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CAPÍTULO 3 ESTRATÉGIAS DE CÁLCULO 28 de março de 2014 ENGENHARIA DE PROCESSOS Análise, Simulação e Otimização de Processos Químicos.

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1 CAPÍTULO 3 ESTRATÉGIAS DE CÁLCULO 28 de março de 2014 ENGENHARIA DE PROCESSOS Análise, Simulação e Otimização de Processos Químicos

2 REVISÃO DOS CAPÍTULOS ANTERIORES

3 1.INTRODUÇÃO GERAL

4 INTRODUÇÃO À SÍNTESE DE PROCESSOS 8 6 SÍNTESE DE SISTEMAS DE SEPARAÇÃO 7 SÍNTESE SÍNTESE DE SISTEMAS DE INTEGRAÇÃO ENERGÉTICA INTRODUÇÃO À ANÁLISE DE PROCESSOS 2 ESTRATÉGIAS DE CÁLCULO 3 OTIMIZAÇÃO AVALIAÇÃO ECONÔMICA 45 ANÁLISE

5 É o campo da Engenharia que congrega os conceitos e os métodos destinados à concepção, ao projeto e à operação de processos químicos ENGENHARIA DE PROCESSOS Implícitos na sua prática encontram-se o emprego intensivo de recursos computacionais e o atendimento a requisitos de natureza econômica, material, energética, de preservação ambiental e de segurança. em que se encontram integrados equipamentos de reação, separação, integração material e energética e controle.

6 O Projeto resulta de um conjunto de ações desenvolvidas Desde A decisão de se produzir um determinado produto Até À conclusão do Projeto As ações são numerosas e diversificadas !!! PROJETO DE PROCESSOS É o conjunto de documentos elaborados por uma equipe de engenheiros com detalhes suficientes para a construção e a operação de uma planta industrial

7 Investigar mercado para o produto Investigar disponibilidade de matéria prima Estabelecer as condições da reação e sub-produtos Estabelecer o número e o tipo dos reatores Definir o número e o tipo dos separadores Definir o número e o tipo de trocadores de calor Estabelecer malhas de controle Definir o fluxograma do processo Calcular as dimensões dos equipamentos Calcular o consumo de matéria prima Calcular o consumo de utilidades Calcular o consumo de insumos Calcular a vazão das correntes intermediárias Investigar reagentes plausíveis Avaliar a lucratividade do processo

8 À luz da Engenharia de Processos elas são organizadas da seguinte forma quanto à sequência no Projeto

9 SELEÇÃO DA ROTA QUÍMICA Investigar mercado para o produto Investigar reagentes plausíveis Investigar a disponibilidade das matérias primas Definir as condições das reações e identificar os sub- produtos gerados SÍNTESE Estabelecer o número e o tipo dos reatores Definir o número e o tipo dos separadores Definir o número e o tipo de trocadores de calor Estabelecer malhas de controle Definir o fluxograma do processo ANÁLISE Calcular o consumo de utilidades Calcular a vazão das correntes intermediárias Calcular as dimensões dos equipamentos Calcular o consumo dos insumos Calcular o consumo de matéria prima Avaliar a lucratividade do processo

10 Projeto: primeiro passo DIFICULDADE: MULTIPLICIDADE DE SOLUÇÕES Seleção da Rota Química

11 Rotas para a produção de fenol

12 DIFICULDADE NA SÍNTESE MULTIPLICIDADE DE SOLUÇÕES Síntese de um Fluxograma para a Rota Química Projeto: segundo passo

13 Equipamentos disponíveis para a geração de um fluxograma RM Reator de mistura RT Reator tubular DS Coluna de destilação simples DE Coluna de destilação extrativa A Aquecedor R Resfriador T Trocador de Integração Este problema é simples O espaço das soluções é constituido apenas de 8 fluxogramas EXEMPLO

14

15 UM RISCO INERENTE À SÍNTESE...

16 EXPLOSÃO COMBINATÓRIA !!! Muitas soluções para analisar

17 DIFICULDADE NA ANÁLISE MULTIPLICIDADE DE SOLUÇÕES Análise dos fluxogramas gerados na Síntese Projeto: terceiro passo

18 12 Q = kgA/h x = 0,02 kgAB/kgA o W 1 kgB/hW 2 y 1 kgAB/kgBy 2 x 1 x 2 kgAB/kgA Modelo Matemático 1. Q(x o - x 1 ) - W 1 y 1 = 0 2. y 1 - k x 1 = 0 3. Q(x 1 -x 2 ) - W 2 y 2 = 0 4. y 2 - k x 2 = 0 Avaliação Econômica L = R - C R = p AB (W 1 y 1 + W 2 y 2 ) C = p B (W 1 + W 2 ) p AB = 0,4 $/kgAB : p B = 0,01 $/kgB Para cada par de valores x 1,x 2 resultam valores de W 1, W 2, y 1, y 2 e Lucro EXEMPLO dimensionamento de 2 extratores em série

19 MULTIPLICIDADE NA ANÁLISE Dificuldade: infinidade de soluções viáveis A cada par (x 1,x 2 ) corresponde uma solução viável

20 Todo problema com Multiplicidade de Soluções exige a busca da sua OTIMIZAÇÃO Solução Ótima através de

21 O Projeto de Processos é um problema complexo de otimização. Constata-se, assim, que...

22 Primeiro fator de complexidade multiplicidade de soluções nos três níveis Nível Tecnológico: determinar a rota química ótima. Nível Paramétrico (Análise): determinar as dimensões ótimas de equipamentos e correntes. Nível Estrutural (Síntese): determinar a estrutura ótima.

23 Segundo fator de complexidade Os 3 problemas são interdependentes. A solução ótima de um está atrelada à solução ótima dos outros dois. Busca Orientada por Árvore de Estados Uma abordagem...

24 Nível Tecnológico Seleção de uma Rota Fluxograma ? Dimensões ? Nível Estrutural Síntese de um Fluxograma Dimensões ? Lucro? Nível Paramétrico Análise do Fluxograma Dimensionamento dos Equipamentos e das Correntes. Lucro. Solução Ótima: Reagentes = D,E; Fluxograma = 3; x = 4 demais dimensões. Raiz Rota Química ? Fluxograma ? Dimensões ? Busca Orientada por Árvore de Estados P ? ? D+E P+F D,EP,F ?? A+B P+C A,BP,C ?? 1PA BC x ? TD 2 PA BC x ? TA P3D EF x ? DM P F 4 D E x ? ME L x 6 x o = 3 x* 8 L x x o = 4 x* L 10 x x o = 6 x* L x 7 x o = 5 x*

25 P ? ? D+E P+F D,E P,F ?? L x 4 10 ? P3 D E F x Nível Tecnológico Seleção de uma Rota Fluxograma ? Dimensões ? Nível Estrutural Síntese de um Fluxograma Dimensões ? Lucro? Nível Paramétrico Análise do Fluxograma Dimensionamento dos Equipamentos e das Correntes. Lucro. Solução Ótima: Reagentes = D,E; Fluxograma = 3; x = 4 demais dimensões. Raiz Rota Química ? Fluxograma ? Dimensões ? Solução do Problema de Projeto por Busca Orientada Vantagem Varre todas as soluções sem repetições sem omitir a ótima Desvantagem Explosão Combinatória (outros métodos)

26 2. INTRODUÇÃO À ANÁLISE DE PROCESSOS

27 INTRODUÇÃO À SÍNTESE DE PROCESSOS 8 6 SÍNTESE DE SISTEMAS DE SEPARAÇÃO 7 SÍNTESE SÍNTESE DE SISTEMAS DE INTEGRAÇÃO ENERGÉTICA INTRODUÇÃO À ANÁLISE DE PROCESSOS 2 ESTRATÉGIAS DE CÁLCULO 3 OTIMIZAÇÃO AVALIAÇÃO ECONÔMICA 45 ANÁLISE

28 Bola de Cristal OBJETIVO DA ANÁLISE Prever e avaliar o desempenho físico e econômico ou ainda inexistente (em fase de projeto) de um processo já existente (em operação)

29 Consiste em (a) prever as dimensões dos principais equipamentos e as condições das correntes, necessárias para atender às especificações técnicas estabelecidas para o projeto. Base Modelo Matemático Prever e avaliar o desempenho FÍSICO (b) prever o comportamento do processo em condições diferentes daquelas para qual foi dimensionado.

30 Consiste em Verificar se o processo atende aos critérios econômicos de lucratividade de forma a justificar a sua montagem e a sua operação. Base Critério Econômico Prever e avaliar o desempenho ECONÔMICO

31 ESTRATÉGIAS DE CÁLCULO 3 AVALIAÇÃO ECONÔMICA 4 INTRODUÇÃO À ANÁLISE DE PROCESSOS 2 OTIMIZAÇÃO 5 Resumo da Análise de Processos Cada Capítulo gera subsídios para os Módulos Computacionais MODELO FÍSICO MODELO ECONÔMICO OTIMIZAÇÃO Variáveis Especificadas Variáveis de Projeto Parâmetros Econômicos Parâmetros Físicos Dimensões Calculadas Lucro

32 Resolver Problema Otimizar Processo Calcular Lucro Dimensionar Extrator Dimensionar Evaporador Dimensionar Condensador Dimensionar Resfriador Dimensionar Misturador Simular Extrator Simular Evaporador Simular Condensador Simular Resfriador Simular Misturador Simular Processo Dimensionar Processo

33 ROTEIRO PARA A RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS NA ANÁLISE DE PROCESSOS 2. Escrever o modelo matemático. 1. Reconhecer ou desenhar o fluxograma: equipamentos, correntes, variáveis do processo. 7. Avaliar criticamente o resultado. 6. Resolver o problema. 5. Estabelecer uma estratégia de cálculo. 4. Efetuar o Balanço de Informação. 3. Identificar as variáveis conhecidas e as metas de projeto. fundamental mais importante

34 FINAL DA REVISÃO

35 MOTIVAÇÃO PARA O CAPÍTULO 3

36 Forma Geral dos Modelos Matemáticos de Processos f 1 (x 1, x 2,..., x i,..., x M ) = 0 f 2 (x 1, x 2,..., x i,..., x M ) = f N (x 1, x 2,..., x i,..., x M ) = 0 N equações M incógnitas constituído do conjunto dos modelos dos equipamentos. Sistema de equações algébricas

37 Exemplo: Modelo do Processo Ilustrativo

38 Partindo dos modelos dos equipamentos 01. f 11 - f 12 - f 13 = W 15 - f 23 = f 31 - f 32 = k – (3 + 0,04 Td) = k – x 13 / x 12 = (f 11 Cp 1 + f 31 Cp 3 ) (T 1 - T d ) + W 15 Cp 2l (T 15 - T d ) = V d - (f 11 / 1 + W 15/ 2 + f 31 / 3 ) = r - f 13 /f 11 = T 2 – T d = T 3 – T d = f 13 - f 14 = f 23 - f 24 - W 5 = W 6 - W 7 = W 6 [ 3 + Cpv (T 6 – T 7 )] - Q e = Q e – [(f 13 Cp 1 + f 23 Cp 2l )(T e - T 3 ) + W 5 2 ] = Q e - U e A e e = e - (T 6 - T e ) = T 4 – T e = T 5 – T e = 0 extrator evaporador

39 20. W 8 - W 9 = W 5 - W 10 = Q c - W 8 Cp 3 (T 9 - T 8 ) = W 5 [ 2 + Cp 2g (T 5 – T 10 )] - Q c = Q c - U c A c c = c - [(T 5 - T 9 ) - (T 10 - T 8 )]/ln[(T 5 - T 9 )/(T 10 - T 8 )] = W 11 - W 12 = W 10 - W 13 = Q r - W 11 Cp 3 (T 12 - T 11 ) = Q r - W 10 Cp 2l (T 10 - T 13 ) = Q r - U r A r r = r - [(T 10 - T 12 ) - (T 13 - T 11 )]/ln[(T 10 - T 12 )/(T 13 - T 11 )] = W 13 + W 14 - W 15 = W 13 (T 15 - T 13 ) + W 14 (T 15 - T 14 ) = f 11 + f 31 - W 1 = x 11 - f 11 / W 1 = f 12 + f 22 – W 2 = x 12 - f 12 / W 2 = f 13 + f 23 – W 3 = x 13 - f 13 / W 3 = f 14 + f 24 - W 4 = x 14 - f 14 / W 4 = 0 condensador resfriador misturador correntes multicomponentes

40 Modelo Completo 01. f 11 - f 12 - f 13 = W 15 - f 23 = f 31 - f 32 = k – (3 + 0,04 Td) = k – x 13 / x 12 = (f 11 Cp 1 + f 31 Cp 3 ) (T 1 - T d ) + W 15 Cp 2l (T 15 - T d ) = V d - (f 11 / 1 + W 15/ 2 + f 31 / 3 ) = r - f 13 /f 11 = T 2 – T d = T 3 – T d = f 13 - f 14 = f 23 - f 24 - W 5 = W 6 - W 7 = W 6 [ 3 + Cpv (T 6 – T 7 )] - Q e = Q e – [(f 13 Cp 1 + f 23 Cp 2l )(T e - T 3 ) + W 5 2 ] = Q e - U e A e e = e - (T 6 - T e ) = T 4 – T e = T 5 – T e = W 8 - W 9 = W 5 - W 10 = Q c - W 8 Cp 3 (T 9 - T 8 ) = W 5 [ 2 + Cp 2g (T 5 – T 10 )] - Q c = Q c - U c A c c = c - [(T 5 - T 9 ) - (T 10 - T 8 )]/ln[(T 5 - T 9 )/(T 10 - T 8 )] = W 11 - W 12 = W 10 - W 13 = Q r - W 11 Cp 3 (T 12 - T 11 ) = Q r - W 10 Cp 2l (T 10 - T 13 ) = Q r - U r A r r = r - [(T 10 - T 12 ) - (T 13 - T 11 )]/ln[(T 10 - T 12 )/(T 13 - T 11 )] = W 13 + W 14 - W 15 = W 13 (T 15 - T 13 ) + W 14 (T 15 - T 14 ) = f 11 + f 31 - W 1 = x 11 - f 11 / W 1 = f 12 + f 22 – W 2 = x 12 - f 12 / W 2 = f 13 + f 23 – W 3 = x 13 - f 13 / W 3 = f 14 + f 24 - W 4 = x 14 - f 14 / W 4 = 0

41 Consiste em representar o processo matematicamente utilizando os conhecimentos relativos aos Fundamentos e Equipamentos Consiste em utilizar técnicas de processamento de informação na resolução de problemas. Competem ao Engenheiro Químico (a) Formulação (Modelagem Matemática): (b) Resolução : É um pré-requisito para esta Disciplina Palavras-chave : Formulação e Resolução !!! Formulação e Resolução do Modelo Objeto deste Capítulo

42 A complexidade dos modelos exige o estabelecimento prévio de uma Estratégia de Cálculo Tema deste Capítulo Fontes de complexidade: Em geral, os modelos de processos são complexos. (c) presença de reciclos (b) não-linearidade de equações (a) grande número de equações e de variáveis Desafio: como viabilizar a resolução de modelos tão complexos, e como faze-lo da forma mais eficiente possível ??? COMPLEXIDADE DOS MODELOS

43 MODELO FÍSICO MODELO ECONÔMICO OTIMIZAÇÃO Variáveis Especificadas Variáveis de Projeto Parâmetros Econômicos Parâmetros Físicos Dimensões CalculadasLucro Objetivo de uma Estratégia de Cálculo Minimizar o esforço computacional envolvido na resolução dos modelos ( problemas de dimensionamento, simulação e otimização de processos ).

