Isomorfismo Definição: Dados dois espaços vetoriais reais e uma transformação linear de entre eles. Dizemos que a transformação linear é um isomorfismo.

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1 Isomorfismo Definição: Dados dois espaços vetoriais reais e uma transformação linear de entre eles. Dizemos que a transformação linear é um isomorfismo entre eles se é uma transformação bijetora (isto é, injetora e sobrejetora). Notação:

2 Automorfismo Definição: Dizemos que um isomorfismo entre espaços vetoriais reais é um automorfismo se os espaços são iguais, ou seja, T é um isomorfismo de um espaço nele mesmo. Proposição: Dado um isomorfismo sua transformação inversa é também um isomorfismo.

3 Resultados Importantes
Proposição: Dados dois espaços vetoriais reais de mesma dimensão, então a transformação linear dada a seguir é um isomorfismo entre eles.

4 Resultados Importantes
Teorema: Dois espaços vetoriais de dimensão finita são isomorfos se e somente se Exercícios: Transformações Lineares II

5 Operações com Transformações Lineares
Definição: Dados dois espaços vetoriais reais, definimos o conjunto das trans-formações lineares entre eles por: Observação: Se os espaços vetoriais reais são iguais então

6 Operações com Transformações Lineares
Adição: Dados dois elementos do conjunto das transformações lineares entre espaços vetoriais reais, definimos:

7 Propriedades da Adição
P1) Associativa P2) Comutativa

8 Propriedades da Adição
P3) Elemento Neutro P4) Elemento Oposto

9 Operações com Transformações Lineares
Multiplicação por escalar: Denominamos de produto escalar de uma transformação linear à seguinte função:

10 Propriedades da Multiplicação por escalar

11 Novo Espaço Vetorial Das considerações anteriores temos um novo espaço vetorial real, com as operações de adição e multiplicação por escalar como definidas:

12 Operações com Transformações Lineares
Composição: Dados dois elementos do conjunto dos operadores lineares, definimos a composição como sendo:

13 Propriedades da Composição
P1) Associativa P2) Distributiva

14 Propriedades da Composição
P3) Elemento Neutro Obs: Em geral, a composição não é comutativa.

15 Operações com Transformações Lineares
Potenciação: definimos a Potenciação por recorrência do seguinte modo:

16 Operadores Especiais Operador Idempotente: Operador Nilpotente:

17 Matriz de uma Transformação Linear
Dados dois espaços vetoriais reais e uma transformação linear entre eles temos: Bases

18 Assim É dita Matriz da Transformação Linear T em relação às bases B e G

19 Isomorfismo Especial Definição: Dados dois espaços vetoriais reais, com dimensões n e m. Existe um isomorfismo tal que: Bases