RADICAIS RECORDA PROPRIEDADE 1

Apresentação em tema: "RADICAIS RECORDA PROPRIEDADE 1"— Transcrição da apresentação:

1 RADICAIS RECORDA PROPRIEDADE 1
Sejam a, b e c números reais. Se a < b, então a + c < b +c EXEMPLOS Sabendo que – 5 < 8, podemos afirmar que − −5< − Sabendo que -3 > -7, podemos concluir que − −3>− −7

2 RECORDA PROPRIEDADE 2 Sejam a, b e c números reais. 2.A Se c > 0 tem-se: se a < b, então 𝑎×𝑐<𝑏 ×𝑐 2.B Se c < 0 tem-se: se a < b, então 𝑎×𝑐>𝑏×𝑐 EXEMPLOS Se – 3 < 9, podemos concluir que −3 × −2 4 <9 × −2 4 Se – 5 < 7, podemos concluir que −5 × −2 3 >7 × (−2) 3

3 MONOTONIA DA POTENCIAÇÃO
PROPRIEDADE 3 Dados dois números reais a e b e um número ímpar 𝑛∈𝐼𝑁 , se 𝑎<𝑏 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 𝑎 𝑛 < 𝑏 𝑛 Exemplo: Se – 5 < -2, podemos concluir que (−5) 5 < (−2) 5 PROPRIEDADE 4 Dados dois números reais a e b e um número par 𝑛∈𝐼𝑁, se: . 0≤𝑎<𝑏 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 0≤ 𝑎 𝑛 < 𝑏 𝑛 . 𝑎<𝑏≤0 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 𝑎 𝑛 > 𝑏 𝑛 ≥0 Exemplos: . Sendo 0≤3<5 podemos concluir que 3 4 < 5 4 . Sendo −7<−3 ≤0 podemos concluir que (−7) 2 > (−3) 2

4 Exercício Demonstra a seguinte propriedade: Sejam a, b, c e d números reais Se a < b e c < d, então a + c < b + d Resolução: De a < b, obtemos que a + c < b + c De c < d, obtemos que b + c < b +d Por TRANSITIVIDADE DA RELAÇÃO ORDEM vem que: a + c < b + d Pela propriedade 1

5 EXERCÍCIO Sendo a e b dois números reais tais que 0≤𝑎<𝑏 Mostra que 𝑎 2 < 𝑏 2 Resolução: Tem-se que: 𝑎<𝑏 𝑒 𝑎≥0 Caso a = 0 Sendo 0 < b devemos provar que 0 < 𝑏 2 De 0<𝑏, 𝑜𝑏𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠 0×𝑏 <𝑏×𝑏, ou seja 0< 𝑏 2 Caso a > 0 Sendo a < b, obtemos 𝑎×𝑎<𝑏×𝑎 , isto é, 𝑎 2 <𝑏×𝑎 Por outro lado, 𝑏×𝑎<𝑏×𝑏, isto é, 𝑏×𝑎< 𝑏 2 Por TRANSITIVIDADE vem que: 𝑎 2 < 𝑏 2

6 EXERCÍCIO Sendo a e b dois números reais tais que 0≤𝑎<𝑏 b) Mostra que se para um dado 𝑛∈𝐼𝑁 se tem 𝑎 𝑛 < 𝑏 𝑛 , 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 𝑎 𝑛+1 < 𝑏 𝑛+1 Tem-se que: 𝑎<𝑏 𝑒 𝑎≥0 Caso a = 0 Como 0 < b, então 0< 𝑏 𝑛+1 , ∀ 𝑛∈𝐼𝑁 (o produto de números positivos é positivo) Logo 𝑎 𝑛+1 < 𝑏 𝑛+1 Caso a > 0 Sendo 𝑎 𝑛 < 𝑏 𝑛 , podemos dizer 𝑎 𝑛 ×𝑎< 𝑏 𝑛 ×𝑎 Como 0 < b, resulta 0 < 𝑏 𝑛 e como a < b, vem que : 𝑏 𝑛 ×𝑎< 𝑏 𝑛 ×𝑏 Por TRANSITIVIDADE vem que: 𝑎 𝑛 ×𝑎< 𝑏 𝑛 ×𝑏, isto é, 𝑎 𝑛+1 < 𝑏 𝑛+1

