CAPÍTULO 3 ESTRATÉGIAS DE CÁLCULO

CAPÍTULO 3 ESTRATÉGIAS DE CÁLCULO
ENGENHARIA DE PROCESSOS Análise, Simulação e Otimização de Processos Químicos CAPÍTULO 3 ESTRATÉGIAS DE CÁLCULO 28 de março de 2014

REVISÃO DOS CAPÍTULOS ANTERIORES

INTRODUÇÃO GERAL 3

INTEGRAÇÃO ENERGÉTICA
INTRODUÇÃO À ANÁLISE DE PROCESSOS 2 ESTRATÉGIAS DE CÁLCULO 3 OTIMIZAÇÃO AVALIAÇÃO ECONÔMICA 4 5 ANÁLISE INTRODUÇÃO À SÍNTESE DE PROCESSOS 8 6 SÍNTESE DE SISTEMAS DE SEPARAÇÃO 7 SÍNTESE SISTEMAS DE INTEGRAÇÃO ENERGÉTICA

ENGENHARIA DE PROCESSOS
É o campo da Engenharia que congrega os conceitos e os métodos destinados à concepção, ao projeto e à operação de processos químicos em que se encontram integrados equipamentos de reação, separação, integração material e energética e controle. Implícitos na sua prática encontram-se o emprego intensivo de recursos computacionais e o atendimento a requisitos de natureza econômica, material, energética, de preservação ambiental e de segurança.

As ações são numerosas e diversificadas !!!
PROJETO DE PROCESSOS É o conjunto de documentos elaborados por uma equipe de engenheiros com detalhes suficientes para a construção e a operação de uma planta industrial O Projeto resulta de um conjunto de ações desenvolvidas Desde A decisão de se produzir um determinado produto Até À conclusão do Projeto   As ações são numerosas e diversificadas !!!

Investigar disponibilidade de matéria prima
Investigar mercado para o produto Calcular o consumo de utilidades Estabelecer o número e o tipo dos reatores Definir o fluxograma do processo Calcular a vazão das correntes intermediárias Investigar reagentes plausíveis Estabelecer as condições da reação e sub-produtos Avaliar a lucratividade do processo Definir o número e o tipo de trocadores de calor Definir o número e o tipo dos separadores Calcular as dimensões dos equipamentos Calcular o consumo de insumos Calcular o consumo de matéria prima Estabelecer malhas de controle

À luz da Engenharia de Processos elas são organizadas da seguinte forma quanto à sequência no Projeto

Investigar a disponibilidade das matérias primas
SELEÇÃO DA ROTA QUÍMICA Investigar mercado para o produto Investigar reagentes plausíveis Investigar a disponibilidade das matérias primas Definir as condições das reações e identificar os sub-produtos gerados SÍNTESE Estabelecer o número e o tipo dos reatores Definir o número e o tipo dos separadores Definir o número e o tipo de trocadores de calor Estabelecer malhas de controle Definir o fluxograma do processo ANÁLISE Calcular o consumo de utilidades Calcular a vazão das correntes intermediárias Calcular as dimensões dos equipamentos Calcular o consumo dos insumos Calcular o consumo de matéria prima Avaliar a lucratividade do processo

Seleção da Rota Química MULTIPLICIDADE DE SOLUÇÕES
Projeto: primeiro passo Seleção da Rota Química DIFICULDADE: MULTIPLICIDADE DE SOLUÇÕES

Rotas para a produção de fenol

Projeto: segundo passo
Síntese de um Fluxograma para a Rota Química DIFICULDADE NA SÍNTESE MULTIPLICIDADE DE SOLUÇÕES

Equipamentos disponíveis para a geração de um fluxograma
EXEMPLO Equipamentos disponíveis para a geração de um fluxograma RM Reator de mistura RT Reator tubular DS Coluna de destilação simples DE Coluna de destilação extrativa A Aquecedor R Resfriador T Trocador de Integração Este problema é simples O espaço das soluções é constituido apenas de 8 fluxogramas

UM RISCO INERENTE À SÍNTESE . . .

