘 𝑛 𝑗 ( 𝑥 𝑗 − 𝑥 ) 2 𝑘−1 O Denominador representa os graus de liberdade associados à SSTR O Numerador é chamado de soma dos quadrados dos tratamentos e é denotador por SSTR

11 Estimativa da Variância Populacional dentro de Tratamentos
A estimativa de σ2 é chamada quadrado médio dos erros e é denotada por MSE (mean square due to error) 𝑀𝑆𝐸= 𝑗=1 𝑘 𝑛 𝑗 −1 𝑠 𝑗 𝑛 𝑇 −𝑘 O Denominador representa os graus de liberdade associados à SSE O Numerador é chamado de soma dos quadrados dos erros e é denotador por SSE

12 Comparando as Estimativas de Variância: o Teste F
Se a hipótese nula é verdadeira e os pressupostos da ANOVA são válidos, a distribuição de amostragem de MSTR / MSE é uma distribuição F com k - 1 gl no MSTR e nT – k gl no MSE Se as médias das k populações não são iguais, o valor de MSTR / MSE será inflacionado porque um MSTR grande produz uma estimativa em excesso de σ2 Por isso, vamos rejeitar H0 se o valor resultante do MSTR / MSE parecer ser muito grande por ter sido selecionado aleatoriamente da distribuição F apropriada

13 Teste para a Igualdade de k Médias Populacionais
Hipóteses H0: µ1 = µ2 = µ3 = ... = µk H1: Nem todas as médias populacionais são iguais Teste Estatístico F = MSTR / MSE

14 Teste para a Igualdade de k Médias Populacionais
Regra de Rejeição Método do Valor p Rejeitar H0 se o valor p ≤ α Método do Valor Crítico Rejeitar H0 se F ≥ Fα em que o valor de Fα se baseia em uma distribuição F com numerador k - 1 gl e denominador nT - k gl

15 Distribuição Amostral de MSTR/MSE
Regra de Rejeição Não Rejeitar H0 Rejeitar H0 MSTR/MSE Valor Crítico Fα Distribuição Amostral de MSTR/MSE α

16 SST é dividida em SSTR e SSE
A Tabela ANOVA SST é dividida em SSTR e SSE Os graus de liberdade (gl) de SST são divididos em gl do SSTR e gl do SSE Tratamentos Erro Total SSTR SSE SST k – 1 nT – k nT - 1 MSTR MSE Fonte de Variação Soma dos Quadrados Graus de Liberdade Quadrado Médio MSTR/MSE F

17 𝑆𝑆𝑇= 𝑗=1 𝑘 𝑖=1 𝑛 𝑗 ( 𝑥 𝑖𝑗 − 𝑥 ) 2 =𝑆𝑆𝑇𝑅+𝑆𝑆𝐸
A Tabela ANOVA A soma total dos quadrados (SST) dividida por seus graus de liberdade nT - 1 é a variância amostral que seria obtida se tratássemos o conjunto inteiro de observações como um conjunto de dados Com os dados de todo o conjunto amostral, a fórmula para calcular a soma total dos quadrados, SST, é: 𝑆𝑆𝑇= 𝑗=1 𝑘 𝑖=1 𝑛 𝑗 ( 𝑥 𝑖𝑗 − 𝑥 ) 2 =𝑆𝑆𝑇𝑅+𝑆𝑆𝐸

18 A Tabela ANOVA ANOVA pode ser vista como o processo de partição da soma total de quadrados e os graus de liberdade em suas fontes correspondentes: tratamentos e erro Dividir a soma dos quadrados pelos graus de liberdade apropriados produzirá as estimativas de variância e o valor F que são usados para testar a hipótese de médias populacionais iguais

19 Teste para a Igualdade de k Médias Populacionais
Exemplo: Manufatura Reed Janet Reed gostaria de saber se existe alguma diferença significativa no número médio de horas trabalhadas por semana para os gerentes de departamento em suas três fábricas (em Buffalo, Pittsburgh e Detroit)

