Capítulo 11 Funções exponenciais slide 1

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1 Capítulo 11 Funções exponenciais slide 1
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2 Objetivos de aprendizagem
Gráficos de funções exponenciais. A base da função dada pelo número e. Funções de crescimento e decaimento logístico. Taxa percentual constante e funções exponenciais. Modelos de crescimento e de decaimento exponencial.

3 Gráficos de funções exponenciais
Para f (x) = x2, a base é a variável x, e o expoente é a constante 2; f é tanto uma função potência como uma função monomial. Para g(x) = 2x, a base é a constante 2, e o expoente é a variável x; g, portanto, é uma função exponencial.

4 Funções exponenciais Sendo a e b constantes reais, uma função exponencial em x é a função que pode ser escrita na forma f (x) = a • bx, onde a é diferente de zero, b é positivo e b ≠ 1. A constante a é o valor de f quando x = 0 e b é a base. Quando o expoente é irracional, não existe uma propriedade de potenciação para expressar o valor de uma função exponencial. O que podemos fazer são apenas aproximações, como mostra a tabela a seguir.

5 Funções exponenciais Valores de f (x) = 2x para números racionais aproximando p de 3, Valores para uma função exponencial f (x) = a • bx

6 Crescimento e decrescimento exponencial
Para qualquer função exponencial f (x) = a • bx e qualquer número real x, f (x + 1) = b • f (x). Se a > 0 e b > 1, então a função f é crescente, sendo uma função de crescimento exponencial. A base b é o seu fator de crescimento. Se a > 0 e b < 1, então a função f é decrescente, sendo uma função de decaimento exponencial. A base b é o seu fator de decaimento.

7 A base da função dada pelo número e
Função exponencial f (x) = ex

8 A base natural e Aproximações para a base natural e

9 Funções exponenciais e a base e
Qualquer função exponencial f (x) = a • bx pode ser reescrita como

10 Funções de crescimento logístico
Sejam a, b, c e k constantes positivas, com b < 1. Uma função de crescimento logístico em x é uma função que pode ser escrita na forma onde a constante c é o limite de crescimento. Se b > 1 ou k < 0, então as fórmulas serão de funções de decaimento logístico.

11 Taxa percentual constante e funções exponenciais
Suponha que uma população está se modificando a uma taxa percentual constante r, onde r é a taxa percentual da mudança em forma decimal. A população então segue o seguinte padrão:

12 Modelo de crescimento exponencial de uma população
Se uma população P está se modificando a uma taxa percentual constante r a cada ano, então: P(t) = P0(1 + r)t, Por um lado, se r > 0, então P(t) é uma função de crescimento exponencial, e seu fator de crescimento é a base da função exponencial, dada por 1 + r. Por outro lado, se r < 0, então a base 1 + r < 1, P(t) é uma função de decaimento exponencial, e 1 + r é o fator de decaimento para a população.

13 Modelos de crescimento e decaimento exponencial
Os modelos de crescimento e decaimento exponencial são usados para populações, por exemplo, de animais, bactérias e átomos radioativos. Esses modelos se aplicam em qualquer situação na qual o crescimento ou o decrescimento é proporcional ao tamanho atual da quantidade de interesse. As funções de decaimento exponencial modelam a quantidade de uma substância radioativa presente em uma amostra.