44 3.1.1 Representação Métodos Numéricos 3.2 Sistemas de Equações Não-Lineares Estrutura e representação Resolução: partição, abertura, ordenação de equações 3.3 Dimensionamento e Simulação de Equipamentos 3.4 Dimensionamento e Simulação de Processos Estratégia Global Estratégia Modular 3.5 Incerteza e Análise de Sensibilidade Questionamento do Projeto Questionamento do Desempenho Futuro 3. ESTRATÉGIAS DE CÁLCULO 3.1 Equações Não - Lineares

45 3.1 EQUAÇÕES NÃO – LINEARES Motivação para o estudo de equações não-lineares No dimensionamento e na simulação de equipamentos e de processos ocorrem sistemas de equações que só podem ser resolvidos por métodos iterativos de tentativas empregados na resolução de equações Assim, este Capítulo começa com métodos de resolução de equações.

46 3.1 Equações Não-Lineares Métodos Numéricos 3.2 Sistemas de Equações Não-Lineares Estrutura e representação Resolução: partição, abertura, ordenação de equações 3.3 Dimensionamento e Simulação de Equipamentos 3.4 Dimensionamento e Simulação de Processos Estratégia Global Estratégia Modular 3.5 Incerteza e Análise de Sensibilidade Questionamento do Projeto Questionamento do Desempenho Futuro 3. ESTRATÉGIAS DE CÁLCULO Representação

47 Na abordagem aqui adotada, uma vez formulada representando um fenômeno físico, a equação f (x 1 *,..., x i - 1 *, x i, x i + 1 *,…, x M * ) = 0 passa ser vista como um processador de informação assim representada : 3.1 EQUAÇÕES NÃO – LINEARES Representação f j x1x1 x2x2 x i - 1 x i + 1 xMxM x i incógnita variáveis conhecidas

48 A dificuldade da resolução de f (x 1 *,..., x i - 1 *, x i, x i + 1 *,…, x M * ) = 0 depende da sua forma funcional. incógnita x 2 : x 1 * x 2 + ln x 1 * = 0 incógnita x 1 : x 1 x 2 * + ln x 1 = 0 Solução analítica simples: x 2 = - (ln x 1 * ) / x 1 * Solução numérica por tentativas Exemplo x 1 x 2 + ln x 1 = 0

49 3.1 Equações Não-Lineares Representação 3.2 Sistemas de Equações Não-Lineares Estrutura e representação Resolução: partição, abertura, ordenação de equações 3.3 Dimensionamento e Simulação de Equipamentos 3.4 Dimensionamento e Simulação de Processos Estratégia Global Estratégia Modular 3.5 Incerteza e Análise de Sensibilidade Questionamento do Dimensionamento Questionamento do Desempenho Futuro 3. ESTRATÉGIAS DE CÁLCULO Métodos Numéricos

50 Métodos de Aproximações Sucessivas Há duas famílias importantes de métodos numéricos para a resolução de equações não-lineares. Métodos de Redução de Intervalos Por diferentes raciocínios lógicos, promovem a redução do intervalo até que se torne menor do que uma tolerância pré-estabelecida. Por diferentes raciocínios lógicos, testam valores sucessivos até que a diferença relativa entre 2 valores sucessivos se torne menor do que uma tolerância pré- estabelecida. Partem de um intervalo inicial. (limites inferior e superior) Partem de um valor inicial Métodos Numéricos

51 Dados os limites superior x s e inferior x i, define-se o intervalo de incerteza x s - x i. Qualquer valor no interior ou na fronteira do intervalo serve como solução. x s x i (a) Métodos de Redução de Intervalos Este é reduzido sucessivamente até se tornar menor do que uma tolerância pré-estabelecida: x s - x i. x i x s x i x s f (x)

52 Um método típico de Redução de Intervalos Método da Bisseção ou Busca Binária A cada iteração, o intervalo de incerteza é reduzido à metade.

53 x ALGORITMO SE ABS(f i ) < ABS(f s ) ENTÃO Solução = x i SENÃO Solução = x s f(x) x xixi fifi xsxs fsfs x f xsxs fsfs xixi fifi x f Se Sinal (f) = Sinal (f i ): Então atualizar : x i = x : f i = f Estabelecer x i, x s, (tolerância) Calcular f i em x i Calcular f s em x s REPETIR x = (x i + x s )/2 Calcular f em x Senão atualizar : x s = x : f s = f ATÉ x s - x i xf BISS f (x)

54 Exemplo: x 1 x 2 * + ln x 1 = 0 Solução para = 0,1 : x = 0,4375 f = 0,048 x i f i x f x s f s 0, , , ,51 0,5 0,307 0,375 -0,231 0,5 0,307 0,25 -0,88 0,375 -0,231 0,4375 0,048 0,5 0,307 0,25 -0,88 0,375 -0,231 0,43750,048 0,5 0,25 0,125 0,0625 f = x 1 x 2 * + ln x 1 x 2 * = 2 : x i = 0 : x s = 1: = 0,1 Se Sinal (f) = Sinal (f i ): Então atualizar : x i = x : f i = f Estabelecer x i, x s, (tolerância) Calcular f i em x i Calcular f s em x s REPETIR x = (x i + x s )/2 Calcular f em x Senão atualizar : x s = x : f s = f ATÉ x s - x i

55 EFICIÊNCIA DO MÉTODO N t : número total de cálculos da função para alcançar o intervalo N m : número de cálculos da função, no meio do intervalo, necessário para alcançar o intervalo Como o método se inicia com o cálculo da função nos limites inferior e superior, então: N t = N m + 2

56 Solução para = 0,1 : x = 0,4375 f = 0,048 x i f i x f x s f s 0, , , ,51 0,5 0,307 0,375 -0,231 0,5 0,307 0,25 -0,88 0,375 -0,231 0,4375 0,048 0,5 0,307 0,25 -0,88 0,375 -0,231 0,43750,048 0,5 0,25 0,125 0,0625 = 0,5 Nm ln = N m ln 0,5 N t = 2 + ln / ln 0,5 10% : = 0,1 N = 5,3 N t = 6 1% : = 0,01 N = 8,6 N t = 9 N t = 2 – 1,4 ln

57 Atribui-se um valor inicial para a incógnita. (b) Métodos de Aproximações Sucessivas xixi xsxs x1x1 x2x2 x3x3 Esse valor é atualizado sucessivamente até que o erro relativo entre duas aproximações sucessivas, abs [(x k - x k-1 ) / x k ], seja menor do que uma tolerância pré-estabelecida. x4x4 x5x5

58 Um método típico Método da Substituição Direta Se a incógnita aparecer em mais de termo da equação, ela é explicitada parcialmente: f(x i ) = 0 x i = F(x i ) Exemplo x 1 = e - x 1 x 2 * x 1 = - (1/ x 2 * ) ln x 1 F(x 1 ) x 1 x 2 * + ln x 1 = 0 f(x 1 )

59 x i = F(x i ) F(x) x A solução é o valor de x i em que F(x i ) = x i. 0,2

60 ALGORITMO Convergir = |(F-x)/x| < (erro relativo) Estabelecer x inicial, (tolerância) REPETIR x = F Calcular a Função F em x ATÉ Convergir x solução = F F = x inicial Como dar a partida ? Em cada iteração, o valor arbitrado para x i é o valor de F(x i - 1 ) obtido na iteração anterior.

61 F(x) x Convergir = |(F-x)/x| < (erro relativo) Estabelecer x inicial, (tolerância) F = x inicial REPETIR x = F Calcular a Função F em x ATÉ Convergir x solução = F x1x1 x2x2 x3x3 Executando o Algoritmo Em cada iteração, o valor arbitrado para x i é o valor de F(x i - 1 ) obtido na iteração anterior.

62 Condição para Convergência |F´(x)| < 1 F(x) x x1x1 x2x2 x3x3 convergência monotônica derivada positiva convergência oscilatória derivada negativa x 1 x 3 x 2 F(x) x Na direção da Solução A convergência pode ser monotônica ou oscilatória

63 Condição para Divergência |F´(x)| > 1 F(x) x x1x1 x3x3 x2x2 x x1x1 x2x2 x3x3 divergência monotônica derivada positiva divergência oscilatória derivada negativa Afastamento da Solução A divergência pode ser monotônica ou oscilatória

64 Exemplo: x 1 x 2 * + ln x 1 = 0 x 1 = F(x 1 ) (x 2 * = 2 : x 1 inicial = 0,5) F(x 1 ) = - (1/ x 2 * ) ln x 1 F(x 1 ) = e - x 1 x 2 * Divergência Oscilatória F(x 1 ) = - 1,17 Convergência Oscilatória F(x 1 ) = - 0,85 Solução: x = 0,4263 F(x) x 1 x 2 x 3 x x 1 x 3 x 2 x x F 0,50,3460,308 0,3460,5290,529 0,5290,3170,400 0,3170,5730,806 0,5730,2780,515 x F 0,50,3670,264 0,3670,4790,302 0,4790,3830,199 0,3830,4640,210 0,4640,3950,149 Exemplo: x 1 x 2 * + ln x 1 = 0 oscilando para maior oscilando para menor

65 F(x) x x1x1 x2x2 x3x3 x x1x1 x2x2 x3x3 Equações que representam processos de operação estável, também apresentam comportamento estável, ou seja, convergem.

66 Em resumo Equações Não-Lineares podem ser resolvidas por métodos: - redução de intervalos (ex.: bisseção) - aproximações sucessivas (ex.: substituição direta) Esses métodos serão evocados a seguir em Sistemas de Equações.

67 3.1 Equações Não-Lineares Representação Métodos Numéricos Resolução: partição, abertura, ordenação de equações 3.3 Dimensionamento e Simulação de Equipamentos 3.4 Dimensionamento e Simulação de Processos Estratégia Global Estratégia Modular 3.5 Incerteza e Análise de Sensibilidade Questionamento do Dimensionamento Questionamento do Desempenho Futuro 3. ESTRATÉGIAS DE CÁLCULO 3.2 Sistemas de Equações Não-Lineares Estrutura e Representação

68 A equação f (x 1,..., x i-1, x i, x i+1,…, x M ) = 0 pode ser representada como um processador de informação 3.2 SISTEMAS DE EQUAÇÕES NÃO – LINEARES Estrutura e Representação f j x1x1 x2x2 x i - 1 x i + 1 xMxM x i

69 Um sistema de equações pode ser representado por um sistema de processadores Os elementos desse sistema são as equações. As conexões são as variáveis comuns. Durante a resolução de um problema, os processadores transmitem informação de uns para os outros. f 1 (x o, x 1 ) = 0 f 2 (x 1,x 2 ) = 0 f 3 (x 2,x 3 ) = xx 1 x 2 x 30

70 f 1 (x o, x 1 ) = 0 f 2 (x 1,x 2 ) = 0 f 3 (x 2,x 3 ) = xx 1 x 2 x 30 Estrutura Acíclica f 1 (x o,x 1 3 ) = 0 f 2 (x 1,x 2 ) = 0 f 3 (x 2,x 3 ) = x 0 x 1 x 2 x 3 x 3 Estrutura Cíclica Estruturas Básicas Os sistemas de equações podem assumir as mais variadas estruturas.

71 123 xx 1 x 2 x 30 Estrutura Acíclica 123 x 0 x 1 x 2 x 3 x 3 Estrutura Cíclica Estrutura acíclica: resolução trivial por encadeamento sucessivo a partir que qualquer variável conhecida (x o, por exemplo). Estrutura cíclica: solução somente por tentativas (exemplo: conhecida x o, o cálculo de x 1 depende de x 3 ainda não calculada). ? f 1 (x o, x 1 ) = 0 f 2 (x 1, x 2 ) = 0 f 3 (x 2, x 3 ) = 0 f 1 (x o, x 1, x 3 ) = 0 f 2 (x 1, x 2 ) = 0 f 3 (x 2, x 3 ) = 0

72 Quanto mais complexa a estrutura, mais difícil é a resolução do sistema.

73 Um Sistema de Equações Típico de um Modelo de Processo 1. f 1 (x o *, x 1 ) = 0 2. f 2 (x 1, x 2 ) = 0 3. f 3 (x 2, x 3, x 6 ) = 0 4. f 4 (x 3, x 4 ) = 0 5. f 5 (x 4, x 5 ) = 0 6. f 6 (x 5, x 6 ) = 0 7. f 7 (x 6, x 7 ) = 0 8. f 8 (x 7, x 8 ) = 0

74 Representações Através da representação é possível enxergar como os processadores trocam informações. E, assim, conceber métodos eficientes de resolução.

75 Matrizes Esparsas ! 1. f 1 (x o *,x 1 ) = 0 2. f 2 (x 1,x 2 ) = 0 3. f 3 (x 2,x 3,x 6 ) = 0 4. f 4 (x 3,x 4 ) = 0 5. f 5 (x 4,x 5 ) = 0 6. f 6 (x 5,x 6 ) = 0 7. f 7 (x 6,x 7 ) = 0 8. f 8 (x 7,x 8 ) = 0 Representação Matricial Característica em Processos o número de variáveis em cada equação é pequeno: nem todas as variáveis figuram em todas as equações.

