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Mineração e Previsão de Séries Temporais Tiago Alessandro Espínola Ferreira Recife – 2 o Semestre de 2001.

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1 Mineração e Previsão de Séries Temporais Tiago Alessandro Espínola Ferreira Recife – 2 o Semestre de 2001

2 Sumário Introdução Séries Temporais Modelos Automáticos Modelos de Box & Jenkins - ARIMA Aplicações do Modelo ARIMA Conclusões

3 Introdução Previsão é um elemento chave na tomada de decisão Sistema de Previsão Planejamento de Produção Planejamento Financeiro Gerenciamento de Estoque Escalonamento de Pessoal Planejamento de Oportunidades Controle de Processo

4 Previsão Predição de eventos futuros, com o intuito de diminuição de risco na tomada de decisão. Erro Ponto Ótimo! Custo da Previsão Custo Total Perdas Devido a Incerteza Custo Vs Benefício

5 Decisão Baseando-se em sistemas de Previsão: += Decisão PrevisãoErro

6 Algumas Definições Período da Previsão Unidade básica de tempo na previsão. Horizonte da Previsão No. de períodos cobertos. Intervalo de Previsão Freqüência de atualização Poderíamos requerer uma previsão para as próximas dez semanas, com uma análise semanal, assim o horizonte seria dez semanas e o período de uma semana

7 Séries temporais Uma série temporal é uma seqüência de observações sobre uma variável de interesse. A variável é observada em pontos temporais discretos, usualmente eqüidistantes, e a análise de tal comportamento temporal envolve a descrição do processo ou fenômeno que gera a seqüência.

8 Padrões de Séries Temporais Processamentos que permanecem constantes sobre um certo nível todo o tempo, com variações de período a período devido a causas aleatórias. Padrões que ilustram tendências no nível dos processos, de maneira que a variação de um período ao outro é atribuída a uma tendência mais uma variação aleatória. Processos que variam ciclicamente no tempo, como em processos sazonais (exemplo: o clima).

9 Modelos de Previsão de Séries Temporais Os procedimentos de previsão de séries temporais podem ser divididos, grosseiramente, em duas categorias: a) Automáticos, que são aplicados diretamente, com a estilização de programas simples de computador; b) Não-Automáticos, que exigem a intervenção de pessoal especializado, para serem aplicados

10 Modelos Automáticos Previsão de Séries Localmente Constantes t é o nível da série A t é um ruído branco

11 Médias Móveis Simples (MMS) Cálculo da média aritmética das r últimas observações Previsão Principal Vantagem: Simples Utilização Principal desvantagem: Determinação de r

12 Exemplo de MMS

13 251696,401597, ,501645, ,801680, ,501656, ,801686,55 Período Valor real de Z t Previsão ,701800,40 Exemplo de MMS

14 Alisamento Exponencial Simples (AES) Previsão Principal Vantagem: Fácil Entendimento Principal desvantagem: Determinação de Com 0 < <1, constante de alisamento

15 Exemplo do AES Preços Médio da Saca de Feijão

16 Exemplo do AES ,90944, ,901226, ,201315, ,201731, ,301975, ,802114, ,102191, ,402433, ,102941, ,203001, ,804691,13 PeríodoValor real de Z t Previsão ,404502,70

17 Modelos Automáticos Previsão de Séries com Tendência t é o nível da série T 1 é a tendência (linear em t) A t é um ruído branco

18 Alisamento Exponencial Linaer de Brown Previsão onde

19 Exemplo do AELB Série do ICV - São Paulo de 1970 a 1980

20 Exemplo do AELB

21 Modelos Automáticos Previsão de Séries Sazonais Sazonalidade Multiplicativa Sazonalidade Aditiva Gera-se três equações de alisamento, uma para a sazonalidade, uma para a tendência e outra para a série Este método é chamado de Alisamento Exponencial Sazonal de Holt-Winters

22 Método HW Multiplicativo Forma Multiplicativa: Equações de Alisamento: Equação de Previsão:

23 Exemplo do HW Multiplicativo Índice do Produto Industrial do Brasil – 1969 até 1980

24 Exemplo do HW Multiplicativo , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,07 Período T Valor RealPrevisão , ,51

25 Filtragem Adaptativa Esta é uma técnica baseada em uma média ponderada da observações passadas da séries temporal São ponderados os k períodos mais recentes porque: São considerados os mais relevantes; Se considerarmos todos os t valores da série temporal, seria necessário t pesos, que poderiam ser determinados de modo a obter exatamente o termo de ordem (t + 1), o que não é desejável porque estaríamos fazendo com que eles se adaptassem não só ao padrão de comportamento da série, mas também à componente aleatória.

26 Pesos Iniciais A determinação dos pesos inicias pode ser feita de duas maeiras: Método de Makridaski Método Silva

27 Método Makridakis Primeiramente são especificados valores iniciais todos iguais a 1,0, isto é, P i = 1,0, i = 1,... k. A seguir é calculada a previsão para Z t+1,, utilizando-se a equação de previsão, que é comparada com o valor observado Z t+1 e sendo calculado o erro de previsão. Os pesos são então ajustados de modo a reduzir o erro na próxima previsão. Este processo é repetido até que se encontre o melhor conjunto de pesos.

