1 Calculo e Instrumentos Financeiros Parte 2 Faculdade de Economia da Universidade do Porto 2014/2015.

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1 1 Calculo e Instrumentos Financeiros Parte 2 Faculdade de Economia da Universidade do Porto 2014/2015

2 2 Operações algébricas com uma variável aleatória

3 3 Operações algébricas simples Se somarmos uma constante a uma variável aleatória –O valor médio vem aumentado –O desvio padrão mantêm-se

4 4 Operações algébricas simples Ex. A altura das pessoas é N(1.75, 0.15) Supondo-as em cima de uma cadeira com 0.5m, a altura total será N(2.25, 0.15)

5 5 Operações algébricas simples

6 6

7 7 Se multiplicarmos uma constante por uma variável aleatória –O valor médio vem multiplicado –O desvio padrão vem multiplicado pelo valor absoluto da constante

8 8 Operações algébricas simples

9 9

10 10 Operações algébricas simples Ex.2.14. Um marceneiro tem 1000€/mês de despesas fixas e tem de margem das vendas de, em média, 15€ e desvio padrão de 20€ por cada móvel que produz. Supondo que projecta produzir este mês 100 móveis, qual será a sua remuneração em termos médios? R. Atendendo às propriedades, teremos 100   – 1000 = 100  15 – 1000 = 500€ 100   = 100  20 = 2000€

11 11 Ex.2.15 Um empresário está a avaliar o aluguer de um barco de pesca pelo qual paga 3mil€/dia. Demora um dia de viagem para cada lado e pesca, durante 5 dias, 2500kg/dia O preço de venda segue distribuição N(2,1)€/kg Quanto será o lucro? Qual a probabilidade de ter prejuízo?

12 12 Ex.2.15 O lucro será 5  2500  N(2; 1) – 3000  7 =12500  N(2; 1) – 21000 = N(25000; 12500) – 21000 = N(4000; 12500) Em média 4mil€ com desvio padrão de 12.5mil€ A probabilidade de ter prejuízo será 37.45%, =NORMDIST(0;4000;12500;TRUE).

13 13 Exercício Compro os legumes a 0.50€/kg, pago 75€ pelo transporte e o preço de venda é desconhecido tendo distribuição N(0.60; 0.15)€/kg. i) Determine qual vai ser o meu lucro de intermediar 1000kg de legumes. ii) Determine a probabilidade de eu ter prejuízo.

14 14 Exercício i) Lucro = V.(Pvenda – Pcompra) – Ctransporte = 1000[N(0.60, 0.15) – 0.50] – 75 Lucro = N(600, 0.15x1000) – 575 = N(25, 150) ii) No Excel teríamos A1: =Dist.Norm(0; 25; 150; Verdadeiro)  43.38%

15 15 Exercício Ex.2.16. O empresário A fez uma descoberta que lhe permite desenvolver um negócio cujo q de Tobin é N(1.5, 0.25) e onde é necessário investir 1M€. Sendo que o empresário A vendeu ao empresário B metade do negócio por 625k€, qual será o q de Tobin de A e de B?

16 16 Exercício R. A investe 375k€ que terá B investe 625k€ que terá

17 17 Acções - obrigações O Ex.2.16 ilustra porque é vantajoso o empreendedor emitir acções da sua empresa. Uma acção é uma parte do capital próprio da empresa tendo, em termos contabilísticos, um certo valor nominal, normalmente 1€.

18 18 5ª Aula 18 de Nov

19 19 Acções - obrigações Por exemplo, uma empresa com um capital social de 10M€ divide-se em 10M de acções com valor nominal de 1€ cada. A acção dá direitos de voto na condução dos destinos da empresa e é remunerada com uma parte dos lucros, o dividendo, que é incerto.

20 20 Acções - obrigações As acções têm maior risco que as obrigações porque, em caso de insolvência, os activos da empresa pagam primeiro as obrigações e apenas o que sobrar (i.e., nada) é que é dividido pelas acções. Além disso, no contrato de emissão o resultado das obrigações é conhecido (o cupão e o valor de remissão) enquanto que o lucro da empresa é variável.

21 21 Acções - obrigações Interessa ao empresário dispersar o capital da empresa porque, normalmente, a empresa emite as acções, numa operação denominada por OPV (mercado primário), a um preço superior ao valor contabilístico. As acções são depois transaccionadas entre investidores (mercado secundário) sendo o seu preço, denominado por cotação, determinado pela expectativa que os agentes económicos têm da evolução futura do negócio (i.e., dos dividendos e da cotação).

