CICLO TRIGONOMÉTRICO.

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1 CICLO TRIGONOMÉTRICO

2 CICLO TRIGONOMÉTRICO Introdução PLANO CARTESIANO: Sistema de eixos 0x e 0y perpendiculares entre si, com origem no ponto (0, 0). O eixo 0x é denominado eixo das abscissas e o eixo 0y é chamado eixo das ordenadas. x y

3 Observe: O mapa do Distrito federal (DF), ilustrado abaixo, é apresentado em um plano cartesiano, em que uma unidade de medida equivale a km e cada cidade é identificada com o ponto no mapa que a representa. 5 y 2 3 4 8 10 13 6 Planaltina Brazilândia Brasília Taguatinga São Sebastião Recanto das Emas x

4 Você saberia dizer qual a localização da cidade de Brasília?
y Planaltina 10 Brazilândia 8 Brasília 6 (8, 6) Taguatinga 5 São Sebastião 3 Recanto das Emas 2 2 3 4 8 10 x 13 Quem respondeu (8, 6) acertou. Veja, 8 unidades no eixo x e 6 unidades no eixo y. Então, as coordenadas de um ponto do plano cartesiano indica a sua localização.

5 Ciclo Trigonométrico Chama-se ciclo trigonométrico a circunferência de raio unitário (r = 1), com centro na origem de um plano cartesiano ortogonal. Nesse ciclo, considera-se que: A origem dos arcos é o ponto A(1, 0); O sentido positivo é o anti-horário; Os eixos coordenados dividem o ciclo trigonométrico em quatro regiões congruentes denominadas quadrantes, (I Q, II Q, III Q e IV Q) numeradas no sentido anti-horário a partir de ; Aos pontos A, B, C, e D, são associados, respectivamente, as medidas dos arcos 0º (ou 0 rad), 90º ou (/2 rad), 180º (ou  rad), 270º (ou 3/2 rad) e 360º (ou 2  rad).

6 As figuras a seguir ilustram o que foi exposto.
90º = /2 rad O I Q II Q III Q IV Q x y 180º =  rad 270º = 3/2 rad 360º = 2 rad A(1, 0) B(0, 1) C(-1, 0) D(0, -1) O I Q II Q III Q IV Q x y r = 1 + +

7 Imagem dos arcos no ciclo
Consideremos o ciclo trigonométrico, no qual os arcos têm origem no ponto a e extremidade M. Desse modo, dizemos que o arco pertence a um certo quadrante quando M pertencer a esse quadrante, ou seja: O y x M + A

8 O + y x M A + O y x A M

9 + O y x A M

10 Arcos Côngruos São arcos que possuem a mesma extremidade no ciclo trigonométrico. Suas medidas apresentam diferença múltipla de 2rad. Os arcos e , representados no ciclo trigonométrico a seguir, têm a mesma extremidade (M1 = M2). Observe que: O y x M1 = M2 + Assim, sempre que acrescentamos uma volta a um arco, determinamos um outro arco côngruo aos anteriores. Logo, dois arcos são côngruos quando suas medidas possuem diferença múltipla de 2. A

11 De modo geral, podemos expressar as medidas dos arcos côngruos a um arco de 0 do utilizando a seguinte expressão: Onde  é a expressão geral dos arcos côngruos a 0 e k é o número de voltas, com k  Z. Observação: o sentido do percurso do arco no ciclo trigonométrico é determinado pelo sinal de k, ou seja: sentido anti-horário para k > 0; sentido horário para k < 0.

12 Primeira determinação positiva de um arco
O arco de medida 0, tal que 0  0 < 2 ou 0º  0 < 360º, é denominado primeira determinação positiva de uma coleção de arcos correspondentes ao ponto M. Acompanhe o exemplo dado na figura a seguir: O y x M + 150º A O ponto M é a extremidade de uma çoleção de arcos cuja expressão geral é dada por: = 150 º + k . 360º ou  = 5/6 + 2k , com k  Z. Observe que neste caso, a primeira determinação positiva é 150º ou 5/6.

