Sistemas Realimentados

Apresentação em tema: "Sistemas Realimentados"— Transcrição da apresentação:

1 Sistemas Realimentados
Resposta em Frequência Projeto de Controladores

2 Estabilidade Relativa
Limiar de Instabilidade Instável Estável

3 Estabilidade Relativa
O Sistema a é mais estável que o sistema b!

4 Estabilidade Relativa
MARGEM DE GANHO = é o ganho que falta para que o sistema atinja 0dB, quando a fase está em -180. MARGEM DE FASE = é a fase que falta para que o sistema atinja -180, quando o ganho é 0dB.

5 Estabilidade Relativa

6 Estabilidade Relativa

7 Compensação por Avanço de Fase
Onde α é o fator de atenuação do compensador. Observe que: O compensador possui um pólo em s=-1/αT e um zero em s=-1/T; O zero fica sempre à direita do pólo no plano complexo; O pólo fica localizado cada vez mais distante à esquerda para valores cada vez menores de α.

8 Compensação por Avanço de Fase
Diagrama polar com Kc=1; Φm é o ângulo máximo de avanço de fase.

9 Compensação por Avanço de Fase
Diagrama de Bode para Kc=1 e α=0,1; Frequências de canto ω=1/T e ω=1/ α T=1/(10T); Observa-se que ωm é a média geométrica das frequencias de canto. Logo: Implicando em Este compensador se comporta como um filtro passa-altas!

10 Compensação por Avanço de Fase
A principal função do compensador por avanço de fase é reconfigurar a curva de resposta em frequência de um sistema para se alcançar um ângulo de avanço de fase suficiente a fim de compensar o atraso de fase excessivo do sistema.

11 Compensação por Avanço de Fase
Suponha que as especificações de desempenho para o sistema acima sejam dadas em termo de: Margem de fase; Margem de ganho; Constante de erro estático de velocidade, etc.

12 Compensação por Avanço de Fase
FTMA do sistema compensado: Determinar o ganho K para satisfazer o requisito de erro estático; Construir o diagrama de Bode de G1 e avaliar a margem de fase; Determinar o ângulo de avanço de fase necessário (adicione de 5º a 12º ao ângulo determinado, pois o compensador desloca a frequência de cruzamento de ganho para a direita e diminui a margem de fase); Determine o fator de atenuação α usando Defina a frequência em que o módulo do Sistema não compensado G1 seja igual a e selecione essa frequência como sendo a nova frequência de cruzamento de ganho, que corresponde a e defazagem máxima Фm.

13 Compensação por Avanço de Fase
Determine as frequências de canto como: Calcule Kc=K/α. Verifique a margem de ganho para se certificar se ela é satisfatória. Se não for, repita o processo modificando a localização do pólo e do zero do compensador até que o resultado seja satisfatório.

14 Compensação por Avanço de Fase

15 Compensação por Avanço de Fase
Margem de fase 17º e margem de ganho infinito. Margem de fase 17º implica em sistema bastante oscilatório. Vamos aumentar para 50º, provocando um avanço de 33º acrescidos de 5º. Portanto, Φm=38º. Como então α=0,24.

16 Compensação por Avanço de Fase
Observe que em decorrência da inclusão do compensador, a curva de módulo na frequência de máxima defasagem passa a ser como segue:

17 Compensação por Avanço de Fase
De modo que com Isto é,

18 Compensação por Avanço de Fase
Note que

19 Compensação por Avanço de Fase
Diagramas polares do sistema não compensado e compensado

20 Compensação por Avanço de Fase
Resposta transitória dos sistemas: -não compensado -compensado

21 Compensação por Avanço de Fase
Resposta transitória dos sistemas: -não compensado -compensado

22 Compensação por Atraso de Fase
Considere um compensador com atraso de fase que tenha a seguinte função de transferência: -Possui um zero em -1/T e um pólo em -1/(βT); -O pólo fica à direita do zero; -Diagramas com Kc=1 e β=10.

23 Compensação por Atraso de Fase
A principal função de um compensador por atraso de fase é produzir atenuação em altas frequências, aumentando assim a margem de fase. Defina De modo que Considerando a função de transferência G(s) de um sistema não compensado. Então

24 Compensação por Atraso de Fase
Exemplo: Dada a função de transferência de malha aberta Deseja-se compensar o sistema , de modo que a constante de erro estática de velocidade Kv seja de 5s-1, a margem de fase de pelo menos 40º e a margem de ganho de pelo menos 10dB. Para isso, vamos utilizar um compensador de atraso de fase Primeiro, vamos ajustar K para atender o requisito de erro estático de velocidade.

