Integrais Duplas sobre Regiões Retangulares

Apresentação em tema: "Integrais Duplas sobre Regiões Retangulares"— Transcrição da apresentação:

1 Integrais Duplas sobre Regiões Retangulares
Aula 19 Integrais Duplas sobre Regiões Retangulares

2 Revisão da Integral Definida
definida para Subdividimos em subintervalos de comprimento Escolha Soma de Riemann

3 Caso Especial

4 Integrais Múltiplas

5 Volumes e Integrais Duplas
definida em um retângulo Suponhamos Seja o sólido que está contido na região acima de e abaixo do gráfico de

6 Volumes e Integrais Duplas
Objetivo: determinar o volume de

7 Procedimentos Dividir o retângulo em sub-retângulos.
Para isso dividimos em subintervalos de comprimento e dividimos em subintervalos de comprimento

8 Procedimentos Traçando retas paralelas aos eixos coordenados, passando pelos extremos dos subintervalos, formamos os sub-retângulos Cada um dos quais com área

9 Procedimentos

10 Aproximação do Volume

11 Aproximação do Volume

12 Aproximação do Volume Intuitivamente percebemos que a aproximação dada melhora quando aumentarmos os valores de portanto devemos concluir que

13 Integral Dupla sobre o Retângulo
Definição: se esse limite existir. Se então

14 Exemplo 1 Estime o volume do sólido que está acima do quadrado e abaixo do parabolóide elíptico

15 Volume das caixas aproximadoras

16 Melhor aproximação do volume

17 Exemplo 2 Se calcule a integral

18 Regra do Ponto Médio Regra do Ponto Médio

19 Exemplo 3 Use a Regra do Ponto Médio com
para estimar o valor da integral onde

20 Exemplo 3 Solução: Usando a Regra do Ponto Médio com
calcularemos no centro de quatro sub-retângulos de acordo com a figura

21 Exemplo 3 Então temos A área de cada sub-retângulo é

22 Exemplo 3 Logo Portanto, temos

23 Valor Médio O valor médio de uma função de uma variável definida em é
Analogamente, o valor médio de uma função de duas variáveis definida em um retângulo contido em seu domínio é dado por

24 Valor Médio Se , a equação diz que a caixa com base e altura
tem o mesmo volume que o sólido delimitado pelo gráfico de

25 Observação Se descreve uma região
montanhosa e vc corta os topos dos morros na altura então pode usá-los para encher os vales de forma a tornar plana a Região.

26 Observação

27 Exemplo 4 O mapa do contorno na figura a seguir mostra a quantidade da precipitação de neve, em polegadas, no Estado do Colorado, em de dezembro de 2006 (O Estado tem formato retangular com medidas 388 milhas na direção leste-oeste e 276 milhas na direção norte-sul). Utilize o mapa de contornos para estimar a precipitação média no Colorado nesses dias.

28 Mapa de Contornos

29 Mapa de Contornos

30 Exemplo 4 Logo e é a queda de neve, em polegadas onde
Usando a Regra do Ponto Médio com (dividimos em 16 sub-retângulos de tamanhos iguais)

31 Exemplo 4 Logo a área de cada sub-retângulo é

32 Exemplo 4

33 Propriedades das Integrais Duplas
1) 2) 3) Se

34 Integrais Iteradas A notação irá significar que
contínua em A notação irá significar que é mantido fixo e é integrado em relação a de e Esse procedimento é chamado integração parcial em relação a

35 Integrais Iteradas

36 Exemplo 1 Calcule o valor das integrais

37 Solução a)

38 Solução b)

39 Teorema de Fubini Se for contínua no retângulo Então

40 Teorema de Fubini Justificativa razoável de sua validade!

41 Analogamente Aproximação do Volume

42 Exemplo 2 Calcule a integral dupla onde

43 Solução 1

44 Solução 2

45 Integral Dupla sobre o Retângulo
Exemplo 3 Calcule onde

46 Solução 1

47 Solução 2

48 Solução 2

49 Integral Dupla sobre o Retângulo
Exemplo 4 Integral Dupla sobre o Retângulo Exemplo 1 Determine o volume do sólido que é delimitado pelo parabolóide elíptico os planos e os três planos coordenados.

50 Solução

51 Obrigado !