EXPLOSÃO COMBINATÓRIA !!! Muitas soluções para analisar

Análise dos fluxogramas gerados na Síntese MULTIPLICIDADE DE SOLUÇÕES
Projeto: terceiro passo Análise dos fluxogramas gerados na Síntese DIFICULDADE NA ANÁLISE MULTIPLICIDADE DE SOLUÇÕES

dimensionamento de 2 extratores em série
EXEMPLO dimensionamento de 2 extratores em série 1 2 Q = kgA/h x = 0,02 kgAB/kgA o W kgB/h y kgAB/kgB x kgAB/kgA Modelo Matemático 1. Q(xo - x1) - W1 y1 = 0 2. y1 - k x1 = 0 3. Q(x1 -x2) - W2 y2 = 0 4. y2 - k x2 = 0 Avaliação Econômica L = R - C R = pAB (W1 y1 + W2 y2 ) C = pB (W1 + W2) pAB = 0,4 $/kgAB : pB = 0,01 $/kgB Para cada par de valores x1,x2 resultam valores de W1, W2, y1, y2 e Lucro

MULTIPLICIDADE NA ANÁLISE Dificuldade: infinidade de soluções viáveis
A cada par (x1,x2) corresponde uma solução viável Dificuldade: infinidade de soluções viáveis

Todo problema com Multiplicidade de Soluções
exige a busca da sua Solução Ótima através de OTIMIZAÇÃO

O Projeto de Processos é um problema complexo de otimização.
Constata-se, assim, que ... O Projeto de Processos é um problema complexo de otimização.

multiplicidade de soluções nos três níveis
Primeiro fator de complexidade multiplicidade de soluções nos três níveis Nível Tecnológico: determinar a rota química ótima. Nível Estrutural (Síntese): determinar a estrutura ótima. Nível Paramétrico (Análise): determinar as dimensões ótimas de equipamentos e correntes.

Busca Orientada por Árvore de Estados
Segundo fator de complexidade Os 3 problemas são interdependentes. A solução ótima de um está atrelada à solução ótima dos outros dois. Uma abordagem... Busca Orientada por Árvore de Estados 23

Busca Orientada por Árvore de Estados
Raiz Rota Química ? Fluxograma ? Dimensões ? P ? ? ? A+B P+C A,B P,C ?? D+E P+F D,E P,F ?? Nível Tecnológico Seleção de uma Rota Fluxograma ? Dimensões ? 1 P A B C x ? T D 2 P A B C x ? T P 3 D E F x ? M P F 4 D E x ? M Nível Estrutural Síntese de um Fluxograma Dimensões ? Lucro? L x 6 x o = 3 x* 8 L x x o = 4 x* L 10 x x o = 6 x* L x 7 x o = 5 x* Nível Paramétrico Análise do Fluxograma Dimensionamento dos Equipamentos e das Correntes. Lucro. Solução Ótima: Reagentes = D,E; Fluxograma = 3; x = 4  demais dimensões.

Solução do Problema de Projeto por Busca Orientada
Raiz Rota Química ? Fluxograma ? Dimensões ? P ? ? ? D+E P+F D,E P,F ?? Nível Tecnológico Seleção de uma Rota Fluxograma ? Dimensões ? Vantagem Varre todas as soluções sem repetições sem omitir a ótima ? P 3 D E F x Nível Estrutural Síntese de um Fluxograma Dimensões ? Lucro? Desvantagem Explosão Combinatória (outros métodos) L x 4 10 Nível Paramétrico Análise do Fluxograma Dimensionamento dos Equipamentos e das Correntes. Lucro. Solução Ótima: Reagentes = D,E; Fluxograma = 3; x = 4  demais dimensões.