22 22 Operações algébricas não simples Se quisermos calcular um prémio de um seguro de vida em que a duração do individuo é uma variável aleatória, as operações algébrica não são simples:

23 23 Operações algébricas não simples Cálculo expedito. Sendo que temos y = g(x), obtemos um valor aproximado da distribuição usando os dois pontos notáveis x 1 =  -  e x 2 =  +  Calculamos y 1 = g(  -  ) e y 2 = g(  +  ) Valor médio = (y 1 + y 2 )/2 Desv. padrão = |y 2 - y 1 |/2

24 24 Operações algébricas não simples Nas distribuições simétrica é indiferente usar Valor médio = (g(  -  ) + g(  +  ))/2  g(  ) Nas distribuições assimétricas é melhor usar Valor médio = (g(  -  ) + g(  +  ))/2

25 25 Exercício Ex.2.17. O prémio de um seguro de vida com r = 2%/ano, L ~ N(50, 10) i) Determine qual devem ser as reservas Y/1000€ de forma a ter Y =  (P) +  (P). ii) Se a seguradora propõe um prémio antecipado de 15€/ano por 1000€ seguros, qual será o seu lucro?

26 26 Exercício P(40) = 16.23€/ano; P(60) = 8.60€/ano. a seguradora precisará reservas com média (16.23+8.60)/2 = 12.42€/ano e desvio padrão (16.23-8.60)/2 = 3.82€/ano aconselhando a prudência a que as reservas sejam 12.42+3.82 = 16.23€/ano.

27 27 Exercício P(40) = 16.23€/ano; P(60) = 8.60€/ano. Lucro(40) = 15–16.23 = –1.23€/ano; Lucro (60) = 15–8.60 = 6.40€/ano. Para uma longevidade genérica, o lucro do seguro terá valor médio = (–1.23 + 6.40)/2 = 2.59€/ano desvio padrão = (6.40+1.23)/2 = 3.82€/ano.

28 28 Operações algébricas não simples Divisão em cenários. Já utilizamos esta abordagem (ex.2.8 + ex.2.11). Divide-se o domínio da variável em cenários sendo conveniente utilizar a folha de cálculo. Ao considerarmos intervalos mais pequenos, estamos a diminuir o “erro de cálculo”.

29 29 Operações algébricas não simples

30 30 Operações algébricas não simples C7: =NORMDIST(B7;C$2;C$3;TRUE)- NORMDIST(A7;C$2;C$3;TRUE) D7: =(A7+B7)/2+0,5 E7: =F$1-H$1*F$2/(1-(1+F$2)^-D7)/(1+F$2)^(D7+1) F7: =C7*E7 G7: =E7-F$40 H7: =G7^2*C7 C39: =SUM(C7:C38) F40: =SUM(F7:F38)/$C39 H39: =SUM(H7:H38)/$C39 H40: =H39^0,5

31 31 Método de Monte Carlo Método de Monte Carlo. 1) Sorteamos vários valores para a variável de acordo com a sua função distribuição. 2) Aplica-se o modelo aos “dados” e determina- se uma população de resultados possíveis. Calcula-se o valor médio, o desvio padrão, faz- se um histograma, etc., dos resultados. Tools + Data Analyses + Random Number Generation **

32 32 Método de Monte Carlo **Excel 2007 Instalamos o Data Analyses Office Button + Excel Options + Add Ins + Excel Add Ins Go… Depois, aparece em Data o Data Analysis

33 33 Método de Monte Carlo

34 34 Método de Monte Carlo 2.69

35 35 Método de Monte Carlo Quando derem o R, verão que o Método de Monte Carlo é de simples implementação É muito flexível e poderoso Permite determinar o “erro de cálculo”

36 36 Comparação dos métodos O método expedito, por usar apenas dois pontos notáveis, será o de menor grau de confiança A divisão em cenários está dependente do detalhe dos cenários O método de monte carlo está dependente do número de elementos extraídos

37 37 Comparação dos métodos No caso do Ex.2.17

38 38 Diversificação do risco

39 39 Diversificação do risco O modelo estatístico ajuda a decidir num problema com risco Podemos diminuir o risco juntando actividades – diversificando Em termos estatísticos, são operações de soma de variáveis aleatórias.