76 1. f 1 (x o *,x 1 ) = 0 2. f 2 (x 1,x 2 ) = 0 3. f 3 (x 2,x 3,x 6 ) = 0 4. f 4 (x 3,x 4 ) = 0 5. f 5 (x 4,x 5 ) = 0 6. f 6 (x 5,x 6 ) = 0 7. f 7 (x 6,x 7 ) = 0 8. f 8 (x 7,x 8 ) = 0 Representação Gráfica (Grafo) Ciclo ! Proporciona uma visão mais clara da estrutura do sistema x6x x1x1 x2x2 x3x3 x4x4 x5x5 x6x6 x7x7 x8x8 xoxo

77 3.1 Equações Não-Lineares Representação Métodos Numéricos 3.2 Sistemas de Equações Não-Lineares Estrutura e Representação 3.3 Dimensionamento e Simulação de Equipamentos 3.4 Dimensionamento e Simulação de Processos Estratégia Global Estratégia Modular 3.5 Incerteza e Análise de Sensibilidade Questionamento do Dimensionamento Questionamento do Desempenho Futuro 3. ESTRATÉGIAS DE CÁLCULO Resolução: partição, abertura, ordenação de equações

78 Os sistemas de equações podem ser resolvidos por - métodos simultâneos - método seqüencial.

79 Métodos Simultâneos Calcular F 1 x 1 (k+1) = F 1 Calcular F 2 x 2 (k+1) = F 2 TESTE x 1 = x 1 (k+1) x1kx1k x2kx2k x 1 (k+1) x 2 (k+1) x 2 = x 2 (k+1) Diversos métodos são descritos em livros texto e abordados em disciplinas de Métodos Numéricos. Exemplo: Newton-Raphson, Wegstein,... Todas as variáveis são alteradas simultaneamente.

80 Método Sequencial É um método alternativo em que as equações são acionadas uma-a-uma, passando informação de uma para a outra, numa sequência lógica previamente estabelecida. Este método é chamado de Resolução por Equações ("equation oriented").

81 Este método pode ser implementado através do ALGORITMO DE ORDENAÇÃO DE EQUAÇÕES A.O.E.

82 É um algoritmo de atribuição de tarefas Algoritmo de Ordenação de Equações (AOE) 1. Atribui a cada equação a tarefa de calcular uma das incógnitas do sistema. 2. Ao mesmo tempo, organiza as equações segundo uma Sequencia de Cálculo que minimiza o esforço computacional.

83 Outros resultados 4. Em problemas com graus de liberdade, indica as variáveis de projeto compatíveis com o esforço computacional mínimo. 3. Efetua automaticamente a partição do sistema em conjuntos cíclicos e acíclicos de equações, minimizando o número de equações envolvidas em cálculos iterativos. 5. Em problemas com ciclos, indica as variáveis de abertura (a definir). Partição ???

84 x x* x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 6 o Consiste em decompor o sistema em sub-sistemas PARTIÇÃO "partitioning" 1. f 1 (x o,x 1 ) = 0 2. f 2 (x 1,x 2 ) = 0 3. f 3 (x 2,x 3,x 6 ) = 0 4. f 4 (x 3,x 4 ) = 0 5. f 5 (x 4,x 5 ) = 0 6. f 6 (x 5,x 6 ) = 0 7. f 7 (x 6,x 7 ) = 0 8. f 8 (x 7,x 8 ) = 0 Resolvem-se os sub-sistemas sequencialmente 1, 2[] Parte Acíclica Cálculo Direto xo*xo*x2x2 [ 3, 4, 5,6 ] Parte Cíclica Cálculo Iterativo x6x6 [7, 8] x8x8 Parte Acíclica Cálculo Direto

85 O Algoritmo simplesmente formaliza ações intuitivas e óbvias utilizando os seguintes termos básicos Equações de Incógnita Única Variáveis de Frequência Unitária Ciclos

86 x x* x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 6 o 1. f 1 (x o,x 1 ) = 0 2. f 2 (x 1,x 2 ) = 0 3. f 3 (x 2,x 3,x 6 ) = 0 4. f 4 (x 3,x 4 ) = 0 5. f 5 (x 4,x 5 ) = 0 6. f 6 (x 5,x 6 ) = 0 7. f 7 (x 6,x 7 ) = 0 8. f 8 (x 7,x 8 ) = 0 Equações de Incógnita Única São equações em que todas as variáveis têm os seus valores conhecidos, menos uma! Exemplo: equação 1 Uma vez resolvida para x 1 a equação 2 fica com incógnita única podendo ser resolvida para x 2 Não há mais equações de incógnita única

87 Enquanto houver equações com incógnita única (a)atribuir (vincular) essa incógnita à respectiva equação O Algoritmo pode começar assim: (c) remover a variável da lista das incógnitas (b) colocar a equação no primeira posição disponível na Sequencia de Cálculo x x* x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 6 o 2. x 2 1. x 1 Não há mais equações de incógnita única Sequência de Cálculo

88 Varáveis de Frequência Unitária São variáveis que pertencem a uma só equação Só pode ser calculada pela Eq. 8 depois de x 7 x x* x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 6 o Exemplo: x 8 Então x 7 só pode ser calculada pela Eq.7 ficando com frequência unitária Só pode ser calculada pela Eq. 7 depois de x 6 Não há mais variáveis de frequência unitária

89 Enquanto houver variáveis de frequência unitária (a)atribuir (vincular) essa incógnita à respectiva equação O Algoritmo pode prosseguir assim: (c) remover a variável da lista das incógnitas (b) colocar a equação na última posição disponível na Sequencia de Cálculo 1. x 1 2. x x x* x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 6 o 8. x 8 7. x 7 Não há mais variáveis de frequência unitária Sequência de Cálculo

90 Ciclos x 3456 x 3 x 4 x 5 6 x2x2 x6x6 x 6 = f 6 (x 5 ) = f 6 (f 5 (x 4 )) = f 6 (f 5 (f 4 (x 3 ))) = f 6 (f 5 (f 4 (f 3 (x 2,x 6 )))) = F(x 6 ) São conjuntos cíclicos de equações em que cada variável vem a ser função dela mesma. Solução exclusivamente por métodos iterativos

91 Preparação do sub-sistema cíclico para resolução por tentativas (d) Estabelecer o esquema de convergência (a) Selecionar uma Equação Final (b) Retornar à Etapa 2 (VFU) (c) Identificar a Variável de Abertura (não atribuída a qualquer equação) 345 X 3 X 4 X X 3 X 4 X 5 Equação Final 345 X 3 X 4 X X 3 X 4 X 5 X6X6 Variável de Abertura 1. x 1 2. x 2 8. x 8 7. x 7 5. x 5 4. x 4 3. x 3 6. final x6x6 Sequência de Cálculo

92 12 X o * X 1 X 2 78 X 6 X 7 X X 3 X 4 X X 3 X 4 X 5 Equação Final 345 X 3 X 4 X X 3 X 4 X 5 EQUAÇÃOVARIÁVEL 1x 1 2x 2 7x 7 6 final 8x 8 EQUAÇÃOVARIÁVEL 1x 1 2x 2 7x 7 3x 3 4x 4 5x 5 6 final 8x 8 X6X6 Variável de Abertura x6x6 META DO ALGORITMO Sequencia de Cálculo Resultante

93 ALGORITMO PRONTO

94 Algoritmo de Ordenação de Equações Enquanto houver equações Enquanto houver equações com incógnita única (a) atribuir (vincular) essa incógnita à respectiva equação. (b) colocar a equação no primeira posição disponível na Sequencia de Cálculo. (c) remover a variável (X na vertical). Enquanto houver variáveis de frequência unitária (a) atribuir (vincular) essa variável à respectiva equação. (b) colocar a equação no última posição disponível na Seqüência de Cálculo. (c) remover a equação (X na horizontal). Se ainda houver equações (ciclo!) (a) selecionar uma equação que contenha pelo menos uma variável de freqüência igual à menor freqüência dentre todas as variáveis (Final). (b) colocar essa equação na última posição disponível na Seqüência de Cálculo. (c ) remover equação (X na horizontal).

95 ESTABELECIMENTO DO ESQUEMA DE CONVERGÊNCIA Insere-se um Promotor de Convergência São apresentados dois Promotores de Convergência baseados nos métodos para equações não-lineares: (a) Bisseção (b) Substituição Direta

96 Uma vez ordenadas, as equações podem ser resolvidas na seqüência estabelecida, com o mínimo de esforço computacional.

97 x ALGORITMO SE ABS(f i ) < ABS(f s ) ENTÃO Solução = x i SENÃO Solução = x s f(x) x xixi fifi xsxs fsfs x f xsxs fsfs xixi fifi x f Se Sinal (f) = Sinal (f i ): Então atualizar : x i = x : f i = f Estabelecer x i, x s, (tolerância) Calcular f i em x i Calcular f s em x s REPETIR x = (x i + x s )/2 Calcular f em x Senão atualizar : x s = x : f s = f ATÉ x s - x i xf BISS f (x) Relembrando o Método da Bisseção

98 A cada iteração: - arbitra-se x 6a. - resolve-se sucessivamente as equações 3, 4 e 5. - pela equação 6 calcula-se f 6 (x 5, x 6 ). - avalia-se a convergência pelo critério do método da bisseção. x xixi fifi xsxs fsfs x f f(x) (a) BISSSEÇÃO x 6a 3456 x2x2 x3x3 x4x4 x5x5 x6x6 BISS f 6 (x 5, x 6 ) f3 (x2,x3,x4) = 0f4 (x3,x4) = 0f5 (x4,x5) = 0f6 (x5,x6) = 0

99 (c) F'(x) < 0|F'(x)| < 1 convergência oscilatória F(x) x x1x1 x2x2 x3x3 (a) F'(x) > 0|F'(x) < 1 convergência monotonica x1x1 x2x2 F(x) x x3x3 ALGORITMO Estabelecer x inicial, (tolerância) F = x inicial x solução = F Convergir = |(F - x)/x| < REPETIR x = F Calcular a Função F em x ATÉ Convergir RELEMBRANDO O MÉTODO DA SUBSTITUIÇÃO DIRETA x = F ( x)f (x) = 0explicitando x A solução é a interseção de F(x) com a reta de 45º onde ela é igual ao próprio x.

100 (b) SUBSTITUIÇÃO DIRETA Arbitra-se x 6c inicial. A cada iteração: - toma-se x 6a = x 6c. - resolve-se sucessivamente as equações 3, 4, 5 e 6, que calcula x 6c. - avalia-se a convergência através do erro relativo ABS (x 6c – x 6a ) / x 6a x 1 x 2 x 3 x 6c x 6a x 6c 3456 x2x2 x3x3 x4x4 x5x5 x6x6 SD x 6a

101 COMPARAÇÃO DOS PROMOTORES DE CONVERGÊNCIA (b) Substituição Direta Arbitra-se x 6a. A cada iteração, a eq.6 calcula x 6c = f 6 (x 5 ) : x 6a = x 6c (até convergir). f 6 (x 5, x 6 ) (a) Bisseção x 6a 3456 x2x2 x3x3 x4x4 x5x5 x6x6 BISS f3 (x2,x3,x6) = 0f4 (x3,x4) = 0f5 (x4,x5) = 0f6 (x5,x6) = 0 Arbitra-se x 6a. A cada iteração, a eq.6 calcula f 6 (x 5, x 6 ) (até convergir) x 6c 3456 x2x2 x3x3 x4x4 x5x5 x6x6 SD x 6a f3 (x2,x3,x4) = 0f4 (x3,x4) = 0f5 (x4,x5) = 0f6 (x5,x6) = 0

102 APLICAÇÃO AO SISTEMA ILUSTRATIVO

103 1. f 1 (x o *, x 1 ) = 0 2. f 2 (x 1, x 2 ) = 0 3. f 3 (x 2, x 3, x 6 ) = 0 4. f 4 (x 3, x 4 ) = 0 5. f 5 (x 4, x 5 ) = 0 6. f 6 (x 5, x 6 ) = 0 7. f 7 (x 6, x 7 ) = 0 8. f 8 (x 7, x 8 ) = 0 Do ponto de vista prático, o Algoritmo é aplicado sobre a Matriz Incidência

104 Seqüência Equações de Incógnita Única (EIU) Círculo na variável inscrição no último lugar x na horizontal

105 Seqüência 1 - x Equações de Incógnita Única (EIU) Círculo na variável inscrição no primeiro lugar x na vertical

106 1 - x x Seqüência Equações de Incógnita Única (EIU) Círculo na variável inscrição no primeiro lugar x na vertical Não há mais Equações de Incógnita Única (EIU)

107 Estado atual da Sequência de Cálculo

108 EQUAÇÃOVARIÁVEL 1x 1 2x 2 12 X O * X 1 X 2

109 Seqüência 1 - x x Variáveis de Frequência Unitária (VFU) Círculo na variável inscrição no último lugar x na horizontal

110 1 - x x x 8 Seqüência Variáveis de Frequência Unitária (VFU) Círculo na variável inscrição no último lugar x na horizontal

111 1 - x x x x 8 Seqüência Variáveis de Frequência Unitária (VFU) Círculo na variável inscrição no último lugar x na horizontal

112 1 - x x x x 8 Seqüência Não há mais Variáveis de Frequência Unitária (VFU)

113 Estado atual da Sequência de Cálculo

114 EQUAÇÃOVARIÁVEL 1x 1 2x 2 7x 7 8x 8 12 X O * X 1 X 2 78 X 7 X 8 X 6

115 1 - x x x x 8 Seqüência Ciclo! Equação Final ? x 3456 x 3 x 4 x 5 6 x2x2 x6x6

116 x 3456 x 3 x 4 x 5 6 x2x2 x6x6 Em princípio, qualquer uma do ciclo A figura motiva a 6 !

117 Equação Final: x x final 7 - x x 8 Seqüência

118 1 - x x final 7 - x x 8 Seqüência Variáveis de Frequência Unitária (VFU) Volta-se a buscar...

