Análise por Variáveis de Estado (4a parte). Equação Característica, Autovalor e Auto Vetor Autovalores:definição - são as raízes da equação característica.

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1 Análise por Variáveis de Estado (4a parte)

2 Equação Característica, Autovalor e Auto Vetor Autovalores:definição - são as raízes da equação característica e são também chamados como os autovalores da matriz A Propriedades dos autovalores Se os coeficientes de A são reais os autovalores também são reais Se 1, ,..., n os autovalores de A então

3 Equação Característica, Autovalor e Auto Vetor Propriedades dos autovalores ( cont.) tr(A)= soma dos autovalores de A Se i, i=1,2...n é um autovalor de A então também o será de A ’ Se A é não singular, com autovalores i, i=1,2...n então 1/ i, i=1,2...n serão autovalores de A -1

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5 Tópicos: Autovetores generalizados Transformação de Similaridade

6 Em que   autovalor de A, é chamado de autovetor Se a matriz A tem autovalores múltiplos e é não simétrica então: nem todos os autovetores podem ser encontrados usando-se a equação abaixo

7 Neste caso os autovalores distintos serão calculados utilizando a equação anterior e os repetidos chamados de autovetores generalizados por

8 Em que q= no. de autovetores distintos m= no. de autovetores generalizados

9 Algumas formas das matrizes que descrevem a equação de estado e de saída são de particular interesse no controle. Exemplo a forma canônica de controlabilidade para testes de controlabilidade e projeto em sistemas com retroalimentação.

10 Transformações de Similaridade Dado as equações de estado e de saída

11 Transformações de Similaridade

12 Equação de estado

13 Transformações de Similaridade Equação de saída

14 Transformações de Similaridade, (cont.) Estas transformações mantém propriedades tais como: equação característica autovalores autovetores e funções de transferência

15 Transformações de Similaridade, (cont.) Como o determinante do produto de matrizes é igual ao produto dos determinantes então

16 Transformações de Similaridade, (cont.) Assim a equação característica é preservada o que implica em mesmos autovalores e autovetores

17 Transformações de Similaridade, (cont.) - função de transferência

18 Forma da canônica da controlabilidade

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