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1 A GIBBS LECTURE DE GÖDEL ~ SINOPSE ~ ~ SINOPSE ~ M.S. Lourenço.

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1 1 A GIBBS LECTURE DE GÖDEL ~ SINOPSE ~ ~ SINOPSE ~ M.S. Lourenço

2 2 DIVISÃO PRINCIPAL PARTE I: A SITUAÇÃO MATEMÁTICA PARTE II: AS IMPLICAÇÕES FILOSÓFICAS PARTE III: OUTRAS VISTAS

3 3 PRIMÁRIA: GÖDEL, K., Some basic theorems on the foundations of mathematics and their implications [Gödel, 1951], in Kurt Gödel: Collected Works, Vol. III, Oxford University Press, 1995, pp BIBLIOGRAFIA

4 4 SECUNDÁRIA : BOOLOS, G., Introductory note to *1951 [Texto de apresentação de Gödel *1951], in Kurt Gödel: Collected Works, vol. III, Oxford University Press, 1995, pp FEFERMAN, S., "Are there absolutely unsolvable problems? Gödel's dichotomy", Philosophia Mathematica, III, vol.14, 2006, pp Disponível on-line: VAN ATTEN, M., Two draft letters from Gödel on self-knowledge of reason, Philosophia Mathematica, III, vol. 14, 2006, pp DE APOIO: LOURENÇO, M.S., Os elementos do programa de Hilbert, Centro de Filosofia da Universidade de Lisboa, Lisboa, Consultar Text A na página on-line de MSL: BIBLIOGRAFIA [Continuação]

5 5 1. O Mapa das Implicações 2. A Refutação do Empirismo 3. A Avaliação das Alternativas 4. O Platonismo 5. O Sintacticismo PARTE II AS IMPLICAÇÕES FILOSÓFICAS

6 6 No estado actual da filosofia estas implicações filosóficas não podem ser deduzidas, com rigor matemático, da disjunção triádica da Parte I. Mas Gödel tem a esperança que este objectivo seja alcançável num futuro próximo. No entanto para a formulação destas implicações pode ser adoptada a mesma forma disjuntiva. PARTE II 1. O MAPA DAS IMPLICAÇÕES

7 7 PARTE II 1. O MAPA DAS IMPLICAÇÕES [Continuação] O mapa das implicações é o seguinte: i)Ambas as alternativas 1 e 2 implicam a rejeição do materialismo; ii)A alternativa 1 implica a falsidade da identidade cérebro = mente e a adopção de uma posição vitalista; iii)A alternativa 2 implica a rejeição da tese de que a matemática é uma criação do sujeito cognitivo.

8 8 Sobre ii) na identidade cérebro = mente, o cérebro é concebido como uma máquina finita, no sentido já definido, em que as suas partes componentes são os neurónios e a rede de conexões entre eles. Sobre iii) da análise do conceito de acto de criação decorre a verdade de que uma criatura não tem outros predicados além daqueles criados pelo seu (único) criador. Esta verdade torna evidente a proposição: necessariamente, o criador conhece todos os predicados das suas criaturas. PARTE II 1. O MAPA DAS IMPLICAÇÕES [Continuação]

9 9 Logo a existência de proposições absolutamente indecidíveis implica que as entidades que elas referem não são o produto da nossa criação. Assim estas entidades têm uma existência autónoma, a qual não depende nem da nossa mente nem da nossa vontade, exactamente no mesmo sentido em que se diz que os objectos materiais são independentes da mente e da vontade do sujeito cognitivo. 1. O MAPA DAS IMPLICAÇÕES [Continuação] PARTE II

10 10 Mas esta implicação é insuficiente para fixar o conteúdo e a localização destas entidades. Em qualquer caso é suficiente para fundamentar a rejeição do empirismo. 1. O MAPA DAS IMPLICAÇÕES [Continuação] PARTE II