119 1 - x x final 7 - x x 8 Seqüência Aqui há 2 VFU: X 5 e X 6. A ordem em que são escolhidas não importa. Uma não afeta a outra. Ela poderiam ser até resolvidas em paralelo. Na verdade, elas poderiam ser calculadas em paralelo porque

120 1 - x x x final 7 - x x 8 Seqüência Variáveis de Frequência Unitária (VFU) Círculo na variável inscrição no último lugar x na horizontal

121 1 - x x x x final 7 - x x 8 Seqüência Variáveis de Frequência Unitária (VFU) Círculo na variável inscrição no último lugar x na horizontal

122 1 - x x x x x final 7 - x x 8 Seqüência Variáveis de Frequência Unitária (VFU) Círculo na variável inscrição no último lugar x na horizontal

123 Variável de Abertura: x x x x x x final 7 - x x 8 x6x6 Seqüência

124 SEQUÊNCIA DE CÁLCULO FINAL EQUAÇÃOVARIÁVEL 1x 1 2x 2 3x 3 4x 4 5x 5 6 final 7x 7 8x X O * X 1 X 2 X 3 X 4 X 5 X 6 X 7 X 8 X 6 X 6 variável de abertura equação final x6x6

125 Mostrar o Programa AOE.xls

126 Estratégia de Cálculo para 4 situações típicas em Engenharia de Processos. Antecipando...

127 PROCESSO OTIMIZAÇÃO * LE E x x 4 x 3 x 2 x 1 x 2 x 3 x 55 AVALIAÇÃO ECONÔMICA PROCESSO OTIMIZAÇÃO * LE E x x 4 x 32 xx 2 x 3 x x4x4 55 AVALIAÇÃO ECONÔMICA PROCESSO * LE E x x 4 x 3 x 2 x 1 x 2 x 3 x 4 AVALIAÇÃO ECONÔMICA Sol.única sem ciclo Otimização com ciclo Sol.única com ciclo Otimização sem ciclo PROCESSO * LEEx x 4 x 3 x 2 x 2 x 3 x 4 AVALIAÇÃO ECONÔMICA x4x4 x1x1 x1x1

128 1f 1 (x 1, x 2 ) 2f 2 (x 2, x 3, x 4 ) = 0 3f 3 (x 3, x 4 ) = 0 4f 4 (x 4 ) = 0 Sistema 1 G = 0 : solução única, sem variável de projeto Ciclo potencial: a confirmar, haverá uma variável de abertura 1** 2*** 3** 4* x 1 x 2 x 3 x 4 Matriz Incidência x1x1 x2x2 x3x3 x4x4 x4x4 Grafo

129 Algoritmo de Ordenação de Equações Enquanto houver equações com incógnita única (c) remover a variável. 4 x 4 3 x 3 2 x 2 1 x 1 Seqüência de Cálculo EquaçãoVariável Matriz Incidência x 1 x 2 x 3 x 4 1 * * 2 * * * 3 * * 4 * X X XX (a) atribuir (vincular) essa incógnita à respectiva equação. (b) colocar a equação na primeira posição disponível na Seqüência de Cálculo.

130 G = 0 : Solução Única, sem variável de projeto Processo : sequência direta (sem ciclos) PROCESSO LEE* 4321 x4x4 x3x3 x2x2 x1x1 AVALIAÇÃO ECONÔMICA x 4 x 3 x 2 x x1x1 x2x2 x3x3 x4x4 x4x4 Grafo Como a eq. 4 é de incógnita única, x 4 é a primeira e o seu valor é transmitido para a eq.2 desfazendo o ciclo em potencial

131 Sistema 2 1f 1 (x 1,x 2 ) 2f 2 (x 2,x 3,x 4 ) = 0 3f 3 (x 3,x 4 ) = 0 4f 4 (x 4,x 5 ) = 0 G = 1 : problema de otimização, haverá uma variável de projeto. Ciclo potencial: a confirmar, haverá uma variável de abertura. 1** x1x1 x2x2 x3x3 x4x4 x5x5 2*** 3** 4** Matriz Incidência x1x1 x2x2 x3x3 x4x4 x4x4 x5x5 Grafo

132 Algoritmo de Ordenação de Equações Enquanto houver equações com incógnita única (a) atribuir (vincular) essa incógnita à respectiva equação. (b) colocar a equação na primeira posição disponível na Seqüência de Cálculo. (c) remover a variável. 4 x 5 3 x 3 2 x 2 1 x 1 Seqüência de Cálculo EquaçãoVariável Matriz Incidência x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 1 * * 2 * * * 3 * * 4 * * X X XX X Enquanto houver equações Enquanto houver variáveis de freqüência unitária (c) remover a equação. x 4 variável de projeto (a) atribuir (vincular) essa variável à respectiva equação. (b) colocar a equação na última posição disponível na Seqüência de Cálculo. x4x4

133 123 4 x1x1 x2x2 x3x3 x4x4 x4x4 x5x5 Grafo PROCESSO OTIMIZAÇÃO LE E* 321 x3x3 4 x2x2 x1x1 x5x5 x4x4 AVALIAÇÃO ECONÔMICA x 1 x 2 x 3 x 5 Como x 4 resultou como Variável de Projeto o ciclo desapareceu G = 1 : Otimização, uma variável de projeto Processo : sequência direta (sem ciclos)

134 Sistema 3 1f 1 (x 1,x 2 ) 2f 2 (x 1,x 2,x 3,x 4 ) = 0 3f 3 (x 3,x 4 ) = 0 4f 4 (x 4 ) = 0 G = 0: solução única, sem variável de projeto Ciclos potenciais: a confirmar haverá variáveis de abertura x1x1 x2x2 x3x3 x4x4 1** 2**** 3** 4* Matriz Incidência 1234 x2x2 x3x3 x4x4 x4x4 x1x1 Grafo

135 Algoritmo de Ordenação de Equações Enquanto houver equações com incógnita única (a) atribuir (vincular) essa incógnita à respectiva equação. (b) colocar a equação na primeira posição disponível na Seqüência de Cálculo. (c) remover a variável. 4 x 4 3 x 3 1 x 2 2 final Seqüência de Cálculo EquaçãoVariável Matriz Incidência x 1 x 2 x 3 x 4 1 * * 2 * * * * 3 * * 4 * X XXXX X x 1 : Variável de Abertura x1x1

136 x 1 : variável de abertura PROCESSO LEE* x4x4 x3x3 x2x2 x1x1 AVALIAÇÃO ECONÔMICA x 1 x 2 x 3 x x2x2 x3x3 x4x4 x4x4 x1x1 Grafo Aqui, o ciclo persistiu e teve que ser aberto G = 0 : Solução Única, sem variável de projeto Processo : sequência com ciclo e uma variável de abertura

137 Sistema 4 1f 1 (x 1,x 2 ) 2f 2 (x 1,x 2,x 3,x 4 ) = 0 3f 3 (x 3,x 4 ) = 0 4f 4 (x 4, x 5 ) = 0 G = 1: problema de otimização com uma variável de projeto Ciclos potenciais: poderá haver variáveis de abertura x1x1 x2x2 x3x3 x4x4 x5x5 1** 2**** 3** 4** Matriz Incidência 1234 x2x2 x3x3 x4x4 x4x4 x1x1 Grafo x5x5

138 Matriz Incidência x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 1 * * 2 * * * * 3 * * 4 * * X XXX X 4 x 5 3 x 3 1 x 2 2 final Seqüência de Cálculo EquaçãoVariável X X Enquanto houver equações Enquanto houver variáveis de freqüência unitária (a) atribuir (vincular) essa variável à respectiva equação. (b) colocar a equação na última posição disponível na Seqüência de Cálculo. (c) remover a equação. Algoritmo de Ordenação de Equações Enquanto houver equações com incógnita única (a) atribuir (vincular) essa incógnita à respectiva equação. (b) colocar a equação na primeira posição disponível na Seqüência de Cálculo. (c) remover a variável. Sobram x 1 e x 4 Uma de projeto Outra de abertura Eqs 1 e 3 independentes: qualquer uma

139 x 4 : variável de abertura x 1 : variável de projeto 1234 x2x2 x3x3 x4x4 x1x1 Grafo x5x5 E* PROCESSO OTIMIZAÇÃO LE x 4 x 3 x4x4 2 x x1x1 5 x 2 x 3 x 4 x 5 AVALIAÇÃO ECONÔMICA G = 1: Otimização, com uma variável de projeto Processo: Sequência Cíclica com uma variável de abertura Opção 1:

140 x 4 : variável de projeto x 1 : variável de projeto 1234 x2x2 x3x3 x4x4 x1x1 Grafo x5x5 E* PROCESSO OTIMIZAÇÃO LE x 4 x 3 x1x1 2 x x4x4 5 x 2 x 3 x 4 x 5 AVALIAÇÃO ECONÔMICA Opção 2: G = 1: Otimização, com uma variável de projeto Processo: Sequência Cíclica com uma variável de abertura

141 RESUMO DOS 4 TIPOS DE PROBLEMAS

142 PROCESSO OTIMIZAÇÃO * LE E x x 4 x 3 x 2 x 1 x 2 x 3 x 55 AVALIAÇÃO ECONÔMICA PROCESSO OTIMIZAÇÃO * LE E x x 4 x 32 xx 2 x 3 x x4x4 55 AVALIAÇÃO ECONÔMICA PROCESSO * LE E x x 4 x 3 x 2 x 1 x 2 x 3 x 4 AVALIAÇÃO ECONÔMICA Sol.única sem ciclo Otimização com ciclo Sol.única com ciclo Otimização sem ciclo PROCESSO * LEEx x 4 x 3 x 2 x 2 x 3 x 4 AVALIAÇÃO ECONÔMICA x4x4 x1x1 x1x1

143 REGRAS COMPLEMENTARES NA APLICAÇÃO DO ALGORITMO DE ORDENAÇÃO DE EQUAÇÕES - Variáveis discretas - Variáveis de cálculo direto e iterativo - Variáveis limitadas - Ciclos múltiplos - Variáveis de abertura e de projeto - Eliminação de ciclos.

144 Variáveis Discretas Seus valores são limitados a um conjunto finito. Exemplos: - tipos de insumos: utilidades, solventes, catalisadores. - diâmetros comerciais de tubos. - número de estágios. Em problemas com G > 0 elas têm preferência como Variáveis de Projeto. Assim: - assumem apenas os valores viáveis atribuídos pelo otimizador. - não sendo calculadas, não há risco de assumirem valores inviáveis.

145 Para x = 1 : y = 3 a = 3 (não existe !) Para: a = 0,5 : x = 1 y = 0,5 Para: a = 1 : y = 1 x = 1 x y a = 1 a = 0,5 V = 3 : N = 1 : G = 2 (duas variáveis de projeto) Exemplo: y = a x O parâmetro só pode assumir 2 valores: 1 ou 0,5 Logo: a tem que ser uma das duas variáveis de projeto

146 Variáveis de Cálculo Direto ou Iterativo Exemplo Nesta equação: - é uma variável de cálculo direto (dadas as temperaturas) - qualquer T é de cálculo iterativo (dado e as demais Ts) As variáveis de cálculo direto têm preferência para a condição de calculadas. Variáveis de cálculo direto são aquelas que podem ser facilmente explicitadas numa equação e calculadas sem necessidade de iterações.

147 Varáveis Limitadas Os seus valores variam entre limites bem definidos. Exemplos: - frações mássicas ou molares - temperaturas em trocadores de calor Variáveis limitadas devem ter preferência para atuar como variáveis de abertura e de projeto. Durante a execução do Algoritmo, a atribuição deve ser postergada ao máximo para que essa preferência seja concretizada.

148 Ciclos Múltiplos f 1 (x o,x 1,x 3 )0 f 2 (x 1,x 2 )0 f 3 (x 2,x 3 )0 f 4 (x 3,x 4 )0 f 5 (x 4,x 5,x 7 )0 f 6 (x 5,x 6 )0 f 7 (x 6,x 7 )0 = = = = = = = x 2. x 3. final 4. x 5. x 6. x 7. final x3x3 x7x7 Ciclos em Sequência Primeira entrada de x 7 : eq. 5 Primeira entrada de x 3 : eq. 1 Fechar o ciclo com a final mais próxima Um sistema de equações pode exibir diversos ciclos.

149 Ciclos Aninhados (nested) fxxx fxxx fxxx fxx fxxx fxxx fxx 1o (,,) (,,) (,,) (,) (,,) (,, ) (,) = = = = = = = X4X4 X7X7 1. x 1 4. x 3 6. x 5 3. x 2 5. final 7. x 6 2. final Ciclos Múltiplos Primeira entrada de x 7 : eq. 7 Primeira entrada de x 4 : eq. 4 Fechar o ciclo com a final mais próxima

150 Variáveis de Abertura e de Projeto Simultâneas (a) 1. x 1 2. x 2 4. x 4 6. x 6 3. x 3 x 7 x 5 5. final 7. x 8 Escolha Conveniente Ciclo com 3 equações 1. x 1 2. x 2 4. x 4 6. x 6 3. x 3 x 7 x 5 5. final (b) 7. x 8 Escolha Inconveniente Ciclo com 4 equações Em problemas com G > 0 e com ciclo, a variável de abertura deve ser aquela que fecha, com a Equação Final, um ciclo com o menor número de equações.

151 Eliminação de Ciclos 31. x 31 = 1 – x 11 * 32. x 32 = 1 – x x 13 = k x 12 / [1 + (k – 1) x 12 ] 07. W 3 = W 1 * x 11 * r / x W 2 = W 1 * x 31 / x W 1 * x 11 * – W 2 x 12 – W 3 x 13 = 0 x 12 Equação Final 02. W 1 * x 11 * – W 2 x 12 – W 3 x 13 = 0 W 2 da eq.01: 02. W 1 * x 11 * - [W 1 * x 31 / x 32 ] x 12 – W 3 x 13 = 0 W 3 da eq. 07: 02. W 1 * x 11 * - [W 1 * x 31 / x 32 ] x 12 – [W 1 * x 11 * r / x 13 ] x 13 = 0 x 13 da eq. 04 e x 32 da eq.32: 02. x 12 = x 11 * (1 – r) / [x 31 + x 11 * (1 – r)] x 31 calculado antes do ciclo 31. x 31 = 1 – x 11 * 02. x 12 = x 11 * (1 – r) / [x 31 + x 11 * (1 – r)] 32. x 32 = 1 – x x 13 = k x 12 / [1 + (k – 1) x 12 ] 07. W 3 = W 1 * x 11 * r / x W 2 = W 1 * x 31 / x 32 Sequência com Ciclo Sequência sem Ciclo Substituição Algébrica

152 3.1 Equações Não-Lineares Representação Métodos Numéricos 3.2 Sistemas de Equações Não-Lineares Estrutura e representação Resolução: partição, abertura, ordenação de equações 3.4 Dimensionamento e Simulação de Processos Estratégia Global Estratégia Modular 3.5 Incerteza e Análise de Sensibilidade Questionamento do Dimensionamento Questionamento do Desempenho Futuro 3. ESTRATÉGIAS DE CÁLCULO 3.3 Dimensionamento e Simulação de Equipamentos

153 3.3 Dimensionamento e Simulação dos Equipamentos Adquirir familiaridade com os equipamentos antes de integrá-los no processo (livres de interações). Motivação para estudar os equipamentos isolados Montar as rotinas de dimensionamento e de simulação que integram o programa de análise do processo. Rever conhecimentos adquiridos em disciplinas anteriormente cursadas. Analogia: estudar os instrumentos isoladamente antes de compor a melodia para a orquestra

154 ENGENHARIA DE EQUIPAMENTOS Projeto e Análise dos Equipamentos de Processo Reatores Trocadores de calor Separadores Torres de destilação Torres de absorção Extratores Cristalizadores Filtros Outros... Instrumentos de Controle Automático Tratamento compartimentado!