20 Teste para a Igualdade de k Médias Populacionais
Exemplo: Manufatura Reed Uma amostra aleatória simples de cinco gerentes de cada uma das três plantas foi tomada e o número de horas trabalhadas por cada gestor para a semana anterior é mostrado no próximo slide Realize um teste de F usando um α = 0,05

21 Teste para a Igualdade de k Médias Populacionais
1 2 3 4 5 48 54 57 62 73 63 66 64 74 51 61 56 Planta 1 Buffalo Planta 2 Pittsburgh Planta 3 Detroit Observação Média Amostral Variância Amostral 26, , ,5

22 Teste para a Igualdade de k Médias Populacionais
Métodos do Valor p e Valor Crítico 1. Desenvolva as Hipóteses H0: µ1 = µ2 = µ3 H1: Nem todas as médias populacionais são iguais Onde, µ1 = número médio de horas trabalhadas por semana pelos gerentes da Planta 1 µ2 = número médio de horas trabalhadas por semana pelos gerentes da Planta 2 µ3 = número médio de horas trabalhadas por semana pelos gerentes da Planta 3

23 Teste para a Igualdade de k Médias Populacionais
Métodos do Valor p e Valor Crítico 2. Especifique o nível de significância: α = 0,05 3. Calcule o valor do Teste Estatístico Quadrado da média em razão do tratamento (MSTR) (Os tamanhos de amostras são todos iguais) 𝑥 = =60 𝑆𝑆𝑇𝑅=5 (55−60) 2 +5 (68−60) 2 +5 (57−60) 2 =490 𝑀𝑆𝑇𝑅= 490 3−1 =𝟐𝟒𝟓

24 Teste para a Igualdade de k Médias Populacionais
Métodos do Valor p e Valor Crítico 3. Calcule o valor do Teste Estatístico (continuação) Quadrado médio dos erros (MSE) 𝑆𝑆𝐸=4 26, , ,5 =308 𝑀𝑆𝐸= −3 =𝟐𝟓,𝟔𝟔𝟕 𝐹= 𝑀𝑆𝑇𝑅 𝑀𝑆𝐸 = ,667 =𝟗,𝟓𝟓

25 Teste para a Igualdade de k Médias Populacionais
Tabela ANOVA Tratamentos Erro Total 490 308 798 2 12 14 245 25,667 Fonte de Variação Soma dos Quadrados Graus de Liberdade Quadrado Médio 9,55 F

26 Teste para a Igualdade de k Médias Populacionais
Método do Valor p 4. Calcule o valor p Com numerador gl 2 e o denominador gl 12, o valor p é 0,01 para F = 6,93. Portanto, o valor p é menor que 0,01 para F = 9,55 5. Determine quando Rejeitar H0 O valor p ≤ 0,05, então rejeitamos H0 Temos provas suficientes para concluir que o número médio de horas trabalhadas por semana por gerentes não é o mesmo em todas as 3 plantas

27 Teste para a Igualdade de k Médias Populacionais
Método do Valor Crítico 4. Calcule o valor crítico e a regra de rejeição Com base em uma distribuição F com numerador gl 2 e denominador gl 12, F0,05 = 3,89 Rejeitar H0 se F ≥ 3,89 5. Determine quando Rejeitar H0 Como F = 9,55 ≥ 3,89, então rejeitamos H0 Temos provas suficientes para concluir que o número médio de horas trabalhadas por semana por gerentes não é o mesmo em todas as 3 plantas

28 Exercícios Capítulo 10 Exercícios: 1, 2, 4, 7, 9, 10, 12, 14, 17, 21, 23, 26, 27, 30, 32 e 34

29 Obrigado pela Atenção!!! Lista de Exercícios do Capítulo 10
Prof. Dr. Marcelo Botelho da Costa Moraes