11 11 Caracterização do empirismo: Em filosofia da matemática o empirismo caracteriza- se essencialmente pela tese da continuidade epistemológica e ontológica entre a matemática e as ciências da natureza, as quais incluem a psicologia. Pela tese da continuidade, os objectos matemáticos e os objectos materiais ou psíquicos são conhecidos do mesmo modo e partilham a mesma essência. 2. A REFUTAÇÃO DO EMPIRISMO PARTE II

12 12 2. A REFUTAÇÃO DO EMPIRISMO [Continuação] PARTE II Na argumentação que se segue utiliza-se, como hipótese de saída, a asserção de que o conhecimento matemático não depende do sujeito cognitivo. Assim, efectuada a análise do sentido de uma proposição matemática, descobre-se, em primeiro lugar, que a denotação dos seus termos não são entidades do universo espácio-temporal. São por isso essencialmente diferentes dos objectos que conhecemos através dos órgãos dos sentidos e da introspecção.

13 13 Existe por isso, ao contrário da doutrina empirista, conhecimento puramente conceptual. Em segundo lugar a evidência de uma proposição matemática é a sua necessidade, tal como esta é transportada pela lógica subjacente. As verdades da matemática, ou os seus teoremas, não têm um valor estatístico, a sua verdade é uma necessidade lógica. Finalmente os órgãos dos sentidos, incluindo o órgão da percepção interior, não contribuem de qualquer forma relevante para a aquisição de conhecimento matemático. 2. A REFUTAÇÃO DO EMPIRISMO [Continuação] PARTE II

14 14 Uma avaliação final da Alternativa 1 depende do sucesso ou do insucesso do mecanicismo em Fisiologia. Não parece no entanto provável que o mecanicismo seja a melhor explicação da fisiologia do sistema nervoso em particular, e dos processos psíquicos em geral. Em relação à Alternativa 2, Gödel considera com detalhe algumas objecções possíveis. 3. A AVALIAÇÃO DAS ALTERNATIVAS PARTE II

15 15 Uma primeira objecção diz respeito à proposição modal já referida, Necessariamente, o criador conhece todos os predicados das suas criaturas. A objecção consiste em produzir um predicado que não é necessariamente conhecido pelo criador. Neste linha de ideias argumenta-se, por exemplo, que o inventor de uma máquina pode não prever alguns predicados do seu invento e ser surpreendido por eles. PARTE II 3. A AVALIAÇÃO DAS ALTERNATIVAS [Continuação]

16 16 PARTE II Mas a transposição deste contra-exemplo para a matemática teria um resultado surpreendente: Se uma construção matemática fosse como a construção de uma máquina, então teria que começar, tal como na construção da máquina, com algum material previamente existente, a partir do qual a máquina é de todo construtível. Mas nesse caso o material previamente dado, a partir do qual a construção matemática se poderia iniciar, constituiria algo de prévia e objectivamente existente e a objecção resultaria, contrariamente ao seu propósito, numa defesa do realismo. 3. A AVALIAÇÃO DAS ALTERNATIVAS [Continuação]

17 17 Pode-se ampliar o exemplo da máquina para um Denkapparat, uma máquina de pensar, a ser transplantada no cérebro do autor da construção matemática. Os teoremas provados então pela máquina de pensar seriam um reflexo das propriedades desta máquina. Mas então o seu carácter objectivo seria igualmente indubitável e a posição realista seria de novo confirmada. 3. A AVALIAÇÃO DAS ALTERNATIVAS [Continuação] PARTE II

18 18 Finalmente, as diversas formas de construtivismo opõem-se à existência objectiva dos conceitos. Assim, do ponto de vista intuicionista, uma proposição com sentido e indecidível é uma contradição nos termos, uma vez que o que constitui o sentido da proposição é a sua demonstração. Como a proposição indecidível não tem uma demonstração, quer na sua forma afirmativa quer na sua forma negativa, não se pode por isso dizer que exprime ou denota conceitos que existem objectivamente. 3. A AVALIAÇÃO DAS ALTERNATIVAS [Continuação] PARTE II

