Metodologia de Dijkstra para desenvolvimento de ciclos

Metodologia de Dijkstra para desenvolvimento de ciclos
Aula 8 Metodologia de Dijkstra para desenvolvimento de ciclos

Introdução à Programação
Ciclos Parte importante da escrita de algoritmos Impossível demonstrar correcção com testes Condições invariantes importantes para demonstrar correcção Verdadeiras do início ao fim dos ciclos Fortes! Referem todas instâncias envolvidas Introdução à Programação 2003/2004

potênciaDe() /** Devolve a potência n de x. @pre 0 ≤ n. @post potênciaDe = xn. */ double potênciaDe(double const x, int const n) { assert(0 <= n); int i = 0; double potência = 1.0; while(i != n) { potência *= x; ++i; } return potência; Inicialização Acção potência *= x; Passo ++i; Progresso Introdução à Programação 2003/2004

Diagrama de actividade
inic {PC: 0 ≤ n} int i = 0; double potência = 1.0; {0 ≤ n  i = 0  potência = 1} passo [i = n] {0 ≤ n  0 ≤ i < n  potência = xi} [i ≠ n] potência *= x; {0 ≤ n  i = n  potência = xn} acção ++i; {0 ≤ n  0 < i ≤ n  potência = xi} prog Introdução à Programação 2003/2004

Condição invariante CI: 0 ≤ i ≤ n  potência = xi. Condição invariante explica funcionamento do ciclo Durante todo o ciclo potência contém xi, estando sempre i entre 0 e n Como i varia entre 0 e n, e termina com n, o objectivo é atingido Introdução à Programação 2003/2004

Metodologia de Dijkstra
Edsger Dijkstra Fundador da programação disciplinada Programação é uma ciência Metodologia Baseia-se na condição objectivo Programação é actividade orientada pelos objectivos Condição invariante retirada da condição objectivo Introdução à Programação 2003/2004

Soma dos primeiros n ímpares inteiros
int somaDosPrimeirosÍmpares(int const n) { int r = ?; ... return r; } Introdução à Programação 2003/2004

Raiz inteira int raizInteiraDe(int const x) { int r = ?; ... return r; } Introdução à Programação 2003/2004

Especificar o problema
Escrever Pré-condição Condição objectivo

somaDosPrimeirosÍmpares()
/** Devolve a soma dos primeiros n naturais ímpares. @pre 0 ≤ n. @post somaDosPrimeirosÍmpares = (S j : 0 ≤ j < n : 2j + 1). */ int somaDosPrimeirosÍmpares(int const n) { assert(0 <= n); // 0 ≤ n. int r = ?; ... // CO: r = (S j : 0 ≤ j < n : 2j + 1). return r; } Introdução à Programação 2003/2004

raizInteiraDe() /** Devolve a melhor aproximação por defeito de x1/2. @pre 0 ≤ x. @post 0 ≤ raizInteiraDe ≤ x1/2 < raizInteiraDe + 1. */ int raizInteiraDe(int const x) { assert(0 <= x); // 0 ≤ x. int r = ?; ... // CO: 0 ≤ r ≤ x1/2 < r + 1. assert(0 <= r and r * r <= x and x < (r + 1) * (r + 1)); return r; } Introdução à Programação 2003/2004

Será necessário um ciclo?
Verificar se ciclo é melhor abordagem Análise do problema Intuição! Experiência…

/** Devolve a soma dos primeiros n naturais ímpares. @pre 0 ≤ n. @post somaDosPrimeirosÍmpares = (S j : 0 ≤ j < n : 2j + 1). */ int somaDosPrimeirosÍmpares(int const n) { assert(0 <= n); // 0 ≤ n. int r = ?; while(...) { ... } // CO: r = (S j : 0 ≤ j < n : 2j + 1). return r; Introdução à Programação 2003/2004

raizInteiraDe() /** Devolve a melhor aproximação por defeito de x1/2. @pre 0 ≤ x. @post 0 ≤ raizInteiraDe ≤ x1/2 < raizInteiraDe + 1. */ int raizInteiraDe(int const x) { assert(0 <= x); // 0 ≤ x. int r = ?; while(...) { ... } // CO: 0 ≤ r ≤ x1/2 < r + 1. assert(0 <= r and r * r <= x and x < (r + 1) * (r + 1)); return r; Introdução à Programação 2003/2004

Obtenção da condição invariante
Programar é actividade orientada pelos objectivos Enfraquecer a CO para obter a CI

