CÁLCULO NUMÉRICO Aula 4 – Solução de equações transcendentes e polinomiais (continuação)

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1 CÁLCULO NUMÉRICO Aula 4 – Solução de equações transcendentes e polinomiais (continuação)

2 CONTEÚDO PROGRAMÁTICO DESTA AULA
Métodos numéricos para resolução de equações: Método do ponto fixo (MPF); Método de Newton Raphson.

3 MÉTODO DO PONTO FIXO OU MÉTODO ITERATIVO LINEAR
Deseja-se resolver a equação f(x) = 0 que apresenta dificuldades para a procura das raízes; Reescrevemos a função f(x) como sendo x = F(x); Se garantirmos que a solução da equação x = F (x) também é solução de f(x) = 0, podemos resolver esta em lugar da primeira; O valor x é chamado um ponto fixo da segunda equação.

4 y x1 x0 x2 raiz y = F(x) y = x x MÉTODO DO PONTO FIXO – ANÁLISE GRÁFICA

5 DETERMINAÇÃO DA FUNÇÃO F (x)
Exemplo 1 - Seja a função f(x) = x2 + x - 6. Determinar possíveis funções para F (x). SOLUÇÃO: Devemos ter que x = F (x); x2 + x - 6 = 0  x = 6 - x2 x2 + x - 6 = 0  x2 = 6 – x  x = 6/x2 – 1/x x2 + x - 6 = 0  x2 +x = 6  x.(x+1) = 6  x = 6/(x+1)

6 DETERMINAÇÃO DA FUNÇÃO F (x)
Exemplo 2 - Seja a função f(x) = x3 - x - 1. Determinar possíveis funções para F (x). SOLUÇÃO: Devemos ter que x = F (x); x3 - x - 1 = 0  x = x3 – 1 x3 - x - 1 = 0  x3 = x + 1  x = (x+1)/ x2 x3 - x - 1 = 0  x3 = x + 1  x = (x+1)1/3 x3 - x - 1 = 0  x3 - x = 1  x.(x2 - 1) = 1  x = 1/(x2 - 1)

7 APLICANDO O CONHECIMENTO – EX.1
Determine uma raiz real da equação x3 - x – 1 = 0 SOLUÇÃO: (x) : x = (x+1)1/3 e xinicial = 2 x = 2 (2+1) 1/3 1,44225 - x = 1,44225 (1, ) 1/3 1,34668 0,09557 x = 1,34668 (1, ) 1/3 1,32888 0,17800 x = 1,32888 (1, ) 1/3 1,32551 0,00337

8 MÉTODO DE NEWTON RAPHSON (DAS TANGENTES)
A estimativa do zero da função y=f(x) é feita a partir da reta tangente à função; A partir de uma valor inicial estimado de “x”, determina-se a equação da reta tangente neste ponto; Determina-se o “x” correspondente da interseção desta reta tangente com o eixo das abscissas; Este novo valor de “x” é utilizado para repetir o processo iterativo.

9 MÉTODO DE NEWTON RAPHSON – ANÁLISE GRÁFICA
x y x0 f(x0) f(x2) raiz x1 f(x1) x2

10 y – y0 = m.(x – x0)  y – f(x0)= f´(x0).(x – x0)
MÉTODO DE NEWTON RAPHSON – FÓRMULA DE RECORRÊNCIA Determinação do coeficiente angular m da reta tangente: m = f´(x0) Equação da reta tangente: y – y0 = m.(x – x0)  y – f(x0)= f´(x0).(x – x0) Determinação do “x” da interseção da reta tangente com o eixo das abscissas: 0 – f(x0)= f´(x0).(x – x0)

11 APLICANDO O CONHECIMENTO – EX. 2
Seja a função f(x) = ex – 3x. Determinar a raiz positiva com tolerância de 0,01. SOLUÇÃO: Função derivada: f´(x) = ex – 3 Valor inicial x = 0,5 x1 = 0,5 – (e0,5 – 3.(0,5))/(e0,5 – 3) = 0,61006 x2 = 0,61006 – (e0,61006 – 3.(0,61006))/(e0,61006 – 3) = 0,619 x3 = 0,619 – (e0,619 – 3.(0,619))/(e0,619 – 3) = 0,619

12 Início (ALGORITMO NEWTON RAPHSON)
x x0 Enquanto f(xe) <  faça i i +1 Fim enquanto Fim

13 RESUMINDO Nesta aula vocês estudaram: Mais dois métodos numéricos para resolução de equações: Método do ponto fixo; Método de Newton Raphson. Algoritmo dos método de Newton Raphson.