155 Resolver Problema Otimizar Processo Calcular Lucro Dimensionar Extrator Dimensionar Evaporador Dimensionar Condensador Dimensionar Resfriador Dimensionar Misturador Simular Extrator Simular Evaporador Simular Condensador Simular Resfriador Simular Misturador Simular Processo Dimensionar Processo

156 Dimensões dos principais Equipamentos. Consumo de utilidades matérias primas e insumos Especificações de projeto Modelo Matemático previsão Dimensões dos principais equipamentos Consumo de utilidades matérias primas e insumos Modelo Econômico avaliação Lucro No caso de processos químicos, a Análise consiste em prever e avaliar o desempenho de cada fluxograma gerado na Síntese, para fins de comparação

157 1.6.4 Análise Genericamente: análise significa - decompor um todo em suas partes, - depreender o comportamento do todo a partir do comportamento das partes. PROJETO = SÍNTESE ANÁLISE

158 W6T6W6T6 W 10 T 10 W 13 T 13 W 11 T 11 W8T8W8T8 W 1 x 11 T 1 f 11 f 31 W7T7W7T7 W5T5W5T5 W 3 x 13 T 3 f 13 f 23 W 4 x 14 T 4 f 14 f 24 W 12 T 12 W 14 T 14 W 2 x 12 T 2 f 12 f 32 EXTRATOR Extrato Rafinado EVAPORADOR CONDENSADORRESFRIADORMISTURADOR BOMBA VdVd AeAe AcAc ArAr Alimentação Vapor Água Benzeno Produto Condensado W 15 T 15 Para analisar o Processo

159 W 10 T 10 W 13 T 13 W 12 T 12 RESFRIADOR ArAr Água W 13 T 13 W8T8W8T8 W5T5W5T5 W 12 T 12 CONDENSADOR AcAc Água W 10 T Benzeno W6T6W6T6 W7T7W7T7 W 3 x 13 T 3 f 13 f 23 W 4 x 14 T 4 f 14 f 24 EVAPORADOR 4 67 AeAe Vapor W5T5W5T5 5 Benzeno Produto Condensado 3 Extrato W 1 x 11 T 1 f 11 f Alimentação Extrato 3 W 2 x 12 T 2 f 12 f 32 EXTRATOR Rafinado BOMBA 2 VdVd W 3 x 13 T 3 f 13 f 23 W 15 T 15 Fragmentando o Processo W 14 T 14 MISTURADOR Benzeno W 15 T 15 13

160 W 10 T 10 W 13 T 13 W 12 T 12 RESFRIADOR ArAr Água W 13 T 13 W 1 x 11 T 1 f 11 f Alimentação Extrato 3 W 2 x 12 T 2 f 12 f 32 EXTRATOR Rafinado BOMBA 2 VdVd W 3 x 13 T 3 f 13 f 23 W 15 T 15 W8T8W8T8 W5T5W5T5 W 12 T 12 CONDENSADOR AcAc Água W 10 T Benzeno W6T6W6T6 W7T7W7T7 W 3 x 13 T 3 f 13 f 23 W 4 x 14 T 4 f 14 f 24 EVAPORADOR 4 67 AeAe Vapor W5T5W5T5 5 Benzeno Produto Condensado 3 Extrato O Processo fragmentado... W 14 T 14 MISTURADOR Benzeno W 15 T 15 13

161 Segue a análise de cada equipamento através de problemas de dimensionamento e de simulação

162 EXTRATOR

163 Problema proposto: determinar o volume do decantador e a vazão de benzeno necessários para recuperar 60% do ácido benzóico presente a 0,2% nos kg/h de alimentação, a 25 o C, com um tempo de residência de 5 min (0,0833 h). Determinar as concentrações das correntes de extrato e de rafinado. A temperatura do benzeno é 25 o C. W 3 x 13 T 3 f 13 f 23 W * 1 = kg/h x * 11 = 0,002 T * 1 = 25 o C f 11 f Alimentação Extrato 3 W 2 x 12 T 2 f 12 f 32 EXTRATOR Rafinado BOMBA 2 T * 15 = 25 o C * = 0,0833 h r * = 0,60 VdVd W 15 VdVd DIMENSIONAMENTO DE UM EXTRATOR Por enquanto, o extrator é apenas uma figura (ainda não existe) Fluxograma

164 01. Balanço Material do Ácido Benzóico: f 11 - f 12 - f 13 = Balanço Material do Benzeno: W 15 - f 23 = Balanço Material da Água: f 31 - f 32 = Relação de Equilíbrio Líquido-Líquido: x 13 - k x 12 = Relação de Equilíbrio Líquido-Líquido: k – (3 + 0,04 T d ) = Balanço de Energia: (f 11 Cp 1 + f 31 Cp 3 ) (T 1 - T d ) + W 15 Cp 2l (T 15 - T d ) = Equação de Dimensionamento: V d - (f 11 / 1 + W 15 / 2 + f 31 / 3 ) = Fração Recuperada de Ácido Benzóico: r - f 13 / f 11 = Fases em Equilíbrio T 2 – T d = Fases em Equilíbrio T 3 – T d = 0 MODELO W 1 x 11 T 1 f 11 f Alimentação Extrato 3 W 2 x 12 T 2 f 12 f 32 EXTRATOR Rafinado BOMBA 2 VdVd W 3 x 13 T 3 f 13 f 23 W 15 T Vazão Total na Corrente 1: f 11 + f 31 - W 1 = Fração Mássica na Corrente 1: x 11 - f 11 / W 1 = Vazão Total na Corrente 2: f 12 + f 32 – W 2 = Fração Mássica na Corrente 2: x 12 - f 12 / W 2 = Vazão Total na Corrente 3: f 13 + f 23 – W 3 = Fração Mássica na Corrente 3: x 13 - f 13 / W 3 = 0

165 Balanço de Informação V = 22 N = 16 C = 4 G = 2 ! Metas de Projeto Máximo = 2 V = 22 N = 16 C = 4 M = 2 G = 0 W 3 x 13 T 3 f 13 f 23 W * 1 = kg/h x * 11 = 0,002 T * 1 = 25 o C f 11 f Alimentação Extrato 3 W 2 x 12 T 2 f 12 f 32 EXTRATOR Rafinado BOMBA 2 T * 15 = 25 o C VdVd W 15 VdVd * = 0,0833 h r * = 0,60

166 Ordenação das Equações pelo Algoritmo A.O.E. Quando ocorre um ciclo, o programa busca uma equação final de cima para baixo e toma a primeira que encontra (no caso, a eq 02)

167 Montagem da rotina Dimensionar Extrator do programa BenzoDSO (ciclo eliminado) f11 = x11 * W1 '35 f13 = r * f11 '08 f12 = f11 - f13 '01 f31 = W1 - f11 '34 f32 = f31 '03 W2 = f12 + f32 '36 x12 = f12 / W2 '37 W = Cp1 * f11 + f31 a = (25 / x12) * (W + f13 * Cp2l) b = W * (T ) - f13 * Cp2l * (T / x12) c = f13 * Cp2l * (T ) discr = Sqr(b ^ * a * c) x13 = (discr + b) / (2 * a) '06' (Variável de abertura) W3 = f13 / x13 '39 (Início do Ciclo) k = x13 / x12 '04 f23 = W3 - f13 '38 Td = 25 * (k - 3) '05 W15 = f23 '02 (Final do Ciclo) Vd = Tau * (f11 / Ro1 + W15 / Ro2 + f31 / Ro3) '07 T2 = Td '09 T3 = Td '10 Aqui aparece a sequência com a eq. 06 como final e x13 var. de abertura

168 Resolver Problema Otimizar Processo Calcular Lucro Dimensionar Extrator Dimensionar Evaporador Dimensionar Condensador Dimensionar Resfriador Dimensionar Misturador Simular Extrator Simular Evaporador Simular Condensador Simular Resfriador Simular Misturador Simular Processo Dimensionar Processo

169 W * 1 = kg/h x * 11 = 0,002 T * 1 = 25 o C 1 15 Alimentação Extrato 3 W 2 x 12 T 2 f 12 f 32 EXTRATOR Rafinado BOMBA 2 W 3 x 13 T 3 f 13 f 23 T * 15 = 25 o C * = 0,0833 h r * = 0,60 VdVd W 2 = kg/h x 12 = 0,0008 T 2 = 25 o C f 12 = 80 kg/h f 32 = kg/h W 3 = kg/h x 13 = 0,0032 T 3 = 25 o C f 13 = 120 kg/h f 23 = kg/h f 11 = 200 kg/h f 31 = kg/h W 15 = kg/hW 15 V d = l Extrator dimensionado Problema proposto: determinar o volume do decantador e a vazão de benzeno necessários para recuperar 60% do ácido benzóico presente a 0,2% nos kg/h de alimentação, a 25 o C, com um tempo de residência de 5 min (0,0833 h). Determinar as concentrações das correntes de extrato e de rafinado. A temperatura do benzeno é 25 o C. Agora o extrator passa a existir, com um volume conhecido.

170 Uma vez existindo e dimensionado para certas metas, pode-se prever o efeito de alterações nas correntes de entrada W * 1 = kg/h x * 11 = 0,002 T * 1 = 25 o C 1 15 Alimentação Extrato 3 EXTRATOR Rafinado BOMBA 2 T * 15 = 25 o C * = 0,0833 h r * = 0,60 VdVd W 2 = kg/h x 12 = 0,0008 T 2 = 25 o C f 12 = 80 kg/h f 32 = kg/h W 3 = kg/h x 13 = 0,0032 T 3 = 25 o C f 13 = 120 kg/h f 23 = kg/h f 11 = 200 kg/h f 31 = kg/h W 15 = kg/hW 15 V d = l Extrator dimensionado sobre as metas originais e as variáveis de saída EXEMPLO SIMULAÇÃO !

171 Problema proposto: determinar as vazões e as concentrações das correntes de extrato e de rafinado, a fração recuperada de ácido benzóico e o tempo de residência, caso o extrator de V d = L fosse alimentado com kg/h de benzeno, e não com os kg/h de projeto (as demais condições de entrada permanecendo as mesmas de projeto). SIMULAÇÃO DE UM EXTRATOR r = = W * 15 = kg/h W 3 x 13 T 3 f 13 f 23 W 2 x 12 T 2 f 12 f 32 W * 1 = kg/h x * 11 = 0,002 T * 1 = 25 o C 1 15 Alimentação Extrato 3 EXTRATOR Rafinado BOMBA 2 V * d = l T * 15 =25 o C extrator para simulação W * 1 = kg/h x * 11 = 0,002 T * 1 = 25 o C f 11 f Alimentação Extrato 3 W 2 x 12 T 2 f 12 f 32 EXTRATOR Rafinado BOMBA 2 W 3 x 13 T 3 f 13 f 23 T * 15 = 25 o C * = 0,0833 h r * = 0,60 VdVd W 2 = kg/h x 12 = 0,0008 T 2 = 25 o C f 12 = 80 kg/h f 32 = kg/h W 3 = kg/h x 13 = 0,0032 T 3 = 25 o C f 13 = 120 kg/h f 23 = kg/h f 11 = 200 kg/h f 31 = kg/h W 15 = kg/hW 15 V d = l Extrator dimensionado

172 01. Balanço Material do Ácido Benzóico: f 11 - f 12 - f 13 = Balanço Material do Benzeno: W 15 - f 23 = Balanço Material da Água: f 31 - f 32 = Relação de Equilíbrio Líquido-Líquido: x 13 - k x 12 = Relação de Equilíbrio Líquido-Líquido: k – (3 + 0,04 T d ) = Balanço de Energia: (f 11 Cp 1 + f 31 Cp 3 ) (T 1 - T d ) + W 15 Cp 2l (T 15 - T d ) = Equação de Dimensionamento: V d - (f 11 / 1 + W 15 / 2 + f 31 / 3 ) = Fração Recuperada de Ácido Benzóico: r - f 13 / f 11 = Fases em Equilíbrio T 2 – T d = Fases em Equilíbrio T 3 – T d = 0 MODELO W 1 x 11 T 1 f 11 f Alimentação Extrato 3 W 2 x 12 T 2 f 12 f 32 EXTRATOR Rafinado BOMBA 2 VdVd W 3 x 13 T 3 f 13 f 23 W 15 T Vazão Total na Corrente 1: f 11 + f 31 - W 1 = Fração Mássica na Corrente 1: x 11 - f 11 / W 1 = Vazão Total na Corrente 2: f 12 + f 32 – W 2 = Fração Mássica na Corrente 2: x 12 - f 12 / W 2 = Vazão Total na Corrente 3: f 13 + f 23 – W 3 = Fração Mássica na Corrente 3: x 13 - f 13 / W 3 = 0

173 Ordenação das Equações pelo Algoritmo AOE Quando ocorre um ciclo, o programa examina as equações de cima para baixo e toma a primeira candidata como eq. Final (no caso, a eq 04)

174 f23 = W15 '02 f11 = W1 * x11 '35 f31 = W1 - f11 '34 f32 = f31 '03 a = f11 * Cp1 + f31 * Cp3 b = W15 * Cp2l Td = (a * T1 + b * T15) / (a + b) '06 Tau = Vd / (f11 / Ro1 + W15 / Ro2 + f31 / Ro3) '07 k = * Td '05 T2 = Td '09 T3 = Td '10 a = k - 1: 'Cells(24, 7) = a b = k * (f11 + f23) + f32 - f11: 'Cells(25, 7) = b c = f11 * f32: Cells(26, 7) = c discr = Sqr(b ^ * a * c): 'Cells(27, 7) = discr f12 = (b - discr) / (2 * a) '04' Variável de Abertura f13 = f11 - f12 '01 Início do Ciclo W2 = f12 + f32 '36 x12 = f12 / W2 '37 W3 = f13 + f23 '38 x13 = f13 / W3 '39 Final de Ciclo r = f13 / f11 '08 Montagem da rotina Simular Extrator do programa BenzoDSO (ciclo eliminado) Aqui aparece a sequência com a eq. 04 como final e f12 var. de abertura

175 Resolver Problema Otimizar Processo Calcular Lucro Dimensionar Extrator Dimensionar Evaporador Dimensionar Condensador Dimensionar Resfriador Dimensionar Misturador Simular Extrator Simular Evaporador Simular Condensador Simular Resfriador Simular Misturador Simular Processo Dimensionar Processo