Substituição de constante na CO por variável inic int i = ?; int r = ?; CO: r = (S j : 0 ≤ j < n : 2j + 1). r = (S j : 0 ≤ j < i : 2j + 1). CO’: r = (S j : 0 ≤ j < i : 2j + 1)  i = n. Não é equivalente a CO. Introdução à Programação 2003/2004

/** Devolve a soma dos primeiros n naturais ímpares. @pre 0 ≤ n. @post somaDosPrimeirosÍmpares = (S j : 0 ≤ j < n : 2j + 1). */ int somaDosPrimeirosÍmpares(int const n) { assert(0 <= n); // 0 ≤ n. int i = ?; int r = ?; while(...) { ... } // CO’: r = (S j : 0 ≤ j < i : 2j + 1)  i = n. // que implica CO: r = (S j : 0 ≤ j < n : 2j + 1). return r; Introdução à Programação 2003/2004

CO’: r = (S j : 0 ≤ j < i : 2j + 1)  i = n. Enfraquecendo as restrições relativas a i CI: r = (S j : 0 ≤ j < i : 2j + 1)  ? ≤ i ≤ ?. CI: r = (S j : 0 ≤ j < i : 2j + 1)  0 ≤ i ≤ n. Introdução à Programação 2003/2004

/** Devolve a soma dos primeiros n naturais ímpares. @pre 0 ≤ n. @post somaDosPrimeirosÍmpares = (S j : 0 ≤ j < n : 2j + 1). */ int somaDosPrimeirosÍmpares(int const n) { assert(0 <= n); // 0 ≤ n. int i = ?; int r = ?; // CI: r = (S j : 0 ≤ j < i : 2j + 1)  0 ≤ i ≤ n. while(...) { ... } // CO’: r = (S j : 0 ≤ j < i : 2j + 1)  i = n. // que implica CO: r = (S j : 0 ≤ j < n : 2j + 1). return r; Introdução à Programação 2003/2004

raizInteiraDe() A  B  C  D Factorização da condição objectivo Parte é negação da guarda Parte restante é condição invariante CO: A  B  C  D CI: A  C Sabendo que no final do ciclo se quer CI  ¬G  CO ¬G: B  D Logo, CI  ¬G = CO B A D A  C C Introdução à Programação 2003/2004

raizInteiraDe() CO: 0 ≤ r ≤ x1/2 < r + 1, ou seja 0 ≤ r  r2 ≤ x  x < (r + 1)2 . Começando a procurar em 0 (zero) e terminando quando se sabe que o valor seguinte já não serve… CI: 0 ≤ r  r2 ≤ x. ¬G: x < (r + 1)2. Introdução à Programação 2003/2004

raizInteiraDe() /** Devolve a melhor aproximação por defeito de x1/2. @pre 0 ≤ x. @post 0 ≤ raizInteiraDe ≤ x1/2 < raizInteiraDe + 1. */ int raizInteiraDe(int const x) { assert(0 <= x); // 0 ≤ x. int r = ?; // CI: 0 ≤ r  r2 ≤ x. while(...) { ... } // CO: 0 ≤ r ≤ x1/2 < r + 1. assert(0 <= r and r * r <= x and x < (r + 1) * (r + 1)); return r; Introdução à Programação 2003/2004

Determinação da guarda
Procurar guarda que leve ao resultado CI  ¬G  CO

CI  ¬G: r = (S j : 0 ≤ j < i : 2j + 1)  0 ≤ i ≤ n  ¬G. CO’: r = (S j : 0 ≤ j < i : 2j + 1)  i = n. Qual a guarda mais simples que garante a verificação da CO? ¬G: i = n. ou seja, G: i ≠ n. CI  ¬G: r = (S j : 0 ≤ j < i : 2j + 1)  0 ≤ i ≤ n  i = n. CI  ¬G: r = (S j : 0 ≤ j < i : 2j + 1)  0 ≤ n  i = n. que implica CO. Introdução à Programação 2003/2004

