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Prof. Cesário. 6 – ASSOCIAÇÃO DE CAPACITORES Da mesma forma como foi estudado para resistores, os capacitores podem ser associados em série, em paralelo.

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1 Prof. Cesário

2 6 – ASSOCIAÇÃO DE CAPACITORES Da mesma forma como foi estudado para resistores, os capacitores podem ser associados em série, em paralelo ou misto. O conjunto poderá ser substituído por um único capacitor denominado capacitor equivalente. Ligação em série Ligação em paralelo

3 7 – ASSOCIAÇÃO EM SÉRIE C1C1 C2C2 C3C3 - + Ao ligar os capacitores à fonte, elétrons dirigem-se da placa negativa para a armadura esquerda do capacitor C 1. Estes elétrons repelem igual quantidade de elétrons da armadura direita de C 1 que se dirigem para a armadura esquerda de C 2. Assim, a armadura esquerda de C 1 ficará com uma carga -Q enquanto que a armadura direita ficará com carga +Q. O fato se repete nas armaduras de C 2 até que elétrons da armadura direita de C 3 se dirigem para a bateria. Deste modo: todos os capacitores ficarão com a mesma carga. Na descarga, a carga útil será igual à carga de apenas um dos capacitores. -Q +Q -Q +Q -Q A ddp total é igual à soma das ddps dos capacitores. V1V1 V2V2 V3V3 V = V 1 + V 2 + V 3 V/Q = V 1 /Q + V 2 /Q + V 3 /Q 1 1 C C 1 C 2 C 3 = + +

4 Resumindo Numa associação em série: A carga é a mesma em todos os capacitores. A ddp total é a soma das ddps parciais. O inverso da capacitância do capacitor equivalente é igual à soma dos inversos das capacitâncias dos capacitores associados.

5 8 – ASSOCIAÇÃO EM PARALELO C1C1 C2C2 C3C3 Q1Q1 Q2Q2 Q3Q3 Como em qualquer associação em paralelo, a ddp V é a mesma para todos os capacitores. Quando ligados a uma bateria cada capacitor adquire uma carga de acordo com sua capacitância. Na descarga todas as cargas podem ser utilizadas. Assim, a carga total Q do conjunto é igual à soma das cargas de todos os capacitores. Q = Q 1 + Q 2 + Q 3 Q/V = Q 1 /V + Q 2 /V + Q 3 /V C = C 1 + C 2 + C 3 Portanto:

6 Resumindo Numa associação de capacitores em paralelo: A ddp é a mesma para todos os capacitores. A carga útil é a soma das cargas de todos os capacitores. A capacitância do capacitor equivalente é igual à soma dos capacitores associados.

7 EXEMPLOS 1 – Se a ddp entre as placas do capacitor de 6 F é igual a 40 V, qual é a ddp entre as placas do capacitor de 5 F e a ddp V AB ? 4 F5 F 6 F A B Solução: A carga é a mesma em todos os capacitores por estarem ligados em série. Portanto, a carga no capacitor de 5 F é igual à carga no capacitor De 6 F, ou seja: Q = CV = 6 x 40 = 240 C. Portanto, a ddp será V = Q/C = 240/5 = 48 V. V AB = V 1 + V 2 + V 3 = 240/ / /6 = = = 148 V. 2 – A carga no capacitor de 10 F é igual a 200 C. Qual é a carga total no conjunto indicado na figura a seguir? 10 F 20 F 30 F Q1Q1 Q2Q2 Q3Q3 Solução: Na ligação em paralelo a ddp é a mesma para Todos os capacitores. V = Q 1 /10 = Q 2 /20 = Q 3 /30 Assim, Q 2 = 20 x (Q 1 /10) = 20 x (200/10) = 400 C Q 3 = 30 x (Q1/20) = 30 x (200/10) = 600 C Q total = = 1200 C

8 EXERCÍCIOS 1 - Um capacitor de placas paralelas com ar entre as armaduras é carregado até que a diferença de potencial entre suas placas seja U. Outro capacitor igual, contendo um dielétrico de constante dielétrica igual a 3, é também submetido à mesma diferença de potencial. Se a energia do primeiro capacitor é W, qual será a energia do segundo? Resposta: 3W 2 - Dois capacitores C 1 e C 2 são constituídos por placas metálicas, paralelas e isoladas por ar. Nos dois condensadores, a distância entre as placas é a mesma, mas a área das placas de C 1 é o dobro da área das placas de C 2. Ambos estão carregados com a mesma carga Q. Se eles forem ligados em paralelo, qual será a carga de C 2 ? Resposta: Q/2 3 – Se a carga no capacitor C 1 = 200 F é 2000 C, qual será a carga no capacitor C 3 ? C1C1 C2C2 C3C3 Dados C 2 = 100 F e C 3 = 200 F. Resposta: 3000 C 4 – Qual é a capacitância equivalente ao conjunto do exercícios 3? Resposta: 120 F

9 5 – Qual é a energia acumulada no capacitor C 5 do sistema indicado a seguir se a ddp entre as armaduras do capacitor C4 é de 100 V? 20 F 30 F C1C1 C2C2 C3C3 C 5 = 40 F 20 F C4C4 Resposta: 1,8 J 6 – Qual é a capacitância equivalente ao conjunto do exercícios 5? Resposta: 27,7 F 7 – Se cada capacitor do sistema vale 30 F, qual é a capacitância equivalente ao sistema? Resposta: 12 F.