19 19 É óbvio que a única réplica possível a esta posição é questionar a identidade sentido = demonstração, que constitui a hipótese principal do argumento. Embora Gödel não permaneça com detalhe na crítica desta identidade, não deixa de referir a implausibilidade intrínseca de que esta identidade sofre. 3. A AVALIAÇÃO DAS ALTERNATIVAS [Continuação] PARTE II

20 20 Em geral, a análise mostra que a compreensão de uma demonstração é precedida pela compreensão do sentido da proposição a demonstrar. E isto porque é razoável, heuristicamente, pensar que o sentido da proposição orienta e ajuda a seleccionar estratégias possíveis de demonstração. Logo é o sentido da proposição que torna possível a demonstração e não a demonstração o sentido. Não há por isso razão para, nesta base, rejeitar a objectividade dos conceitos. 3. A AVALIAÇÃO DAS ALTERNATIVAS [Continuação] PARTE II

21 21 1.Wir müssen wissen! Wir werden wissen! A existência de proposições indecidíveis é evidência a favor da concepção segundo a qual os objectos matemáticos existem independentemente do sujeito cognitivo (e não são a sua invenção). Só se pode dizer de um objecto que possui propriedades as quais o seu inventor não pode decidir se o contacto com o objecto é apenas incipiente. 4. O PLATONISMO PARTE II

22 22 4. O PLATONISMO [Continuação] À medida que o inventor acumula experiência com o objecto, também aumenta o conhecimento que tem de todas as suas propriedades. Assim uma lacuna no conhecimento das propriedades do objecto é um estado transitório, que eventualmente é suplantado pelo seu preenchimento perfeito. PARTE II

23 23 2.O Mito da Liberdade Se os axiomas sobre os números inteiros são uma invenção do inventor matemático, então os teoremas também o são, uma vez que as regras de inferência conservam as propriedades dos axiomas. Mas mesmo que as propriedades iniciais dos axiomas tivessem sido o produto de uma invenção do inventor matemático, o mesmo já não se pode dizer da validade dos teoremas demonstrados, a qual não pode, sob pena de uma petitio principii, ser ela própria também o produto de uma invenção. 4. O PLATONISMO [Continuação] PARTE II

24 24 Ao contrário, um teorema em vez de ser uma expressão de liberdade é um constrangimento dessa liberdade. Este constrangimento é bem expresso por Wittgenstein em: «A demonstração leva-me a dizer Tem que ser esse o resultado... Eu leio a demonstração e digo Bem, tem que ser assim. Este tem que ser corresponde a um par de carris que eu coloco na linguagem» (Bemerkungen über die Grundlagen der Mathematik, §30). 4. O PLATONISMO [Continuação] PARTE II

25 25 i) A instância que impõe o constrangimento é a necessidade matemática. Assim o constrangimento depende da natureza da verdade da proposição a demonstrar, visto um teorema matemático ter que ser uma proposição necessariamente verdadeira e a necessidade é incompatível com a liberdade. (Ver Refutação do Empirismo, Parte II.2.). ii) Este constrangimento depende ainda da exigência de garantir a consistência do sistema, uma vez que num sistema consistente há restrições sobre o que se pode demonstrar. 4. O PLATONISMO [Continuação] PARTE II

26 26 Mas pelo argumento acima, mesmo que a exigência de consistência fosse uma escolha livre, motivada por opções sócio-culturais, como pretende Wittgenstein, a instância que impõe estes constrangimentos não pode ser ela própria também o produto de uma invenção. 4. O PLATONISMO [Continuação] PARTE II

27 27 Na teoria em análise o conceito de verdade matemática é eliminável em favor do conceito de convenções linguísticas, em particular sintácticas, estipuladas em regras, chamadas por isso regras sintácticas. É útil distinguir regras sintácticas de definições. 5. O SINTACTICISMO PARTE II