176 Problema proposto: determinar as vazões e as concentrações das correntes de extrato e de rafinado, a fração recuperada de ácido benzóico e o tempo de residência, caso o extrator de V d = L fosse alimentado com kg/h de benzeno, e não com os kg/h de projeto (as demais condições de entrada permanecendo as mesmas de projeto). SIMULAÇÃO DO EXTRATOR W * 1 = kg/h x * 11 = 0,002 T * 1 = 25 o C f 11 f Alimentação Extrato 3 W 2 x 12 T 2 f 12 f 32 EXTRATOR Rafinado BOMBA 2 W 3 x 13 T 3 f 13 f 23 T * 15 = 25 o C * = 0,0833 h r * = 0,60 VdVd W 2 = kg/h x 12 = 0,0008 T 2 = 25 o C f 12 = 80 kg/h f 32 = kg/h W 3 = kg/h x 13 = 0,0032 T 3 = 25 o C f 13 = 120 kg/h f 23 = kg/h f 11 = 200 kg/h f 31 = kg/h W 15 = kg/hW 15 V d = l Extrator dimensionado W * 1 = kg/h x * 11 = 0,002 T * 1 = 25 o C 1 15 Alimentação Extrato 3 EXTRATOR Rafinado BOMBA 2 V * d = l W * 15 = kg/h T * 15 =25 o C r = 0,67 W 3 = kg/h x 13 = 0,0026 T 3 = 25 o C f 13 = 133 kg/h f 23 = kg/h W 2 = kg/h x 12 = 0,0007 T 2 = 25 o C f 12 = 67 kg/h f 32 = kg/h = 0,075 h Extrator após Simulação

177 RESFRIADOR

178 Problema proposto: determinar a vazão de água de resfriamento e a área de troca térmica do resfriador necessárias para resfriar kg/h de benzeno liquido saturado até 25 o C. A água se encontra a 15 o C e deve sair a 30 o C. DIMENSIONAMENTO DE UM RESFRIADOR Por enquanto, o resfriador é apenas uma figura (ainda não existe) Fluxograma W 13 = T * 13 = 25 o C W * 10 = kg/h T * 10 = 80 o C W 12 = T * 12 = 30 o C ArAr Água W 11 = T * 11 = 15 o C

179 26. Balanço Material da Água: W 11 - W 12 = Balanço Material do Benzeno: W 10 - W 13 = Balanço de Energia na Corrente de Água: Q r - W 11 Cp 3 (T 12 - T 11 ) = Balanço de Energia na Corrente de Benzeno: Q r - W 10 Cp 2l (T 10 - T 13 ) = Equação de Dimensionamento: Q r - U r A r r = Definição do T Médio Logarítmico ( r ): r - [(T 10 - T 12 ) - (T 13 - T 11 ) ] / ln[(T 10 - T 12 ) / (T 13 - T 11 )] = 0 MODELO W 10 T 10 W 13 T 13 W 12 T ArAr Água W 13 T 13

180 W 13 = T * 13 = 25 o C W * 10 = kg/h T * 10 = 80 o C W 12 = T * 12 = 30 o C ArAr Água W 11 = T * 11 = 15 o C Balanço de Informação V = 11 N = 6 C = 3 M = 2 G = 0 !

181 Ordenação das Equações pelo Algoritmo AOE

182 27. W 13 = W Q r = W 10 Cp 2l (T 10 - T 13 ) 28. W 11 = Q r / (Cp 3 (T 12 - T 11 )) 26. W 12 = W 11 d 1 = T 10 - T 12 : d 2 = T 13 - T dr = (d 1 - d 2 ) / ln (d 1 / d 2 ) 30. A r = Q r / (U r dr ) Montagem da rotina Dimensionar Resfriador do programa BenzoDSO

183 Resolver Problema Otimizar Processo Calcular Lucro Dimensionar Extrator Dimensionar Evaporador Dimensionar Condensador Dimensionar Resfriador Dimensionar Misturador Simular Extrator Simular Evaporador Simular Condensador Simular Resfriador Simular Misturador Simular Processo Dimensionar Processo

184 W * 10 = kg/h T * 10 = 80 o C W 12 = kg/h T * 12 = 30 o C A r = 362 m 2 Água W 11 = kg/h T * 11 = 15 o C W 13 = kg/h T * 13 = 25 o C Agora o resfriador passa a existir, com uma área conhecida Resfriador dimensionado Problema proposto: determinar a vazão de água de resfriamento e a área de troca térmica do resfriador necessárias para resfriar kg/h de benzeno liquido saturado até 25 o C. A água se encontra a 15 o C e deve sair a 30 o C.

185 Uma vez existindo e dimensionado para certas metas, pode-se prever o efeito de alterações nas correntes de entrada sobre as metas originais e as variáveis de saída W * 10 = kg/h T * 10 = 80 o C W 12 = kg/h T * 12 = 30 o C A r = 362 m 2 Água W 11 = kg/h T * 11 = 15 o C W 13 = kg/h T * 13 = 25 o C EXEMPLO SIMULAÇÃO !

186 SIMULAÇÃO DO RESFRIADOR T * 10 = 80 o C W 12 T A * r = 362 m 2 Água W* 11 = kg/h T* 11 = 15 o C W 13 T 13 W * 10 = kg/h Problema proposto: pretende-se determinar as temperaturas de saída do benzeno e da água, caso o resfriador projetado para 362 m 2 veha a ser alimentado com kg/h de benzeno ao invés de kg/h, mantidas a vazão e a temperatura da água de resfriamento. W * 10 = kg/h T * 10 = 80 o C W 12 = kg/h T * 12 = 30 o C A r = 362 m 2 Água W 11 = kg/h T * 11 = 15 o C W 13 = kg/h T * 13 = 25 o C resfriador dimensionado resfriador para simulação

187 26. Balanço Material da Água: W 11 - W 12 = Balanço Material do Benzeno: W 10 - W 13 = Balanço de Energia na Corrente de Água: Q r - W 11 Cp 3 (T 12 - T 11 ) = Balanço de Energia na Corrente de Benzeno: Q r - W 10 Cp 2l (T 10 - T 13 ) = Equação de Dimensionamento: Q r - U r A r r = Definição do T Médio Logarítmico ( r ): r - [(T 10 - T 12 ) - (T 13 - T 11 ) ] / ln[(T 10 - T 12 ) / (T 13 - T 11 )] = 0 MODELO W 10 T 10 W 13 T 13 W 12 T ArAr Água W 13 T 13

188 Ordenação das Equações pelo Algoritmo AOE Logo de saída são ordenadas as duas EIU As 4 demais equações formam um ciclo. Qualquer uma pode ser escolhida como final. Por experiência, a única que permite e explicitação da variável de abertura é a 30.

189 Ordenação das Equações pelo Algoritmo AOE Este é o resultado apresentado pelo AOE com a equação 28 como final e r como variável abertura.

190 Esta é a sequência com a equação 30 como final e Qr como variável de abertura.

191 Resultou a rotina SimularResfriador W12 = W11 '26 W13 = W10 '27 a =T10 – T11: b = 1/(W11*cp3) : c = 1/(W10*cp2l) : d = 1/(Ur * Ar) : e = exp ((c-d)/b) Qr = a*(e-1)/(c*e-b) (30) Var. Abert. T12 = T11 + Qr * a2 '28 T13 = T10 - Qr * a1 29 d1 = T10 - T12: d2 = T13 - T11 If Abs(d1 - d2) < Then dr = d1 Else dr = (d1 - d2) / Log(d1 / d2) '31

192 Resolver Problema Otimizar Processo Calcular Lucro Dimensionar Extrator Dimensionar Evaporador Dimensionar Condensador Dimensionar Resfriador Dimensionar Misturador Simular Extrator Simular Evaporador Simular Condensador Simular Resfriador Simular Misturador Simular Processo Dimensionar Processo

193 SIMULAÇÃO DO RESFRIADOR Problema proposto: pretende-se determinar as temperaturas de saída do benzeno e da água, caso o resfriador projetado para 361 m 2 fosse alimentado com kg/h de benzeno ao invés de kg/h, mantidas a vazão e a temperatura da água de resfriamento. W * 10 = kg/h T * 10 = 80 o C W 12 = kg/h T * 12 = 30 o C A r = 362 m 2 Água W 11 = kg/h T * 11 = 15 o C W 13 = kg/h T * 13 = 25 o C W * 10 = kg/h T * 10 = 80 o C W 12 = kg/h T 12 = 24,5 o C A * r = 362 m 2 Água W* 11 = kg/h T* 11 = 15 o C W 13 = kg/h T 13 = 16,8 o C Resultado do dimensionamento Resultado da simulação

194 20. Balanço Material da Água: W 8 - W 9 = Balanço Material do Benzeno: W 5 - W 10 = Balanço de Energia na Corrente de Água: Q c - W 8 Cp 3 (T 9 - T 8 ) = Balanço de Energia na Corrente de Benzeno: W 5 [ 2 + Cp 2g (T 5 – T 10 )] - Q c = Equação de Dimensionamento: Q c - U c A c c = Definição do T Médio Logarítmico ( c ): c - [(T 5 - T 9 ) - (T 10 - T 8 )]/ln[(T 5 - T 9 )/(T 10 - T 8 )] = 0 CONDENSADOR W5T5W5T5 W 10 T 10 W9T9W9T ArAr Água W8T8W8T8

195 DIMENSIONAMENTO DO CONDENSADOR Problema proposto: determinar a vazão de água de resfriamento e a área de troca térmica necessárias para condensar kg/h de benzeno de vapor saturado a líquido saturado. A água se encontra a 15 o C e deve sair a 30 o C. W * 5 = kg/h T * 5 = 80 o C W 10 T * 10 = 80 o C W 9 T * 9 = 30 o C Água W 8 T * 8 = 15 o C AcAc W 10 = kg/h T * 10 = 80 o C W 9 = kg/h T * 9 = 30 o C Água W 8 = kg/h T * 8 = 15 o C A c = 120 m 2 W * 5 = kg/h T * 5 = 80 o C V = 11 N = 6 C = 3 M = 2 G = 0 !

196 20. Balanço Material da Água: W 8 - W 9 = Balanço Material do Benzeno: W 5 - W 10 = Balanço de Energia na Corrente de Água: Q c - W 8 Cp 3 (T 9 - T 8 ) = Balanço de Energia na Corrente de Benzeno: W 5 [ 2 + Cp 2g (T 5 – T 10 )] - Q c = Equação de Dimensionamento: Q c - U c A c c = Definição do T Médio Logarítmico ( c ): c - [(T 5 - T 9 ) - (T 10 - T 8 )]/ln[(T 5 - T 9 )/(T 10 - T 8 )] = 0 CONDENSADOR W5T5W5T5 W 10 T 10 W9T9W9T ArAr Água W8T8W8T8

197

198 21. W 10 = W Qc = W 5 2 d 1 = T 5 - T 9 : d 2 = T 10 - T W 8 = Qc / (Cp 3 * (T 9 - T 8 )) 20. W 9 = W dc = (d 1 - d 2 ) / ln (d 1 / d 2 ) 24. Ac = Qc / (Uc * dc) Resultando a rotina DimensionarCondensador

199 Resolver Problema Otimizar Processo Calcular Lucro Dimensionar Extrator Dimensionar Evaporador Dimensionar Condensador Dimensionar Resfriador Dimensionar Misturador Simular Extrator Simular Evaporador Simular Condensador Simular Resfriador Simular Misturador Simular Processo Dimensionar Processo

200 SIMULAÇÃO DO CONDENSADOR Problema proposto: determinar a vazão de água necessária para condensar kg/h de benzeno, ao invés dos kg/h para os quais foi calculada a área de 119 m 2. Pretende-se que o benzeno deixe o condensador como líquido saturado. A água se encontra a 15 o C. W * 5 = kg/h T * 5 = 80 o C W 10 = T * 10 = 80 o C W 9 = T 9 = Água W 8 = kg/h T * 8 = 15 o C A * c = 120 m 2 W 10 = kg/h T * 10 = 80 o C W 9 = kg/h T * 9 = 30 o C Água W 8 = kg/h T * 8 = 15 o C A c = 120 m 2 W * 5 = kg/h T * 5 = 80 o C resultado do dimensionamento V = 11 N = 6 C = 5 M = 1 G = - 1 !!! Pretendido na simulação

201 V = 11 N = 6 C = 5 M = 1 G = -1 !!! Este problema difere da simulação do extrator e do resfriador porque contem uma meta: o benzeno deve sair como líquido saturado, logo a 80 o C. Daí: G = -1. W * 5 = kg/h T * 5 = 80 o C W 10 = T * 10 = 80 o C W 9 = T 9 = Água W 8 = kg/h T * 8 = 15 o C A * c = 120 m 2

202 V = 11 N = 6 C = 5 M = 1 G = -1 !!! W * 5 = kg/h T * 5 = 80 o C W 10 = T * 10 = 80 o C W 9 = T 9 = Água W 8 = kg/h T * 8 = 15 o C A * c = 120 m 2 O problema só pode ser resolvido se alguma condição conhecida deixar de sê-lo. Uma solução consiste em transformar W 8 em incógnita. O seu valor calculado pode ser tomado como set- point de um sistema de controle que a utilize como variável de controle. W * 5 = kg/h T * 5 = 80 o C W 10 = kg/h T * 10 = 80 o C W 9 = kg/h T 9 = 67,7 o C Água W 8 = kg/h T * 8 = 15 o C A * c = 120 m 2 V = 11 N = 5 C = 5 M = 1 G = 0

203 W 10 = kg/h T * 10 = 80 o C W 9 = kg/h T * 9 = 30 o C Água W 8 = kg/h T * 8 = 15 o C A c = 120 m 2 W * 5 = kg/h T * 5 = 80 o C resultado do dimensionamento W * 5 = kg/h T * 5 = 80 o C W 10 = kg/h T * 10 = 80 o C W 9 = kg/h T 9 = 67,7 o C Água W 8 = kg/h T * 8 = 15 o C A * c = 120 m 2 resultado da simulação

204

205 21. W 10 = W Qc = W dc = Qc / (Uc Ac) 25. c - [(T 5 - T 9 ) - (T 10 - T 8 )]/ln[(T 5 - T 9 )/(T 10 - T 8 )] = 0 (Resolução por Bisseção) 22. W 8 = Qc / (Cp 3 (T 9 - T 8 )) 20. W 9 = W 8 Resulta a rotina SimularCondensador

206 Resolver Problema Otimizar Processo Calcular Lucro Dimensionar Extrator Dimensionar Evaporador Dimensionar Condensador Dimensionar Resfriador Dimensionar Misturador Simular Extrator Simular Evaporador Simular Condensador Simular Resfriador Simular Misturador Simular Processo Dimensionar Processo

207 11. Balanço Material do Ácido Benzóico: f 13 - f 14 = Balanço Material do Benzeno: f 23 - f 24 - W 5 = Balanço Material do Vapor: W 6 - W 7 = Balanço de Energia na Corrente de Vapor: W 6 [ 3 + Cpv (T 6 – T 7 )] - Q e = Balanço de Energia na Corrente de Processo: Q e – [(f 13 Cp 1 + f 23 Cp 2l )(T e - T 3 ) + W 5 2 ] = Equação de Dimensionamento: Q e - U e A e e = Definição da Diferença de Temperatura ( e ): e - (T 6 - T e ) = Fases em Equilíbrio T 4 – T e = Fases em Equilíbrio T 5 – T e = 0 EVAPORADOR W6T6W6T6 W7T7W7T7 W 3 x 13 T 3 f 13 f 23 W 4 x 14 T 4 f 14 f AeAe Vapor W5T5W5T5 5 Benzeno Produto Condensado 3 Extrato 38. Vazão Total na Corrente 3: f 13 + f 23 – W 3 = Fração Mássica na Corrente 3: x 13 - f 13 /W 3 = Vazão Total na Corrente 4: f 14 + f 24 - W 4 = Fração Mássica na Corrente 4: x 14 - f 14 /W 4 = 0

208 DIMENSIONAMENTO DO EVAPORADOR Problema proposto: determinar a vazão de um vapor a 150 o C e a área de troca térmica necessárias para obter um concentrado com 10% de ácido benzóico, a partir de uma corrente com kg/h de uma solução de 0,32% de ácido benzóico em benzeno, a 25 o C. O condensado deve sair como líquido saturado a 150 o C. O evaporador opera a 1 atm. W 6 T * 6 = 150 o C W 7 T * 7 = 150 o C W * 3 = kg/h x * 13 = 0,0032 T * 3 = 25 o C f 13 f 23 W 4 x * 14 = 0,10 T 4 f 14 f AeAe Vapor W5T5W5T5 5 Benzeno Produto Condensado 3 T e * = 80 o C W 6 = kg/h T * 6 = 150 o C W 7 = kg/h T * 7 = 150 o C W * 3 = kg/h x * 13 = 0,0032 T * 3 = 25 o C f 13 = 120 kg/h f 23 = kg/h W 4 = kg/h x * 14 = 0,10 T 4 = 80 o C f 14 = 120 kg/h f 24 = 1.076kg/h A e = 124 m 2 Vapor W 5 = kg/h T 5 = 80 o C 5 Benzeno Produto Condensado 3 T e * = 80 o C V = 20 N = 13 C = 4 M = 3 G = 0 !