40 40 Diversificação do risco Em termos económicos trata-se de construir uma carteira de activos “Não pôr os ovos todos no mesmo cesto” Uma concretização negativa de um activo será estatisticamente compensada por uma concretização positiva de outro activo

41 41 Diversificação do risco Por exemplo, na praia podemos vender gelados e gabardines. Quando faz calor, a venda de gabardines dá prejuízo e a de gelados dá lucro Quando chove, a venda de gabardines dá lucro e a de gelados dá prejuízo Vender de ambos diminui o risco

42 42 Diversificação do risco Faz CalorChove Gelados+200-100 Gabardines-100+200 Total do negócio +100

43 43 Duas variáveis Divisão das variáveis em cenários –Probabilidades cruzadas Já utilizamos no ex.2.5 O método é semelhante à situação em que temos uma variável estatística, mas agora serão cenários que envolvem a concretização de vários contingências.

44 44 Exercício Ex.2.18. Um pescador precisa decidir se vai pescar ou não. Não sabe a quantidade que vai pescar nem o preço a que vai vender. A intuição permite-lhe construir cenários e atribuir-lhes probabilidades. De, em simultâneo, se verificar uma quantidade pescada (em kg) e um preço (em €/kg).

45 45 Exercício Pesca \ preço[1; 2]€/k]2; 3]€/k]3; 4]€/k [0; 100]kg0%4%10% [100; 250]kg1%35%15% ]250; 400]kg5%10% ]400; 500]kg9%1%0%

46 46 Exercício O pescador pode agora calcular a receita (em termos médios e desvio padrão) multiplicando a quantidade (do meio do intervalo) pelo preço (do meio do intervalo) e decidir ir pescar se, e.g., a receita média menos o desvio padrão for maior que os custos fixos

47 47 Exercício

48 48 Exercício B8: =$A2*B$1 F2: =B8*B2 H6: =SUM(F2:H5) F8: =(B8-$H$6)^2*B2 H12: =SUM(F8:H11) H13: =H12^0,5

49 Decisão Depende agora dos custos fixos necessários para poder pescar. Se fossem, por exemplo, 500€ ficaria Lucro médio = 61,50€ Des.Pa.lucro = 270,76€ Se a função objectivo fosse LM-DP = 61.50-270.76, não ia pescar por ser <0. 49

50 50 6ª Aula

51 51 Exercício Ex.2.19. Uma empresa com 1000 trabalhadores pretende contratar um seguro de trabalho que dura 5 anos O seguro, em caso de morte, paga 60 meses de salário à viúva. Quanto deve ser o prémio mensal, antecipado?

52 52 Exercício R. Temos 3 variáveis desconhecidas, a taxa de juro, a longevidade e o salário Vamos supor que a seguradora assumiu 45 cenários, calculou as probabilidades de cada um e construiu um modelo no Excel. Assume-se que a probabilidade de nos 5 anos o trabalhador morrer é 0,140%

53 53 Exercício

54 54 Exercício

55 55 Exercício K3: =I3*$O$2*H3/(1-(1+H3)^-G3)/(1+H3) L3: =K3*J3 M3: =(K3-$L$52)^2*J3 L51: =SOMA(L3:L49) M50: =SOMA(M3:M49) M51: =M50^0,5

56 56 Exercício As reservas médias são de 4.91€ pelo que a seguradora tem lucro médio positivo com um prémio baixo,  6€/mês Mas, este negócio tem um risco tão elevado (d.p.=166.85€/mês) para a seguradora que é inviável. Apenas será possível se a seguradora conseguir diversificar este seguro. –Segurar os 1000 trabalhadores?

57 57 Associação entre variáveis - FD No caso de termos duas variáveis aleatórias, além da F. Distribuição e dos parâmetros (valor médio e desvio padrão) que caracterizam cada uma das variáveis, haverá um parâmetro para quantificar o grau de associação estatística entre as variáveis.

58 58 Associação entre variáveis - FD Por exemplo, nas calças são importantes a largura da cintura e a altura de perna do cliente que, na hora de fabrico, são desconhecidas. Mas, num cliente aleatório, em média, quanto maior for a sua cintura, maior será a sua altura de perna.  As calças de número maior são mais compridas

59 59 Associação entre variáveis -FD Covariância: é um parâmetro que condensa a associação entre duas variáveis estatísticas.

60 60 Associação entre variáveis t1A covariância pode ser negativa, zero ou positiva. É crescente com os desvios padrão das variáveis A variância é um caso particular da covariância

61 61 Associação entre variáveis Coeficiente de correlação linear de Pearson,  (x, y) Retira à covariância o efeito dos desvios padrão

62 62 Associação entre variáveis Coeficiente de correlação linear está no intervalo [–1; 1] Se for zero, as variáveis não estão associadas (linearmente). Se for –1 ou 1, estão perfeitamente associados em sentido contrário ou no mesmo sentido, respectivamente.

