Ensino Médio Disciplina: Matemática Tema: Trigonometria.

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1 Ensino Médio Disciplina: Matemática Tema: Trigonometria

2 ARCOS e ÂNGULOS Equivalência:  rd = 180o Introdução Arco AB
Ângulo central Equivalência:  rd = 180o

3 2. Arcos côngruos São arcos que têm mesma origem e mesma extremidade.
A diferença entre dois arcos côngruos é sempre um múltiplo de 2. Forma geral: B A x =  + 2k

4 3. Circunferência trigonométrica
y B P + 1 A’ A O x 1 - B’

5 4. Seno e Cosseno y B sen  P N A’ A  O x M cos  B’

6 4. Seno e Cosseno Seno: marcado no eixo Y
1 B Seno: marcado no eixo Y varia de –1 até 1  -1  sen  1 sinal do seno: A’ A O x -1 B’

7 4. Seno e Cosseno Cosseno: marcado no eixo X
y Cosseno: marcado no eixo X varia de –1 até 1  -1  cos  1 sinal do cosseno: B A’ A O x B’

8 5. Tangente y t B t // y M P tg  A’ A  O x B’

9 5. Tangente Sinal y B A’ A O x B’

10 6. Redução ao 1º quadrante /2 a) 2o quadrante a = ( - x)  0
O x y /2  x a 3/2 2 a) 2o quadrante a = ( - x) sen ( - x) = sen x cos ( - x) = - cos x tg ( - x) = - tg x

11 6. Redução ao 1º quadrante /2 b) 3o quadrante a = ( + x)  0
O x y /2  x a 3/2 2 b) 3o quadrante a = ( + x) sen ( + x) = - sen x cos ( + x) = - cos x tg ( + x) = tg x

12 6. Redução ao 1º quadrante /2 c) 4o quadrante a = (2 - x)  0
O x y /2  x a 3/2 2 c) 4o quadrante a = (2 - x) sen (2 - x) = - sen x cos (2 - x) = cos x tg (2 - x) = - tg x

13 7. Relações entre arcos complementares
O x y /2  x 3/2 2 y = /2 - x sen x = cos y sen y = cos x

14 8. Relações fundamentais
I. sen2 x + cos2x = 1 II. tg x = x cos sen III. cotg x = x sen cos tg 1 =

15 8. Relações fundamentais
continuação... IV. sec x = x cos 1 V. csc x = x sen 1 VI. sec2x = 1 + tg2x VII. csc2x = 1 + cotg2x

16 9. Aplicações práticas 1. Sabendo-se que cos x = ½ , determine o valor de x g cot 1 csc sec y - = 2. Se x é um arco do 1º quadrante e tg x = 2, calcule o valor de A = sen x + cos x . 3. Demonstrar a identidade tg x + cotg x = tg x . csc2x

17 10. Soma e diferença de arcos
a) cos (a + b) = cos a.cos b – sen a.sen b b) cos (a - b) = cos a.cos b + sen a.sen b c) sen (a + b) = sen a.cos b + sen b.cos a d) sen (a - b) = sen a.cos b - sen b.cos a

18 10. Soma e diferença de arcos
b a.tg tg 1 a - + b) tg(a = f) b) - tg(a b a.tg tg 1 a + =

19 11. Arcos duplos a) cos(2a) = cos2a – sen2a b) sen(2a) = 2.sen a.cos a
c) tg(2a) = x tg2 1 2.tg 2 -

20 12. Arcos metade 2 cosx 1 x cos a) + ± = 2 cosx - 1 x sen b) ± = cosx
tg c) + =

21 13. Transformação de soma em produto
2 q p .cos 2sen senq senp a) - + = 2 q p .cos - 2sen senq senp b) + = 2 q p .cos 2cos cosq cosp c) - + = 2 q p .sen 2sen cosq cosp d) - + =

22 14. Equações trigonométricas
y /2 a) sen x = a ; sen x = sen y x = y + 2k sen x = sen ( - y) x = ( - y) + 2k a  y O x 2 3/2

23 14. Equações trigonométricas
ex. Resolva as equações: a) sen x = 2 1 b) sen (2x - ) = 2 3 -

24 14. Equações trigonométricas
y /2 b) cos x = a ; 1 a - cos x = cos y x = y + 2k cos x = cos (2 - y) x = - y + 2k  y O x a 2 3/2

25 14. Equações trigonométricas
ex. Resolva as equações: a) cos x = 2 b) cos 2x = 0

26 14. Equações trigonométricas
y /2 c) tg x = b ; b  IR b tg x = tg y x = y + k  y O x 2 3/2

27 14. Equações trigonométricas
ex. Resolva as equações: a) tg 3x = b) tg (2x - ) = 1

28 14. Equações trigonométricas
d) Outras equações: 1) sen2x + 4cos x = - 4 2) cos (2x) + cos x = 0 3) 2sec x = cotg x + tg x ; x [ 0 , 2] 4) tg2x - 3tg x + 2 = 0 ; x [ 0 , /4 ] 5) cos x + cos(2x) = 0 ; x [- , ]

29 15. Funções trigonométricas
a) Função seno : f : IR  IR f(x) = sen x A função associa cada arco x da circunferência trigonométrica a um número real y = sen x.  x  IR  -1  sen x  1 ; logo: Im(f) = [ -1 , 1 ]

30 15. Funções trigonométricas
a) gráfico : y - - -  2 -  2  3 2 x 2 -

31 15. Funções trigonométricas
a) Função seno : Periodicidade : sen x = sen ( x + 2) A função y = sen x é periódica e tem período igual a 2 radianos. Se f(x) = a + b.sen(cx + d)  período de f = c 2 p Paridade : sen x = - sen (- x) A função y = sen x é ímpar.

32 15. Funções trigonométricas
b) Função cosseno : f : IR  IR f(x) = cos x A função associa cada arco x da circunferência trigonométrica a um número real y = cos x.  x  IR  -1  cos x  1 ; logo: Im(f) = [ -1 , 1 ]

33 15. Funções trigonométricas
b) gráfico : y - - -  2 -  2  3 2 x 2 -

34 15. Funções trigonométricas
b) Função cosseno : Periodicidade : cos x = cos ( x + 2) A função y = cos x é periódica e tem período igual a 2 radianos. Se f(x) = a + b. cos(cx + d)  período de f = c 2 p Paridade : cos x = cos (- x) A função y = cos x é par.

35 15. Funções trigonométricas
ex. Seja f(x) = a + b.sen(cx), com a, b e c números reais positivos, uma função periódica de período 3/ 2. Determine c. b) Sabendo-se que a imagem de f é o intervalo [ 3 , 5 ], determine a e b. c) Determine os valores de x onde f assume o seu valor máximo.

36 15. Funções trigonométricas
c) Função tangente : f : D  IR f(x) = tg x D = { x  IR / x   / 2 + k  } A função associa cada arco x, x   / 2 + k , da circunferência trigonométrica a um número real y = tg x. Im(f) = IR

37 15. Funções trigonométricas
c) gráfico : y - -  2 -  2  x 3 2 2

38 15. Funções trigonométricas
c) Função tangente : Periodicidade : tg x = tg ( x + ) A função y = tg x é periódica e tem período igual a  radianos. Se f(x) = a + b. tg(cx + d)  período de f = c p Paridade : tg x = - tg (- x) A função y = tg x é ímpar.

39 15. Funções trigonométricas
ex. Determine o domínio e o período da função f(x) = tg (4x).