Calculo II Prof Me Carlos Bifi

Apresentação em tema: "Calculo II Prof Me Carlos Bifi"— Transcrição da apresentação:

1 Calculo II Prof Me Carlos Bifi
Máximo e Mínimo Calculo II Prof Me Carlos Bifi

2 Para que serve o cálculo Diferencial?
Algumas das aplicações mais importantes do Cálculo Diferencial são os problemas de Otimização, em que devemos encontrar a melhor maneira de fazer alguma coisa, por exemplo: Qual é a forma de uma lata que minimiza o custo de manufatura? Qual é a aceleração máxima de um ônibus espacial? Qual a raio de uma traqueia contraída que expele mais rapidamente o ar durante uma tosse? Problemas desse tipo podem ser reduzidos a encontrar valores máximo e mínimo de uma função. Mas o que seria valores Máximo e Mínimo de f?

3 Definição Uma função f tem máximo absoluto em c se f(c) ≥ f(x) para todo x em D, onde D é o domínio da função. O número f(c) é chamado de valor máximo de f em D. Analogamente, f tem mínimo absoluto em c se f(c) ≤ f(x) para todo x em D, onde D é o domínio da função. O número f(c) é chamado de valor mínimo de f em D.

4 O gráfico abaixo mostra a f com máximo absoluto em a e mínimo absoluto em b note que (a,f(a)) é o ponto mais alto e (b,f(b)) é o ponto mais baixo. Máximo absoluto y f(a) Mínimo absoluto f(b) x a b

5 Existem funções que podem ter máximos locais e mínimos locais isso dependerá do intervalo que você está estudando. Veja o gráfico agora. y f(a) f(d) f(c) f(b) c x a b d Se considerarmos somente os valores de x próximos de c, restringindo um intervalo pequeno entre c, então f(c) será um mínimo local, e se considerarmos os valores próximos de d, também restringindo um intervalo pequeno entre d, o f(d) será o máximo local.

6 Definição Uma função f tem máximo local (máximo relativo) em c se f(c) ≥ f(x) quando x estiver nas proximidades de c. [Isso significa que f(c) ≥ f(x) para todo x em algum intervalo aberto contendo c]. Analogamente, f tem mínimo local em c se f(c) ≤ f(x) quando x estiver nas proximidades de c.

7 Exemplo 1 A função “f(x) = cosx” assume seu valor de máximo (local e absoluto) de 1 um número infinito de vezes, uma vez que : cos 2nπ = 1 para todo período n e imagem como -1 ≤ cosx ≤ 1 para todo x. Da mesma forma, cos (2n+1)π = -1 é seu valor mínimo, onde n é qualquer inteiro.

8 Exemplo 2 Se f(x) = x², então f(x) ≥ f(0) , pois x² ≥ 0 para todo x. portanto f(0) = 0 é o valor mínimo absoluto (e local) de f. isso corresponde ao fato de que a origem é o ponto mais baixo sobre a parábola y = x² . Porém, não há um ponto mais alto sobre a parábola, e dessa forma a função não tem valor máximo.

9 Exemplo 3 Dado o gráfico y = x³ vemos que essa função não tem nem valor máximo nem valor mínimo absoluto. De fato, ela não tem nenhum valor extremo local.

10 Exemplo 4 O gráfico da função 𝑦= 3𝑥 4 −16 𝑥 𝑥 2 (−1≤𝑥≤4) está abaixo. Você pode ver que f(1) = 5 é um máximo local, enquanto o máximo absoluto é f(-1) = 37 (esse máximo absoluto não é o máximo local, pois ocorre num extremo do intervalo). Também, f(0) = 0 é o mínimo local como mínimo absoluto. Note que em x = 4, f não tem um máximo local nem máximo absoluto.