63 63 Associação entre variáveis Propriedades da covariância e do coeficiente de correlação linear i) A covariância (e o coeficiente de correlação linear) entre duas constantes ou entre uma variável e uma constante é zero  (a, b) = 0;  (a,X) = 0

64 64 Associação entre variáveis ii) Somando uma constante a uma das variáveis, a covariância e o coeficiente de correlação linear mantêm-se:  (a+X,Y) =  (X,Y);  (a+X,Y) =  (X,Y)

65 65 Associação entre variáveis iii) Multiplicando uma das variáveis por uma constante, a covariância vem multiplicada e o coeficiente de correlação linear mantém-se (a menos do sinal e de ser zero):  (a.X,Y) = a.  (X,Y);  (a.X,Y) = sig(a).  (X,Y)

66 66 Associação entre variáveis iv) A covariância e o coeficiente de correlação são comutativos:  (X,Y) =  (Y,X);  (X,Y) =  (Y,X)

67 67 Exercício X~N(10;5), Y~N(-1;3),  (X; Y) = 0.7 Determine a)  (3X; 2Y) e  (3X;2Y) b)  (-X; 2Y) e  (-X;2Y) c)  (5-5X;-2-Y) e  (5-5X;-2-Y)

68 68 Exercício  (X; Y) = 0.7*5*3 = 10.5 a)  (3X; 2Y)=3*2*10.5 = 63,  (3X;2Y)=0.7 b)  (-X; 2Y)= -1*2*10.5 = -21,  (-X;2Y)=-0.7 c)  (5-5X;-2-Y) = -5*-1*10.5 = 52.5,  (5-5X;-2-Y) = -1*-1*0.7=0.7

69 69 Soma de variáveis estatísticas diversificação do risco

70 70 Soma de variáveis estatísticas Até agora apenas somamos constantes com variáveis É muito relevante no contexto da M.F. porque modeliza o comportamento estatístico das carteiras de activos partindo-se das propriedades individuais dos activos que a constituem.

71 71 Soma de variáveis estatísticas Distribuição da soma de duas V.A. Se as variáveis tiverem distribuição normal, então a soma também terá distribuição normal. Se não tiverem, a soma será mais próxima da distribuição normal que as distribuições das parcelas. A soma de + 30 variáveis aleatórias com distribuição desconhecida que sejam pouco correlacionadas, pode assumir-se que tem distribuição normal.

72 72 Soma de variáveis estatísticas Média da soma. Sendo que existem duas variáveis, X e Y, a soma Z = X + Y terá como valor médio a soma dos valores médios de cada variável estatística.

73 73 Soma de variáveis estatísticas Variância e desvio padrão da soma. Sendo que existem duas variáveis, X e Y, a soma Z = X + Y terá como variância a soma das variâncias de cada variável mais duas vezes a covariância.

74 74 Exercício t2 Ex.2.22. Um intermediário de legumes, quando encomenda desconhece o preço de aquisição e de venda dos legumes PC ~ N(0.50€/kg, 0.10€/kg). PV ~ N(0.60€/kg, 0.15€/kg). Tem que pagar 75€ pelo transporte. A correlação linear entre o preço de compra e de venda é de 0.5 i) Determine qual vai ser o lucro de intermediar 1000kg de legumes. ii) Determine a probabilidade de ter prejuízo.

75 75 Exercício Trata-se de operações algébricas com variáveis aleatórias. Lucro = 1000(PV – PC) –75. PV – PC = N(0.60, 0.15) – N(0.50, 0.10) = N(0.10,  (0.15 2 +2  (– 0.5)  0.15  0.10+0.10 2 )) = N(0.10, 0.1323) Troca o sinal da correlação porque está a subtrair = *(-1)

76 76 Exercício 1000 N(0.10, 0.132) = N(100, 132.3) N(100, 132.3) –75 = N(25, 132.3) No Excel, =NORMDIST(0; 25; 132.3;TRUE) Tem 42.5% de probabilidade de ter prejuízo

77 77 Exercício Ex.2.23. Duas acções, com rentabilidades X ~ N(5%; 5%)/ano e Y ~ N(10%, 7%)/ano e com correlação linear de 0.25. Determine a rentabilidade de uma carteira com a proporção 0.5 de X e 0.5 de Y.

