Introdução a Lógica Matemática

Apresentação em tema: "Introdução a Lógica Matemática"— Transcrição da apresentação:

1 Introdução a Lógica Matemática
João Marques Salomão Curso de Engenharia Elétrica Coordenadoria de Eletrotécnica CEFET-ES Introdução a Lógica Matemática /1

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Equivalência Lógica Uma forma proposicional A é logicamente equivalente a uma outra B (AB ) quando os seus valores de verdade coincidem em cada linha das últimas colunas de suas TVs. A prova é feita considerando que A é equivalente a B se, e somente se, a bicondiconal entre as proposições compostas (AB) é uma tautologia. Propriedades da equivalência lógica: 1) Reflexiva: AA; 2) Simétrica: se AB, então BA; 3) Transitiva: se AB e BC, então AC; 4) se A e B são ambas tautologias ou contradições, então AB; Introdução a Lógica Matemática /1 – p. 2

3 Equivalência Lógica - Exemplos
1 – Verificar a validade das quatro propriedades anteriores. 1) Reflexiva: AA; Sol: Usar a TV simplificada e verificar se AA é uma tautologia 2 - Verificar a validade das seguintes equivalências: a) ~pp  p; Sol: Use a TV e verifique se (~pp)  p é uma tautologia. b) p(p ۸ q)  p q; c) p q ~p ۷ q; A  1 (~p  p)  p 1 Introdução a Lógica Matemática /1 – p. 3

4 Introdução a Lógica Matemática - 2007/1 – p. 4
Implicação Lógica Uma forma proposicional A implica logicamente uma outra B (AB ) se B é verdadeira toda vez que A for verdadeira. Dessa forma, A implica B se, e somente se, a condiconal entre as proposições compostas (AB) é uma tautologia. Propriedades da implicação lógica: 1) Reflexiva: A  A; 2) Anti-simétrica: se AB e BA, então AB; 3) Transitiva: se AB e BC, então AC; Obs: Os símbolos  e  são conectivos sendo usados em expressões lingüísticas, enquanto  e  são usados para denotar a relação entre proposições. Introdução a Lógica Matemática /1 – p. 4

5 Implicação Lógica - Exemplos
1 - Verificar a validade das três propriedades da implicação lógica. 2 - Testar a validade das seguintes implicações: a) (~p۸q)~p; Sol: (~p۸q)~p é uma tautologia, pois de acordo com a TV, temos: b) (pq)۸pq; c) (pq)۸(qr)pr; d) p(qr)(p۸q)r; (~p ۸ q)  ~p 1 Introdução a Lógica Matemática /1 – p. 5

6 Equivalências Lógicas Notáveis
Para quaisquer formas proposicionais são sempre válidas: A dupla negação: ~~AA; E também são válidas as leis: Idempotentes: A۷AA e B۸BB; Absorção: A۷(A۸B)A e A۸(A۷B)A; Comutativas: A۷BB۷A e A۸BB۸A ; Associativas: A۷(B۷C)(A۷B)۷C e A۸(B۸C)(A۸B)۸C; Distributivas: A۷(B۸C)(A۷B)۸(A۷C) e A۸(B۷C)(A۸B) ۷(A۸C); De Morgan: ~(A۸B)~A۷~B e ~(A۷B)~A۸~B. Exercício: Use a TV simplificada e verifique cada uma das equivalências dadas. Introdução a Lógica Matemática /1 – p. 6

7 Formas Normais Equivalentes 1/2
Uma forma proposicional, pode ter várias representações equivalentes. Uma delas, a forma normal pode ser do tipo disjuntiva ou conjuntiva, e usam os conectivos: ~, ۸, ۷. Ambas consideram cada linha Bj (1≤j ≤n) da TV de uma proposição composta com n proposições atômicas, com seus valores lógicos 1 ou 0. Forma normal disjuntiva - FND (ou Mintermos): a FND equivalente será obtida a partir das conjunções das proposições atômicas cujos valores lógicos sejam iguais a 1 ou V, seguida das disjunções dos termos obtidos: Introdução a Lógica Matemática /1 – p. 7

8 Formas Normais Equivalentes 2/2
Forma normal conjuntiva – FNC (Maxtermos): dada a TV de uma proposição composta com n proposições atômicas, a FNC, será obtida considerando os valores lógicos de saída iguais a 0, a disjunção da negação das proposições atômicas que constituem Bj, finalizando com uma conjunção das disjunções obtidas (Teorema de De Morgan): Exemplos: 1 – Obter a FNC e FND para: ou-exclusivo, condicional e bicondicional.

9 Formas Normais - Exemplos
2 - Dada a TV abaixo, determinar a proposição equivalente através da FND e em seguida, da FNC: Sol. FND: Valores lógicos 1(V) nas linhas 2, 5, 6. Logo, B2 = ~p۸~q۸r; B5 = p۸~q۸~r; e B6 = p۸~q۸r; como: D = B2۷ B5۷ B6 D = (~p۸~q۸r )۷ (p۸~q۸~r) ۷( p۸~q۸r). Sol FNC: Valores 0 nas linhas 1, 3, 4, 7 e 8. Logo, B1 = p۷q۷r; B3 = p۷~q۷r; B4 = p۷~q۷~r; B7 = ~p۷~q۷r e B8 = ~p۷~q۷~r; como: C = B1۸ B3۸ B4 ۸ B7۸ B8 C = (p۷q۷r)۸(p۷~q۷r)۸(p۷~q۷~r)۸(~p۷~q۷r )۸(~p۷~q۷~r). p q r f( p, q, r) 1 Introdução a Lógica Matemática /1 – p. 8