GEOMETRIA ESPACIAL Relação de Euler

Apresentação em tema: "GEOMETRIA ESPACIAL Relação de Euler"— Transcrição da apresentação:

1 GEOMETRIA ESPACIAL Relação de Euler
Profª Juliana Schivani

2 Geometria espacial – Relação de Euler Profª Juliana Schivani
CORPOS REDONDOS DIEDROS TRIEDROS POLIEDROS PRISMAS CILINDROS PIRÂMIDES CONE ESFERA Geometria espacial – Relação de Euler Profª Juliana Schivani

3 Geometria espacial – Relação de Euler Profª Juliana Schivani
DIEDROS Espaço entre dois semiplanos de mesma origem r e não contidos num mesmo plano. Notação: di (r) αβ αrβ Geometria espacial – Relação de Euler Profª Juliana Schivani

4 Geometria espacial – Relação de Euler Profª Juliana Schivani
TRIEDROS Espaço formado por três semirretas ou arestas partindo do mesmo vértice V. Notação: V(a,b,c) Geometria espacial – Relação de Euler Profª Juliana Schivani

5 Geometria espacial – Relação de Euler Profª Juliana Schivani
POLIEDROS MUITOS FACES Trata-se de um sólido limitado por 4 ou mais faces poligonais pertencentes a planos diferentes e contém dois a dois uma aresta em comum. Geometria espacial – Relação de Euler Profª Juliana Schivani

6 POLIEDROS Alguns contra-exemplos de poliedros:
Geometria espacial – Relação de Euler Profª Juliana Schivani

7 POLIEDROS Alguns exemplos de poliedros:
Geometria espacial – Relação de Euler Profª Juliana Schivani

8 Elementos de um poliedro
Geometria espacial – Relação de Euler Profª Juliana Schivani

9 Geometria espacial – Relação de Euler Profª Juliana Schivani
CONVEXO CÔNCAVO POLIEDRO REGULAR IRREGULAR Geometria espacial – Relação de Euler Profª Juliana Schivani

10 Geometria espacial – Relação de Euler Profª Juliana Schivani
FACES – ARESTAS + VÉRTICES = 2 Geometria espacial – Relação de Euler Profª Juliana Schivani

11 RELAÇÃO DE EULER FACES + VÉRTICES = ARESTAS + 2
Para todo poliedro convexo : FACES + VÉRTICES = ARESTAS + 2 1 + 4 = 3 + 2 = ABSURDOS!!! Geometria espacial – Relação de Euler Profª Juliana Schivani

12 CONDIÇÃO DE EXISTÊNCIA DA RELAÇÃO DE EULER
F – quantidade de faces V – quantidade de vértices A – quantidade de arestas Fn – quantidade de polígonos com n lados Vn – quantidade de vértices donde partem n arestas Geometria espacial – Relação de Euler Profª Juliana Schivani

13 CONDIÇÃO DE EXISTÊNCIA DA RELAÇÃO DE EULER
F – quantidade de faces V – quantidade de vértices A – quantidade de arestas Fn – quantidade de polígonos com n lados Vn – quantidade de vértices donde partem n arestas Geometria espacial – Relação de Euler Profª Juliana Schivani

14 CONDIÇÃO DE EXISTÊNCIA DA RELAÇÃO DE EULER
F = 7 F3 = 1 F4 = 5 F5 = 1 Geometria espacial – Relação de Euler Profª Juliana Schivani

15 CONDIÇÃO DE EXISTÊNCIA DA RELAÇÃO DE EULER
F = 7 F3 = 1 F4 = 5 F5 = 1 V = 9 V3 = 8 V4 = 1 A = ? Geometria espacial – Relação de Euler Profª Juliana Schivani

16 CONDIÇÃO DE EXISTÊNCIA DA RELAÇÃO DE EULER
2A = 3F3 + 4F4 + 5F 2A = 3V3 + 4V4 + 5V F = 7 F3 = 1 1 triângulo com 3 arestas = (3 x 1) + (4 x 5) + (5 x 1) = 28 Logo, 28/2 = 14 arestas F4 = 5 5 quadriláteros com 4 arestas cada F5 = 1 1 pentágono com 5 arestas V = 9 V3 = 8 8 vértices saindo 3 arestas em cada = (3 x 8) + (4 x 1) = 28 Logo, 28/2 = 14 arestas V4 = 1 1 vértice saindo 4 arestas em cada A = ? Geometria espacial – Relação de Euler Profª Juliana Schivani

17 CONDIÇÃO DE EXISTÊNCIA DA RELAÇÃO DE EULER
2A = 3F3 + 4F4 + 5F 2A = 3V3 + 4V4 + 5V 2A = 3F3 + 3F4 + 3F F4 + 2F 2A = 3(F3 + F4 + F5) F4 + 2F 2A = 3F F4 + 2F 2A ≥ 3V 2A ≥ 3F F = 7 F3 = 1 1 triângulo com 3 arestas = (3 x 1) + (4 x 5) + (5 x 1) = 28 Logo, 28/2 = 14 arestas F4 = 5 5 quadriláteros com 4 arestas cada F5 = 1 1 pentágono com 5 arestas V = 9 V3 = 8 8 vértices saindo 3 arestas em cada = (3 x 8) + (4 x 1) = 28 Logo, 28/2 = 14 arestas V4 = 1 1 vértice saindo 4 arestas em cada A = ? Geometria espacial – Relação de Euler Profª Juliana Schivani

18 CONDIÇÃO DE EXISTÊNCIA DA RELAÇÃO DE EULER
2A = 3F3 + 4F4 + 5F 2A = 3V3 + 4V4 + 5V 2A = 3F3 + 3F4 + 3F F4 + 2F 2A = 3(F3 + F4 + F ) + F4 + 2F 2A = 3F + F4 + 2F 2A ≥ 3V 2A ≥ 3F V + F – A = 2 3V + 3F – 3A = 6 ≤ 3V + 2A – 3A 6 ≤ 3V – A ≤ 2A – A 6 + A ≤ 3V ≤ 2A 6 + A ≤ 3F ≤ 2A Geometria espacial – Relação de Euler Profª Juliana Schivani

19 Geometria espacial – Relação de Euler Profª Juliana Schivani
Teorema Existe um poliedro convexo com V vértices, A arestas e F faces se, e somente se: Geometria espacial – Relação de Euler Profª Juliana Schivani

20 Geometria espacial – Relação de Euler Profª Juliana Schivani
Um poliedro convexo de onze faces tem seis faces triangulares e cinco faces quadrangulares. Encontre o número de arestas e vértices desse poliedro. Geometria espacial – Relação de Euler Profª Juliana Schivani

21 Referências DOLCE, Osvaldo; POMPEO, José Nicolau. Fundamentos da Matemática Elementar. Vol ª ed. Atual.

22 GEOMETRIA ESPACIAL Relação de Euler
Profª Juliana Schivani docente.ifrn.edu.br/julianaschivani