2. INTRODUÇÃO À ANÁLISE DE PROCESSOS

INTEGRAÇÃO ENERGÉTICA
INTRODUÇÃO À SÍNTESE DE PROCESSOS 8 6 SÍNTESE DE SISTEMAS DE SEPARAÇÃO 7 SÍNTESE SISTEMAS DE INTEGRAÇÃO ENERGÉTICA ANÁLISE INTRODUÇÃO À ANÁLISE DE PROCESSOS 2 3 4 5 ESTRATÉGIAS AVALIAÇÃO OTIMIZAÇÃO DE CÁLCULO ECONÔMICA

OBJETIVO DA ANÁLISE “Bola de Cristal”
Prever e avaliar o desempenho físico e econômico de um processo já existente (em operação) ou ainda inexistente (em fase de projeto) “Bola de Cristal”

Prever e avaliar o desempenho FÍSICO
Consiste em (a) prever as dimensões dos principais equipamentos e as condições das correntes, necessárias para atender às especificações técnicas estabelecidas para o projeto. (b) prever o comportamento do processo em condições diferentes daquelas para qual foi dimensionado. Base Modelo Matemático

Prever e avaliar o desempenho ECONÔMICO
Consiste em Verificar se o processo atende aos critérios econômicos de lucratividade de forma a justificar a sua montagem e a sua operação. Base Critério Econômico

Cada Capítulo gera subsídios para os Módulos Computacionais
Resumo da Análise de Processos Cada Capítulo gera subsídios para os Módulos Computacionais AVALIAÇÃO ECONÔMICA 4 INTRODUÇÃO À ANÁLISE DE PROCESSOS 2 OTIMIZAÇÃO 5 ESTRATÉGIAS DE CÁLCULO 3    MODELO ECONÔMICO OTIMIZAÇÃO Variáveis Especificadas Variáveis de Projeto Parâmetros Econômicos Parâmetros Físicos Dimensões Calculadas Lucro MODELO FÍSICO

Resolver Problema Otimizar Processo Calcular Lucro Dimensionar Extrator Evaporador Condensador Resfriador Misturador Simular Processo

ROTEIRO PARA A RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS NA ANÁLISE DE PROCESSOS
1. Reconhecer ou desenhar o fluxograma: equipamentos, correntes, variáveis do processo. 2. Escrever o modelo matemático.  fundamental 3. Identificar as variáveis conhecidas e as metas de projeto. 4. Efetuar o Balanço de Informação. 5. Estabelecer uma estratégia de cálculo. 6. Resolver o problema. 7. Avaliar criticamente o resultado.  mais importante

FINAL DA REVISÃO

MOTIVAÇÃO PARA O CAPÍTULO 3

Forma Geral dos Modelos Matemáticos de Processos
f1(x1, x2, ..., xi ,..., xM) = 0 f2(x1, x2, ..., xi ,..., xM) = 0 fN(x1, x2, ..., xi,..., xM) = 0 Sistema de equações algébricas N equações M incógnitas constituído do conjunto dos modelos dos equipamentos.

Exemplo: Modelo do Processo Ilustrativo

Partindo dos modelos dos equipamentos
extrator 01. f11 - f12 - f13 = W15 - f23 = f31 - f32 = k – (3 + 0,04 Td) = k – x13 / x12 = (f11 Cp1 + f31 Cp3) (T1 - Td) + W15 Cp2l (T15 - Td) = Vd -  (f11 /1 + W15/2 + f31/3) = r - f13/f11 = T2 – Td = T3 – Td = 0 evaporador 11. f13 - f14 = 0 12. f23 - f24 - W5 = 0 13. W6 - W7 = 0 14. W6 [3 + Cpv (T6 – T7)] - Qe = 0 15. Qe – [(f13Cp1 + f23Cp2l)(Te - T3) + W5 2] = 0 16. Qe - Ue Ae e = 0 17. e - (T6- Te) = T4 – Te = T5 – Te = 0

condensador 20. W8 - W9 = 0 21. W5 - W10 = 0 22. Qc - W8 Cp3 (T9 - T8) = 0 23. W5 [2 + Cp2g (T5 – T10)] - Qc = 0 24. Qc - Uc Ac c = 0 25. c - [(T5 - T9) - (T10 - T8)]/ln[(T5 - T9)/(T10 - T8)] = 0 26. W11 - W12 = 0 27. W10 - W13 = 0 28. Qr - W11 Cp3 (T12 - T11) = 0 29. Qr - W10 Cp2l (T10 - T13) = 0 30. Qr - Ur Ar r = 0 31. r - [(T10 - T12) - (T13 - T11)]/ln[(T10 - T12)/(T13 - T11)] = 0 resfriador correntes multicomponentes 34. f11 + f31 - W1 = 0 35. x11 - f11 / W1 = 0 36. f12 + f22 – W2 = 0 37. x12 - f12/ W2 = 0 38. f13 + f23 – W3 = 0 39. x13 - f13 / W3 = 0 40. f14 + f24 - W4 = 0 41. x14 - f14/ W4 = 0 misturador 32. W13 + W14 - W15 = 0 33. W13 (T15 - T13) + W14 (T15 - T14) = 0

