Quantidades com magnitude e direção Magnitude: Quanto (representado pelo comprimento de uma linha) Direção: Qual direção ele aponta Pode ser represntado.

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2 Quantidades com magnitude e direção Magnitude: Quanto (representado pelo comprimento de uma linha) Direção: Qual direção ele aponta Pode ser represntado por um segmento de reta (seta) Exemplos: Velocidade Aceleração Deslocamento Força

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5 Figura 1: Câmera 1Figura 2: Câmera 2 Figura 3: Câmera 3 Figura 4: Câmera 4

6 P=(x,y) X Y Posição em 2 dimensões

7 Goleiro Lateral Distância percorrida: 1969 mDistância percorrida: 4925 m

8 Zagueiro Volante Distância percorrida: 4558 mDistância percorrida: 4280 m

9 Dois ou mais vetores atuando em um pesmo ponto são denominados vetores concorrentes. A soma de dois ou mais vetores é chamada de resultante (R). Um vetor simples pode substituir vetores concorrentes Qualquer vetor pode ser descrito como tendo componentes “x” e “y” em um sistema de coordenadas. O processo de quebra de um vetor em componentes “x” e “y” é chamado de resolução de vetor.

10 Vetores são ditos em “equilibrio” se a soma for igual a zero. E = 5 N R = 5 N at 180 ° at 0°

11 E= 10 N a 0 graus R = 20 N a 0 graus E =20 N a 45 graus R = 10 N a 225 graus Nem sempre os vetores estão “em linha”, mas em um ângulo entre eles

12 Podemos adicionar 3 ou mais vetores ao colocá-los agrupados (tip to tail) em qualquer ordem, desde que sejam de mesmo tipo (força, velocidade, deslocamento, etc.). azul + verde + vermelho

13 Vetores podem ser desenhados em escala e a resultante pode ser determinada com uma régua e um transferidor. Vetores são adicionados ao desenhar a ponta do vetor à extremidade do segundo vector (“tip to tail”). A ordem não importa. A resultante é sempre desenhada da ponta para a extremidade do último vetor.

14 Uma força de 50 N a 0° age concorrentemente a uma força de 20 N force a 90°. R  R e  são iguais em cada diagrama.

15 a b a b R= a+b

16 8.00 m/s 5.00 m/s Largura do Rio 8.00 m/s 5.00 m/s R = 9.43 m/s a 32°

17 h sen  = y / h y = h sen  cos  = x / h x = h cos   -+ ++ --+- x y

18 5 N a 30° 6 N a 135° xy 5 cos 30° = +4.335 sin 30° = +2.5 6 cos 45 ° = - 4.246 sin 45 ° = + 4.24 + 0.09+ 6.74 R =  (0.09) 2 + (6.74) 2 = 6.74 N  = arctan 6.74/0.09 = 89.2°

19 (6, 2) (9, 9) (11, 5) C 3 7 2 -4 X A, Y A X B, Y B (9, 9) (11, 5) (6, 2) (9, 9) (3, 7) (2, - 4) R (5, 3) R 3 5 R 2 = 5 2 +3 2 = 5.83 m A B AB A B C = A – B

20 Θ b c a d e m cosΘ = d/b  d=b.cosΘ e= c – d e= c - b.cosΘ senΘ= m/b  m=b.senΘ a 2 = m 2 +e 2 (=> Norma) a 2 = (b.senΘ) 2 + (c - b.cosΘ) 2 a 2 = b 2.senΘ 2 + c 2 – 2 cb.cosΘ+ b 2 cosΘ 2 a 2 = b 2.senΘ 2 + b 2 cosΘ 2 + c 2 – 2 cb.cosΘ a 2 = b 2.(senΘ +cosΘ) 2 + c 2 – 2 cb.cosΘ a 2 = b 2.(1) 2 + c 2 – 2 cb.cosΘ a 2 = b 2 + c 2 – 2 cb.cosΘ

21 x1x1 x2x2 y1y1 y2y2 a b c Θ cos Θ = a. b |a|.|b| c = a-b(a-b) 2 = |a 2 |+|b 2 | - 2|a.b|cos θ (a-b) *(a-b) = |a 2 |+|b 2 | - 2|a.b|cos θ a*a – a*b – b*a + b*b = |a 2 |+|b 2 | - 2|a.b|cos θ |a 2 |- 2 (a*b) +| b 2 | = |a 2 |+|b 2 | - 2|a.b|cos θ -(a*b) = - |a.b|cos θ(*-1) (a*b) = |a.b|cos θ cos θ = (a*b) /|a.b|

22 x1x1 x2x2 y1y1 y2y2 Θ Cos Θ = A. B |A|.|B| A B (X A, Y A ) (X B, Y B ) Cos Θ =(X A * X B ) + (Y A * Y B ) (√X A 2 Y A 2 ) * (√X B 2 Y B 2 )

23 Cos Θ = A. B |A|.|B| cos Θ =(X A * X B ) + (Y A * Y B ) +(Z A * Z B ) (√X A 2 + Y A 2 + Z A 2 ) * (√X B 2 + Y B 2 + Z B 2 )

24 A (10, 60) B (40, 40) C (25, 15) Cos Θ = A. B |A|.|B| B (40, 40) C (25, 15) A (10, 60) X y AB = (10-40) (60-40) = -30 20 CB = (25-40) (15-40) = -15 -25 Cos Θ =(X 1 * X 2 ) + (Y 1 * Y 2 ) (√X 1 2 Y 1 2 ) * (√X 2 2 Y 2 2 ) Cos Θ =(-30* -15) + (20 * -25) (√-30 2 20 2 ) * (√-15 2 -25 2 ) Cos Θ = -0.04757 = 92.72 o