Orientando: Cosmo D. Santiago – MSc. Orientador: Carlos H. Marchi – Dr.Eng. 1º Seminário do projeto Multigrid - abril/2008 Otimização do método multigrid.

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1 Orientando: Cosmo D. Santiago – MSc. Orientador: Carlos H. Marchi – Dr.Eng. 1º Seminário do projeto Multigrid - abril/2008 Otimização do método multigrid geométrico para sistemas de equações 2D em CFD Programa de Pós-Graduação em Engenharia Mecânica -PG-Mec - UFPR

2 Objetivos dessa apresentação Apresentar um resumo de resultados já obtidos. Atividades em andamento Resultados esperados

3 Objetivos dessa etapa da pesquisa Obter parâmetros ótimos do método multigrid geométrico para 2 sistemas de equações. Os parâmetros estudados são: - Iterações internas (ITI); - Número de níveis (L); - Número de níveis (L); - Número de variáveis (N). - Número de variáveis (N). Verificar se os parâmetros ótimos são os mesmos para os esquemas CS e FAS. Verificar se os valores ótimos obtidos com os 2 sistemas são os mesmos obtidos para uma equação.

4 Modelos Matemáticos – 2D Equação de Laplace Solução analítica: T representa o campo de temperaturas.

5 Modelos Matemáticos – 2D Equações de Navier (Termoelasticidade) Onde : e sol. analítica e é o campo de temperaturas é a razão de Poisson, u e v representam os deslocamentos. u e v representam os deslocamentos. e são termos fontes

6 Modelos Matemáticos – 2D Equações de Burgers Onde : é a pressão estática é o termo fonte p, u e v são dados analíticamente por Shih et al. (1989) Sol. analítica u e v representam as velocidades. u e v representam as velocidades.

7 Modelo numérico - Discretização com o Método de Diferenças Finitas - Malha uniforme - Aproximações: UDS/CDS para os termos advectivos e difusivos, respectivamente advectivos e difusivos, respectivamente - Solver: MSI e tolerância - Condições de contorno de Dirichlet - Para os três problemas: Para os três problemas:

8 Linguagem: Fortran/95 Linguagem: Fortran/95 Multigrid Geométrico com Ciclo V Multigrid Geométrico com Ciclo V Engrossamento da malha: 2 (padrão) Engrossamento da malha: 2 (padrão) Restrição: injeção Restrição: injeção Prolongação: interpolação bilinear Prolongação: interpolação bilinear Algoritmos: Algoritmos: Equação de Laplace e equações de Navier (CS e FAS)Equação de Laplace e equações de Navier (CS e FAS) Equações de Burgers (FAS)Equações de Burgers (FAS) Implementação

9 Iterações internas (ITI): Equação de Laplace x Equações de Navier Conclusão: ITI optimum = 2 para os dois problemas Fig. 1: Comparação do número de iterações internas com os esquemas CS e FAS Resultados (a) Iterações internas com CS(b) Iterações internas com FAS Conclusão: ITI optimum = 2 para Navier ITI optimum = 8 para Laplace

10 Número de malhas (L): Equação de Laplace x Equações de Navier Resultados Para os dois problemas e os dois esquemas (CS/FAS) observa-se que: Fig. 2: Comparação do número de níveis com os esquemas CS e FAS (a) Número de níveis com CS (b) Número de níveis com FAS

11 Resultados Número de variáveis (N): Equação de Laplace x Equações de Navier Para os dois problemas e os dois esquemas (CS/FAS) observa-se que: Fig. 3: Comparação do esforço computacional com CS e FAS (a) Ajuste de curva com CS (b) Ajuste de curva para Navier com FAS MG: o tempo computacional cresce linearmente com o aumento do número de variáveis. SG : o tempo computacional cresce muito rapidamente com o aumento do número de variáveis.

12 Iterações internas (ITI): Equações de Burgers (Somente esquema FAS) Resultados Fig. 4: Comparação do número de iterações internas com o FAS Fig. 5: Comparação do número de níveis Fig. 6: Ajuste de curva para os 3 solvers Observe-se que: Na Fig. 4, ITI optimum = 5. Na Fig. 6: MG: o tempo de CPU cresce linearmente com o aumento do nº de variáveis. SG : o tempo de CPU cresce muito rapidamente com o aumento do nº de variáveis. Na Fig. 5,

13 Esquema CS ITI optimum = 2, em qualquer malha. O ITI afeta significativamente o tempo de CPU. O número ótimo de malhas é próximo do máximo, isto é, L optimum L maximum. O número de malhas pode afetar significativamente o tempo de CPU O acoplamento das duas equações não degenera a perfomance do multigrid quando comparado com o caso de uma equação. O tempo de CPU cresce aproximadamente linear com o aumento do número de variáveis. Verificou–se que: Algumas conclusões Equação de Laplace x Equações de Navier

14 Esquema FAS ITI optimum = 8, (Equação de Laplace) ITI optimum = 2, (Equações de Navier) O ITI afeta significativamente o tempo de CPU. Nº de níveis (Idem a conclusão com esquema CS). Acoplamento (Idem a conclusão com esquema CS). O tempo de CPU (Idem a conclusão com esquema CS) Algumas conclusões

15 ITI optimum = 5, em todas as malhas. O ITI afeta significativamente o tempo de CPU. Nº de níveis (Idem aos casos anteriores). Acoplamento (Idem aos casos anteriores). O tempo de CPU (Idem aos casos anteriores). Algumas conclusões Equações de Burgers (apenas esquema FAS)

16 Próximas etapas Otimizar o método multigrid geométrico ciclo V para as equações de Navier-Stokes nas formulações: Função Corrente-Velocidade (mai/jun); Função Corrente-Velocidade (mai/jun); Função Corrente-Vorticidade (jul/ago/set); Função Corrente-Vorticidade (jul/ago/set); Vorticidade –Velocidade (out/nov/dez); Vorticidade –Velocidade (out/nov/dez); Modelo numérico: Mesmo usado com os problemas mostrado aqui.

17 Atividades em andamento Desenvolvimento do texto de qualificação; Desenvolvimento do texto de qualificação; Texto de artigo para Cilamce/2008 sobre os resultados obtidos até agora; Texto de artigo para Cilamce/2008 sobre os resultados obtidos até agora; Implementação dos algoritmos SG/MG-FAS para a formulação função corrente-velocidade. Implementação dos algoritmos SG/MG-FAS para a formulação função corrente-velocidade.

18 Próximas etapas Resultados esperados: Otimizar o método multigrid geométrico ciclo V para problemas com duas equações; Otimizar o método multigrid geométrico ciclo V para problemas com duas equações; Mostrar que o acoplamento das equações não degenera a performance do método multigrid. Mostrar que o acoplamento das equações não degenera a performance do método multigrid. Otimizar o método multigrid para as equações de Navier-Stokes em formulações alternativas. Otimizar o método multigrid para as equações de Navier-Stokes em formulações alternativas.

19 Agradecimentos -Laboratório de Experimentação Numérica (LENA) do Demec/UFPR; -Prof. Marchi -Meus amigos do LENA.