FREQUÊNCIA COMPLEXA A SENOIDE AMORTECIDA

Apresentação em tema: "FREQUÊNCIA COMPLEXA A SENOIDE AMORTECIDA"— Transcrição da apresentação:

1 FREQUÊNCIA COMPLEXA A SENOIDE AMORTECIDA O conceito de Frequência Complexa será introduzido a partir de uma função senoidal exponencialmente amortecida.

2 FREQUÊNCIA COMPLEXA É a tensão da forma em que α é real negativo.
A TENSÃO SENOIDAL AMORTECIDA É a tensão da forma em que α é real negativo. (constante) (exponencial) (senoidal) Note que o expoente de e, ou seja, αt, é adimensional. Assim, por exemplo, em as dimensões de -3t são Nepers (Np) e -3 é a frequência neperiana em Np/s.

3 FREQUÊNCIA COMPLEXA Uma função do tipo em que K e s são constantes complexas, é caracterizada pela frequência complexa s, sendo Para uma tensão constante, pode-se escrever Para uma tensão na forma exponencial, tem-se que

4 Para uma tensão senoidal
FREQUÊNCIA COMPLEXA Para uma tensão senoidal é preciso escrever a função cosseno na forma exponencial. Da identidade de Euler, tem-se que Somando-se estas duas expressões, tem-se que: O que resulta em: Assim, tem-se que:

5 FREQUÊNCIA COMPLEXA tem-se que: Substituindo-se esta expressão em
Observe também que K1 e K2 são complexos conjugados. Obtém-se Observa-se então, que a tensão senoidal é caracterizada por um par de frequências complexas conjugadas

6 FREQUÊNCIA COMPLEXA Para a tensão senoidal exponencialmente amortecida tem-se que: A tensão senoidal exponencialmente amortecida é caracterizada também por um par de frequências complexas conjugadas

7 FREQUÊNCIA COMPLEXA Exemplos:
Observe que a senoide exponencialmente amortecida é o caso geral, quando nem α nem ω são nulos. A tensão constante, a exponencial e a senoidal são vistos como casos particulares da senoide exponencialmente amortecida . Devemos ser capazes, agora, de reconhecer por inspeção as frequências complexas associadas a essas tensões. Exemplos:

8 FREQUÊNCIA COMPLEXA Consideremos agora o caso inverso, ou seja, dada uma frequência complexa ou um par conjugado de frequências complexas, devemos ser capazes de identificar a natureza da função a que estão associadas. Se s=0, temos uma constante e K é real; Um valor positivo de s, como s=5, identifica uma função exponencialmente crescente, Ke5t, em que K deve ser real para que a função seja física. Um valor negativo de s, como s=-5, refere-se a uma função exponencialmente decrescente, Ke-5t, (K também deve ser real). Um valor de s puramente imaginário, como por exemplo, s=j2, nunca pode ser associado a uma quantidade real, porque a forma Kej2t resulta em K(cos2t+jsen2t).

9 Por exemplo, se K1= 6 + j8 e K2 = 6 - j8, obtém-se a senoide real
FREQUÊNCIA COMPLEXA Para se construir uma função real é necessário considerar valores conjugados de s, como s1= j2 e s2= -j2, que devem ser associados a valores conjugados de K. Neste caso, tem-se uma tensão senoidal com frequência angular de 2 rad/s. Se conhecermos K, podemos construir a função senoidal. Por exemplo, se K1= 6 + j8 e K2 = 6 - j8, obtém-se a senoide real V(t) = 20 cos(2 t + 53,13°). (Façam a transformação). De maneira análoga, um valor geral de s, como s = -3 + j5, somente pode ser associado a uma quantidade real se estiver acompanhado de seu conjugado s = -3 - j5. Neste caso, tem-se uma senoide exponencialmente decrescente e-3t cos5t. A amplitude e o ângulo de fase vão depender dos valores específicos de K1 e K2.

10 FREQUÊNCIA COMPLEXA OUTRA INTERPRETAÇÃO DA FREQUÊNCIA COMPLEXA
O conceito padrão de frequência traz também outro significado além de “repetições por segundo”. O valor da frequência está relacionado também à velocidade de mudança da função considerada. Alta frequência significa variação rápida. Este significado também pode ser abstraído da frequência complexa de uma função exponencial complexa no tempo. Seja f(t) = Kest . A taxa de variação de f(t) é df(t)/dt = sKest. Normalizando, dividindo por f(t), tem-se que:

11 FREQUÊNCIA COMPLEXA OUTRA INTERPRETAÇÃO DA FREQUÊNCIA COMPLEXA
Ou seja, essa taxa de variação normalizada é uma constante independente do tempo e é identicamente igual à frequência s. Assim, podemos também interpretar a frequência complexa como a taxa normalizada de variação no tempo da função exponencial complexa.