Modelo Completo 01. f11 - f12 - f13 = W15 - f23 = f31 - f32 = k – (3 + 0,04 Td) = k – x13 / x12 = (f11 Cp1 + f31 Cp3) (T1 - Td) + W15 Cp2l (T15 - Td) = Vd -  (f11 /1 + W15/2 + f31/3) = r - f13/f11 = T2 – Td = T3 – Td = 0 11. f13 - f14 = 0 12. f23 - f24 - W5 = 0 13. W6 - W7 = 0 14. W6 [3 + Cpv (T6 – T7)] - Qe = 0 15. Qe – [(f13Cp1 + f23Cp2l)(Te - T3) + W5 2] = 0 16. Qe - Ue Ae e = 0 17. e - (T6- Te) = T4 – Te = T5 – Te = 0 20. W8 - W9 = 0 21. W5 - W10 = 0 22. Qc - W8 Cp3 (T9 - T8) = 0 23. W5 [2 + Cp2g (T5 – T10)] - Qc = 0 24. Qc - Uc Ac c = 0 25. c - [(T5 - T9) - (T10 - T8)]/ln[(T5 - T9)/(T10 - T8)] = 0 26. W11 - W12 = 0 27. W10 - W13 = 0 28. Qr - W11 Cp3 (T12 - T11) = 0 29. Qr - W10 Cp2l (T10 - T13) = 0 30. Qr - Ur Ar r = 0 31. r - [(T10 - T12) - (T13 - T11)]/ln[(T10 - T12)/(T13 - T11)] = 0 32. W13 + W14 - W15 = 0 33. W13 (T15 - T13) + W14 (T15 - T14) = 0 34. f11 + f31 - W1 = 0 35. x11 - f11 / W1 = 0 36. f12 + f22 – W2 = 0 37. x12 - f12/ W2 = 0 38. f13 + f23 – W3 = 0 39. x13 - f13 / W3 = 0 40. f14 + f24 - W4 = 0 41. x14 - f14/ W4 = 0

É um pré-requisito para esta Disciplina Formulação e Resolução !!!
Competem ao Engenheiro Químico Formulação e Resolução do Modelo (a) Formulação (Modelagem Matemática): Consiste em representar o processo matematicamente utilizando os conhecimentos relativos aos Fundamentos e Equipamentos É um pré-requisito para esta Disciplina (b) Resolução : Consiste em utilizar técnicas de processamento de informação na resolução de problemas. Objeto deste Capítulo Palavras-chave : Formulação e Resolução !!!

COMPLEXIDADE DOS MODELOS
Em geral, os modelos de processos são complexos. Fontes de complexidade: (a) grande número de equações e de variáveis (b) não-linearidade de equações (c) presença de reciclos Desafio: como viabilizar a resolução de modelos tão complexos, e como faze-lo da forma mais eficiente possível ??? A complexidade dos modelos exige o estabelecimento prévio de uma Estratégia de Cálculo Tema deste Capítulo

Objetivo de uma Estratégia de Cálculo
Minimizar o esforço computacional envolvido na resolução dos modelos (problemas de dimensionamento, simulação e otimização de processos). MODELO FÍSICO MODELO ECONÔMICO OTIMIZAÇÃO Variáveis Especificadas Variáveis de Projeto Parâmetros Econômicos Parâmetros Físicos Dimensões Calculadas Lucro