/** Devolve a soma dos primeiros n naturais ímpares. @pre 0 ≤ n. @post somaDosPrimeirosÍmpares = (S j : 0 ≤ j < n : 2j + 1). */ int somaDosPrimeirosÍmpares(int const n) { assert(0 <= n); // 0 ≤ n. int i = ?; int r = ?; // CI: r = (S j : 0 ≤ j < i : 2j + 1)  0 ≤ i ≤ n. while(i != n) { ... } // CO’: r = (S j : 0 ≤ j < i : 2j + 1)  i = n. // que implica CO: r = (S j : 0 ≤ j < n : 2j + 1). return r; Introdução à Programação 2003/2004

raizInteiraDe() CO: 0 ≤ r  r2 ≤ x  x < (r + 1)2 . CI: 0 ≤ r  r2 ≤ x. Logo, sabendo que CI  ¬G = CO ¬G: x < (r + 1)2 ou seja, G: (r + 1)2 ≤ x. Introdução à Programação 2003/2004

raizInteiraDe() /** Devolve a melhor aproximação por defeito de x1/2. @pre 0 ≤ x. @post 0 ≤ raizInteiraDe ≤ x1/2 < raizInteiraDe + 1. */ int raizInteiraDe(int const x) { assert(0 <= x); // 0 ≤ x. int r = ?; // CI: 0 ≤ r  r2 ≤ x. while((r + 1) * (r + 1) <= x) { ... } // CO: 0 ≤ r ≤ x1/2 < r + 1. assert(0 <= r and r * r <= x and x < (r + 1) * (r + 1)); return r; Introdução à Programação 2003/2004

Determinação da inicialização
Escolher inicialização tão simples quanto possível: Sabendo que PC é verdadeira Garantir verificação da CI

/** Devolve a soma dos primeiros n naturais ímpares. @pre 0 ≤ n. @post somaDosPrimeirosÍmpares = (S j : 0 ≤ j < n : 2j + 1). */ int somaDosPrimeirosÍmpares(int const n) { assert(0 <= n); // 0 ≤ n. int i = ?; int r = ?; // CI: r = (S j : 0 ≤ j < i : 2j + 1)  0 ≤ i ≤ n. while(i != n) { ... } // CO’: r = (S j : 0 ≤ j < i : 2j + 1)  i = n. // que implica CO: r = (S j : 0 ≤ j < n : 2j + 1). return r; Introdução à Programação 2003/2004

/** Devolve a soma dos primeiros n naturais ímpares. @pre 0 ≤ n. @post somaDosPrimeirosÍmpares = (S j : 0 ≤ j < n : 2j + 1). */ int somaDosPrimeirosÍmpares(int const n) { assert(0 <= n); // 0 ≤ n. int i = 0; int r = 0; // CI: r = (S j : 0 ≤ j < i : 2j + 1)  0 ≤ i ≤ n. while(i != n) { ... } // CO’: r = (S j : 0 ≤ j < i : 2j + 1)  i = n. // que implica CO: r = (S j : 0 ≤ j < n : 2j + 1). return r; Introdução à Programação 2003/2004

raizInteiraDe() /** Devolve a melhor aproximação por defeito de x1/2. @pre 0 ≤ x. @post 0 ≤ raizInteiraDe ≤ x1/2 < raizInteiraDe + 1. */ int raizInteiraDe(int const x) { assert(0 <= x); // 0 ≤ x. int r = ?; // CI: 0 ≤ r  r2 ≤ x. while((r + 1)*(r + 1) <= x) { ... } // CO: 0 ≤ r ≤ x1/2 < r + 1. assert(0 <= r and r * r <= x and x < (r + 1) * (r + 1)); return r; Introdução à Programação 2003/2004

raizInteiraDe() /** Devolve a melhor aproximação por defeito de x1/2. @pre 0 ≤ x. @post 0 ≤ raizInteiraDe ≤ x1/2 < raizInteiraDe + 1. */ int raizInteiraDe(int const x) { assert(0 <= x); // 0 ≤ x. int r = 0; // CI: 0 ≤ r  r2 ≤ x. while((r + 1)*(r + 1) <= x) { ... } // CO: 0 ≤ r ≤ x1/2 < r + 1. assert(0 <= r and r * r <= x and x < (r + 1) * (r + 1)); return r; Introdução à Programação 2003/2004

Escolha de um progresso
Um ciclo tem de terminar Num número finito de passos Rapidamente? Pode valer a pena investigar progressos complexos

/** ... */ int somaDosPrimeirosÍmpares(int const n) { assert(0 <= n); // 0 ≤ n. int i = 0; int r = 0; // CI: r = (S j : 0 ≤ j < i : 2j + 1)  0 ≤ i ≤ n. while(i != n) { acção ++i; } // CO’: r = (S j : 0 ≤ j < i : 2j + 1)  i = n. // que implica CO: r = (S j : 0 ≤ j < n : 2j + 1). return r; Introdução à Programação 2003/2004

raizInteiraDe() /** ... */ int raizInteiraDe(int const x) { assert(0 <= x); // 0 ≤ x. int r = 0; // CI: 0 ≤ r  r2 ≤ x. while((r + 1)*(r + 1) <= x) { acção ++r; } // CO: 0 ≤ r ≤ x1/2 < r + 1. assert(0 <= r and r * r <= x and x < (r + 1) * (r + 1)); return r; Introdução à Programação 2003/2004

