Fórmulas de quadratura Fórmulas de quadratura

Apresentação em tema: "Fórmulas de quadratura Fórmulas de quadratura"— Transcrição da apresentação:

1 Fórmulas de quadratura Fórmulas de quadratura
Integração numérica Fórmulas de quadratura Análise Numérica - Integração numérica Análise Numérica - MIEC

2 Fórmulas de quadratura
Integração Numérica Quadratura erro f(x) - + Pn(x) Quadratura a  x0 x1 b  x2 Operação estável Análise Numérica - Integração numérica Análise Numérica - MIEC

3 Fórmulas de quadratura
Tipos de métodos Métodos de Newton-Cotes Pontos equidistantes Fórmulas fechadas Fórmulas abertas xi = x0 + i h i=0,…,n a b a b xi i=1,...,n+1 Análise Numérica - Integração numérica Análise Numérica - MIEC

4 Fórmulas de quadratura
Tipos de métodos Métodos de Gauss Pontos escolhidos de modo a que a x0 x1 b Análise Numérica - Integração numérica Análise Numérica - MIEC

5 Fórmulas de quadratura
Fórmula de Quadratura Fórmula de Lagrange I ≅ Soma pesada de f(xk) k=0,…,n Análise Numérica - Integração numérica Análise Numérica - MIEC

6 Métodos de Newton-Cotes: Regra dos trapézios
Fórmulas de quadratura Métodos de Newton-Cotes: Regra dos trapézios a b Se a≡x0, b≡x1 e h=x1-x0 Área do trapézio Análise Numérica - Integração numérica Análise Numérica - MIEC

7 Regra dos trapézios Qual o erro que cometemos?
Fórmulas de quadratura Regra dos trapézios Qual o erro que cometemos? x1 = x0+h Se fC2(a, b) < 0 ∀ x∈[x0, x1] Teorema da média do cálculo integral Análise Numérica - Integração numérica Análise Numérica - MIEC

8 Exemplo: Use a regra dos trapézios para determinar
Fórmulas de quadratura Exemplo: Use a regra dos trapézios para determinar =1 Como f (x)=cos x; f (x)=-sen x, M2=1 < 0.5 e 0 c.d.. Análise Numérica - Integração numérica Análise Numérica - MIEC

9 Fórmulas Compostas Regra dos Trapézios (composta)
Fórmulas de quadratura Fórmulas Compostas Regra dos Trapézios (composta) m subintervalos iguais ∴ n+1 pontos (n=m) f(x) ... x0 x1 x2 xn-1 xn h h h Pesos (h/2) ( ) Análise Numérica - Integração numérica Análise Numérica - MIEC

10 Regra dos Trapézios (composta)
Fórmulas de quadratura Regra dos Trapézios (composta) Para i=1,…,n e se fC2(xi-1, xi) T(h) ou Tn Análise Numérica - Integração numérica Análise Numérica - MIEC

11 Erro da Regra dos Trapézios
Fórmulas de quadratura Erro da Regra dos Trapézios Se fC2(xi-1, xi) i=1,...,n. Se fC2(a, b) xi pontos de descontinuidade Análise Numérica - Integração numérica Análise Numérica - MIEC

12 Qual o melhor valor para n?
Fórmulas de quadratura Qual o melhor valor para n? cometido = método + arredondamento  cometido arredondamento método n* n Análise Numérica - Integração numérica Análise Numérica - MIEC

13 Fórmulas de quadratura
Regra dos trapézios - Exercício Calcular o integral anterior com 3 pontos (m=n=2) erro=|ET|+cal+dados < 0.5 0 c.d. quase 1 Análise Numérica - Integração numérica Análise Numérica - MIEC

14 Estimativa do erro Fórmulas adaptativas
Fórmulas de quadratura Estimativa do erro Fórmulas adaptativas Regra dos trapézios -( ) Análise Numérica - Integração numérica Análise Numérica - MIEC

15 Fórmulas de quadratura
Regra dos trapézios - Exercício Calcular o erro do integral anterior com 3 pontos (m=2) Pode não ser um limite superior do erro (neste caso é) Está mais próximo da realidade Análise Numérica - Integração numérica Análise Numérica - MIEC

16 Regra de Simpson (usa P2(x))
Fórmulas de quadratura Regra de Simpson (usa P2(x)) xi = x0+ih i=0,1,2 , x0≡a e x2≡b Se fC4(a, b) + - P3(x) P2(x) a  x0 b  x2 x1 Regra de Simpson é exacta quando f(x)P3(x) área + = área - Análise Numérica - Integração numérica Análise Numérica - MIEC

17 Exemplo: Use a regra de Simpson para determinar
Fórmulas de quadratura Exemplo: Use a regra de Simpson para determinar =1 Como f(3) (x)=-cos x; f(4)(x)= sin x, M4=1 < 0.5 10-2 2 c.d.c. Análise Numérica - Integração numérica Análise Numérica - MIEC

18 Fórmulas Compostas Regra de Simpson (composta)
Fórmulas de quadratura Fórmulas Compostas Regra de Simpson (composta) m subintervalos iguais ∴ n+1 pontos (n = 2m) f(x) ... x0 x1 x2 x4 x2m-2 x2m x3 x2m-1 h h h Pesos (h/3) ( ) Análise Numérica - Integração numérica Análise Numérica - MIEC

19 Regra de Simpson (composta)
Fórmulas de quadratura Regra de Simpson (composta) Para i=1,…,m e se fC4(x2i-2, x2i) S(h) ou Sn n=2m Análise Numérica - Integração numérica Análise Numérica - MIEC

20 Erro da Regra de Simpson
Fórmulas de quadratura Erro da Regra de Simpson Se fC4(x2i-1, x2i) i=1,...,n. Se fC4(a, b) xi pontos de descontinuidade Análise Numérica - Integração numérica Análise Numérica - MIEC

21 Fórmulas de quadratura
Regra de Simpson - Exercício Calcular o integral anterior com 5 pontos (m=2, n=4) < 0.510-3 3 c.d.c Análise Numérica - Integração numérica Análise Numérica - MIEC

22 Estimativa do erro Fórmulas adaptativas
Fórmulas de quadratura Estimativa do erro Fórmulas adaptativas Regra de Simpson -( ) Análise Numérica - Integração numérica Análise Numérica - MIEC

23 Fórmulas de quadratura
Regra de Simpson- Exercício Calcular o erro do integral anterior com 5 pontos (m=2) Pode não ser um limite superior do erro (neste caso é) Está mais próximo da realidade Análise Numérica - Integração numérica Análise Numérica - MIEC