3. ESTRATÉGIAS DE CÁLCULO
3.1 Equações Não - Lineares 3.1.1 Representação Métodos Numéricos 3.2 Sistemas de Equações Não-Lineares 3.2.1 Estrutura e representação 3.2.2 Resolução: partição, abertura, ordenação de equações 3.3 Dimensionamento e Simulação de Equipamentos 3.4 Dimensionamento e Simulação de Processos 3.4.1 Estratégia Global 3.4.2 Estratégia Modular 3.5 Incerteza e Análise de Sensibilidade 3.5.1 Questionamento do Projeto 3.5.2 Questionamento do Desempenho Futuro

Motivação para o estudo de equações não-lineares
No dimensionamento e na simulação de equipamentos e de processos ocorrem sistemas de equações que só podem ser resolvidos por métodos iterativos de tentativas empregados na resolução de equações Assim, este Capítulo começa com métodos de resolução de equações.

3.1 Equações Não-Lineares Métodos Numéricos 3.2 Sistemas de Equações Não-Lineares 3.2.1 Estrutura e representação 3.2.2 Resolução: partição, abertura, ordenação de equações 3.3 Dimensionamento e Simulação de Equipamentos 3.4 Dimensionamento e Simulação de Processos 3.4.1 Estratégia Global 3.4.2 Estratégia Modular 3.5 Incerteza e Análise de Sensibilidade 3.5.1 Questionamento do Projeto 3.5.2 Questionamento do Desempenho Futuro 3.1.1 Representação

f (x1*, ..., xi - 1*, xi, xi + 1*,…, xM*) = 0
3.1 EQUAÇÕES NÃO – LINEARES 3.1.1 Representação Na abordagem aqui adotada, uma vez formulada representando um fenômeno físico, a equação f (x1*, ..., xi - 1*, xi, xi + 1*,…, xM*) = 0 passa ser vista como um “processador de informação” assim representada : variáveis conhecidas f j x1 x2 x i - 1 x i + 1 xM x i incógnita

f (x1*, ..., xi - 1*, xi , xi + 1*,…, xM*) = 0
A dificuldade da resolução de f (x1*, ..., xi - 1*, xi , xi + 1*,…, xM*) = 0 depende da sua forma funcional. Exemplo incógnita x2: x1* x2 + ln x1* = 0 Solução analítica simples: x2 = - (ln x1*) / x1* x1 x2 + ln x1 = 0 incógnita x1: x1 x2* + ln x1 = 0 Solução numérica por tentativas

3.1 Equações Não-Lineares 3.1.1 Representação 3.2 Sistemas de Equações Não-Lineares 3.2.1 Estrutura e representação 3.2.2 Resolução: partição, abertura, ordenação de equações 3.3 Dimensionamento e Simulação de Equipamentos 3.4 Dimensionamento e Simulação de Processos 3.4.1 Estratégia Global 3.4.2 Estratégia Modular 3.5 Incerteza e Análise de Sensibilidade 3.5.1 Questionamento do Dimensionamento 3.5.2 Questionamento do Desempenho Futuro 3.1.2 Métodos Numéricos

Aproximações Sucessivas
3.1.2 Métodos Numéricos Há duas famílias importantes de métodos numéricos para a resolução de equações não-lineares. Métodos de Redução de Intervalos Métodos de Aproximações Sucessivas Partem de um intervalo inicial. (limites inferior e superior) Partem de um valor inicial. Por diferentes raciocínios lógicos, promovem a redução do intervalo até que se torne menor do que uma tolerância pré-estabelecida. Por diferentes raciocínios lógicos, testam valores sucessivos até que a diferença relativa entre 2 valores sucessivos se torne menor do que uma tolerância pré-estabelecida.

(a) Métodos de Redução de Intervalos
Dados os limites superior xs e inferior xi , define-se o intervalo de incerteza xs - xi . Este é reduzido sucessivamente até se tornar menor do que uma tolerância  pré-estabelecida: xs - xi  . x i s f (x) x s i  Qualquer valor no interior ou na fronteira do intervalo serve como solução.

Método da Bisseção ou Busca Binária
Um método típico de Redução de Intervalos Método da Bisseção ou Busca Binária A cada iteração, o intervalo de incerteza é reduzido à metade.