78 78 Exercício Z = 0.5X+0.5Y  (Z) =  (0.5X)+  (0.5Y) = 0.5  (X)+ 0.5  (Y) = 0.5x5%+ 0.5x10% = 7.5%/ano

79 79 Exercício Z = 0.5X + 0.5Y  2 (Z) =  2 (0.5X) + 2  (0.5X, 0.5Y) +  2 (0.5Y) = (0.5x5%) 2 + 2x0.25x(0.5x5%)x(0.5x7%) + (0.5x7%) 2 =0,0022875   (Z) = 4.78%

80 80 7ª Aula 25 Nov

81 81 Extensão à soma de N variáveis Se eu somar três variáveis, posso fazer X+(Y+Z) E retiro que  2 (X+Y+Z) = =  2 (X)+  2 (Y)+  2 (Z) + 2  (X,Y)+2  (X,Z) +2  (Y,Z) Facilmente estendo para N

82 82 Extensão à soma de N variáveis Ex.2.24. Uma empresa pretende lançar o seu produto em novos mercados. Moscovo tem custo Cm  N(3, 0.5) e resultado actualizado das vendas Vm  N(7, 1) São Petersburgo tem custo Csp  N(2, 0.6) e resultado actualizado das vendas Vsp  N(6, 2). O lucro resulta de subtrair os custos ao resultado actualizado das vendas,

83 83 Extensão à soma de N variáveis Os coeficiente de correlação linear são  CmCspVmVsp Cm100.50 Csp0100.5 Vm0.5010.7 Vsp00.50.71

84 84 Extensão à soma de N variáveis i) Determine o lucro da representação de Moscovo e de São Petersburgo (separadas). ii) Determine o lucro de abertura das duas representações (em conjunto).

85 85 Extensão à soma de N variáveis i) Lucro da representação (separadas). Lm = Vm – Cm = N(7; 1) – N(3; 0.5) = N(4,  (1 2 +2  1  0.5  (-0.5) + 0.5 2 )) = N(4, 0.866) Lsp = Vsp–Csp = N(6; 2) – N(2; 0.6) = N(4,  (2 2 +2  2  0.6  (-0.5) + 0.6 2 )) = N(4, 1.778)

86 86 Extensão à soma de N variáveis i) Lucro das representações juntas. Lm = Vm – Cm + Vsp–Csp = N(7; 1) – N(3; 0.5) + N(6; 2) – N(2; 0.6) = N(8,  (1 2 + 0.5 2 + 2 2 + 0.6 2 + 2  1  0.5  -0.5+ 2  2  0.6  -0.5 + 2  1  2  0.7)) = N(8, 2.59) Para simplificar, só tenho 3 correlações diferentes de zero.

87 87 Exercício Ex.2.25. Um seguro de trabalho cobra um prémio de 6€/ano e obriga a seguradora a constituir como reservas F(4.91; 166.65)€/ano. i) Supondo que os acidentes não estão correlacionados, determine o lucro por trabalhador de segurar 1, 100 trabalhadores e 1000trabalhadores.

88 88 Exercício L 1 = P-R = 6- F(4.91; 166.65) = F(1.09; 166.65)€/ano L 100 /100 = (L 1 +L 1 + … + L 1 )/100 = = N(109;  (100*166.65 2 ))/100 = N(1.09;16,67) €/ano L 1000 /100 = (L 1 +L 1 + … + L 1 )/1000 = = N(1090;  (1000*166.65 2 ))/1000 = N(1.09;5,27) €/ano

89 89 Exercício ii) Supondo que quando há um acidente é provável que morra mais que um trabalhador. Assim, recalcule o lucro por trabalhador com a correlação entre as fatalidades assumida como 0.1

90 90 Exercício

91 91 Exercício Quanto menos correlacionados estiverem os acontecimentos e maior número de acontecimentos misturarmos, maior será a diminuição do risco e mais a função distribuição resultante se aproxima da função distribuição normal.

92 92 Exercício Ex.2.26. O “Seguro de Invalidez”, ex.2.21, obriga a F(7.27, 351.65)€/mês de reservas por cada 500€/mês de indemnização. O prémio será o valor médio das reservas mais o desvio padrão. Supondo que a invalidez dos trabalhadores não está correlacionada, determine o prémio em função do tamanho da carteira de seguros.

93 93 Exercício n = 100  P = 42.44€/mês; n = 1000  P = 18.39€/mês; n = 10000  P = 10.79€/mês.