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12 Vamos observar o seguinte:
f(c) f(d) c d O gráfico acima mostra o máximo em (c,f(c)) e um mínimo em (d,f(d)). Parece que nos pontos de máx. e de min. as retas tangentes são horizontais (retas em vermelho) e, portanto cada uma tem inclinação zero. Logo f’(c) = 0 e f’(d) = 0, então podemos ver que:

13 Teorema de Fermat Se f tiver um máximo ou mínimo local em c, e f’(c) existir, então f’(c) = 0. O teorema de Fermat sugere que devemos pelo menos começar procurando por valores extremos de f nos números c onde f’(c) = 0 ou onde f’(c) não existe. Tais números tem um nome especial . Número Crítico Número Crítico de um f é um número c no domínio de f onde ou f’(c) = 0 ou f’(c) não existe.

14 Exemplo. Encontre os números críticos da função 𝑓 𝑥 = 𝑥 3 5 (4−𝑥)
Depois de resolvido concluímos pelo teorema que: se f tiver um valor máximo ou mínimo local em c, então é um numero critico de f. Regra: Para encontrar os valores máximo e mínimo absoluto de uma f continua em um intervalo fechado [a,b] Encontre os valores de f nos extremos de f nos números críticos de f em (a,b) Encontre os valores de f nos extremos do intervalo O maior valor das etapas 1 e 2 é o valor máximo absoluto, ao passo que o menor desses valores é o valor mínimo absoluto.

15 Exemplo. Encontre os valores absolutos máximo e mínimo da função
𝑓 𝑥 = 𝑥 3 −3 𝑥 −1 2 ≤𝑥≤4 Resolução na lousa

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17 Exemplo O telescópio espacial Hubble foi colocado em orbita em 24 de abril de pelo ônibus espacial Discovery. Um modelo para a velocidade do ônibus durante essa missão do lançamento em t=0 até a entrada em funcionamento do foguete auxiliar em t = 126s é dado por: 𝑣 𝑡 =0, 𝑡 3 −0,09029 𝑡 2 +23,61𝑡−3,083 (em pés/s). Usando esse modelo estime os valores máximo e mínimo absolutos da aceleração do ônibus entre o lançamento e a entrada do foguete auxiliar. Dica : pede-se os valores extremos da aceleração

18 Crescimento e Decrescimento de uma f

19 Crescimento e Decrescimento de uma função
Função crescente  derivada positiva  f (x) > 0 Função decrescente  derivada negativa  f (x) < 0 Função constante  derivada nula  f (x) = 0

20 Exemplo: Encontre os intervalos onde as funções abaixo é crescente ou decrescente (a) 𝑓 𝑥 = 𝑥 2 −4𝑥+3 (b) 𝑓 𝑥 = 𝑥 3 +3

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22 Ponto de Inflexão

23 Ponto de Inflexão O ponto no qual ocorre a variação de concavidade da função denomina-se Ponto de Inflexão. Se a derivada Segunda (f’’(x)) é definida no ponto de inflexão, seu valor tem que ser zero. Os pontos de inflexão podem ocorrer onde a derivada Segunda é indefinida. Os pontos nos quais a derivada Segunda da função é nula ou indefinida denominam-se pontos críticos de Segunda ordem. Sem formalidades, o ponto de inflexão é o momento onde a curva muda de sentido de concavidade que está para baixo para a concavidade que está para cima, ou vice-versa Como encontrar esse ponto de transição?

24 Exemplo: Considere a função 𝑓 𝑥 = 𝑥 3 −3 𝑥 2
1º. Vamos verificar onde a função é crescente e decrescente, calculando a f’(x) = 0 Veja o Gráfico como ficou!!!

25 2º. Vamos verificar onde o gráfico muda a concavidade de baixo para cima ou vice-versa. Para tal procedimento calcularemos a derivada segunda e igualamos a zero. f’’(x) = 0. Veja o gráfico novamente

