Cálculo Diferencial e Integral I

Apresentação em tema: "Cálculo Diferencial e Integral I"— Transcrição da apresentação:

1 Cálculo Diferencial e Integral I
Prof. Agostinho

2 A é o domínio de f : Dom(f).
1 FUNÇÕES 1.1 Definição As funções surgem quando uma quantidade depende de outra. Uma função f é uma regra que associa cada elemento x em um conjunto A a um único elemento f(x), em um conjunto B. f : A B x  f(x) A é o domínio de f : Dom(f).

3 A imagem de f , Im(f), é o conjunto de todos os valores possíveis de f(x) quando x varia por todo o domínio. x Dom(f) é a variável independente ou argumento de f. y Im(f) é a variável dependente. O número f(x) é o valor de ƒ em x.

4 Ex: f : IN Z f(x) = 5x + 2 f (1) = 5(1)+2 = 7, 7  Z 7 é a imagem de 1.

5 Função  máquina

6 1.2 Gráfico O método mais comum de visualizar uma função consiste em fazer seu gráfico. O gráfico de f mostra o seu comportamento e nos permite visualizar: o domínio sobre o eixo x a imagem sobre o eixo y

7 Ex: seja y = f(x) = 2x2 x y = f(x) -2.0 8.0 -1.5 4.5 -1.0 2.0 -0.5 0.5
0.0 1.0 1.5

8 Duas funções f e g são idênticas se tem o mesmo domínio e a mesma regra, f(x) = g(x), para todo x ∈ D; p. ex., as funções f(x) = x2, x > 0 e g(x) = x2, x ∈ IR são diferentes pois seus domínios são diferentes.

9 Ex: Esboce o gráfico e encontre o domínio e a imagem de cada função.
A equação do gráfico é: y = 2x – 1 Reconhecemos ser a equação de uma reta com inclinação 2 e intersecção com o eixo y igual a 1. Lembre-se da equação da reta em sua forma inclinação-intersecção: y = mx + b. Isso nos possibilita esboçar uma parte do gráfico de f , como segue: A expressão 2x - 1 está definida para todos os números reais. Logo, seu domínio étodo o conjunto dos números reais, denotado por IR. O gráfico mostra ainda que a imagem também é IR. b) A imagem de g consiste em todos os valores de g(x), isto é, todos os números da forma x2.

10 Teste da Reta Vertical Uma curva no plano xy é o gráfico de uma função de x se nenhuma reta vertical cortar a curva mais de uma vez. Uma função não pode associar dois valores diferentes a um ponto.

11 Ex: A parábola x = y2 – 2 não é o gráfico de uma função de x, no entanto, ela contém os gráficos de duas funções de x.

12 Circunferência

13 Ex: f(x) = x Ex: f(x) = sen(x) 1.3 simetrias
Função par: f(-x) = f(x)  gráfico simétrico em relação ao eixo y. Ex: f(x) = x2 Ex: f(x) = cos (x) Função ímpar: f(-x) = -f(x)  gráfico simétrico em relação à origem. Ex: f(x) = x Ex: f(x) = sen(x)

14 Determine se a função é par, ímpar ou nenhum dos dois.
f (x) = x5 + x b) g(x) = 2x - x2

15 1.4 Funções potência Seja f(x) = xa, onde a é uma constante.

16 (i) a = n, onde n é um inteiro positivo: y = xn.

17 Função do 1º grau: Reta f(x) = mx + b, com a  0. m: coeficiente angular da reta e representa a inclinação da reta em relação ao eixo Ox. b: coeficiente linear e representa o ponto em que a reta corta o eixo Oy. Ex: y = 2x Ex: y = x - 1

18

19 Função quadrática (2º grau): Parábola f(x) = ax2
O número a está relacionado com a ‘largura’ da parábola.

20 (ii) a = 1/n, onde n é um inteiro positivo: y = x1/n.

21 (iii) a = - n, onde n é um inteiro positivo: y = x-n.

22 representa a distância de x até a origem.
Função Modular (Valor Absoluto): f(x) = |x| representa a distância de x até a origem.

23 Os intervalos são descritos por desigualdades. P. ex.:
A distância entre dois números reais a e b é |b − a|, que é o comprimento do segmento de reta que liga a a b. Os intervalos são descritos por desigualdades. P. ex.: em que r é o raio do intervalo.

24 Mais geralmente, para qualquer c, ponto médio do intervalo: e

25 Ex: Descreva os intervalos (−3, 3) e [-2, 8] usando desigualdades
Ex: Descreva os intervalos (−3, 3) e [-2, 8] usando desigualdades. Ex: Encontre o conjunto solução da inequação do 1º grau: a) (x – 4)(x + 2) > 0. b) (x – 1)/(x + 5) < 0.

26 1.5 Operações com Funções Composição de funções A operação de composição é executada substituindo-se em uma dada função a variável independente por alguma função. Ex: f(x) = x2 e g(x) = x + 1 Substituíndo x por g(x) na fórmula de f, obtemos uma nova função: (f ◦g)(x) = f(g(x)) = (g(x))2 = (x + 1)2.

27 Podemos pensar em g como uma função interna e f como uma função externa. O domínio de f ◦g consiste em todo x no domínio da função interna. Ex: Seja f(x) = x2 + 3 e g(x) = . Encontre (a) (f ◦g)(x) (b) (g◦f )(x) Ex: Expresse h(x) = (3 − 2x)3 como a composição de duas funções.

