Introdução aos Grupos de Permutações e aplicações

Apresentação em tema: "Introdução aos Grupos de Permutações e aplicações"— Transcrição da apresentação:

1 Introdução aos Grupos de Permutações e aplicações
Felippe Calsavara Gonçalves & Antonio Carlos Tamarozzi Universidade Federal de Mato Grosso do Sul Resumo A normalidade de subgrupos em um grupo finito foi uma propriedade descoberta por E. Galois em 1832, no estudo do grupo de permutações de raízes de equações polinomiais. A partir de então, este conceito foi explorado extensivamente agregando definições e propriedades que colaboraram para a descrição de vários conceitos de impacto na estrutura de grupos finitos. Neste trabalho apresentamos um desenvolvimento introdutório da Teoria dos Grupos de Permutações, com vistas a apresentar exemplos de grupos simples. Esta investigação propiciou contato com técnicas importantes para o desenvolvimento da Teoria dos Grupos, baseadas em subgrupos característicos, centralizadores, equação das classes, 𝑝-grupos e grupos de permutações. 𝑷𝒓𝒐𝒑𝒐𝒔𝒊çã𝒐 𝟑: Seja 𝜎∈ 𝑆 𝑛 uma permutação. Então 𝜎 pode ser escrita como um produto de ciclos disjuntos. E essa fatoração é única, a não ser pela ordem dos ciclos.  Com a proposição acima, podemos verificar que todo permutação é um produto de transposições. De fato, basta provar que qualquer ciclo pode ser fatorado em transposições. Seja 𝜎 um r-ciclo qualquer, então 𝜎=( 𝑎 1 𝑎 2 … 𝑎 𝑛 ), mas, 𝑎 1 𝑎 2 ∘ 𝑎 1 𝑎 3 ,∘,…∘ 𝑎 1 ∘ 𝑎 𝑖−1 ∘ 𝑎 1 ∘ 𝑎 𝑛 =𝜎,como é fácil verificar. Seja 𝜎 uma permutação. Se 𝜎 pode ser fatorada com um número par de transposições, então dizemos que 𝜎 é um permutação par. Se 𝜎 pode ser fatorada com um número ímpar de transposições, então ela é chamada permutação ímpar. Em geral, a fatoração de uma permutação em transposições não é única. Seja 𝐴 𝑛 o conjunto de todas as permutações pares em 𝑆 𝑛 . O fechamento da composição para permutações pares e a propriedade (𝑎𝑏) −1 = 𝑏 −1 𝑎 −1 , válida em qualquer grupo, asseguram que 𝐴 𝑛 é um subgrupo de 𝑆 𝑛 . Este é o grupo alternado de grau 𝑛. Pode-se mostrar que 𝐴 𝑛 = 𝑛! 2 . Como 𝑆 𝑛 =𝑛! , vemos 𝐴 𝑛 que é um subgrupo de 𝑆 𝑛 de índice 2, de onde segue que 𝐴 𝑛 ⊲ 𝑆 𝑛 . A simplicidade dos grupos , 𝐴 𝑛 ,𝑛≥5 Proposição : O grupo tem como subgrupos normais apenas os subgrupos triviais e o grupo 𝐴 𝑛 , para 𝑛≥5. O grupo 𝐴 4 tem como únicos subgrupos normais os subgrupos triviais e o grupo K, o grupo de Klein, onde 𝐾={𝑖𝑑∘ 12 ∘ 34 , 13 ∘ 24 , 14 ∘ 23 }. Enquanto que o grupo 𝑆 4 tem como subgrupos normais apenas os triviais, o grupo 𝐴 𝑛 e o grupo de Klein. Conclusão Os grupos finitos simples são os grupos irredutíveis quanto a normalidade e são alvo de investigações que possibilitam aplicações não apenas à Matemática mas para diversas outras áreas do conhecimento. No trabalho desenvolvemos a teoria introdutória dos grupos de permutações com a finalidade principal de apresentar exemplos de grupos simples. O primeiro grupo simples é o grupo alternado de grau 5, cuja ordem é 60. Além da normalidade as conclusões do trabalho requereram o desenvolvimento de algumas técnicas e ferramentas para a Teoria dos Grupos, baseadas em subgrupos normais, característicos, centralizadores e equação das classes. Introduão Evariste Galois [ ], foi o primeiro matemático a realmente entender que a solução algébrica de uma equação polinomial está relacionada com a estrutura do grupo de permutações relativas à equação. A Teoria de Galois introduziu conceitos fundamentais para o desenvolvimento da Teoria dos Grupos, como subgrupos normais e a solubilidade, uma vez que a solução da equação algébrica está relacionada a existência de uma cadeia de subgrupos normais. A Teoria dos Galois destaca, portanto, a importância da existência de subgrupos normais para um determinado grupo. Os grupos simples são os grupos não abelianos que não admitem subgrupos normais não triviais. Galois estabeleceu a não resolução de equações algébricas de quinto grau, devido exatamente a simplicidade dos grupos de permutações de cinco elementos. Por outro lado, este grupo G apresenta um contra-exemplo importante para a recíproca do Teorema de Lagrange, ou seja, a não existência de um subgrupo de ordem d divisor da ordem de G. Objetivos Este trabalho é uma introdução a Teoria dos Grupos finitos que objetiva explorar o Teorema de Lagrange com suas aplicações, bem como analisar a validade de sua recíproca. Um contra-exemplo é apresentado com o desenvolvimento da teoria elementar dos Grupos de Permutações. Ao longo do trabalho desenvolvemos a teoria inicial dos grupos de permutações e as ferramentas da Teoria dos Grupos necessária para a compreensão de algumas das consequências do impacto da existência de subgrupos normais em Grupos Finitos Resultados e Discussões Seja 𝑋 um conjunto. Então o conjunto é bijetora}, munido da operação de composição de funções, é um grupo chamado de grupo das permutações sobre 𝑋. Se 𝑋={1, 2, …, 𝑛}, então 𝑆(𝑋) é chamado , e uma permutação de é denotada por 𝜎= … 𝑛 𝜎(1) 𝜎(2) … 𝜎(𝑛)   𝑷𝒓𝒐𝒑𝒐𝒔𝒊çã𝒐 𝟏: 𝑆(𝑋) é um grupo abeliano se, e somente se sua ordem é 1 ou 2. O Teorema de Cayley , enunciado e provado a seguir, evidencia a importância dos grupos de permutação para Teoria dos Grupos, pois vemos que todo grupo finito é isomorfo a um conveniente subgrupo de um grupo de permutações. 𝑷𝒓𝒐𝒑𝒐𝒔𝒊çã𝒐 𝟐: (Teorema de Cayley) Todo grupo é isomorfo a um subgrupo de 𝑆(𝑋), para um conjunto 𝑋 conveniente. Os principais resultados sobre Grupos de Permutações são consequências da seguinte proposição, Bibliografia BAUMSLAG, B.; CHANDLER, B. Theory and problems of Group Theory, New York, Ed. McGrawhill, 1968. GARCIA, A.; LEAQUIM, I. Álgebra, um Curso de Introdução, Rio de Janeiro, Impa, 1989. GONÇALVES, A. Introdução à Álgebra, Rio de Janeiro, Impa, 1980. HERSTEIN, I. Tópicos de Álgebra, São Paulo, Ed. Polígono, 1970.