ALGORITMO x f BISS f (x) f(x) Estabelecer xi, xs,  (tolerância) fs
Calcular fi em xi Calcular fs em xs xi REPETIR x x = (xi + xs)/2 fi f xs x Calcular f em x Se Sinal (f) = Sinal (fi): Então atualizar : xi = x : fi = f Senão atualizar : xs = x : fs = f ATÉ xs - xi   f(x) SE ABS(fi) < ABS(fs) ENTÃO Solução = xi SENÃO Solução = xs xs fs x f xi fi x

Exemplo: x1 x2* + ln x1 = 0 f = x1 x2* + ln x1
Se Sinal (f) = Sinal (fi): Então atualizar : xi = x : fi = f Estabelecer xi, xs,  (tolerância) Calcular fi em xi Calcular fs em xs REPETIR x = (xi + xs)/2 Calcular f em x Senão atualizar : xs = x : fs = f ATÉ xs - xi   Exemplo: x1 x2* + ln x1 = 0 f = x1 x2* + ln x1 x2* = 2 : xi = 0 : xs = 1:  = 0,1 xi fi x f xs fs  0, , 0, ,307 0, ,51 0, ,88 0, ,307 0,5 0, ,88 0, ,231 0, ,307 0,25 0, ,231 0, ,048 0, ,307 0,125 0, ,231 0,4375 0,048 0,0625 Solução para  = 0,1 : x = 0, f = 0,048

EFICIÊNCIA DO MÉTODO Nm : número de cálculos da função, no meio do intervalo, necessário para alcançar o intervalo  Nt : número total de cálculos da função para alcançar o intervalo  Como o método se inicia com o cálculo da função nos limites inferior e superior, então: Nt = Nm + 2

 = 0,5Nm ln  = Nm ln 0,5 Nt = 2 + ln  / ln 0,5 Nt = 2 – 1,4 ln  10% :  = 0,1 N = 5,3  Nt = 6 1% :  = 0,01 N = 8,6  Nt = 9 xi fi x f xs fs  0, , 0, ,307 0, ,51 0, ,88 0, ,307 0,5 0, ,88 0, ,231 0, ,307 0,25 0, ,231 0, ,048 0, ,307 0,125 0, ,231 0,4375 0,048 0,0625 Solução para  = 0,1 : x = 0, f = 0,048

(b) Métodos de Aproximações Sucessivas
Atribui-se um valor inicial para a incógnita. Esse valor é atualizado sucessivamente até que o erro relativo entre duas aproximações sucessivas, abs [(xk - xk-1) / xk], seja menor do que uma tolerância pré-estabelecida. xi xs x1 x2 x3 x4 x5

Método da Substituição Direta
Um método típico Método da Substituição Direta Se a incógnita aparecer em mais de termo da equação, ela é explicitada parcialmente: f(xi ) = 0  xi = F(xi) Exemplo F(x1) x1 = - (1/ x2*) ln x1 f(x1) x1 x2* + ln x1 = 0 F(x1) x1 = e - x1 x2*

A solução é o valor de xi em que F(xi) = xi .
xi = F(xi) A solução é o valor de xi em que F(xi) = xi . F(x) x 0,2 0,2

Estabelecer xinicial,  (tolerância)
Em cada iteração, o valor arbitrado para xi é o valor de F(xi - 1) obtido na iteração anterior. ALGORITMO Estabelecer xinicial,  (tolerância) F = xinicial REPETIR x = F Calcular a Função F em x ATÉ Convergir Convergir = |(F-x)/x| <  (erro relativo) xsolução = F Como dar a partida ?

Executando o Algoritmo
Em cada iteração, o valor arbitrado para xi é o valor de F(xi - 1) obtido na iteração anterior. Convergir = |(F-x)/x| <  (erro relativo) Estabelecer xinicial,  (tolerância) F = xinicial REPETIR x = F Calcular a Função F em x ATÉ Convergir xsolução = F F(x) x3 x2 x1 x

Condição para Convergência |F´(x)| < 1
A convergência pode ser monotônica ou oscilatória x 1 3 2 F(x) F(x) x x1 x2 x3 convergência monotônica derivada positiva convergência oscilatória derivada negativa Na direção da Solução

