MODELOS DE PROBABILIDADES BINOMIAIS E NORMAIS Probabilidade é usada por qualquer indivíduo que toma decisões em situações de incerteza. São várias situações.

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1 MODELOS DE PROBABILIDADES BINOMIAIS E NORMAIS Probabilidade é usada por qualquer indivíduo que toma decisões em situações de incerteza. São várias situações em que é desejável se ter uma medida (avaliação numérica) de quão provável é a ocorrência de determinado evento futuro. Por exemplo: lançamento de um produto, bons lucros em uma operação mercantil, meu time vai ganhar o próximo jogo, etc.

2 Por definição probabilidade pode ser calculada como: Como nas distribuições de freqüências, vamos tratar sobre as distribuições de probabilidades de populações. Pode-se dizer que uma distribuição de freqüência de uma amostra é uma estimativa das distribuições de probabilidades da população. As análises das distribuições de probabilidades possibilitam a construção de modelos que nos auxiliam no entendimento de fenômenos do mundo real.

3 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS = (v.a.) = X Uma v.a. é considerada discreta se toma valores que podem ser contados, ou seja, pode assumir um número de valores de X for finito como uma seqüência infinita numerável (0, 1, 2, 3, ). Uma v.a. é considerada contínua se pode assumir qualquer valor numérico em um intervalo ou uma coleção de intervalos.

4 Tabela 1 - Exemplos de variáveis aleatórias discretas ExperimentoVariável aleatória (X)Possíveis valores para X Contatar cinco clientesNúmero de clientes que colocam um pedido de compra 0, 1, 2, 3, 4, 5 Inspecionar um embarque de 50 rádios Número de rádios defeituosos 0, 1, 2,........48, 49, 50. Operar um restaurante por um dia Número de clientes0, 1, 2, 3,......... Vender um automóvelGênero do cliente0 se masculino 1 se feminino

5 Tabela 2 - Exemplos de variáveis aleatórias Contínuas ExperimentoVariável aleatória (X)Possíveis valores para X Operar um bancoTempo entre as chegadas dos clientes em min. X  0 Encher um recipiente de refrigerante (max.=343 mL) Número de ml 0  X  343 mL Trabalhar em um projeto para a construção de uma nova biblioteca % de término do projeto após 6 meses 0  X  100 Testar um novo processo químico Temperatura quando a desejada reação tem lugar (min 65 o C, max. 100 o C) 65  X  100

6 A VARIÁVEL ALEATÓRIA (X) SERÁ UTILIZADA PARA ESTABELECER MODELOS TEÓRICOS DE PROBABILIDADE COM A FINALIDADE DE DESCREVER POPULAÇÕES.

7 DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADES = freqüência relativa Ao definir a distribuição de probabilidade, estabelecemos uma correspondência unívoca entre os valores da variável aleatória X e os valores da variável P. A função P(X = x i ) determina a distribuição de probabilidade da variável aleatória X.

8 Por exemplo: Demanda diária de aluguel de caminhões durante um período de 50 dias. Demanda possível X Número de diasProbabilidade P(X ) 330,06 470,14 5120,24 6140,28 7100,20 840,08 501,00

9 DISTRIBUIÇÕES DISCRETAS DE PROBABILIDADE – DISTRIBUÇÃO BINOMIAL f(x) = P(X = xi) Representação gráfica da distribuição de probabilidades.

10 Há dois métodos para obter as probabilidades para uma v.a. distribuída binomialmente: Utilização da fórmula binomial. Utilização das tabelas de probabilidades binomiais (xerox).

11 Exemplo: Calcular a probabilidade de 5 sucessos (x = 5) em 8 observações ( n = 8), quando a probabilidade de sucesso é 0,30. Utilizar a tabelas binomiais. Procurar no topo da tabela o valor de p indicado; Localizar o n na coluna esquerda da tabela, e procurar o número x de sucessos desejado; A probabilidade de x sucessos se encontra na intersecção da linha achada conforme a parte 2 com a coluna achada conforme a parte 1. Assim, a probabilidade de exatamente 5 sucessos em 8 observações, quando a probabilidade de sucesso em cada observação é 0,30, é 0,0467.