28 28 Distinguem-se primeiro quanto à referência: enquanto que a referência de uma regra sintáctica não pode ser um objecto extra-linguístico, uma definição, em geral (e não apenas definições ostensivas), refere situações do mundo real. Distinguem-se em segundo lugar pela teoria de sentido adoptada: no caso da regra sintáctica, o sentido de um termo é explicado apenas pela sua estrutura externa, ou apenas pela sua forma; no caso da definição, o sentido de um termo é explicado por meio do uso que é feito dele em situações reais. 5. O SINTACTICISMO [Continuação] PARTE II

29 29 Da característica definidora destas regras, i.e., que o seu sentido é apenas determinado pela sua forma externa, segue-se que elas não podem implicar proposições com conteúdo (factual). Ora como em lógica clássica se tem que um sistema inconsistente implica qualquer proposição, então segue-se, por contraposição, que um sistema de regras que não implica proposições com conteúdo é consistente. 5. O SINTACTICISMO [Continuação] PARTE II

30 30 Com a definição de regra sintáctica apresentada acima pode-se caracterizar a filosofia formalista da matemática como a concepção segundo a qual o único fundamento da matemática é a rede de regras sintácticas. Como a demonstração de consistência implica que as regras são destituídas de conteúdo, tem-se que o formalismo está incluído no sintacticismo. 5. O SINTACTICISMO [Continuação] PARTE II

31 31 O sintacticismo é uma revivência da teoria medieval conhecida por nominalismo. Há algumas razões para caracterizar o nominalismo como uma teoria criacionista, i.e., uma teoria segundo a qual os objectos matemáticos são uma criação do sujeito cognitivo, visto que pelo menos o nominalismo nega a existência objectiva do universo matemático. 5. O SINTACTICISMO [Continuação] PARTE II

32 32 É interessante prosseguir a eliminação do conceito de verdade em diversos níveis de nominalismo. No seu nível mais elementar, associado com o nome de Ramsey, uma proposição matemática tem apenas um conteúdo (factual) aparente. Na realidade a proposição matemática é uma convenção lexicográfica. Uma forma conhecida de convenção lexicográfica é a definição contextual de um termo a definir, o definiendum, por meio de um termo que o define, o definiens, expresso tradicionalmente pela equação definendum = definiens. 5. O SINTACTICISMO [Continuação] PARTE II

33 33 Assim supondo que se define o termo alfacinha pelo termo habitante de Lisboa, a ilusão de conteúdo factual da proposição Todos os Alfacinhas são habitantes de Lisboa é desfeita se o termo alfacinha for eliminado como é autorizado pela definição contextual. Obtém-se assim: Todos os habitantes de Lisboa são habitantes de Lisboa, uma proposição que obviamente não tem conteúdo factual. Uma proposição nesta forma diz-se que é uma tautologia explícita. 5. O SINTACTICISMO [Continuação] PARTE II

34 34 Nestes termos, no seu nível mais elementar, o nominalismo pode ser caracterizado pela asserção de que qualquer proposição matemática é redutível a uma tautologia explícita. Neste nível elementar a refutação do nominalismo é relativamente simples. Basta constatar o facto de que a redução a uma tautologia explícita não é sequer possível. 5. O SINTACTICISMO [Continuação] PARTE II

35 35 Para o ver raciocina-se (por Reductio) do seguinte modo: supondo que o processo de redução é sempre possível, então atinge-se sempre, ao fim de um número finito de substituições, a proposição verdadeira a = a. Logo o processo de redução fornece um processo mecânico que permite a decisão sobre o valor de verdade de qualquer proposição matemática. Mas pelo Teorema I um tal processo não existe. 5. O SINTACTICISMO [Continuação] PARTE II

