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JÁ SABEMOS ESCREVER OS TERMOS ACIMA!!
3.9.8: A Pressão Total no Interior de uma : Ela será a resultante das contribuições de todos as componentes: (3.72) elétrons núcleos JÁ SABEMOS ESCREVER OS TERMOS ACIMA!! »» Balanço entre Pr e Pgás: e ; Igualando as duas expressões, obtém-se a região limite para P: fótons
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Limite entre predominâncias de Pr e Pgás : ( em g/cm3 e T em K).
Isso pode ser visto na Fig. 3.6 (Maciel’s): Pr domina Pgás domina não DG DG não-relativístico relativístico cristalização
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IV: TERMODINÂMICA DO INTERIOR ESTELAR
(cf. R. REIF, “Fundamental of Statistical & Thermal Physic”, McGraw-Hill) Introdução: ▲ Em geral, está em Equilíbrio Hidrostático, mas, nem sempre tem configuração estática. »» Durante sua evolução, sofre contrações e expansões, em pelo menos parte de suas camadas internas. Se forem suficientemente lentas, ≡ ≡ ≡ ≡ sistema em equilíbrio a qualquer momento ► ► processo quase-estático, ou reversível (i.é, pode ocorrer no sentido inverso) Processos ocorrendo corriqueiramente no interior estelar podem , assim, ser tratados como adiabáticos
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»» Uma como um todo, deve obedecer às leis da
termodinâmica dos processos irreversíveis ≡ ≡ ≡ ≡ de não-equilíbrio. ► Aproximação geralmente feita: dividir a em camadas, cada uma delas em equilíbrio. 4.1: A Lei de Stefan-Boltzmann »» De antes: ≡≡ lei de Stefan-Boltzmann, deduzida leis da Termodinâmica + processos quasi-estáticos: 1ª lei da termodinâmica (1LT), (4.1)
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sendo a variação de entropia do sistema, ► ► ;
, sendo o calor absorvido pelo sistema, a variação da energia interna e o trabalho realizado pelo 2ª lei da termodinâmica (2LT), (4.2) , sendo a variação de entropia do sistema, ► ► ; » Em geral, E = E(V,T) e deve-se escrever: (4.3) ; Como em geral, também S = S(V,T), ► (4.4) ; sendo
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» Relembrando que é a densidade de energia por V,
E conclui-se: (4.5) . » Relembrando que é a densidade de energia por V, vem que E = U(T) V. Daí, (4.6) e (4.7) . ▲ Para um gás de fótons, e de (4.5) – (4-7), , cuja integral ► U = const. X T4 lei de Stefan-Boltzmann
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4.2: Calores Específicos (gases perfeitos):
▲ Algumas relações termodinâmicas p/ os gases perfeitos: »» de , com E = E(T) ► (4.8) onde agora ≡ o volume específico. »» Introduzamos os calores específicos a volume constante e a pressão constante: (4.9) e (4.10) . (cf. Reif, cap. 3)
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» E a razão dos calores específicos, (4.14) .
Utilizando agora a eq. de estado dos Gases Perfeitos, considerando constante (razoável!) e R ⁄ = constante dos gases ⁄ grama de matéria ► (4.11) . »» Para dQ, de (4.8) e (4.11) , (4.12) » O cP fica: (4.13) . » E a razão dos calores específicos, (4.14) .
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»» Para gás perfeito monoatômico (cf. Reif), E = 3/2 NkT , donde
e como , segue que: (4.15) , o que nos fornece o resultado clássico = 5/3 que vale para um gás ideal monoatômico . ► É possível mostrar que depende de f ≡ , f ≡ número de graus de liberdade da partícula, sendo = ⁄ f , e para f = 3, = 5 ⁄ 3
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►► outras formas dessa equação:
4.2: Expansão Adiabática de um Gás: »» Da 1LT (p/ unidade de massa) ► e como com se obtém Como, para um gás ideal cP e cV são ctes., Integrando T V -1 = constante (4.16) ►► outras formas dessa equação: PV = cte. , P 1- T = cte. , T = cte. -1 (4.17) Reif
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variações adiabáticas num gás perfeito não degenerado.
»» em termos das variações adiabáticas dos parâmetros, podemos escrever: (4.18) e (4.19) variações adiabáticas num gás perfeito não degenerado. »» O Gradiente Adiabático é uma grandeza que aparece amiúde no interior das s : (4.20) . Para um gás perfeito (eq. 4.18), (4.21) . »» Ex.: gás perfeito monotômico ► ► = 5/3 e = 2/5 Entropia constante
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4.4: Efeito da Pressão de Radiação
»» s + massivas : Pr pode ser importante → Pg . Examinemos a expansão adiabática de um gás ideal, não DG e monoatômico, levando em conta Pr : (4.21) A energia interna ≡ energia cinética do gás: e, Ptotal
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» Por outro lado, da 1ªLT, e das eqs. anteriores, Analogamente,
Como a expansão é adiabática, (4.22) , onde , e Analogamente, (4.23) .