28 Deslocamentos horizontais e verticais. Suponha c > 0:

29 Reflexões e expansões horizontais e verticais

30 Ex: Esboce o gráfico de

31 Ex: Esboce o gráfico de y = x2 − 4x + 5.

32 Completar quadrados É um método para reescrever uma expressão da forma x2 + bx como uma diferença de dois quadrados: [x + (b/2)2]2 – (b/2)2. Ex: Esboce o gráfico de a) y = x2 − 4x + 5. b)

33 1.6 Funções trigonométricas
A natureza periódica dessas funções torna-as adequadas à modelagem de fenômenos repetitivos, tais como marés, cordas vibrantes e ondas sonoras.

34 Sistemas de medição de ângulos radianos e graus Para fazer a conversão entre radianos (rad) e graus: 2π rad - 360° 1 rad - 360/2π ou 180/π graus.

35 O comprimento de arco é proporcional ao valor do ângulo: OBS: Esta expressão só é válida para  em radianos. 1 rad é o ângulo subtendidio por um arco com comprimento igual ao raio do círculo, a = r.

36 Seja P = (x, y) um ponto no círculo unitário correspondente ao ângulo . Definimos: cos  = coordenada x de P sen  = coordenada y de P

37 Identidades trigonométricas
sen(-) = - sen() (função ímpar) 2. cos(-) = cos() (função par) 3. cos2() + sen2() = 1 4. sen (a + b) = sen(a)cos(b)+sen(b)cos(a) 5. cos (a + b) = cos(a)cos(b)-sen(a)sen(b)

38 O gráfico de y = sen  é gerado pela coordenada y de um ponto que percorre o círculo unitário e é conhecido como senóide ou “onda senoidal”. O gráfico de y = cos  tem o mesmo formato, mas é transladado π/2 unidades para a esquerda. As funções sen  e cos  são definidas para qualquer número real  e não é necessário pensar em  como sendo um ângulo.

39 f(x) = sen x: -1 ≤ sen x ≤ 1 g(x) = cos x: -1 ≤ cos x ≤ 1

40 Não está definida quando cos x = 0 : x =  π/2,  3π/2, ...
(c) f(x) = tg x = sen x/cos x Não está definida quando cos x = 0 : x =  π/2,  3π/2, ... -   tg x  

41 Valores de alguns ângulos

42 1.7 Funções trigonométricas inversas O Teste da reta horizontal: Uma função tem uma inversa se seu gráfico é cortado, no máximo, uma única vez por qualquer reta horizontal.

43 Se ƒ tiver uma inversa, então os gráficos de f e de sua inversa são reflexões um do outro em relação à reta y = x.

44 As funções trigonométricas não têm inversas pois seus gráficos se repetem periodicamente e, portanto, não passam no teste da reta horizontal. Para contornar isso temos que restringir o domínio das funções trigonométricas. Para evitar esse problema, restringimos os domínios das funções trigonométricas para que passem no teste da reta horizontal e depois definir as “funções trigonométricas inversas” como as inversas dessas funções restritas.

45

46

47 Se arc sen x é um ângulo (em radianos) não-negativo, então sen(arc sen x) = x/1 = x. Pelo Teorema de Pitágoras, o lado adjacente ao ângulo arc sen x tem comprimento (1 – x2 )1/2. Se interpretamos arc sen x como um ângulo medido em radianos cujo seno é x, e se esse ângulo for não-negativo, então podemos representar arc sen x geometricamente como um ângulo em um triângulo retângulo no qual a hipotenusa tem comprimento 1 e o lado oposto ao ângulo de arc sen x, comprimento x (Figura a). Pelo Teorema de Pitágoras, o lado adjacente ao ângulo arc sen x tem comprimento

48 1.8 Funções exponenciais Estão associadas a determinados fenômenos de crescimento ou decrescimento. f(x) = ax, a > 0 e a ≠ 1. Gráfico: depende da base a > 1 ou 0 < a < 1. A função f (x) = 2x é chamada função exponencial, pois a variável, x, é o expoente. Ela não deve ser confundida com a função potência g(x) = x2, na qual a variável é a base.

49 ax + y = axay 2. ax – y = ax/ay 3. (ax)y = axy 4. (ab)x = axbx
Propriedades Se a e b forem números positivos, então ax + y = axay 2. ax – y = ax/ay 3. (ax)y = axy 4. (ab)x = axbx

50 A base e ≈ 2, é importante no Cálculo, pois é a única para a qual a inclinação da reta tangente à curva y = ex em qualquer ponto P da curva é igual à coordenada y do ponto P. Dentre todas as bases possíveis para uma função exponencial, há uma que é mais conveniente para os propósitos do cálculo. Na escolha de uma base a pesa muito a forma como a função y = ax cruza o eixo y. vamos pensar na reta tangente ao gráfico da exponencial em um ponto como a reta que toca o gráfico em um único ponto.

51 Função Logarítmica: f(x) = loga(x) É a inversa da função exponencial y = loga(x)  ay = x onde a ∈ IR é tal que 0 < a ≠ 1. Gráfico: depende de a > 1 ou 0 < a < 1.

52 2. loga(x/y) = loga(x) − loga(y). 3. loga(xn) =nloga(x), n ∈ IR.
Propriedades: Se x e y forem números positivos, então 1. loga(xy) = loga(x) + loga(y) 2. loga(x/y) = loga(x) − loga(y). 3. loga(xn) =nloga(x), n ∈ IR.

53 Usando a base e tem-se o logaritmo natural de x: y = f(x) = loge(x) = ln(x). Logo: y = ln (x)  ey = x ln e = 1 eln (x) = x ln (ex) = x