13 1 – RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS NA CIRCUNFERÊNCIA
Colégio Cenecista Dr. José Ferreira Prof. Luís Gustavo Razões Trigonométricas ª série - Ensino Médio 1 – RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS NA CIRCUNFERÊNCIA 1.1 – INTRODUÇÃO: Já estudamos as razões trigonométricas no triângulo retângulo. Agora, vamos nos aprofundar no assunto, estudando essas razões no ciclo trigonométrico, que definem as funções trigonométricas. Seja um arco trigonométrico de medida , 0 ≤  < /2, conforme a figura: 0 , 2 O   P 1 Note que a medida do ângulo central MÔP é igual a medida do arco . No triângulo retângulo OMP temos: e Assim, o cosseno de  é a abscissa do ponto M e o seno de  é a ordenada do ponto M. AM =  

14 GENERALIZANDO: Na circunferência trigonométrica, todo número real x está associado a um único ponto, extremidade do arco x radianos, e esse ponto tem coordenadas (cos x, sen x). B’ ( 0, 1) O ( 1, 0) A’ B ( 0, 1) A ( 1, 0) M( cos x, sen x) sen x  cos x 0 , 2

15 Seno  0 , 2 x y Sen  = y Domínio: D(f) = R
B’ ( 0, 1) O ( 1, 0) A’ B ( 0, 1) A ( 1, 0)  0 , 2 cos x sen x  Gráfico: x y 1 Sen  = y Domínio: D(f) = R Imagem: Im(f) = [  1, 1] Quadrantes: IQ , IIQ , IIIQ e IVQ ● Sinais : ● Variação: ● Período: p = 2 1 Período: p = 2 + +  

16 Cosseno  0 , 2 x Cos  = x Domínio: D(f) = R
B’ ( 0, 1) O ( 1, 0) A’ B ( 0, 1) A ( 1, 0)  0 , 2 cos x sen x  x y Gráfico: 1 Cos  = x Domínio: D(f) = R Imagem: Im(f) = [  1, 1] Quadrantes: IQ , IIQ , IIIQ e IVQ ● Sinais : ● Variação: ● Período: p = 2π 1 Período: p = 2 +   +

17 TANGENTE Introdução Para compreendermos a definição que virá a seguir, consideremos na circunferência trigonométrica um arco de medida . M AM =   O A Seja t a reta perpendicular ao eixo das abscissas pelo ponto A: O prolongamento do raio intercepta a reta t no ponto T. No triângulo AOT, temos: , como = 1, pois é o raio da circunferência trigonométrica, obtemos: t A  M O  T 

18 Assim, a tg  é a medida do segmento AT.
Para estendermos o conceito de tangente de um arco trigonométrico, consideremos como eixo das tangentes o eixo real t, perpendicular ao eixo das abscissas, com origem A e a mesma orientação do eixo das ordenadas. t O  - 1 A 1 - 2 2 A’ B’ B Eixo das tangentes Definição Dado um arco trigonométrico , M  B, de medida , chama-se tangente de  ( tg  ) a ordenada do ponto T obtida pela intersecção do prolongamento do raio com o eixo das tangentes. OBSERVAÇÃO: A tangente não existe para arcos de e todos os arcos côngruos a eles, ou seja a tangente não existe para arcos da forma

19 + + Tg α = , cos α  0. Domínio: D(f) = Imagem: Im(f) = R Quadrantes:
Sinais da tangente Considerando a orientação do eixo das tangentes, percebemos que aos arcos do 1º e 3º quadrantes associam-se valores positivos para a tangente, e a arcos do 2º e 4º quadrantes associam-se valores negativos para a tangente. A ( 1, 0) ( 0, 1) B ( 1, 0 ) A’ ( 0, 1) B’  N Q M O P t T T’ +  _ Tg α = , cos α  0. Domínio: D(f) = Imagem: Im(f) = R Quadrantes: ● Sinais : ● Variação: ● Período: p =  IQ IIQ IIIQ IVQ +   +