36 36 Um nível mais elevado de nominalismo, associado essencialmente com o nome de Carnap, pode-se caracterizar nas proposições seguintes: i) Se uma proposição matemática P é demonstrável, então ela pode ser deduzida das regras sobre o cálculo do valor de verdade de proposições em geral, independentemente do seu conteúdo; ii) Se uma proposição matemática P é demonstrável, então ~P não pode ser derivado como em i), i.e., apenas a partir das regras. 5. O SINTACTICISMO [Continuação] PARTE II

37 37 Estas regras são em geral designadas como regras semânticas e são por isso regras para a fixação do sentido de proposições dadas. Exemplo: Se a implicação e a negação são definidas pelas regras usuais, então pode-se derivar sempre a verdade da proposição (*) (P Q) (~Q ~P) e de facto para qualquer P e Q. Proposições como (*) cujo valor de verdade é constantemente verdadeiro, são conhecidas como tautologias. 5. O SINTACTICISMO [Continuação] PARTE II

38 38 Assim parece haver um grão de verdade nesta forma mais elevada de nominalismo, no sentido em que se se faz uma escolha adequada de regras semânticas, a verdade dos axiomas da matemática é derivável das regras semânticas apenas (sem entrar em consideração com o conteúdo dos axiomas). 5. O SINTACTICISMO [Continuação] PARTE II

39 39 Mas uma análise destas derivações revela que as regras sobre os objectos da sintaxe, como os símbolos, as combinações de símbolos, conjuntos de combinações etc. são logicamente equivalentes aos axiomas da lógica e da aritmética recursiva. Assim para se proceder à eliminação do conceito de verdade matemática em favor do conceito de tautologia derivável é necessário primeiro postular a verdade dos axiomas da matemática. Logo esta tentativa de eliminação conduz também a uma petitio principii. 5. O SINTACTICISMO [Continuação] PARTE II

40 40 Se em vez dos axiomas se considerar os conceitos matemáticos em geral, a mesma constatação pode ser feita: em vez de ser possível explicar o seu sentido por meio de convenções lexicográficas, tem que se postular primeiro a compreensão do seu sentido para compreender as convenções lexicográficas. Assim em ambas as variantes de nominalismo consideradas, o conceito de verdade matemática não é convincentemente eliminado. 5. O SINTACTICISMO [Continuação] PARTE II

41 41 Para finalizar sucede ainda que, num sistema adequadamente escolhido, uma demonstração do carácter tautológico dos axiomas é também uma demonstração da sua consistência e, pelo Teorema II, esta demonstração não pode ser realizada por meios mais fracos do que os do próprio sistema. 5. O SINTACTICISMO [Continuação] PARTE II

42 42 Em particular, logo no caso da teoria dos números, uma demonstração da sua consistência exige o recurso a i) conceitos abstractos e ii) axiomas sobre estes conceitos. Conceitos abstractos são para este efeito definidos como aqueles conceitos cuja denotação não é um dado imediato dos sentidos, de que a percepção de símbolos tipográficos é um exemplo típico. Exemplos de conceitos abstractos, neste sentido, são os conceitos conhecidos de conjunto, função de inteiros ou o quantificador existencial sobre todas as combinações possíveis de símbolos tipográficos. 5. O SINTACTICISMO [Continuação] PARTE II

43 43 Para Gödel a necessidade de recorrer a conceitos abstractos resulta do facto de que os símbolos tipográficos podem ser representados pelos seus números de Gödel. Assim a teoria finitista dos números contém todas as demonstrações que recorrem apenas aos inteiros. Gödel desenvolveu esta linha de pensamento no seu trabalho de 1958 Acerca de uma extensão até agora não utilizada do ponto de vista finitista. ( ) Em conclusão o sintacticismo não fornece uma justificação para a nossa crença intuitiva na aplicabilidade e na consistência da teoria dos números. 5. O SINTACTICISMO [Continuação] PARTE II


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