26 Exemplo. Dada a função 𝑓 𝑥 = 𝑥 4 −2𝑥², determine se os pontos críticos são de máximo ou de mínimo relativo. gráfico

27 Observação. Neste último exemplo, não foram dados os extremos do domínio da função. Então, para verificar se os pontos críticos são de máximo relativo ou de mínimo relativo, faremos a substituição das raízes encontradas no valor de x na f’(x) = 0, na segunda derivada e faremos o seguinte estudo Se f’’(raiz) > 0, então teremos ponto de MÍNIMO. Se f’’(raiz) < 0, então teremos ponto de MÁXIMO. Logo, os pontos críticos são: f’’(0) = 12(0)² - 4 = - 4 ( x = 0 é um ponto de máximo relativo) f’’(-1) = 12(-1)² - 4 = 8 ( x = -1 é um ponto de mínimo relativo) f’’(1) = 12(1)² - 4 = 8 (x = 1 é um ponto de mínimo relativo)

28 exercício de aplicação
Uma empresa de confecção de engrenagens em automação industrial apresenta as funções da receita e do custo (em milhões de reais), respectivamente, para produzir engrenagens de aço. Elas são dadas: 𝑅 𝑥 = −3𝑥 3 +2 𝑥 2 +5𝑥+5 , 𝑥≥0 𝑒 𝐶 𝑥 =−6 𝑥 𝑥 2 +2, 𝑥≥0, encontre: A produção para que o custo seja mínimo; Os intervalos em que a função custo cresce ou decresce; A produção para que a receita seja máxima; Os intervalos em que a função receita cresce e decresce; Se a função lucro é L = R – C, qual o nível de produção para o lucro seja máximo? Chamamos ponto de ruptura o ponto de inflexão. Qual seria esse ponto?

29 Gráfico RECEITA

30 Gráfico CUSTO

31 Gráfico LUCRO

32 Exercício de aplicação
Suponha que a equação de demanda para uma certa mercadoria seja p = 4 – 0,0002x, onde x é o numero de unidades produzidas semanalmente e p reais é o preço de cada unidade. O número do custo total da produção de x unidades é C(x) = x. Se o lucro semanal deve ser o maior possível, encontre o número de unidades que serão produzidas semanalmente, o preço de cada unidade e o lucro semanal Lembrando que R(x) = preço de venda x quantidade vendida.

33 Exercício Verificar os intervalos de crescimento e decrescimento da função: f(x) = 3x² + 6 Determine os intervalos em que a função abaixo é crescente, decrescente, determine os extremos relativos o ponto de inflexão e esboce o gráfico. f(x) = 2x³ + 3x² - 12x - 7

34 Assim, temos: Se F´(x) = f(x) então F(x) é uma primitiva de f(x).
INTEGRAL INDEFINIDA CONCEITO DE INTEGRAL INDEFINIDA Dada uma função f, uma integral indefinida de f é outra função F tal que a derivada F’ é igual à função f. Assim, temos: Se F´(x) = f(x) então F(x) é uma primitiva de f(x).

35 ASSIM... Seja f(x) = 2x, então a função primitiva é F(x) = x². Dizemos que F(x) = x² é uma integral indefinida de f. Observação  as funções h(x) = x² + 3, g(x) = x² - 4, m(x) = x² , enfim, as funções do tipo β(x) = x² + K, são primitivas da função f(x) = 2x, pois as derivadas de [β(x)]’ resultam 2x. Pelo que foi dito até aqui, podemos concluir que a integração indefinida é a operação inversa da derivação, (ou da diferenciação) a menos de uma constante. Em notação temos: 𝒇 𝒙 𝒅𝒙

36 Exemplos... 𝒙𝒅𝒙= 𝒙² 𝟐 +𝒌 , 𝒑𝒐𝒊𝒔 𝒂 𝒅𝒆𝒓𝒊𝒗𝒂𝒅𝒂 𝒙 𝟐 𝟐 +𝑲 ′ =𝒙 ( 𝟑𝒙−𝟏 )𝒅𝒙= 𝟐 𝟗 (𝟑𝒙−𝟏) 𝟑 +𝒌 , 𝒑𝒐𝒊𝒔 𝒂 𝒅𝒆𝒓𝒊𝒗𝒂𝒅𝒂 𝟐 𝟗 (𝟑𝒙−𝟏) 𝟑 ′ = 𝟑𝒙−𝟏

37 Mas como encontrar tais Integrais?
Tabela de Integral

38 Exemplos....