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»» Por analogia com o gás de partículas,
► define-se os Expoentes Adiabáticos de Chandrasekhar, de modo a conservar a forma das eqs.: (4.24) , (4.25) e (4.25) ; das relações acima obtém-se: (4.26) . »» E quanto vale para um gás com patclas. + radiação?
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da definição do gradiente, e de
(4.27) »» Outras relações que podem ser obtidas para os :
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»» Exs. Práticos de valores dos e : ( )
≡ ≡ gás de partículas, sem radiação; ≡ ≡ gás só de fótons = 5/3 »» Finalmente, Gradientes de T, P e podem ser deduzidos das eqs. dT/T... e dP/P...: exs., Euler Lagr.
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4.5: Gás Parcialmente Ionizado (caso + real!)
»» Se nesse gás ocorre p.ex. que T , Grau de ionização , ≡ ≡ Grande Gasto de Energia e Termodinâmica ≠ da de um gás neutro ou ionizado ne ≠ constante {gás com calor específico grande} »» Em ET, as populações relativas de dois níveis de energia j e k de um elemento X no estágio de ionização r são dadas pela equação de Boltzmann, (4.28) , sendo
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≡ pesos estatísticos dos níveis e ≡ as energias desses níveis.
onde ≡ pesos estatísticos dos níveis e ≡ as energias desses níveis. » Generalizando essa equação, obtém-se, a distribuição dos átomos do elemento X nos diversos estágios de ionização (4.29), onde = densidade de elétrons e equação de ionização de Saha: ≡ função de partição:
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a função de partição do átomo X no estágio de
ionização r é: NOTA: j e k ≡ Estados de Excitação; r ≡ Estágio de ionização »» Em ET, equações de Boltzmann e Saha populações de cada nível e cada estágio de ionização dos átomos do gás, conhecidos os gs , fr , H , etc... »» P.ex., seja um gás de H puro em ET; nele ocorrem H+ + e- H0 + H ,
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potencial de ionização do nível fundamental do H
H+ + e- H0 + H , onde H = 13,6 eV é o potencial de ionização do nível fundamental do H NOTA: SUPONDO UM ÚNICO NÍVEL PARA O H » Nesse caso, a eq. de Saha será , n+ = np, n0 = n de H neutro (4.30) Relações úteis: 13,6 eV
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»» Podemos então, determinar as populações relativas
e o grau de ionização x do gás, ou seja, a fração do gás de H puro que se encontra ionizada: = (n+ ⁄ n) = ne ⁄ n ≡ y , ou seja, p/ H neutro e para H totalmente ionizado. » A eq. de SAHA pode então ser escrita: (4.31)
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aplica-se a equação de Saha sucessivamente a
»» NA VIDA REAL: aplica-se a equação de Saha sucessivamente a todas as espécies de partículas existentes no gás grau de ionização de todos os componentes. »» Ex. com o Sol: (H puro) interior, >P, >T regiões superficiais fig. 5.1
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»» AINDA NA VIDA REAL: (Natureza camarada...)
a) geralmente, DOIS estágios de ionização bastam e as zonas de ionização respectivas são separadas; b) geralmente, apenas ALGUNS níveis atômicos precisam ser considerados. {cf. referências s/ o assunto em Maciel, pg. 110} »» ALGUNS RESULTADOS (Gás de H puro, parcialmente ionizado) :
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1) Calores Específicos:
da definição dos mesmos (4.32) (4.33) , sendo , n = H + H+ + ne = H + 2H+ e V ≡ volume específico = Vol./massa (cm3g-1) , e ne , H+ + H = Na ⁄ V , Na ≡ nº de Avogadro
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ci = 2 c0, pois o número de ptclas. livres = 2x >
» Variação de cP e cV com xH : p/ H neutro, =1 e ordenada=cP/c0 p/ H ionizado, =1/2 e ord.= 2cP/c0 xH = fração do gás ionizada ≡ ≡ grau de ionização do gás c0 ci fig. 5.2 nas regiões intermediárias, os c , pois precisa-se de > E para a ionização. cP ⁄ cV não varia com xH ci = 2 c0, pois o número de ptclas. livres = 2x >
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2) s : »» Em geral, Mas, s ~1 A partir das definições dos
(4.35) ... e suas variações, para T≃104 K (≡ interior de uma estrela)
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3) Gradiente adiabático:
(só H...; porém, como ele é o + abundante, a figura abaixo é bastante representativa) 3) Gradiente adiabático: como e , também muda. fig. 5.3 variações rápidas nas regiões 0 – 1% e 99 – 100%; < 4/3 (~1,33) ≡ instabilidades ISTO É, Na > parte do tempo, a ionização age como fator desestabilizante 5 – 95%
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E é gasta com ionização »» Num gás de H puro parcialmente ionizado,
(4.36) Ei-lo, nas camadas externas do Sol: ou seja, se xH , ad , pois E é gasta com ionização
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Havera DG se: Trans. Relat-nao rel.
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