Critério de Estabilidade de Nyquist FONTE: ame. arizona

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1 Critério de Estabilidade de Nyquist FONTE: http://www. ame. arizona
Teorema de Cauchy: Se uma curva fechada TS no plano-s envolve P pólos e Z zeros em um sentido horário, então uma curva imagem no plano F(s) = 1+G(s)H(s) envolve a origem N = Z – P vezes no sentido horário. Critério de estabilidade de Nyquist: A estabilidade de um sistema é determinada pelos zeros de sua equação característica F(s)  1+G(s)H(s) = 0.

2 Contorno de Nyquist A imagem do contorno de Nyquist fornece o número de zeros de F(s) que estão no semi-plano direito do plano-s (assumindo que não há pólos neste contorno). O contorno de Nyquist consiste de três segmentos: s  [0, j) s  (– j , 0] s =Re jj, onde R

3 Mapeamento do Contorno de Nyquist
Observe as seguintes propriedades: s  [0, j) F(jw) = 1 + G(jw)H(jw)  portanto, este segmento mapea-se no diagrama de Nyquist de GH(jw), deslocado de 1 para a direita. s  (– j , 0]  o contorno deste segmento será o espelho do contorno do segmento (1), com relação ao eixo real. s =R e jj, onde R  este segmento será mapeado em +1, uma vez que a ordem do denominador de GH é maior do que a do numerador. Como 1+ = , os pólos de F(s) = 1 + G(s)H(s) e de G(s)H(s) são iguais. Ao invés de se traçar F(s), pode-se traçar G(s)H(s) = F(s)–1 e contar o número de envolvimentos de –1.

4 Critério de Estabilidade de Nyquist
Critério de estabilidade de Nyquist: Para que um sistema com P pólos de malha aberta no semi-plano direito do plano-s seja estável, a resposta em freqüência de malha aberta deve envolver o ponto – 1 + j0 P vezes no sentido anti-horário no plano GH. Exercícios: Para cada função de transferência de malha aberta GH(s) a seguir, analise a estabilidade do sistema em malha fechada. Verifique sua resposta pelo LGR:

5 Critério de Estabilidade de Nyquist FONTE: http://www. ame. arizona
Exemplo: Determine a estabilidade do sistema a seguir usando o diagrama de Nyquist. É necessário esboçar o diagrama de Nyquist e determinar o número de envolvimentos de – 1. GH(jw) : analisar módulo e fase para w = 0 e w  

6 Critério de Estabilidade de Nyquist
Exemplo: (continuação)

7 Critério de Estabilidade de Nyquist
Exemplo: (continuação)

8 Critério de Estabilidade de Nyquist
Exemplo: (continuação)

9 Critério de Estabilidade de Nyquist
Exemplo: (continuação) O diagrama de Nyquist envolve o ponto –1?  É necessário determinar o ponto de cruzamento e compará-lo com o ponto –1.

10 Critério de Estabilidade de Nyquist
Exemplo: (continuação) No ponto de cruzamento, a parte imaginária de GH(jw) é zero:

11 Critério de Estabilidade de Nyquist
Exemplo: (continuação) Para este valor de w, a parte real é:

12 Critério de Estabilidade de Nyquist
Exemplo: (continuação) Portanto:  O sistema é estável.

13 Margem de Fase e Margem de Ganho
A proximidade do diagrama de GH(jw) ao ponto –1 é uma medida da estabilidade relativa do sistema. Os dois valores que refletem esta medida: margem de ganho e margem de fase.

14 Margem de Fase e Margem de Ganho
Critério de estabilidade: O sistema é estável quando a MG é maior do que a unidade e a MF é positiva. (Compare com o critério de estabilidade visto no estudo do diagrama de Bode.) Exemplo: Qual é a MG e a MF do sistema anterior?

15 Margem de Fase e Margem de Ganho