2ª Aula Modelação da dinâmica de populações. Crescimento e decaimento de 1ª ordem. Equação da logística.

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1 2ª Aula Modelação da dinâmica de populações. Crescimento e decaimento de 1ª ordem. Equação da logística.

2 BEST – IST, 2006 O que é um modelo? Os modelos matemáticos melhoram com a idade.....

3 Princípio de conservação Taxa de acumulação num volume de controlo = Ao que entra menos o que sai + O que se produz menos o que se destrói

4 Volume isolado Se β for uma concentração uniforme no volume: Escrevendo fontes/poços por unidade de volume:

5 Dinâmica de populações ( n=0) => decaimento/crescimento de ordem zero (evolução linear) (n=1) => 1ª ordem (exponencial) …….. c0 c t K>0 K<0 No caso de (n=1) => 1ª ordem: K >0 implica crescimento exponencial K<0 decaimento assimptótico para zero. No caso de (n=1) => 1ª ordem: A solução analítica é:

6 Decaimento de 1ª ordem Normalmente admite-se que: – A mortalidade bacteriana fecal tem decaimento de 1ª ordem, quantificado pelo T90, – Os pesticidas têm decaimento de 1ª ordem, quantificado pelo tempo de “semi-vida”. Como calcular o k? => T90=1 hora => k=-6.4E-4/s. No caso do tempo de semi-vida seria idêntico com ln(0.5)

7 Solução “Logística” Cmax C0 c t A solução designada por “Logística admite que o crescimento exponencial não é sustentável. Admitindo que há uma população máxima. K deverá ser variável.

8 Solução Numérica (explícito) Se usarmos um método explicito vem: Discretizando a derivada temporal obtém-se:

9 Comparação numérico e analítico Ver folha Excel “dinâmica de populações”

10 Solução Numérica (explícito) Se usarmos um método explicito vem: Se k<o então o parênteses pode ser negativo se o intervalo de tempo for elevado. Nesse caso a nova concentração ficaria negativa e o método ficaria instável. A condição de estabilidade é: Nesta passagem o sinal da desigualdade troca quando de divide por k<0

11 Solução Numérica (implícito) Se usarmos um método implícito a equação fica: Neste caso o método pode instabilizar no caso de k>0:

12 Critérios de estabilidade Quando temos mortalidade, se o método for explícito o número de indivíduos que morre é função do valor que tínhamos no início do passo de tempo. Isso implica que o valor seja calculado por excesso. Se o passo no tempo for demasiado grande poderemos eliminar mais indivíduos do que os existentes e ficamos com um valor negativo (o mesmo se pode dizer para a concentração). Quando temos natalidade o problema coloca-se com o método implícito porque fisicamente o número de filhos é proporcionalmente ao número de pais e por isso o cálculo deve de ser explícito. O cálculo implícito seria equivalente a dizer que “os filhos já nasceriam trazendo filhos ao colo”.

13 Generalizando poderemos dizer que: As fontes devem de ser calculadas explicitamente e os poços implicitamente. Se isso for possível evitam- se instabilidades no modelo. Se o modelo for estável qual deve de ser o passo temporal? O menor possível para que a solução numérica não se afaste da solução analítica. x c0 c t K>0 K<0 implícito explícito

14 Modelo Presa-Predador Na equação: Só a logística é que limita o crescimento. Na realidade aparece sempre um predador que cresce com a presa. Equações de Lotka-Volterra

15 Problemas do modelo de Lotka Volterra Não conserva a massa. A Natureza precisa de pelo menos 3 variáveis de estado: Nota: As derivadas passaram a totais para descrever o caso de o fluido estar em movimento. Poderá k p ser constante? Será razoável que a presa consuma detritos? Precisamos de mais variáveis...

16 Forma geral das Equações Nestas equações adicionamos o transporte difusivo.