12 DISTRIBUIÇÕES CONTÍNUAS DE PROBABILIDADE – DISTRIBUIÇÃO NORMAL A variável aleatória X pode assumir todo e qualquer valor real; A curva normal tem a forma de sino; O ponto mais alto na curva normal está a média, que também é a mediana e a moda também; É simétrica em relação à média (  ), que recebe o nome de curva normal ou de Gauss; A área total limitada pela curva e pelo eixo das abscissas é igual a 1 = 100%; A curva normal é assintota em relação ao eixo das abscissas, prolonga-se de -  a +  ; A área sob a curva entre dois pontos é a probabilidade de uma variável normalmente distribuída tomar um valor entre esses pontos;

13 As probabilidades para a variável aleatória normal são dadas por áreas sob a curva. 68,26% dos valores de uma variável aleatória normal estão dentro de um desvio padrão positivo ou negativo de sua média; 99,72% dos valores de uma variável aleatória normal estão dentro de um desvio padrão positivo ou negativo de sua média;  - 3   - 1    + 1   + 3  68,26% 99,72%

14 Distribuição normal-padrão de probabilidades 0 z TABELA DE DISTRIBUIÇÃO NORMAL PADRONIZADA = XEROX

15 Exemplo 03: Seja X a variável aleatória que representa ao diâmetros dos parafusos produzidos por certa máquina. Vamos supor que essa variável tenha distribuição normal com média  = 2 cm e desvio padrão  = 0,04 cm. Pode haver interesse em conhecer a probabilidade de um parafuso ter diâmetro com valor entre 2 e 2,05 cm. É fácil notar que essa probabilidade, indicada por: P(2 < X < 2,05); Z = = 1,25 Donde: P(2 < X < 2,05) = P (0 < Z < 1,25)= 0,3944

16 Exercícios de fixação 1. Usando as tabelas binomiais, determinar: P(X =5  n = 9, p = 0,50); P(X =7  n = 15, p = 0,60); P(X  3  n = 20, p = 0,05); P(X  18  n = 20, p = 0,90); P(X > 8  n = 10, p = 0,70). 2 Devido às altas taxas de juros, uma firma informa que 30% de suas contas a receber de outras firmas comerciais se encontram vencidas. Se um contador escolhe aleatoriamente uma amostra de cinco contas, determinar a probabilidade de cada um dos seguintes eventos usando a tabela de probabilidades binomiais: (a) nenhuma das contas está vencida, (b) exatamente duas contas estão vencidas, (c) a maioria das contas estão vencidas, (d) exatamente 20% das contas estão vencidas. 3. Uma firma de pedidos pelo correio envia uma carta circular que terá uma taxa de respostas de 10%. Suponha que 20 cartas circulares são endereçadas a uma nova área geográfica como um teste de mercado. Supondo que na nova área é aplicável a taxa de respostas de 10%, determinar as probabilidades dos seguintes eventos: (a) ninguém responde, (b) exatamente duas pessoas respondem.

17 4. Se X:N(10,4) calcular: a)P(8 10), d)P(X 11). 5. Se Z:N(0,1) calcular: a)P(0 1,28),d)P(Z<-2), d)P(-1,28 -1,22), k)P(Z<2,33), g) o valor a tal que P(0<Z<a)= 0,18793, h) o valor b tal que P(Z>b)= 0,0025, i) o valor c tal que P(Z>c)=0,20. 6. Os salários semanais dos operários industriais são distribuídos normalmente em torno da média de R$ 500,00 com desvio padrão de R$ 40,00. Calcule a probabilidade de um operário ter um salário semanal situado entre R$ 490,00 e R$ 520,00. 7. As vendas de um determinado produto têm distribuição aproximadamente normal, com média 500 e desvio padrão 50.Se a empresa decide fabricar 600 unidades no mês em estudo, qual é a probabilidade de que não possa atender a todos os pedidos desse mês, por estar com a produção esgotada e sem estoque no início do mês. 8. A renda média de uma comunidade têm distribuição aproxim. normal, com média R$1500,00 e desvio padrão R$300,00. a)Que % da população terá renda superior a R$1850,00? b)Que % da população terá renda entre 1600,00 e 1850 reais? 9. As vendas diárias de um restaurante têm distribuição normal com média R$5300,00 e desvio padrão R$1200,00. a)Qual é a probabilidade das vendas excederem R$7000,00 em determinado dia? b)Esse restaurante deve vender, no mínimo, R$3000,00 por dia para não ter prejuízo. Qual é a probabilidade de que, em um certo dia, haja prejuízo.

18 ATIVIDADE EXTRA CLASSE Resolver os exercícios da série V