Variáveis Aleatórias Contínuas

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1 Variáveis Aleatórias Contínuas
F(x) = -x f(t) dt f  0 é a densidade de X P(a < X < b) = ab f(t) dt -+ f(t) dt = 1 f(x) = F’ (x) P(x–/2 < X < x+/2 )   f(x)  x

2 Exemplo Seja X a abscissa de um ponto escolhido ao acaso no triângulo da figura. Qual é a densidade de X? 1 1

3 Solução 1 x 1

4 Outra solução 1 x 1

5 Esperança discreta: contínua: mista:

6 Exemplo Qual é o valor esperado da variável aleatória do exemplo anterior?

7 Principais Distribuições Contínuas
Uniforme Exponencial Gama Normal (e associadas: c2, t, F)

8 Distribuição Uniforme
fX 1/(b-a) a b 1 FX a b

9 Distribuição Exponencial
De volta ao exemplo do site na Internet. Qual é a distribuição do tempo de espera X até a ocorrência do primeiro acesso? X > t se e só se o número de acessos em [0, t] é igual a 0 Logo, P(X>t) = P(N = 0), onde N~Poisson(lt) Portanto, P(X>t) = e-lt

10 Distribuição Exponencial
X tem distribuição exponencial com parâmetro l quando FX (x) = 1–e – lx, para x >0 Ou seja, fX(x) = le – lx , para x > 0

11 Exemplo O tempo de vida, em meses, de um componente tem distribuição exponencial de parâmetro l = 0,5. Qual é a probabilidade de que um componente novo dure pelo menos 2 meses? Dado que um componente usado já tem 1 mês de vida, qual é a probabilidade de que ele dure pelo menos mais dois meses?

12 Processo de Poisson Tempo entre chegadas consecutivas independentes, com distribuição exponencial (l) Número de chegadas em intervalos disjuntos independentes e com distribuição Poisson (lt), onde t é o comprimento do intervalo

13 Exemplo Os acidentes em uma rodovia ocorrem de acordo com um Processo de Poisson de taxa 2 acidentes por dia Número médio de acidentes por semana? Número médio de dias sem acidentes por semana? Intervalo médio entre acidentes? Probabilidade de que haja 2 acidentes na 2a e 1 na 3a? Probabilidade de que o primeiro acidente em um certo dia só ocorra depois das 12 horas?