209

210 15. De = T 6 - T 35. f 13 = W 3 x f 14 = f f 23 = W 3 - f W 4 = f 14 / x f 24 = W 4 - f W 5 = f 23 - f Q e = (f 13 Cp 1 + f 23 Cp 2l ) (T - T 3 ) + W 5 L W 6 = Q e / (L 3 + Cp3 (T 6 - T 7 )) 11. W 7 = W A e = Q e / (U e De) Resulta a rotina DimensionarEvaporador

211 Resolver Problema Otimizar Processo Calcular Lucro Dimensionar Extrator Dimensionar Evaporador Dimensionar Condensador Dimensionar Resfriador Dimensionar Misturador Simular Extrator Simular Evaporador Simular Condensador Simular Resfriador Simular Misturador Simular Processo Dimensionar Processo

212 SIMULAÇÃO DO EVAPORADOR Problema proposto: determinar as vazões de vapor e de evaporado, a vazão e a concentração do concentrado, caso o evaporador, com os mesmos 124 m 2 de área de projeto, fosse alimentado com kg/h de solução e não mais com kg/h. Pretende-se que o condensado saia como líquido saturado (150 o C). V = 20 N = 13 C = 7 M = 1 G = -1 !!! pretendido na simulaçãoresultado do dimensionamento W 6 = kg/h T * 6 = 150 o C W 7 = kg/h T * 7 = 150 o C W * 3 = kg/h x * 13 = 0,0032 T * 3 = 25 o C f 13 = 120 kg/h f 23 = kg/h W 4 = kg/h x * 14 = 0,10 T 4 = 80 o C f 14 = 120 kg/h f 24 = 1.081kg/h A e = 124 m 2 Vapor W 5 = kg/h T 5 = 80 o C 5 Benzeno Produto Condensado 3 T e * = 80 o C W 6 = kg/h T * 6 = 150 o C W 7 = T * 7 = 150 o C W * 3 = kg/h x * 13 = 0,0032 T * 3 = 25 o C f 13 = 120 kg/h f 23 = kg/h W 4 = x 14 = T 4 = f 14 = f 24 = A e = 124 m 2 Vapor W 5 = T 5 = 5 Benzeno Produto Condensado 3 T e * = 80 o C

213 V = 20 N = 13 C = 7 M = 1 G = -1 !!! W 5 = T 5 = W 6 = kg/h T * 6 = 150 o C W 7 = T * 7 = 150 o C W * 3 = kg/h x * 13 = 0,0032 T * 3 = 25 o C f 13 = 120 kg/h f 23 = kg/h W 4 = x 14 = T 4 = f 14 = f 24 = A e = 124 m 2 Vapor 5 Benzeno Produto Condensado 3 T e * = 80 o C Uma solução consiste em transformar W 6 em incógnita. O seu valor calculado pode ser tomado como set-point de um sistema de controle que a utilize como variável de controle. Situação semelhante à da simulação do condensador V = 20 N = 13 C = 6 M = 1 G = 0 W 6 = kg/h T * 6 = 150 o C W 7 = kg/h T * 7 = 150 o C W * 3 = kg/h x * 13 = 0,0032 T * 3 = 25 o C f 13 = 160 kg/h f 23 = kg/h W 4 = kg/h x 14 = 0,0093 T 4 = 80 o C f 14 = 160 kg/h f 24 = kg/h Vapor W 5 = kg/h T 5 = 80 o C 5 Benzeno Produto Condensado 3 T e * = 80 o C A e = 124 m 2

214 resultado do dimensionamento W 6 = kg/h T * 6 = 150 o C W 7 = kg/h T * 7 = 150 o C W * 3 = kg/h x * 13 = 0,0032 T * 3 = 25 o C f 13 = 120 kg/h f 23 = kg/h W 4 = kg/h x * 14 = 0,10 T 4 = 80 o C f 14 = 120 kg/h f 24 = 1.081kg/h A e = 124 m 2 Vapor W 5 = kg/h T 5 = 80 o C 5 Benzeno Produto Condensado 3 T e * = 80 o C W 6 = kg/h T * 6 = 150 o C W 7 = kg/h T * 7 = 150 o C W * 3 = kg/h x * 13 = 0,0032 T * 3 = 25 o C f 13 = 160 kg/h f 23 = kg/h W 4 = kg/h x 14 = 0,0093 T 4 = 80 o C f 14 = 160 kg/h f 24 = kg/h Vapor W 5 = kg/h T 5 = 80 o C 5 Benzeno Produto Condensado 3 T e * = 80 o C A e = 124 m 2 resultado da simulação

215

216 15. De = T 6 - T 14. Q e = U e A e De 12. W 6 = Q e / (l 3 + Cp v * (T 6 - T 7 )) 11.W 7 = W f 13 = W 3 * x f 14 = f f 23 = W 3 - f W 5 = (Q e - (f 13 * Cp 1 + f 23 * Cp 2l ) * (T - T 3 )) / l f 24 = f 23 - W5 36. W 4 = f 14 + f x 14 = f 14 / W 4 Resulta a rotina SimularEvaporador

217 Resolver Problema Otimizar Processo Calcular Lucro Dimensionar Extrator Dimensionar Evaporador Dimensionar Condensador Dimensionar Resfriador Dimensionar Misturador Simular Extrator Simular Evaporador Simular Condensador Simular Resfriador Simular Misturador Simular Processo Dimensionar Processo

218 3.1 Equações Não-Lineares Representação Métodos Numéricos 3.2 Sistemas de Equações Não-Lineares Estrutura e representação Resolução: partição, abertura, ordenação de equações 3.3 Dimensionamento e Simulação de Equipamentos Estratégia Modular 3.5 Incerteza e Análise de Sensibilidade Questionamento do Dimensionamento Questionamento do Desempenho Futuro 3. ESTRATÉGIAS DE CÁLCULO 3.4 Dimensionamento e Simulação de Processos Estratégia Global

219 3.4 DIMENSIONAMENTO E SIMULAÇÃO DE PROCESSOS Todas as equações são consideradas simultaneamente, independentemente dos equipamentos a que pertencem. É a estratégia mais indicada para dimensionamento. O Algoritmo de Ordenação de Equações é executado como se fosse para um equipamento isolado ESTRATÉGIA GLOBAL Existem duas estratégias básicas: - Estratégia Global - Estratégia Modular

220 Dimensionamento do Processo – Estratégia Global 01. f 11 - f 12 - f 13 = W 15 - f 23 = f 31 - f 32 = k – (3 + 0,04 Td) = k - x 13 / x 12 = (f 11 Cp 1 + f 31 Cp 3 ) (T 1 - T d ) + W 15 Cp 2l (T 15 - T d ) = V d - (f 11 / 1 + W 15/ 2 + f 31 / 3 ) = r - f 13 /f 11 = T 2 – T d = T 3 – T d = f 13 - f 14 = f 23 - f 24 - W 5 = W 6 - W 7 = W 6 [ 3 + Cpv (T 6 – T 7 )] - Q e = Q e – [(f 13 Cp 1 + f 23 Cp 2l )(T e - T 3 ) + W 5 2 ] = Q e - U e A e e = e - (T 6 - T e ) = T 4 – T e = T 5 – T e = W 8 - W 9 = W 5 - W 10 = Q c - W 8 Cp 3 (T 9 - T 8 ) = W 5 [ 2 + Cp 2g (T 5 – T 10 )] - Q c = Q c - U c A c c = c - [(T 5 - T 9 ) - (T 10 - T 8 )]/ln[(T 5 - T 9 )/(T 10 - T 8 )] = W 11 - W 12 = W 10 - W 13 = Q r - W 11 Cp 3 (T 12 - T 11 ) = Q r - W 10 Cp 2l (T 10 - T 13 ) = Q r - U r A r r = r - [(T 10 - T 12 ) - (T 13 - T 11 )]/ln[(T 10 - T 12 )/(T 13 - T 11 )] = W 13 + W 14 - W 15 = W 13 (T 15 - T 13 ) + W 14 (T 15 - T 14 ) = f 11 + f 31 - W 1 = x 11 - f 11 /W 1 = f 12 + f 22 – W 2 = x 12 - f 12 /W 2 = f 13 + f 23 – W 3 = x 13 - f 13 /W 3 = f 14 + f 24 - W 4 = x 14 - f 14 /W 4 = 0

221

222 Dimensionar Processo (03) T 3 = T 2 (13) T 4 = T 5 (16) e = T 6 - T 5 (22) D 1 = T 5 - T 9 : D 2 = T 10 - T 8 : c = (D 1 - D 2 ) / ln (D 1 / D 2 ) (32) f 11 = W 1 x 11 (08) f 13 = f 11 r (31) f 31 = W 1 - f 11 (01) f 12 = f 11 - f 13 (09) f 14 = f 13 (03) f 32 = f 31 (04) f 23 = f 13 f 32 / (k f 12 ) (34) W 4 = f 14 / x 14 (02) W 15 = f 23 (33) f 24 = W 4 - f 14 (05) T 15 = T 2 - (f 11 Cp 1 + f 31 Cp 3 ) (T 1 - T 2 ) / (W 15 Cp 2l ) (07) V d = (f 11 / 1 + W 15 / 2 + f 31 / 3 ) (10) W 5 = f 23 - f 24 (14) Q e = (f 13 Cp 1 + f 23 Cp 2l ) (T 5 - T 3 ) + W 5 2

223 ( 18) W 10 = W 5 (20) Q c = W 5 ( 2 + Cp 2l (T 5 - T 10 )) (12) W 6 = Q e / ( 3 + Cp 3 (T 6 - T 7 )) (15) A e = Q e / (U e e ) (24) W 13 = W 10 (19) W 8 = Q c / (Cp 3 (T 9 - T 8 )) (21) A c = Q c / (U c c ) (11) W 7 = W 6 (29) W 14 = W 15 - W 13 (17) W 9 = W 8 (30) T 13 = T 15 + W 14 (T 15 - T 14 ) / W 13 (26) Q r = W 10 Cp 2l (T 10 - T 13 ) (28) D 1 = T 10 - T 12 : D 2 = T 13 - T 11 : r = (D 1 - D 2 ) / ln (D 1 / D 2 ) (25) W 11 = Q r / (Cp 3 (T 12 - T 11 )) (27) A r = Q r / (U r r ) (23) W 12 = W 11

224 Resolver Problema Otimizar Processo Calcular Lucro Dimensionar Extrator Dimensionar Evaporador Dimensionar Condensador Dimensionar Resfriador Dimensionar Misturador Simular Extrator Simular Evaporador Simular Condensador Simular Resfriador Simular Misturador Simular Processo Dimensionar Processo

225 3.1 Equações Não-Lineares Representação Métodos Numéricos 3.2 Sistemas de Equações Não-Lineares Estrutura e representação Resolução: partição, abertura, ordenação de equações 3.3 Dimensionamento e Simulação de Equipamentos 3.4 Dimensionamento e Simulação de Processos Estratégia Global 3.5 Incerteza e Análise de Sensibilidade Questionamento do Dimensionamento Questionamento do Desempenho Futuro 3. ESTRATÉGIAS DE CÁLCULO Estratégia Modular

226 Para cada problema, os módulos são seqüenciados convenientemente segundo o fluxograma material do processo. Havendo a presença de reciclos no fluxograma, torna-se necessária a abertura de um certo número de correntes e a inserção de um módulo promotor de convergência para cada uma. É a estratégia mais indicada para simulação. Utiliza módulos criados previamente para cada equipamento. Cada módulo contem as equações já ordenadas para dimensionamento ou simulação (Seção 3.3).

227 Resolver Problema Otimizar Processo Calcular Lucro Dimensionar Extrator Dimensionar Evaporador Dimensionar Condensador Dimensionar Resfriador Dimensionar Misturador Simular Extrator Simular Evaporador Simular Condensador Simular Resfriador Simular Misturador Simular Processo Dimensionar Processo

228 Simulação do Processo Ilustrativo Estratégia Modular

229 W 6 =8.594 kg/h T * 6 = 150 o C W 10 = kg/h T * 10 = 80 o C W 13 = kg/h T 13 = 25 o C W 11 = kg/h T * 11 = 15 o C W 8 = kg/h T * 8 = 15 o C W * 1 = kg/h x * 11 = 0,002 T * 1 = 25 o C f 11 = 300 kg/h f 31 = kg/h W 7 = kg/h T * 7 = 150 o C W 5 = kg/h T * 5 = 80 o C W 3 = kg/h x 13 = 0,004 T 3 = 25 o C f 13 = 149 kg/h f 23 = kg/h W 4 = kg/h x 14 = 0,12 T 4 = 80 o C f 14 = 150 kg/h f 24 = kg/h W 12 = kg/h T 12 = 29 o C W 12 = kg/h T 12 = 29 o C W * 14 = kg/h T * 14 = 25 o C W 2 = kg/h x 12 = 0,001 T 2 = 25 o C f 12 = 150 kg/h f 32 = kg/h EXTRATOR Extrato Rafinado EVAPORADOR CONDENSADORRESFRIADORMISTURADOR BOMBA V * d = l = 0,0617 h r = 0,50 A * e = 124 m 2 A * c = 119 m 2 A * r = 361 m 2 W 15 = kg/h T 13 = 25 o C O fluxograma exibe um reciclo. A cada iteração o módulo confere a convergência e atualiza o valor de W 5 O valor inicial arbitrado para W 5 pode ser aquele obtido no Dimensionamento. Implementa-se um módulo promotor de convergência: no caso, o de Substituição Direta. Seleciona-se uma corrente de abertura com o menor número possível de variáveis (simplificar o gerenciamento da convergência): no caso, foi selecionada a corrente 5 (é preciso gerenciar apenas W 5 ).

