Projeções de Séries Temporais – Econometria dos Mercados Financeiros Mestrado Profissionalizante em Finanças e Economia Empresarial FGV / EPGE Prof. Eduardo.

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1 Projeções de Séries Temporais – Econometria dos Mercados Financeiros Mestrado Profissionalizante em Finanças e Economia Empresarial FGV / EPGE Prof. Eduardo Ribeiro Julho – Setembro 2007

2 Objetivo do curso  Capacitar o aluno a realizar previsões de séries de tempo financeiras e econômicas

3 Previsão de séries temporais  Tipos de previsão E(Y t |  t ) E(Y t |  t-1 ) V(Y t |  t-1 ) V(Y t |  t-1 )

4 Previsão de séries temporais  Exemplos E(Y t |  t )=  +  x t E(Y t |  t-1 ) =  +  x t-1 E(Y t |  t-1 ) =  +  y t-1 V(Y t |  t-1 ) =  +    t-1 V(Y t |  t-1 ) =  +    t-1

5 Modelo Clássico de séries temporais  Decomposição da série em Ciclo (C), Tendência(T), Sazonalidade (estacionalidade) (S) e Irregular (I). Y = C + T + S + I (linear) Y = C T S I (multiplicativo) lnY = lnC + lnT + lnS + lnI y = c + t + s + i y = c + t + s + i

6 Modelo Clássico de séries temporais  Ciclo é relativamente pouco estudado pois exige séries que envolvem décadas (problema de quebras estruturais), ou é incluído na tendência (não linear).  Modelo básico: ruído branco Y = I y t =  +  t onde  t ~iid(0,  2 )

7 Modelo Clássico de séries temporais  Componentes fixos (não estocásticos): T=  t S =    s d st onde d st =1 se mês / trimestre / dia da semana = s e d st =0 em outros casos.

8 Modelo Clássico de séries temporais – exemplo simples y t =  +  t +    s d st +  t Série sem tendência: z t = y t –  +  t Série sem sazonalidade: z t = y t –  –    s d st Série sem tendência nem sazonalidade  t = y t –  –  t –    s d st  t = y t –  –  t –    s d st

9 Modelo Clássico de séries temporais – exemplo simples Gráficos

10 Avaliação do Modelo de Previsão  Considera-se um bom modelo de previsão aquele  Com previsões não viesadas;  Eficiente (menor erro de previsão);  Usa toda a informação disponível;  Parcimonioso (lâmina de Occam).

11 Outro modo de ver o problema  O Objetivo é exaurir a informação disponível em y, a partir das informações de , de modo que o “erro” não tenha nenhuma informação sistemática.  Em outras palavras, para  =x, sabendo que V(y) =  2 V( x) + V(  )  queremos ter um modelo onde:  V(  ) <<V(y), e   seja ruído branco.

12 Medidas de avaliação de modelos  Para avaliar se as previsões são não viesadas, avaliar graficamente;  Para avaliar se o erro de previsão (dentro e fora da amostra) é pequeno, considera-se as seguintes medidas:  MSE =  (y t – ÿ t ) 2 /T  MAE =  |y t – ÿ t |/T  AIC= T ln (SQR) + 2 k  SIC= T ln (SQR) + k ln(T)

13 Medidas de avaliação de modelos  Para avaliar se toda a informação está sendo empregada, usamos  Testes de especificação (autocorrelação); e  Teste de variáveis omitidas.  Para avaliar se o modelo é parcimonioso, usamos critérios de informação como SIC e/ou R 2 -ajustado.

14 Lembrando as Hipóteses do Modelo 1.Relacionamento linear entre as variáveis 2. E(  i ) = 0 3. E(  i 2 ) =  2 (constante) 4.Os erros são independentes entre si: E(  i  j ) = 0, i  j = 1, 2, 3... 5.Os erros e as variáveis explicativas são independentes: E(x ki  i ) = 0 6.Distribuição Normal dos erros:   ~iid N(0,  2 ) 7.As variáveis explicativas não podem ser combinações lineares entre si.

15 Testes dos Resíduos 1. Autocorrelação1. Autocorrelação  Correlação no tempo (ontem ajudando a prever hoje), i.e., Cor(e t, e t-s )  0.  Problemas da autocorrelação: inferência errada (desvios padrões dos coeficientes calculados de modo errôneo).  Diagnóstico: Correlograma  Diagnóstico: Test Serial Correlation LM: significância da regressão de e t em função de e t-1, e t- 2,..., e t-p  Solução: incluir termos autoregressivos, MQG ou corrigir desvios padrões (Método Newey-West.)

16 Modelo de séries temporais  Componentes aleatórios (não estocásticos): I =  1 y t-1 +  2 y t-2, onde |  |<1 T=  y t-1, onde  =1 S =  s y t-s onde s=4, se dados trimestrais, s=12 se dados anuais, etc...

17 Modelo de séries temporais  Modelo com tendência estocástica (random walk): y t =  + y t-1 +  t ou  y t = y t - y t-1 =  +  t (retornos, ao invés de preços)

18 Modelo de séries temporais  Modelo com tendência e sazonalidade estocástica: z t =  y t z t =  +  s z t-4 +  t ou (1- L)(1-  s L 4 ) y t =  +  t A(L) y t =  +  t Onde L é o operador de defasagens e A(L) é um polinômio em L.

19 Propriedades do operador de defasagem  L i y t = y t-i  L -i y t = y t+i  Lc = c  (L i + L j )y t = y t-i + y t-j  L i L j y t = y t-(i+j)  Se |  |<1, (1-  L-  2 L 2 -  3 L 3 -...)= 1/(1-  L)  Se |  |>1, (1-  L-  2 L 2 -  3 L 3 -...)= -  L/(1-  L)

20 Propriedades de uma série de tempo  Uma série de tempo apresenta a peculiaridade de que temos amostras de tamanho 1 apenas para cada data t.  Para podermos empregar o instrumental estatístico usual em uma série de tempo, algumas condições tem de ser verificadas, para que a série seja estacionária (fracamente estacionária / estac. de 2a ordem / estac. na covariância).

21 Estacionariedade de uma série de tempo  Condições para estacionariedade  E(y t )=   V(y t ) =  2  Cov(y t, y t-s ) =  s  Note que a média, variância e covariância não dependem da data em que está sendo avaliada (t).  Desta forma qualquer período é representativo do comportamento da série.

22 Estacionariedade de uma série de tempo  As propriedades da série de tempo A(L)y t =  +  t dependem do polinômio A(L), que faz com que a série seja uma equação em diferenças.  “Uma equação em diferenças expressa o valor de uma variável em termos de seus valores defasados, do tempo e outras variáveis”.  As raízes do polinômio (propriedades) influenciam as propriedades estatísticas das séries.

23 Estacionariedade de uma série de tempo  As propriedades da série de tempo A(L)y t =  +  t dependem do polinômio A(L), que faz com que a série seja uma equação em diferenças.  “Uma equação em diferenças expressa o valor de uma variável em termos de seus valores defasados, do tempo e outras variáveis”.