7 Raízes de índice 𝑛∈𝐼𝑁, 𝑛 ≥2
Considera as seguintes equações em IR 𝑥 2 =4 ; 𝑥 3 =−8 ; 𝑥 2 =0 ; 𝑥 2 =−4 ; 𝑥 3 =8 ; 𝑥 3 =0 Vamos resolver … 𝒙 𝒏 =𝒂 n é par n é ímpar a > 0 Duas e só duas soluções b e -b Uma e uma só solução b a = 0 Uma solução: 0 a < 0 Não tem soluções

8 Definição Dado um número real a e um número natural n ímpar, existe um único número real b tal que 𝑏 𝑛 =𝑎. O número real b designa-se por raiz índice n de a e representa-se por 𝑛 𝑎 . Definição Dado um número real positivo a e um número natural n par, existe um único número real positivo b tal que 𝑏 𝑛 =𝑎. Verifica-se também que (−𝑏) 𝑛 =𝑎 e que não existe, para além de b e de –b, qualquer outra solução da equação 𝑥 𝑛 =𝑎 O número real positivo b designa-se por raiz índice n de a e representa-se por 𝑛 𝑎 .

9 Definição Dado um número natural n, 0 é o único número real cuja potência de expoente n é igual a 0 e, por esta razão, representa-se também por 𝑛 0 Definição 𝑛 𝑎 diz-se um radical ou uma raiz, em que n é o índice e a é o radicando.

10 Exercícios (carácter demonstrativo)
Seja n um número natural ímpar e sejam a e b números reais tais que 𝑏 𝑛 =𝑎. Mostra que b é único.

11 Exercícios (carácter demonstrativo)
Seja n um número natural par e a e b números reais positivos, tais que 𝑏 𝑛 =𝑎. Mostra que (−𝑏) 𝑛 =𝑎 e que não existem outras soluções da equação 𝑥 𝑛 =𝑎 para além de –b e b.

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13 Propriedades algébricas dos radicais

14 Produto de raízes com o mesmo índice

15 Quociente de raízes com o mesmo índice

16 Potência de uma raiz

17 Potência de uma raiz (continuação)

18 Composição de raízes

19 Simplificação de raízes
A simplificação da adição de radicais só pode ser feita quando estes tiverem o mesmo índice e o mesmo radicando. Para isso, aplica-se a propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição, colocando em evidência fatores comuns.

20 Por vezes, na adição de expressões com radicais parece que não podemos efetuar simplificações, ou porque não têm o mesmo índice ou porque não têm o mesmo radicando. Acontece, porém, que algumas dessas expressões não se encontram na sua forma mais simples. Para radicais com o mesmo índice, pode nalguns casos ser feita uma simplificação passando fatores para fora do radical.

21 Racionalização de denominadores

22 Racionalização de denominadores
Por racionalização do denominador de uma fração, entende-se o processo que conduz à obtenção de uma fração equivalente à dada, cujo denominador é um número natural. Na prática, se o denominador for uma expressão com radicais, o objetivo é transformar a fração noutra equivalente, sem radicais no denominador.

23 Exemplos

24 Exemplos

25 Neste caso, multiplicamos o numerador e o denominador por uma expressão, que se designa por expressão conjugada. Exemplo

26 EXERCÍCIOS

27 EXERCÍCIOS

28 EXERCÍCIOS

29 POTÊNCIAS DE EXPOENTE RACIONAL
Definição (Radicais equivalentes) Sejam 𝑎≥0, 𝑚, 𝑛, 𝑚 ′ 𝑒 𝑛 ′ 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑖𝑟𝑜𝑠 𝑡𝑎𝑖𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑚, 𝑚 ′ ∈ 𝑍 𝑒 𝑛 , 𝑛 ′ ∈𝐼𝑁 {1}, sendo 𝑚 𝑛 = 𝑚 , 𝑛 , Nestas condições, 𝑛 𝑎 𝑚 = 𝑛 ′ 𝑎 𝑚 ′ Exemplo: = 3×2 5 2×2 =

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31 Objetivo: Estender o conceito de potência de base não negativa e expoente natural a potência
de base não negativa e expoente racional positivo

32 Objetivo: Estender o conceito de potência de base não negativa e expoente racional positivo
para potência de base não negativa e expoente racional negativo.

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34 Propriedades algébricas das potências de base positiva e expoente racional

35 Produto de potências com a mesma base

36 Produto de potências com o mesmo expoente

37 Quociente de potências com a mesma base

38 Quociente de potências com o mesmo expoente

39 Potência de potência

40 Exercícios resolvidos

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