230 Simulação do Processo Ilustrativo - Estratégia Modular EXTRATOR RESFRIADOR MISTURADOR CONDENSADOR EVAPORADOR SS 18. W Q c 19. c 22'. T W W W W 12 25'. Q r 28. T T r 29. W T f f f f T T 3 01' f f r W 1 T 1 x 11 f 11 f 31 W 15 T 15 W 45 T 14 W 13 T 13 W 10 T 10 f 13 f 23 T 3 W 4 T 4 x 14 f 14 f f T e 15. Q e 12. W W f W W x 14 T5T5 T 2 f 12 f 32 W 5a W 5c Repetição até convergir |W 5c – W 5a | / W 5a erro relativo

231 SUB SimularOProcesso ' INPUT "W5= "; W5c W5$ = "W5 = " + STR$(INT(W5c)) NoDeIteracoes = 0 DO W5a = W5c SimularOCondensador SimularOResfriador SimularOMisturador SimularOExtrator SimularOEvaporador MostrarOResultado NoDeIteracoes = NoDeIteracoes + 1 ErroRelativo = ABS(W5a - W5c) / W5a PausaSeQuizer LOOP UNTIL Convergir END SUB

232 Resolver Problema Otimizar Processo Calcular Lucro Dimensionar Extrator Dimensionar Evaporador Dimensionar Condensador Dimensionar Resfriador Dimensionar Misturador Simular Extrator Simular Evaporador Simular Condensador Simular Resfriador Simular Misturador Simular Processo Dimensionar Processo

233 Simulação de Processos com Estrutura Complexa *1* Problema: Estabelecer uma estratégia de cálculo e implementá-la sob a forma de um algoritmo executável em computador. Cada equipamento é representado por um módulo computacional em que as equações se encontram ordenadas para simulação. A estratégia de cálculo é a ordem em que os equipamentos devem ser simulados.

234 Simulação de Processos com Estrutura Complexa *1* Procedimento: (a) identificação dos ciclos. (b) seleção das correntes de abertura (c ) construção do algoritmo de simulação Dificuldade: os diversos reciclos

235 (a) Identificação dos Ciclos Pode-se utilizar o Método do Traçado de Percursos (labirinto) *1* Percorre-se o fluxograma anotando, numa lista dupla, as correntes (LC) e os equipamentos visitados (LE). Corrente: Destino : Um ciclo é identificado ao se chegar a um equipamento já visitado. Equipamento 1 já visitado : ciclo 2 3 4

236 (a) Identificação dos Ciclos *1* ALGORITMO RESUMIDO Colocar uma corrente conhecida na LC (toda corrente colocada fica aberta) Colocar o seu destino na LE REPETIR O destino já está na LE: registrar o ciclo formado por todas as correntes abertas após o primeiro registro do destino) e fechar as correntes até à última aberta; tomar a última corrente aberta e colocar seu destino na LE. O destino não está na LE: colocar as suas correntes de saída na LC; colocar o destino da primeira delas na LE. ATÉ NÃO MAIS HAVER CORRENTES ABERTAS

237 MATRIZ CICLO - CORRENTE Os Ciclos encontrados são registrados na *1*

238 APLICAÇÃO AO PROBLEMA ILUSTRATIVO

239 C: D: *1* C: D: C: D: C: D: C: D: C: D: C: D: C: D: C: D: C: D: Colocar uma corrente conhecida na LC (toda corrente colocada fica aberta) Colocar o seu destino na LE REPETIR O destino já está na LE: registrar o ciclo formado por todas as correntes abertas após o primeiro registro do destino) e fechar as correntes até à última aberta; tomar a última corrente aberta e colocar seu destino na LE. O destino não está na LE: colocar as suas correntes de saída na LC; colocar o destino da primeira delas na LE. ATÉ NÃO MAIS HAVER CORRENTES ABERTAS

240 (b) Seleção das Correntes de Abertura Matriz Ciclo - Corrente ALGORITMO Calcular os elementos de C Repetir Identificar a corrente com o maior valor em C (pode ser a primeira encontrada) Inscrever a corrente em A Remover os ciclos abertos pela corrente (anular os elementos na linhas correspondentes) Atualizar C Até C = C A

241 C A C A

242 C A C A

243 (c) Construção do Algoritmo de Simulação *1* Abrir C 3 REPETIR Simular E 3 (C 4,C 5 ) Simular E 1 (C 2 ) REPETIR Simular E 6 (C 10,C 11 ) Simular E 4 (C 6,C 7 ) Simular E 7 (C 9, C 12 ) Simular E 5 (C 8 ) ATÉ Convergir C 8 Simular E8 (C 13, C 14 ) Simular E2 (C 3 ) ATÉ Convergir C 3 Abrir C 8 Corrente 1: única conhecida

244 3.1 Equações Não-Lineares Representação Métodos Numéricos. 3.2 Sistemas de Equações Não-Lineares Estrutura e representação Resolução: partição, abertura, ordenação de equações 3.3 Dimensionamento e Simulação de Equipamentos 3.4 Dimensionamento e Simulação de Processos Estratégia Global Estratégia Modular Questionamento do Dimensionamento Questionamento do Desempenho Futuro 3. ESTRATÉGIAS DE CÁLCULO 3.5 Incerteza e Análise de Sensibilidade

245 ASSUNTO TRANSFERIDO PARA DEPOIS DO CAPÍTULO 4

246 3.5 INCERTEZA E ANÁLISE DE SENSIBILIDADE (a)modelos matemáticos: aproximações lineares, coeficientes constantes... A Análise de Processos é executada em ambiente de muita incerteza. A avaliação dos efeitos da incerteza é efetuada através da (b) parâmetros físicos e econômicos: valores incertos (aproximados e variáveis). Fontes de incerteza: Análise de Sensibilidade

247 (b) questionamento do desempenho futuro: (a) questionamento do próprio dimensionamento: A Análise de Sensibilidade avalia os efeitos da incerteza através de dois questionamentos ao final do dimensionamento, Em que grau a incerteza nos parâmetros compromete o resultado do dimensionamento ? Em que grau a incerteza nos parâmetros comprometerá as metas de projeto que serviram de base para o dimensionamento?

248 Fazem parte da Análise: - as variáveis características do dimensionamento: dimensões. - as variáveis características do desempenho do processo: variáveis de saída (metas de projeto). - os parâmetros cujos valores são considerados incertos (variáveis conhecidas são aqui incorporadas ao conjunto dos parâmetros).

249 F: variável do processo cujo valor é incerto devido à incerteza nos parâmetros. Exemplo: W 3, A. : vetor dos parâmetros (físicos e econômicos) e das variáveis especificadas cujos valores são incertos. Exemplo: Cp 1, Cp 3, U, W 1, T 1, T 3. Fundamento da Análise de Sensibilidade Exemplo: Trocador de Calor T 1 * = 80 o C W 1 * = kg/h A = 265,6 m 2 T 2 * = 25 o C W 3 = kg/h T 3 * = 15 o C T 4 * = 30 o C

250 F: variável do processo cujo valor é incerto devido à incerteza nos parâmetros. Exemplo: W 3, A. S (F; i ): Sensibilidade de F à incerteza no parâmetro i. : vetor dos parâmetros (físicos e econômicos) e das variáveis especificadas cujos valores são incertos. Exemplo: Cp 1, Cp 3, U, W 1, T 1, T 3. Fundamento da Análise de Sensibilidade i * F i Exemplo: A Sensibilidade é função do parâmetro

251 Conveniência: usar variáveis adimensionais F/F* e i / i * Análise de Sensibilidade com Variáveis Adimensionais Vantagens: (a) os valores independem das dimensões das variáveis e dos parâmetros. (b) as Sensibilidades podem ser comparadas, permitindo verificar a qual parâmetro a variável de interesse é mais sensível, e em que grau. Nova definição de Sensibilidade: Exemplo

252 Sensibilidade de F/F * à incerteza em i / i * 1 F/F* i / i * F i i * F*

253 Utilizando um incremento de 1% para melhor aproximar a derivada Em processos complexos é impossível obter a derivada aproximação linear

254 S(F/F * ; i / i * ) estima a incerteza % em F diante de uma incerteza de 1% em i |S| > 1 : incerteza ampliada |S| < 1 : incerteza amortecida

255 S (T 2 ;U) = 100 (24,828-25)/25 = - 0,686 S (T 4 ;U) = 100(30,047-30)/30 = 0,156 S(A;U) = 100 (262,93-265,6)/265,6 = - 0,99 S(W 3 ;U) = 0 QUESTIONAMENTO DO PROJETO Re-dimensionamento com U = 101 QUESTIONAMENTO DO DESEMPENHO Simulação com U = 101 DIMENSIONAMENTO ORIGINAL (BASE) T 1 * = 80 o C W 1 * = kg/h A = 265,6 m 2 [U = 100] T 2 * = 25 o C W 3 = kg/h T 3 * = 15 o C T 4 * = 30 o C [U = 101] A = 262,93 m 2 T 1 * = 80 o C W 1 * = kg/h T 3 * = 15 o C W 3 = kg/h T 4 * = 30 o C T 2 * = 25 o C [U = 101] T 2 = 24,828 o C T 1 * = 80 o C W 1 * = kg/h T 3 * = 15 o C W 3 * = kg/h T 4 = 30,047 o C A * = 265,6 m 2

256 Para um incremento de 1% em todos os parâmetros (aproximação da derivada): Ou seja, a Sensibilidade de F à incerteza em todos os parâmetros é a soma das Sensibilidades a cada parâmetro: A Sensibilidade de F à incerteza em todos os parâmetros, considerados simultaneamente, pode ser estimada:

257 Questionamento do Projeto Sensibilidades de W 3, A e C T à incerteza em cada parâmetro e variável especificada e ao conjunto: i S(W 3 ; i )S(A; i )S(C T ; i ) W1W1 110,93 T1T1 1,450,451,21 T3T3 1,010,560,88 Cp 1 110,93 Cp ,78 U ,13 Por serem adimensionais, as Sensibilidades podem ser comparadas. S(F; ) 3,462,013,04

258 Questionamento do Projeto Sensibilidades de W 3, A e C T à incerteza em cada parâmetro e ao conjunto de parâmetros: i S(W 3 ; i )S(A; i )S(C T ; i ) S(F; ) 3,462,013,04 Caso os valores reais de todos os parâmetros estivessem positivamente afastados em 1% dos seus valores-base (usados no dimensionamento), os valores de corretos de W 3, A e C T estariam afastados de seus valores-base (calculados no dimensionamento) nos percentuais acima.

259 Questionamento do Desempenho Sensibilidades de T 2 e T 4 à incerteza em cada parâmetro e variável especificada, e ao conjunto: i S(T 2 ; i )S(T 4 ; i ) W1W1 0,800,32 T1T1 0,480,63 T3T3 0,480,37 W3W3 - 0,12- 0,47 A- 0,680,17 Cp 1 0,800,32 Cp 3 - 0,12- 0,47 U- 0,680,17 Por serem adimensionais, as Sensibilidades podem ser comparadas. S(F; ) 0,961,04

260 Questionamento do Desempenho Sensibilidades de T 2 e T 4 à incerteza em cada parâmetro e variável especificada, e ao conjunto: i S(T 2 ; i )S(T 4 ; i ) S(F; ) 0,961,04 Caso os valores reais de todos os parâmetros estivessem positivamente afastados em 1% dos seus valores-base (usados no dimensionamento), os valores reais esperados para T 2 e T 4, durante a operação do trocador, estariam afastados de seus valores-base nos percentuais acima.

261 FIM

262 EXTRATOR: DIMENSIONAMENTO

263 EXTRATOR: SIMULAÇÃO

264 EVAPORADOR: DIMENSIONAMENTO

265 EVAPORADOR: SIMULAÇÃO

266 EXEMPLO: convergência pela Bisseção 31. x31 = 1 – x x32 = 1 – x12a 04. x13 = k x12a 07. W3 = W11 x11 r / x W2 = W1 x31 / x W1 x11 – W2 x12a – W3 x13 = 0 x12a x31 x32 x13 W3 W2 BISS x12a f (x12) Na ordenação das equações surgiu um ciclo. A eq. 02 foi escolhida como Final. Resultou x12 como variável de abertura f (x12) = W1 x11 – W2 x12a – W3 x13 = 0

267 f (x) x xi xs fs x1 f1 x2 f2 fi Esquema de convergência pela Bisseção x31 x32 x13 W3 W2 BISS x12a f (x12) f (x12) = W1 x11 – W2 x12a – W3 x13 = 0 Até convergir

268 EXEMPLO: convergência pela Substituição Direta 31. x31 = 1 – x x32 = 1 – x12a 04. x13 = k x12a 07. W3 = W11 x11 r / x W2 = W1 x31 / x W1 x11 – W2 x12a – W3 x13 = 0 x12a x31 x32 x13 W3 W2 SD x12a = x12c x12c Na ordenação das equações surgiu um ciclo. A eq. 02 foi escolhida como Final. Resultou x12 como variável de abertura x12c = (W1 x11– W3 x13) / W2

269 Um instrumento fundamental para a resolução de problemas ALGORITMO

270 ALGORITMO é uma seqüência inequívoca de ações bem definidas que conduzem sempre à solução de um problema Assim, qualquer pessoa, ou mesmo um computador por ela programado, chegará sempre à solução do problema. O exemplo mais trivial e prosaico de algoritmo é uma receita culinária. Um outro no campo da matemática é o da extração da raiz quadrada de um número. Algoritmos podem incluir etapas repetitivas (iterações) ou exigir decisões (lógica e comparações). Algoritmos podem ser programas em computadores Existem algoritmos complexos e poderosos capazes de gerar outros algoritmos (Inteligência Artificial)

271 Origem dos Algoritmos An algorithm is a procedure or formula for solving a problem. The word derives from the name of the mathematician, Mohammed ibn-Musa al-Khwarizmi, who was part of the royal court in Baghdad and who lived from about 780 to 850. Al-Khwarizmi's work is the likely source for the word algebra as well.


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