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Objetivo: Definir corrente elétrica e densidade de correte Definir a Lei de Biot-Savart Definir a Lei de Ampère Calcular o campo magnético a partir da.

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1 Objetivo: Definir corrente elétrica e densidade de correte Definir a Lei de Biot-Savart Definir a Lei de Ampère Calcular o campo magnético a partir da Lei de Biot-Savart Calcular o campo magnético através da Lei de Ampère IntroduçãoIntrodução Corrente e densidade de correte elétricaCorrente e densidade de correte elétrica Lei de Biot-SavartLei de Biot-Savart Lei Circuital de AmpèreLei Circuital de Ampère Lei Circuital de Ampère na Forma Pontual.Lei Circuital de Ampère na Forma Pontual. Hayt – cap 8 André Luis Lapolli – URL:http://www.lapolli.pro.br

2 IntroduçãoIntrodução A carga elétrica pode produzir dois tipos de campo: Campo Elétrico: Basta a sua presença. Campo Magnético: Gerado apenas quando a carga está em movimento Isto foi descoberto por Oersted na experiência que verificou o movimento de uma agulha magnética na presença de um fio percorrido por uma corrente elétrica. Força elétrica sobre uma carga na presença de um campo elétrico é dada por Força magnética sobre uma carga na presença de um campo magnético é dada por

3 IntroduçãoIntrodução LocalUnidade T (tesla) Estrela de neutrons10 8 Eletroimã1,5 Barra imantada10 -2 Superfície da terra10 -4 espaço Menor valor de blindagem Intensidade do campo magnético em alguns locais do universo.

4 q – carga do elétron n - número de portadores de carga por unidade de volume. V- Volume do cilindro J - Densidade de corrente (corrente/Área (A) v - velocidade de arrastamento dos elétrons t - intervalo de tempo que os elétrons levam para atravessar o comprimento l delimitado Corrente e densidade de correte elétricaCorrente e densidade de correte elétrica Corrente elétrica é a quantidade de cargas que atravessa a secção transversal de um condutor por unidade de tempo. Q Carga total =v Velocidade de deriva Velocidade de migração

5 Lei de Biot-SavartLei de Biot-Savart A lei de Biot-Savart define que o campo magnético gerado por uma carga elétrica que se desloca em uma direção é diretamente proporcional à carga e a velocidade da mesma, perpendicular ao plano da carga e ponto, à uma certa distância, satisfazendo a regra da mão direita e inversamente proporcional ao quadrado da distância sendo que a constante de proporcionalidade é 1/4. Onde: H – Campo magnético q – carga elétrica. v – velocidade da carga R – distância da carga ao ponto onde se deseja calcular o campo magnético. [H]=A/m (ampère/metro)

6 Lei de Biot-SavartLei de Biot-Savart Força magnética entre duas cargas pontuais. Lembrando que B é o vetor indução magnética ou densidade de fluxo. [B]=Wb/m 2 (weber/ metro quadrado) Constante de permeabilidade Permeabilidade no vácuo.

7 Lei de Biot-SavartLei de Biot-Savart Usando a Memória:

8 Lei de Biot-SavartLei de Biot-Savart A lei de Biot-Savart define que o campo magnético gerado por um elemento de carga que se desloca em uma direção é diretamente proporcional à carga perpendicular ao plano da carga e ponto satisfazendo a regra da mão direita e inversamente proporcional ao quadrado da distância sendo que a constante de proporcionalidade é 1/4. Onde: dH – Campo magnético elementar I – corrente elétrica. dL – comprimento elementar do filamento R – distância do elemento de carga IdL ao ponto onde se deseja calcular o elemento de campo magnético. [H]=A/m (ampére/metro)

9 Lei de Biot-SavartLei de Biot-Savart I1I1 P dL1dL1 a R12 R 12 dH 2 Não é possível resolver experimentalmente

10 Portanto vamos nos restringir ao caso estacionário onde a corrente é constante no tempo e, portanto a densidade de cargas não varia em função do tempo. Lei de Biot-SavartLei de Biot-Savart Lembrando a equação da continuidade. Como a densidade de cargas não varia no tempo. Aplicando-se o teorema do divergente:

11 Lei de Biot-SavartLei de Biot-Savart A corrente total que atravessa qualquer superfície fechada é zero, e esta condição pode ser satisfeita somente pela consideração de um fluxo de corrente em um percurso fechado. É esta corrente fluindo em um circuito fechado que deve ser a nossa fonte de experiência e não o elemento diferencial A Lei de Biot-Savart pode ser expressa como fontes distribuídas como densidade de corrente J e densidade de corrente superficial K. [J]= A/m 2 – corrente que flui em uma camada de espessura infinitesimal. [K]=A/m – densidade de corrente superficial.