25 Compensação por Atraso de Fase
Na sequência, constroi-se o diagrama de Bode de G1 é a FTMA com ganho ajustado, mas não compensado. Para evitar constantes de tempo muito altas, selecionamos a frequência de canto 1/T como 0,1rad/s. Adicionamos 12º à margem de fase a ser alcançada, resultando em 40º+12º=52º.

26 Compensação por Atraso de Fase
Na sequência, constroi-se o diagrama de Bode de G1 é a FTMA com ganho ajustado, mas não compensado. Para evitar constantes de tempo muito altas, selecionamos a frequência de canto 1/T como 0,1rad/s. Adicionamos 12º à margem de fase a ser alcançada, resultando em 40º+12º=52º.

27 Compensação por Atraso de Fase
Na sequência, constroi-se o diagrama de Bode de O ângulo de fase de G1 é -128º em aproximadamente 0,5rad/s, que é para onde traremos a nova frequência de cruzamento de ganho. Para isso, isso o compensador deve fornecer uma atenuação de -20dB. Então

28 Compensação por Atraso de Fase
Na sequência, constroi-se o diagrama de Bode de O ângulo de fase de G1 é -128º em aproximadamente 0,5rad/s, que é para onde traremos a nova frequência de cruzamento de ganho. Para isso, isso o compensador deve fornecer uma atenuação de -20dB. Então

29 Compensação por Atraso de Fase
A outra frequência de canto em ω=1/(βT) é então determinada como Portanto

30 Compensação por Atraso de Fase
A Margem de Fase do sistema compensado é de aproximadamente 40º; A Margem de Ganho do sistema compensado é de 11dB. A constante de erro estático de velocidade é de 5s-1. Logo, o sistema compensado atende aos requisitos de regime permanente como de estabilidade relativa. Em contrapartida, a frequência de cruzamento de ganho decresceu, o que implica em uma redução da banda passante.

31 Compensação por Atraso de Fase
Estabilidade absoluta

32 Compensação por Atraso de Fase
Resposta ao Degrau Sistema Compensado: Sistema Não Compensado:

33 Compensação por Atraso de Fase
Resposta à Rampa Sistema Compensado: Sistema Não Compensado:

34 Compensação por Atraso e Avanço de Fase
FT do compensador: O termo produz o efeito de avanço de fase. O termo produz o efeito de atraso de fase.

35 Compensação por Atraso e Avanço de Fase
Frequentemente selecionamos γ=β, embora γ possa ser diferente de β. Considerando o caso em que γ=β e Kc=1 Fazendo o ângulo de fase igual a zero, encontramos Avanço de fase Atraso de fase

36 Compensação por Atraso e Avanço de Fase
Considerando o caso em que γ=β=10, Kc=1 e T2=10T1

37 Compensação por Atraso e Avanço de Fase
Exemplo: Considere o sistema com realimentação unitária cuja função de transferência é: Deseja-se que a constante de erro estático de velocidade seja 10s-1, a margem de fase seja de 50º e a margem de ganho de 10dB ou mais. Para isso, vamos usar o compensador de atraso e avanço de fase. Supondo Kc=1, então Logo, K=20.

38 Compensação por Atraso e Avanço de Fase
Observe que a Margem de fase do sistema com ganho ajustado, mas não compensado, é de 32º, isto é, INSTÁVEL! Observe que Logo, por conveniencia, escolhemos a nova frequência de cruzamento de ganho como 1,5rad/s, de modo que o ângulo de avanço de fase seja de aproximadamente 50º.

39 Compensação por Atraso e Avanço de Fase
Agora, escolhemos a frequência de canto da porção de atraso de fase do compensador uma década abaixo da nova frequência de cruzamento de ganho, isto é, 0,15rad/s. O ângulo de avanço de fase máximo é dado por Testando β=10, encontramos Φm=54,9º . Logo, a frequência de canto 1/(βT2)= 0,015rad/s.

40 Compensação por Atraso e Avanço de Fase
A FT da porção de atraso de fase do compensador torna-se: Para a porção de avanço de fase, considerando que na nova frequência de cruzamento de ganho (ω=1,5rad/s) G(jω)=13dB, então, o compensador contribui com -13dB em 1,5rad/s. Daí, Trançando uma reta 20dB/década que Passa pelo ponto 1,5rad/s; -13dB, e Tomando a intersecção com as retas 0dB e -20dB, encontramos as frequências De canto da porção de avanço de fase Do compensador, isto é, 0,7rad/s e 7rad/s.

41 Compensação por Atraso e Avanço de Fase
A FT da porção de avanço de fase do compensador torna-se: De modo que a FT do compensador é A FTMA do sistema compensado é

42 Compensação por Atraso e Avanço de Fase
A FTMF do sistema compensado é: