Modelos ARIMA Rodrigo Gabriel de Miranda Robert Samohyl.

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1 Modelos ARIMA Rodrigo Gabriel de Miranda Robert Samohyl

2 Introdução Os modelos ARIMA fazem parte da classe de modelos univariados. Início 70’s Auto-Regressivo Integrado de Médias Móveis)Definição ARIMA ( Auto-Regressivo Integrado de Médias Móveis)

3 Metodologia Box-Jenkins Fase 1 – Identificação Preparação dos dados Transformar os dados para estabilizar a variância Diferenciar os dados para estacionar a série Seleção do modelo Examinar os dados, FAC e FACP para identificar os modelos potenciais

4 Séries não estacionárias Exemplos de séries não estacionárias

5 Função de Autocorrelação (FAC) Função Intervalo de confiança (aproximação)

6 Função de Autocorrelação Parcial (FACP) Mede o grau de associação de entre Y t e Y t-k, quando o efeito de outras defasagens no tempo – 1,2,3,...,k-1 – são removidos Ex. Se existir uma autocorrelação entre Y t e Y t-1, então existe uma correlação entre entre Y t-1 e Y t-2. Consequentemente existe uma correlaçao entre Y t e Y t-2, pois ambos estão relacionadas a Y t-1.

7 Exemplo – pib da industria Produção industrial (índice) Fonte: IBGE Série: 1991-1, 2006- 12.

8 FAC para uma série não estacionária O primeiro coeficiente de autocorrelação é grande As autocorrelações decaem lentamente

9 FACP para uma série não estacionária O FACP apresenta um prego perto do valor 1 para uma defasagem.

10 Dicas para estacionar a série Os dois exemplos são de séries já estacionárias. A primeira é uma série não sazonal com média constante A segunda é uma série com sazonalidade aditiva e média constante

11 Dicas para estacionar a série As séries não são estacionárias na média (tendência linear e tendência linear com sazonalidade aditiva) Transformação: primeira diferença Y’ = Y t – Y t-1

12 Dicas para estacionar a série Série não estacionária na média e na variância Série com tendência linear e sazonalidade multiplicativa. Transformação: primeira diferença do ln Y’ = ln(Y t )-ln(Y t-1 )

13 Dicas para estacionar a série As séries não são estacionárias na média Série com tendência quadrática Transformação: segunda diferença Y’’ = Y’ t – Y’ t-1 = (Y t – Y t-1 ) – (Y t-1 – Y t-2 ) = Y t – 2Y t-1 + Y t-2

14 Dicas para estacionar a série Série não estacionária na média e na variância Série com tendência quadrática e sazonalidade multiplicativa. Transformação: segunda diferença do ln

15 Exemplo – transformação: primeira diferença (série) Transformado Original

16 Exemplo – transformação: primeira diferença (FAC) TransformadoOriginal

17 Exemplo – transformação: primeira diferença (FACP) TransformadoOriginal

18 Modelo AR(1) ou ARIMA (1,0,0) Modelo auto regressivo de ordem 1

19 Modelo AR(2) ou ARIMA (2,0,0) Modelo auto regressivo de ordem 2

20 Modelo MA(1) ou ARIMA (0,0,1) Modelo de médias móveis de grau 1Modelo de médias móveis de grau 1

21 Modelo MA(2) ou ARIMA (0,0,2) Modelo de médias móveis de grau 2Modelo de médias móveis de grau 2

22 Modelo ARIMA (1,0,1) Modelo misto AR(1), MA(1)Modelo misto AR(1), MA(1) Genericamente os modelos ARIMA são definir por ARIMA(p,d,q)Genericamente os modelos ARIMA são definir por ARIMA(p,d,q) p – número de termos auto regressivos(defasagens no lado direito da equaçãop – número de termos auto regressivos(defasagens no lado direito da equação d – número de diferenças para estacionar a séried – número de diferenças para estacionar a série q – número de médias móveis (erros defasados no lado direito da equação)q – número de médias móveis (erros defasados no lado direito da equação) AR1 = -0.6, MA1 = 0.3 AR1 = 0.9, MA1 = -0.7