12 Lei de Biot-SavartLei de Biot-Savart Se K for uniforme então I, corrente total na largura b é dada por: Medida perpendicular ao fluxo da corrente Para o caso não uniforme: Elemento infinitesimal de caminho atravessado pela corrente que está fluindo São os elementos de corrente do filamento, da superfície e do volume. Consequentemente podemos escrever a lei de Biot-Savart das outras duas formas I b dn K

13 Lei de Biot-SavartLei de Biot-Savart Exemplo 1: O campo magnético produzido por um filamento infinitamente longo de corrente I a uma distância perpendicular ao mesmo é: H x y z R

14 Lei de Biot-SavartLei de Biot-Savart y z

15 y z x Para o caso em que o elemento de corente seja finito:

16 Lei de Biot-SavartLei de Biot-Savart Exemplo 2: O campo magnético produzido por uma espira de corrente I a uma distância perpendicular z do plano da espira. IdL dH I x y z z r dl Aplicando a lei de Biot-Savart

17 Lei de Biot-SavartLei de Biot-Savart 0 (zero) Pois a soma vetorial em torno do plano xy é nula. 2 No centro da espira quando z=0 Observa-se que o campo magnético é sempre perpendicular ao plano da espira e no eixo de simetria, ou seja, eixo central.

18 Lei Circuital de AmpèreLei Circuital de Ampère Análoga à Lei de Gauss, a Lei circuital de Ampère permite o cálculo de campos magnéticos para casos de simetria. Esta lei estabelece que a integral de linha de H em qualquer percurso fechado é exatamente igual a corrente enlaçada pelo percurso. Corrente envolvida pelo percurso.

19 Lei Circuital de AmpéreLei Circuital de Ampére Exemplo 1: O campo magnético a uma distância de um filamento que conduz uma corrente estacionária I. dldl H I x y z d dl

20 Exemplo 2: Verificação da validade da lei de Ampère. Lei de Ampère aplicada a uma espira circular de raio que conduz uma corrente estacionária I. Lei Circuital de AmpèreLei Circuital de Ampère dldl I x y z z D C B A dldl dldl dldl Lei de Ampère

21 Lei Circuital de AmpèreLei Circuital de Ampère Lei de Ampère Os lados AB, BC e CD possuem campos desprezíveis. Restou o caminho DA. Lembrando que dl=dza z. Utilizando o resultado de H da espira calculado no Exemplo 2 de lei de Biot-Savart:

22 Lei Circuital de AmpèreLei Circuital de Ampère É uma integral de resolução trigonométrica. y z Provado a Lei de Ampère!!!!!

23 Lei Circuital de AmpèreLei Circuital de Ampère Para que se satisfaça a Lei de Ampère é necessário que se satisfaça as seguintes condições: 1. Para cada ponto do circuito, H deve ser tangencial ou normal ao percurso. 2. H possui o mesmo módulo em todos os ponto ao longo do percurso onde é tangencial.

24 Lei Circuital de AmpèreLei Circuital de Ampère Para o percurso de raio onde a<

25 Lei Circuital de AmpèreLei Circuital de Ampère Para c a corrente total é nula e portanto. Finamente se b<

26 Lei Circuital de AmpèreLei Circuital de Ampère Corrente elétrica que flui sobre uma superfície. z x y L 0L Partindo da Lei de Ampère e utilizando o caminho : Para o caminho: O campo magnético possui mesmo módulo tanto acima como abaixo da lâmina e possuem sentidos opostos.

27 Lei Circuital de AmpèreLei Circuital de Ampère Matematicamente: Considerando-se o vetor unitário a N vetor normal à superfície, pode-se determinar o campo magnético pela seguinte expressão. Colocando-se uma segunda superfície com corrente em sentido oposto tem-se:

28 Lei Circuital de AmpèreLei Circuital de Ampère K 1 = -K y a y K 2 = -K y a y H x1 (z < -d/2 ) H x1 (-d /2 < z < d/2 ) H x2 (-d /2 < z < d/2 ) H x2 (z < -d/2 ) H x1 (z > d/2 ) H x2 (z > d/2 ) H = K x a N (-d/2 < z < d/2 ) Entre os planos de corrente elétrica os campos magnéticos, produzido por cada conjunto de filamentos, se somam vetorialmente. Acima ou abaixo, externamente aos planos, o campo total é nulo

29 Lei Circuital de AmpèreLei Circuital de Ampère Aplicação da Lei de Ampère a um solenoide infinitamente longo de raio a e densidade de corrente K=K a a. a b c d 0 00

30 Lei Circuital de AmpèreLei Circuital de Ampère Solenoide formado de n espira e comprimento d e raio a. O procedimento de cálculo e semelhante ao caso anterior a despeito da corrente filamentar c d a b No interior do solenoide. É bom lembrar que este resultado é aproximado.

31 Lei Circuital de AmpèreLei Circuital de Ampère Campo magnético produzido pelos tóroides. No interior do toróide. Externamente o campo magnético para ambos os casos é nulo.

32 Lembrando a Lei de Ampère: Lei Circuital de Ampère na Forma PontualLei Circuital de Ampère na Forma Pontual Corrente enlaçada. Circulação de H Lembrando o Teorema de Stokes Lembrando o Teorema de Stokes. 2ª equação de Maxwell aplicada à condições estáticas. É possível chegar à mesma conclusão partido da Lei de Biot-Savart. Isto fica como exercício para os alunos.

33 Lei Circuital de Ampère na Forma PontualLei Circuital de Ampère na Forma Pontual Nas mesmas condições Portanto 3ª equação de Maxwell aplicada à condições estáticas.

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