Escolher acção tal que // CI e G. acção prog // CI.
Determinação da acção Escolher acção tal que // CI e G. acção prog // CI. Garante veracidade de CI apesar do progresso

// CI: r = (S j : 0 ≤ j < i : 2j + 1)  0 ≤ i ≤ n. while(i != n) { // CI  G: r = (S j : 0 ≤ j < i : 2j + 1)  0 ≤ i ≤ n  i ≠ n. // CI  G: r = (S j : 0 ≤ j < i : 2j + 1)  0 ≤ i < n. acção // r = (S j : 0 ≤ j < i + 1 : 2j + 1)  0 ≤ i + 1 ≤ n. // r = (S j : 0 ≤ j < i + 1 : 2j + 1)  -1 ≤ i < n. ++i; } Falta um termo ao somatório. Introdução à Programação 2003/2004

/** ... */ int somaDosPrimeirosÍmpares(int const n) { assert(0 <= n); // 0 ≤ n. int i = 0; int r = 0; // CI: r = (S j : 0 ≤ j < i : 2j + 1)  0 ≤ i ≤ n. while(i != n) { r += 2 * i + 1; ++i; } // CO’: r = (S j : 0 ≤ j < i : 2j + 1)  i = n. // que implica CO: r = (S j : 0 ≤ j < n : 2j + 1). return r; Introdução à Programação 2003/2004

raizInteiraDe() // CI: 0 ≤ r  r2 ≤ x. while((r + 1)*(r + 1) <= x) { // CI  G: 0 ≤ r  r2 ≤ x  (r + 1) 2 ≤ x. // CI  G: 0 ≤ r  (r + 1) 2 ≤ x. acção // 0 ≤ r + 1  (r + 1) 2 ≤ x. // -1 ≤ r  (r + 1) 2 ≤ x. ++r; } Não é necessária acção! Introdução à Programação 2003/2004

raizInteiraDe() /** ... */ int raizInteiraDe(int const x) { assert(0 <= x); // 0 ≤ x. int r = 0; // CI: 0 ≤ r  r2 ≤ x. while((r + 1)*(r + 1) <= x) ++r; // CO: 0 ≤ r ≤ x1/2 < r + 1. assert(0 <= r and r * r <= x and x < (r + 1) * (r + 1)); return r; } Introdução à Programação 2003/2004

E se alguma coisa falhar?
Voltar atrás acção ou inic demasiado complexas CI menos boa ...

Será que na soma dos ímpares o ciclo é necessário?
Inteiros na base 1 1: * 2: ** 3: *** 4: **** 5: ***** ... Impares 1: * 3: ** 5: *** 7: **** Soma dos primeiros 4 ímpares = * Introdução à Programação 2003/2004

Inteiros na base 1 1: * 2: ** 3: *** 4: **** 5: ***** ... Impares 1: * 3: ** 5: *** 7: **** Soma dos primeiros 4 ímpares = ** Introdução à Programação 2003/2004

Inteiros na base 1 1: * 2: ** 3: *** 4: **** 5: ***** ... Impares 1: * 3: ** 5: *** 7: **** Soma dos primeiros 4 ímpares = *** Introdução à Programação 2003/2004

Inteiros na base 1 1: * 2: ** 3: *** 4: **** 5: ***** ... Impares 1: * 3: ** 5: *** 7: **** Soma dos primeiros 4 ímpares = **** Introdução à Programação 2003/2004

/** Devolve a soma dos primeiros n naturais ímpares. @pre 0 ≤ n. @post somaDosPrimeirosÍmpares = (S j : 0 ≤ j < n : 2j + 1). */ int somaDosPrimeirosÍmpares(int const n) { assert(0 <= n); return n * n; } Introdução à Programação 2003/2004

Aula 8: Sumário Importância da especificação do problema Noção de invariante de um ciclo Condição invariante, inicialização e guarda de um ciclo Metodologia de Dijkstra para desenvolvimento de ciclos: Obtenção da condição invariante Obtenção da guarda Inicialização Progresso Acção Importância da metodologia: Base formal para desenvolvimento Controlo dos erros Redução de surpresas Melhor raciocínio Maior eficiência Prática da construção de ciclos: usar ou não usar metodologia? Introdução à Programação 2003/2004

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