23 FAC e FACP – ARIMA(1,0,1) AR1 = -0.6, MA1 = 0.3 AR1 = 0.9, MA1 = -0.7

24 Identificação de modelos AR ou MA puros Decai exponencialmente ou uma curva de sino amortecida. O padrão exato depende do valor e sinal de θ 1.... θ p Prego nas defasagens de 1 até q, depois corta para zero MA(q) Prego nas defasagens de 1 até p, depois corta para zero Decai exponencialmente ou uma curva de sino amortecida. O padrão exato depende do valor e sinal de φ 1.... φ p AR(p) FACPFACProcesso

25 Identificação ARIMA De acordo a tabela anterior verificar se o modelo é um AR ou MA puro ARMA(p,q) Queda gradual ou pregos bem definidos em ambos os CORRELOGRAMAS

26 Modelo ARIMA sazonal Notação: SARIMA (0,0,0) (1,0,0) 12Notação: SARIMA (0,0,0) (1,0,0) 12 Notação: SARIMA (0,0,0) (0,0,1) 12Notação: SARIMA (0,0,0) (0,0,1) 12 Generalizando: Sarima(p,d,q)(P,D,Q) sGeneralizando: Sarima(p,d,q)(P,D,Q) s P - número de termos auto regressivos sazonais (defasagens no lado direito da equação)P - número de termos auto regressivos sazonais (defasagens no lado direito da equação) d – número de diferenças sazonaisd – número de diferenças sazonais q – número de médias móveis sazonais (erros defasados no lado direito da equação)q – número de médias móveis sazonais (erros defasados no lado direito da equação) s – ciclo sazonals – ciclo sazonal

27 Exemplo: identificação Modelo possível ARIMA(1,1,0)(1,0,1) 12 Primeira diferença do pib ind

28 Metodologia Box-Jenkins Fase 2 – Estimação e teste Estimação Estimar parâmetros dos modelos potenciais Selecionar o melhor modelo por algum critério Diagnóstico Checar a FAC e FACP dos resíduos Verificar de os resíduos possuem distribuição normal, com média zero e variância constante

29 Estimação dos parâmetros Nos modelos ARIMA a estimação através de uma função de verossimilhança Para o exemplo anterior: Y’ t = φ 1 Y’ t-1 + φ 2 Y’ t-12 + θ 1 e t-12 + e t Y’ t = Y t – Y t-1 Y’ t = -0.3689 Y’ t-1 + 0.9976 Y’ t-12 + -0.8844e t-12 s.e. 0.0677 0.0036 0.0831 sigma^2 estimated as 10.16: log likelihood = - 507.82, aic = 1023.64

30 Selecionar modelo AIC – critério de informação de AKaike AIC = -2logL+2m L – verossimilhança m = p+q+P+Q Este critério penaliza os modelos com maior número de variáveis Selecionar o modelos com menor AIC.

31 Checar o FAC e FACP dos resíduos(exemplo) Não deve existir nenhuma altocorrelação nos resíduos Se isto ocorrer outro modelo deve ser tentado.

32 Testar a normalidade dos resíduos (exemplo) O histograma deve apresentar uma forma de sino, com a maioria dos valores em torno de zero. Teste estatístico de normalidade - Shapiro- Wilk data: b$residuals W = 0.9961, p-value = 0.9104 Obs: hipótese nula de normalidade

33 Previsão Jan 2007 109.1996 Feb 2007 106.2918 Mar 2007 117.7317 Apr 2007 114.5179 May 2007 120.2556 Jun 2007 118.9860 Jul 2007 122.7341 Aug 2007 125.6595 Sep 2007 123.2329 Oct 2007 126.7847 Nov 2007 123.4185 Dec 2007 113.3679

34 Previsão (exemplo)