20 Gráfico: x y OBSERVAÇÃO: A tangente não existe para arcos de
OBSERVAÇÃO: A tangente não existe para arcos de e todos os arcos côngruos a eles, ou seja a tangente não existe para arcos da forma

21 COTANGENTE Introdução
Para compreendermos a definição que virá a seguir, consideremos na circunferência trigonométrica um arco de medida . M AM =   O A Seja t’ a reta perpendicular ao eixo das ordenadas pelo ponto B: M  A (1, 0) O  T (0, 1) B (1, 0) A’ B’ (0, 1) 1 O prolongamento do raio intercepta a reta t` no ponto T. No triângulo BOT, temos: , como = 1, pois é o raio da circunferência trigonométrica, obtemos: t`// 0x

22  +   + + Sinais da cotangente
Considerando a orientação do eixo das cotangentes, percebemos que aos arcos do 1º e 3º quadrantes associam-se valores positivos para a cotangente, e a arcos do 2º e 4º quadrantes associam-se valores negativos para a cotangente.  T’ + T t’    M   N  + A + O    P Q OBSERVAÇÃO: A cotangente não existe para arcos de e todos os arcos côngruos a eles, ou seja a cotangente não existe para arcos da forma

23 Quadrantes: IQ , IIQ , IIIQ e IVQ ● Sinais : +  +  ● Variação:
Gráfico: (0, 1) B T t’// 0x    y M 1  (1, 0) A’ A (1, 0) O B’ (0, 1) x cotg α = , sen α  0. Domínio: D(f) = Imagem: Im(f) = R Quadrantes: IQ , IIQ , IIIQ e IVQ ● Sinais :   ● Variação: ● Período: p = π

24 SECANTE E CO-SECANTE Seja AM um arco do primeiro quadrante com extremidade em M. A reta t tangente ao ciclo em M, intercepta o intercepta o eixo dos co-senos em S e o eixo dos senos em C. Por definição, a medida algébrica do segmento OS é a secante do arco AM; e a medida algébrica do segmento OC é a co-secante do arco AM. Então: t  C cosec x M   S  x O A sec x Importante:

25 Imagem: Im(f) = { y  R / y  1 ou y 1}
t SECANTE:  C (0, 1) B M    S  ( 1, 0) A’ O A (1,0) sec α = , cos α  0. Domínio: D(f) = Imagem: Im(f) = { y  R / y  1 ou y 1} Quadrantes: IQ , IIQ , IIIQ e IVQ ● Sinais :   ● Variação: ● Período: p = 2 ( 0, 1) B’ sec x

26 Imagem: Im(f) = { y  R / y  1 ou y 1}
t COSECANTE:  C (0, 1) B cosec α M   1  S  ( 1, 0) A’ O A (1,0) cosec α = , sen α  0. Domínio: D(f) = Imagem: Im(f) = { y  R / y  1 ou y 1} Quadrantes: IQ , IIQ , IIIQ e IVQ ● Sinais :   ● Variação: ● Período: p = 2 ( 0, 1) B’

27 Observações: A secante não existe para arcos de e todos os arcos côngruos a eles, ou seja a secante não existe para arcos da forma A co-secante não existe para arcos de e todos os arcos côngruos a eles, ou seja a co-secante não A secante é positiva no 1º e 4º quadrantes e negativa 2º e 3º quadrantes, ou seja, depende do sinal do co-seno. A co-secante é positiva no 1º e 2º quadrantes e negativa 3º e 4º quadrantes, ou seja, depende do sinal do seno.

28 SECANTE: y 1 x 1 Gráficos: COSECANTE: y 1 x 1