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Ewaldo Luiz de Mattos Mehl Universidade Federal do Paraná Departamento de Engenharia Elétrica

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Apresentação em tema: "Ewaldo Luiz de Mattos Mehl Universidade Federal do Paraná Departamento de Engenharia Elétrica"— Transcrição da apresentação:

1 Ewaldo Luiz de Mattos Mehl Universidade Federal do Paraná Departamento de Engenharia Elétrica

2 Lei de Gauss A GENDA Revisão: Produto escalar Quem foi Gauss? Lei de Gauss – Analogia Linhas de campo elétrico Fluxo do campo elétrico Simetria Uso da Lei de Gauss para geometrias simétricas Fio infinito

3 Revisão: Produto Escalar de dois vetores Em coordenadas cartesianas: sen cos

4 Revisão: Vetor x Escalar Em coordenadas cartesianas:

5 Carl Friedrich Gauss Braunschweig, 30 de Abril de 1777 Göttingen, 23 de Fevereiro de 1855) Príncipe dos matemáticos Eletricidade: Lei de Gauss Estatística: Curva de Gauss Cálculo Numérico: Método de Gauss-Seidel Astronomia: Lei de Gauss da gravitação Matemática: Algoritmo de Gauss-Newton Cálculo do : Algoritmo de Gauss–Legendre...

6 Lei de Gauss: Analogia Desejamos medir a intensidade da chuva em um dia chuvoso Método 1: obter o volume de água de um pingo de chuva e contar o número de pingos que caírem sobre uma superfície em um determinado intervalo de tempo Procedimento análogo à aplicação da Lei de Coulomb Método 2: Estender um tecido seco com uma certa área e, após algum tempo na chuva, remove-lo e torcê-lo, medindo o volume de água resultante Procedimento análogo à aplicação da Lei de Gauss O método 1 é um procedimento trabalhoso ou microscópico O método 2 é um procedimento mais elegante ou macroscópico Ambos os métodos devem conduzir à MESMA RESPOSTA!

7 1C Todas estas representações estão corretas, pois os vetores são apenas uma forma de representação gráfica de um fenômeno físico. Nos desenhos seguintes vamos convencionar que uma carga elétrica de 1C dá origem a um vetor de campo elétrico. Linhas de Campo Elétrico

8 8C Quantas linhas saem da esfera? 8C 8 linhas 16C 16 linhas 16C 32C 32C 32 linhas Conclusão: O fluxo é proporcional à carga no interior da esfera Linhas de Campo Elétrico

9 8C Quantas linhas saem da superfície? 8C 8 linhas 16C 16 linhas 16C 32C 32C 32 linhas Linhas de Campo Elétrico Conclusão: A forma da superfície é indiferente, desde que seja FECHADA

10 8C Linhas que saem = + Linhas que entram = - 8C 0 linhas 16C 0 linhas 16C 32C 32C 0 linhas Conclusão: Quando a carga envolvida pela superfície fechada é zero, o número efetivo de linhas de campo que cortam a superfície é zero! Linhas de Campo Elétrico

11 Superfícies gaussianas Não!

12 Superfícies gaussianas Atenção! As superfícies gaussianas são imaginárias! Não é necessário que exista um corpo sólido com o formato da superfície!

13 Lei de Gauss: Analogia gráfica O número de linhas do campo elétrico que saem de uma superfície fechada (gaussiana) é proporcional à carga elétrica envolvida por esta superfície (linhas de campo E) Carga envolvida pela superfície fechada N Coulombs N linhas de campo elétrico

14 Fluxo do Campo Elétrico Como visto anteriormente, o número de linhas de campo é um conceito arbitrário e dependente da convenção gráfica utilizada. É melhor portanto definir uma forma mais precisa que expresse a quantidade de linhas de campo elétrico que atravessa uma determinada superfície. Esta quantidade é chamada de Fluxo do Campo Elétrico Unidade: N.m 2 /C 1C

15 Lei de Gauss e Fluxo do Campo Elétrico () (Fluxo do campo elétrico) proporcional a (Carga envolvida) proporcional a q envolvida o = 8,85 x C/N.m 2 Constante de permissividade do vácuo

16 Questão n o 1 Uma superfície Gaussiana esférica (#1) contém em seu centro geométrico uma carga elétrica +q. Uma segunda superfície Gaussiana esférica (#2) do mesmo tamanho também contém a carga +q no seu interior, porém deslocada do seu centro geométrico. Comparativamente ao fluxo do campo elétrico que atravessa a superfície #1, o fluxo do campo elétrico que atravessa a superfície #2 é: A.maior. B.o mesmo. C. menor, mas não zero. D. zero. E. Não se tem informações suficientes para responder. +q+q Superfície Gaussiana #1 Superfície Gaussiana #2

17 A.maior. B.o mesmo. C. menor, mas não zero. D. zero. E. Não se tem informações suficientes para responder. +q+q Superfície Gaussiana #1 Superfície Gaussiana #2 Questão n o 1 Uma superfície Gaussiana esférica (#1) contém em seu centro geométrico uma carga elétrica +q. Uma segunda superfície Gaussiana esférica (#2) do mesmo tamanho também contém a carga +q no seu interior, porém deslocada do seu centro geométrico. Comparativamente ao fluxo do campo elétrico que atravessa a superfície #1, o fluxo do campo elétrico que atravessa a superfície #2 é:

18 Revisão: Integral de Área Esta área ficará mais molhada!

19 dA Chuva Esta área ficará mais molhada! Integral de Área

20 dA Chuva Como as áreas são iguais, fica evidente que a quantidade de chuva que molha cada área retangular depende do ângulo entre a área e a direção de caída da chuva! Integral de Área

21 dA Chuva [C] Casos extremos Vetores C e dA em 180°: máximo molhamento Vetores C e dA em 90°: a chuva não molha a superfície Integral de Área

22 Fluxo de chuva através de uma área dA Fluxo chuva = C dA (produto escalar de dois vetores) |C| |dA| cos( ) C.dA cos( ) Fluxo chuva = 0 para 90° cos( ) = 0 Fluxo chuva = -C.dA para =180° cos( ) = -1 Generalizando: Fluxo chuva = C.dA cos( ) Para -1 < cos( ) < +1 dA C

23 Fluxo do Campo Elétrico () na forma integral O Fluxo do Campo Elétrico pode ser calculado através do produto do campo elétrico pela área, considerando-os como vetores: Caso 2: Se os vetores A e E não são paralelos, o fluxo é dado pelo produto escalar dos dois vetores: Caso 1: Os vetores E e A são paralelos

24 Superfície Gaussiana 1. Dividir a superfície em pequenos elementos de área A 2. Para cada elemento de área A calcular o termo: 3. Somar todos os termos calculados anteriormente: 4. Tomar o limite quando cada elemento de área é infinitesimal: 5. A somatória dos elementos infinitesimais torna-se então a integral, que é o fluxo: Fluxo do Campo Elétrico () na forma integral

25 Questão n o 2 Duas cargas elétricas pontuais +q (em vermelho) e –q (em azul) estão dispostas no espaço como na figura. Através de qual(is) superfície(s) Gaussianas o fluxo do campo elétrico é igual a zero? A.Superfície Gaussiana A B.Superfície Gaussiana B C. Superfície Gaussiana C D. Superfície Gaussiana D E. Ambas as superfícies C e D F. Ambas as superfícies A e B

26 Questão n o 2 Duas cargas elétricas pontuais +q (em vermelho) e –q (em azul) estão dispostas no espaço como na figura. Através de qual(is) superfície(s) Gaussianas o fluxo do campo elétrico é igual a zero? A.Superfície Gaussiana A B.Superfície Gaussiana B C. Superfície Gaussiana C D. Superfície Gaussiana D E. Ambas as superfícies C e D F. Ambas as superfícies A e B

27 A superfície gaussiana deve ser decomposta por um conjunto de áreas, cada qual representada por um vetor perpendicular ao elemento de área. Nos cálculos envolvendo Lei de Gauss, o vetor elemento de área sempre aponta para fora da superfície gaussiana. O cálculo do fluxo do campo elétrico é feito através do produto escalar em cada elemento de área: E dA = E.dA cos( ) O truque é escolher uma superfície gaussiana conveniente, de modo que a integral de área ( ) possa ser facilmente calculada. dA Superfície Gaussiana Fluxo do Campo Elétrico () na forma integral: anote!

28 A escolha da superfície gaussiana geralmente é o maior problema para se aplicar a Lei de Gauss! O procedimento é buscar a SIMETRIA

29 Simetria: Diz-se que um objeto possui simetria em relação a uma determinada operação matemática (ex.: rotação, translação, … ) se um observador não verifica mudança no objeto após a aplicação da operação. Atenção: Simetria é uma noção intuitiva! Esfera sem defeitos superficiais Eixo de Rotação Observador Simetria rotacional

30 Esfera sem defeitos superficiais Eixo de Rotação Observador Simetria rotacional Cilindro sem defeitos superficiais

31 Observador Tapete mágico Simetria de Translação Plano infinito e sem defeitos

32 Linear Superficial Simbologia para cargas uniformemente distribuídas Volumétrica ELETROMAGNETISMO - WILLIAM H. HAYT JÚNIOR

33 Linear Superficial Simbologia para cargas uniformemente distribuídas Volumétrica FÍSICA – HALLIDAY, RESNICK & WALKER

34 Exemplo de uso da Lei de Gauss: Campo Elétrico produzido por um fio longo com carga uniforme l [C/m] l C/m L Escolhe-se uma superfície gaussiana que aproveite a simetria da estrutura; no caso, um cilindro: dAdA dAdA E dAdA E r

35 Nas tampas do cilindro E e dA são perpendiculares Então: Não existe fluxo do campo elétrico através das tampas do cilindro! dAdA E r Cálculo do Fluxo:

36 l C/m L dAdA dAdA E E & dA são paralelos EdA = |E|dA| = E.dA Cálculo do Fluxo:

37 l C/m L E A superfície cilíndrica tem uma distância constante do fio. Portanto o Campo Elétrico é constante nesta superfície Cálculo do Fluxo:

38 E = constante A integral de todos os dA é a superfície lateral do cilindro: Então: l C/m r L 2r 2r Cálculo do Fluxo: L 2 r 2 r

39 A Lei de Gauss também pode ser escrita como A carga dentro da superfície gaussiana é: Então: Cálculo do Campo Elétrico: l C/m r L 2r 2r

40 Discussão do resultado obtido |E| é proporcional a 1/r A medida que nos afastamos do fio carregado o campo elétrico fica mais fraco. Intuitivamente correto! O vetor E aponta no sentido radial do fio carregado Intuitivamente correto! A intensidade do campo elétrico é proporcional à densidade de carga no fio ( l ) Fio com maior densidade de carga = campo elétrico mais intenso Intuitivamente correto!


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