28 Método Silva Neste método quer minimizar o erro: onde O problema resume-se a resolver o sistema:

29 Atualização dos Pesos Depois de se gerar os pesos iniciais, este método de Filtragem adaptativa pode passar a atualiza os pesos dinamicamente, segundo a expressão: Onde

30 Exemplo do Método de Filtragem Adaptativa - Makridakis

31 Para = 0,36 – Calculado tal que minimize os erros

32 Exemplo do Método de Filtragem Adaptativa - Makridakis ,90388, ,10413,58430, ,30437,16463, ,30452,81468, ,07494,06509, ,80573,66632, ,60577,62657, ,70564,07639, ,50562,68603, ,40625,21671, ,70629,12670,53 Período T Valor Real Z t Previsão ,50618,08648,08

33 Modelos de Box & Jenkins Box & Jenkins propuseram um método iterativo para a identificação do modelo de uma série temporal – Modelo ARIMA. Este método envolve investigações sobre os dados da série, sem a necessidade de se ter informações prévias sobre a série Este é um procedimento muito poderoso, porém necessita de um conhecimento muito apurado

34 Modelos De Box & Jenkins Modelo é satisfatório? Escolhe um ou mais modelos candidatos ARIMA Estima os parâmetros dos modelos escolhidos Checagem dos modelos quando à adequação Previsão Sim Não Estagio 1: Identificação Estágio 2: Estimação Estágio 3: Verificação

35 Modelos Auto-Regressivos – AR(p) O modelo AR(p) pode ser escrito por: Onde (B) é o operador Auto-Regressivo: (B) = 1- 1 B - 2 B p B p E B é o operador translação para o passado: Pode-se mostrar que a Função de Auto- Correlação para um modelo AR(p) é:

36 FAC – AR(p) Podemos provar que a fac pode ser escrita de forma geral: Onde para que o modelo convirja temos que |G i | < 1, logo. 1. Se G i for real, o termo A i G i j decai geometricamente para zero (amortecimento exponencial); 2. Um par de raízes complexas conjugadas contribui com um termo da forma Ad j Sen(2 fj+F) (senoide amortecida), onde f é uma freqüência, F é uma fase, e o termo Ad j é a amplitude que decresce com o incremento de j, uma vez que |d|<1.

37 FAC – AR(p)

38 Modelo de Médias Móveis – MA(q) O modelo MA(q) pode ser escrito por: Onde (B) é o Operador Médias Móveis: Pode-se mostrar que a Função de Auto-Correlação para um modelo MA(q) é: Vemos que a fac para um MA(q) é finita de extensão q.

39 FAC – MA(1) Para um modelo MA(1), q = 1, e supondo que = -0,8 (para o modelo ser estável, | | < 1):

40 Modelos Mistos – ARMA(p,q) O modelo ARMA(p,q) pode ser escrito por: ou Pode-se mostrar que a Função de Auto-Correlação para um modelo ARMA(p,q) é: Mas que para j > q: onde do que se deduz que as Auto-Correlações de lags 1, 2,..., q serão afetadas pelos parâmetros de médias móveis, mas para j > q as mesmas comportam-se como no modelos auto-regressivos.

41 FAC – ARMA(1, 1) Para um Modelo ARMA(1, 1), pode-se mostrar que: E para j > q Assim, se temos = 0,8 e = -0,3, o gráfico da fac será:

42 FACP Box & Jenkins proporam um segundo método de análise: A Função de Auto-Correlação Parcial: kk As facp podem ser calculadas a partir das eqs. de Yule-Walke:

43 FACP – AR, MA, ARMA i. Um processo AR(p) tem facp kk 0 para k menor ou igual a p, e kk = 0 para k maior que p; ii. Um processo MA(q) tem facp que se comportam de maneira similar às fac de um processo AR(p): são dominadas por exponenciais e/ou senoides amortecidas; iii. Um processo ARMA(p,q) tem facp que se comportam como a facp de um processo MA puro.

44 FACP – AR, MA e ARMA AR(1) MA(1) ARMA(1, 1)

45 Modelos ARIMA As séries que podem ser representados pelos modelos já vistos tem que ser estacionária. Assim um procedimento de torna-las estacionárias é tiramos diferenças: Ou tirando d diferenças: ou Que é o modelo ARIMA(p, q, d).

46 Identificação De forma geral, o modelo ARIMA é parcimonioso, logo em geral d = 0, 1 ou 2 é suficiente para obtermos a identificação dos modelos Faz as diferenças Calcula-se as fac e facp para os dados Analisa-se As funções obtidas com as dos modelos vistos. Identifica-se um conjunto de possíveis modelos

47 Estimação Existem basicamente dois procedimentos de estimação: 1)Procedimento Condicional 2)Procedimento Não Condicional ou Incondicional Todos dos métodos realizam a minimização da função de verossimilhança(condicional e não condiciona)

48 Exemplo de Estimação Supondo Um Modelo ARIMA (0, 1,1) W t = Z t = (1- B) a t E suponha = 0,8, termos A t = W t + 0,8 a t-1 Assim, supondo o método condicional, O menor valor de S * é para = -0,4

49 Verivicação Existem vários métodos de verificação, contudo exibiremos o método do Periodogram acumulado: E o espectro aculumado é: E o periodograma Acumulado é uma estimativa do espectro acumulado:

50 Ruído Branco

51 Aplicação do método ARIMA

52 FAC e FACP d=0 d=1 d=2 FACFACP

53 Estimativa 226 0,018 Número de Observações Modelo Fitados Variância Residual 2260,019 Modelos escolhido: ARIMA (1, 1, 0) e ARIMA (0, 2, 2)

54 Verificação ARIMA(1, 1, 0) ARIMA(0, 2, 2)

55 Conclusões Os modelos Automáticos são bem mais fáceis de serem utilizados, porem requer um conhecimento prévio sobre a série. O Modelo ARIMA é bem mais preciso do que os modelos automáticos mencionados, porém requer mão de obrar super qualificada.


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