10 7 – Um capacitor de 10,0 F com placas paralelas e circulares está ligado a uma bateria de 12,0 V. (a) Qual é a carga em cada placa? (b) Qual seria a carga nas placas se a bateria continuasse ligada e a distância entre as placas fosse duplicada? (c) Qual seria a carga nas placas se o capacitor permanecesse ligado à bateria e o raio de cada placa fosse duplicado a distância permanecesse igual a à do item a? Respostas: (a) 120 C; (b) 60 C; (c) 480 C 8 – Na figura cada capacitor é de 4 F e a ddp Vab vale 20 V. (a) Qual é a carga em cada capacitor? (b) qual é a ddp para cada capacitor? (c) qual é a ddp Vad? (d) qual é a energia total acumulada no sistema de capacitores? a b d Respostas: (a)Q4 = 48 C; Q3 = 32 C Q1 = Q2 = 16 C (b) V4 = 14 V; V3 = 8 V; V2 = V1 = 4 V (c) 8 V (d) 480 J

11 9 – CIRCUITOS R - C Nos circuitos com resistores consideramos que as fems, as resistências e as correntes não variando com o tempo. Entretanto, diversos dispositivos utilizam capacitores o que faz a corrente variar. Nestes dispositivos encontramos capacitores associados a resistores, conforme indica a figura a seguir. Fonte (fem) Capacitor C Chave Ch Resistor R Consideremos que inicialmente a chave esteja aberta e a carga do capacitor seja nula. Fechando a chave, no instante t, a carga no capacitor é q e a corrente no resistor é i. De acordo com a lei das malhas teremos: = Ri + q/C (a tensão no capacitor é V = q/C) Quando o capacitor atinge a carga máxima (Q f ), a corrente no resistor será nula e = Q f /C. No início teremos carga nula no capacitor e corrente i o tal que que i o = /R

12 Quando o capacitor atinge a carga máxima, a energia fornecida pela bateria é Q f. e a energia acumulada no capacitor é (1/2)Q f V. Mas a ddp entre as armaduras, quando não houver mais corrente, é igual á fem ( ) da fonte. Portanto, a energia acumulada no capacitor é a metade da energia fornecida pela fonte. Isto significa que o resistor dissipa a outra metade da energia fornecida pela fonte. Da equação = Ri + q/C, tira-se i = ( /R) – (q/RC). O produto = RC é denominado constante de tempo, cuja unidade é o segundo. Aplicando i = dq/dt = ( /R) – (q/RC) tira-se dq/(q - C ) = -dt/RC, que integrando no intervalo 0 a t, resulta em: q = Q f (1 – e -t/RC ) que fornece a carga no capacitor no instante t. e i = i 0 e -t/RC que fornece a corrente no circuito no instante t.

13 Na descarga do capacitor, teremos: Carga restante no capacitor q = Q f.e -t/RC corrente no resistor i = i 0.e -t/RC. RESUMO: - Equação do circuito: = Ri + q/C - Ao carregar o capacitor: (no instante t) q = Q f.(1 – e -t/RC ) Carga no capacitor i = i 0.e -t/RC (corrente no circuito) = Ri 0 = Q f /C - Ao descarregar o capacitor: (no instante t) i = i 0.e -t/RC q = Q f.e -t/RC = Ri 0 = Q f /C Carga no capacitor (corrente no circuito)

14 EXERCÍCIOS 1 – Um circuito é constituído por uma fonte de energia de 120 V, um capacitor de 100 F, um resistor de 800 k e um interruptor. Supor nula a resistência interna da fonte. (a) Qual é a constante de tempo? No instante em que se fecha o interruptor, qual é: (b) a intensidade da corrente no resistor? (c) a carga no capacitor? (d) a ddp no resistor? (e) a ddp no capacitor? Depois de muito tempo após fechado o interruptor, qual é: (f) a intensidade da corrente no resistor? (g) a carga no capacitor? (h) a ddp no resistor? (i) a ddp no capacitor? (j) qual é a carga no capacitor e a intensidade da corrente no resistor 10 s após fechado o interruptor? Respostas: (a) 80 s; (b) 1,5 x A; (c); zero; (d) 120 V; (e) zero (f) zero; (g) 1,2 x 10 4 C; (h) zero: (i) 120 V (j) 1,06 x 10 4 C e 1,2 x A

15 Solução do exercício anterior. (a) = RC = (800 x 10 3 ) x (100 x ) = 80 segundos Ao ligar a chave, a carga no capacitor é nula e a ddp no resistor é igual fem da fonte. (b) = Ri = 8 x 10 5.i 0 i 0 = 1,5 x A (c) Zero (d) 120 V (e) Zero Muito tempo após fechado o interruptor, a corrente no resistor será nula e o capacitor adquire carga máxima. (f) zero (g) Qf = CV = 100 x 120 = C (h) Zero (i)120 V (j) –t/RC = -10/80 = -0,125 Q = Q f (1 – e -t/RC ) = 12000(1 – 2, ,125 ) = 1,06 x 104 C i = i 0 (e -t/RC ) = 1,5 x (2, ,125 ) = 1,2 x A


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