Estatística: Aplicação ao Sensoriamento Remoto SER 202 - ANO 2015 Intervalo de Confiança Camilo Daleles Rennó

Apresentação em tema: "Estatística: Aplicação ao Sensoriamento Remoto SER 202 - ANO 2015 Intervalo de Confiança Camilo Daleles Rennó"— Transcrição da apresentação:

1 Estatística: Aplicação ao Sensoriamento Remoto SER 202 - ANO 2015 Intervalo de Confiança Camilo Daleles Rennó camilo@dpi.inpe.br http://www.dpi.inpe.br/~camilo/estatistica/

2 Intervalo de Confiança Um parâmetro pode ser estimado através de um único valor (estimador pontual): Ou então pode ser definido um intervalo de estimativas mais prováveis de acordo com a distribuição da estatística (estimador) f( ) 0 x f(x)f(x) 0  ?  X 1, X 2,..., X n amostra X 1, X 2,..., X n x f(x)f(x) 0  ? 

3 Intervalo de Confiança para  distribuição desconhecida,  desconhecido, mas  2 conhecido Se : Se n for grande (ou seja, adotando-se o TLC): mesmo não se conhecendo a distribuição de X

4 -- ++ 0 Intervalo de Confiança para  (Normal Padrão) distribuição desconhecida,  desconhecido, mas  2 conhecido valores mais freqüentes se X tiver distribuição normal ou n for grande (TLC)

5 -- ++ 0 Intervalo de Confiança para  (Normal Padrão) z-z IC para  nível de significância nível de confiança Z distribuição desconhecida,  desconhecido, mas  2 conhecido se X tiver distribuição normal ou n for grande (TLC)

6 Intervalo de Confiança para  Exemplo: uma v.a. qualquer tem uma distribuição desconhecida com média  também desconhecida e variância  2 = 16. Retira-se uma amostra de 25 valores e calcula-se a média amostral. Construa um IC de 95% para  supondo que -- ++ 0 95% z-z 2,5% ? 1,96 Como poderia obter intervalos de confiança mais estreitos, ou seja, com limites mais próximos da média verdadeira? - diminuindo-se o nível de confiança - aumentando-se o tamanho da amostra

7 Como Interpretar o IC para  ? Sorteia-se 50 valores aleatoriamente e calcula-se. Em seguida determina-se o IC para  com 95% de confiança, ou seja Interpretação: 95% dos possíveis IC obtidos a partir de uma amostra de tamanho 50, conterão de fato a verdadeira média  Suponha uma v.a. X normalmente distribuída com  = 10 e  2 = 4  (O IC varia para cada amostra!!!) (ver IC.xls)

8 Distribuição  2 (lê-se qui-quadrado) (lê-se: X tem distribuição qui-quadrado com g graus de liberdade) 0 ++ g  2 0 ++ g > 2 Propriedades: a) se, então b) se, então

9 Distribuição  2 0 ++

10 0 ++

11 Se Substituindo-se  por tem-se que (perde-se 1 grau de liberdade) mas

12 Intervalo de Confiança para  2 IC para  2 0 ++ 22

13 Intervalo de Confiança para  2 Exemplo: uma v.a. qualquer tem uma distribuição desconhecida com média  e variância  2 desconhecidas. Retira-se uma amostra de 25 valores e calcula-se a variância amostral. Construa um IC de 95% para  2 supondo que s 2 = 2,34. ? 12,40 0 ++ ? 39,36

14 Distribuição t de student (lê-se: X tem distribuição t de student com g graus de liberdade) Propriedades: tgtg -- ++ 0 a) seeentão b) seentão

15 Distribuição t de student -- ++ 0t

16 Se

17 -- ++ 0 Intervalo de Confiança para  t-t IC para   e  2 desconhecidos T

18 Intervalo de Confiança para  Exemplo: uma v.a. qualquer tem uma distribuição desconhecida com média  e variância  2 também desconhecidas. Retira-se uma amostra de 25 valores e calcula-se a média amostral e a variância amostral. Construa um IC de 95% para  supondo que e s 2 = 16. -- ++ 0 95% t-t 2,5% ? 2,064

19 Inferência entre parâmetros de duas populações S1S1 S2S2 n1n1 n2n2 Mesmo não se conhecendo as médias  1 e  2, seria possível verificar se elas são iguais a partir de seus valores amostrais? Se  1 e  2 são iguais, então  1 -  2 = 0. Mas quanto vale ?

20 Intervalo de Confiança para  1 -  2 -- ++ 0 z-z IC para  1 -  2 Z desconhecidas, mas conhecidas

21 Intervalo de Confiança para  1 -  2 e desconhecidas (fazendo)

22 Intervalo de Confiança para  1 -  2 e desconhecidas

23 Intervalo de Confiança para  1 -  2 e desconhecidas

24 Intervalo de Confiança para  1 -  2 e desconhecidas -- ++ 0 t-t IC para  1 -  2 (atenção: t homocedástico)

25 -- ++ 0 t-t Intervalo de Confiança para  1 -  2 e desconhecidas IC para  1 -  2 (atenção: t heterocedástico) (considerando)

26 Distribuição F (de Snedecor) (lê-se: X tem distribuição F com g 1 e g 2 graus de liberdade) Propriedades: a) seeentão 0 ++ b) seentão 0 ++ 0 ++

27 Distribuição F 0 ++ F g1g1 g2g2

28 0 ++ F g1g1 g2g2

29 0 ++ F g1g1 g2g2

30 Se

31 F e desconhecidas 0 ++ Intervalo de Confiança para IC para OBS: por exemplo, se 1 -  = 95%

32 Exemplo: duas v.a. quaisquer têm distribuições desconhecidas com médias e variâncias também desconhecidas. Retira-se uma amostra de cada população e calcula-se a média e a variância para cada amostra. Construa um IC de 95% para a razão entre variâncias e para a diferença entre médias supondo que IC para  1 -  2 e IC para 0 ++ ?? As variâncias podem ser iguais? R: não há razão para discordar disso.  pode-se fazer o IC para  1 -  2 (homocedástico)

33 Exemplo: duas v.a. quaisquer têm distribuições desconhecidas com médias e variâncias também desconhecidas. Retira-se uma amostra de cada população e calcula-se a média e a variância para cada amostra. Construa um IC de 95% para a razão entre variâncias e para a diferença entre médias supondo que IC para  1 -  2 e IC para  1 -  2 -- ++ 0 95% t-t 2,5% ? 1,997  1 =  2 ?  1 <  2

34 Intervalo de Confiança para proporção p Numa urna, há N bolas, sendo K vermelhas e N – K azuis. Assim, pode-se dizer que K/N representa a proporção p de bolas vermelhas na urna (que por sua vez, representa a probabilidade de se selecionar uma bola vermelha desta urna). Mas se N e K são desconhecidos, como estimar p ? Considere que n bolas são escolhidas ao acaso (com reposição), definindo-se Y como o número de bolas vermelhas entre as n selecionadas, qual a distribuição de Y ? Y ~ Binomial Proporção Amostral X i ~ Bernoulli p = P(X i = 1) (se n é grande)

35 Intervalo de Confiança para proporção p IC para p Z -- ++ 0 z-z

36 Intervalo de Confiança para p 1 – p 2 IC para p 1 – p 2 -- ++ 0 z-z

37 Intervalos de Confiança (Resumo) para  se  2 é conhecida se  2 é desconhecida para  2 para para p para p 1 – p 2 para  1 -  2 se e são conhecidas se e são desconhecidas, mas

38 Intervalos de Confiança (Resumo) para  se  2 é conhecida se  2 é desconhecida para  2 para p