Condição para Divergência |F´(x)| > 1
A divergência pode ser monotônica ou oscilatória F(x) x x1 x3 x2 F(x) x x1 x2 x3 divergência monotônica derivada positiva divergência oscilatória derivada negativa Afastamento da Solução

Exemplo: x1 x2* + ln x1 = 0 F(x1) = - (1/ x2*) ln x1
F(x1) = e - x1 x2* x F  x F  0,5 0,346 0,308 0,5 0,367 0,264 0,346 0,529 0,529  oscilando para maior 0,367 0,479 0,302 0,529 0,317 0,400 0,479 0,383 0,199 0,317 0,573 0,806 0,383 0,464 0,210  oscilando para menor 0,573 0,278 0,515 0,464 0,395 0,149 Divergência Oscilatória F’(x1) = - 1,17 Convergência Oscilatória F’(x1) = - 0,85 x 1 3 2 F(x) F(x) x 1 2 3 Exemplo: x1 x2* + ln x1 = 0 x1 = F(x1) (x2* = 2 : x1 inicial = 0,5) Solução: x = 0,4263

Equações que representam processos de operação estável, também apresentam comportamento estável, ou seja, convergem. F(x) x x1 x2 x3

Esses métodos serão evocados a seguir em
Em resumo Equações Não-Lineares podem ser resolvidas por métodos: redução de intervalos (ex.: bisseção) aproximações sucessivas (ex.: substituição direta) Esses métodos serão evocados a seguir em Sistemas de Equações.

3.1 Equações Não-Lineares 3.1.1 Representação 3.1.2 Métodos Numéricos 3.2.2 Resolução: partição, abertura, ordenação de equações 3.3 Dimensionamento e Simulação de Equipamentos 3.4 Dimensionamento e Simulação de Processos 3.4.1 Estratégia Global 3.4.2 Estratégia Modular 3.5 Incerteza e Análise de Sensibilidade 3.5.1 Questionamento do Dimensionamento 3.5.2 Questionamento do Desempenho Futuro 3.2 Sistemas de Equações Não-Lineares 3.2.1 Estrutura e Representação

pode ser representada como um “processador de informação”
3.2 SISTEMAS DE EQUAÇÕES NÃO – LINEARES 3.2.1 Estrutura e Representação A equação f (x1, ..., xi-1, xi, xi+1,…, xM) = 0 pode ser representada como um “processador de informação” f j x1 x2 x i - 1 x i + 1 xM x i

sistema de processadores
Um sistema de equações pode ser representado por um sistema de processadores Os elementos desse sistema são as equações. As conexões são as variáveis comuns. f 1 (x o , x ) = 0 2 ,x 3 Durante a resolução de um problema, os processadores transmitem informação de uns para os outros. 69

Os sistemas de equações podem assumir as mais variadas estruturas.
Estruturas Básicas f 1 (x o ,x 3 ) = 0 2 ) = 0 x Estrutura Cíclica f 1 (x o , x ) = 0 2 ,x 3 Estrutura Acíclica

Estrutura Cíclica Estrutura Acíclica
1 2 3 x Estrutura Cíclica 1 2 3 x Estrutura Acíclica f1(xo, x1, x3 ) = 0 f2(x1, x2) = 0 f3(x2, x3) = 0 f1(xo, x1) = 0 f2(x1, x2) = 0 f3(x2, x3) = 0 ? Estrutura acíclica: resolução trivial por encadeamento sucessivo a partir que qualquer variável conhecida (xo, por exemplo). Estrutura cíclica: solução somente por tentativas (exemplo: conhecida xo, o cálculo de x1 depende de x3 ainda não calculada).

Quanto mais complexa a estrutura, mais difícil é a resolução do sistema.

Um Sistema de Equações Típico de um Modelo de Processo
1. f1(xo*, x1) = 0 2. f2(x1, x2) = 0 3. f3(x2, x3, x6) = 0 4. f4(x3, x4) = 0 5. f5(x4, x5) = 0 6. f6(x5, x6) = 0 7. f7(x6, x7) = 0 8. f8(x7, x8) = 0

E, assim, conceber métodos eficientes de resolução.
Representações Através da representação é possível enxergar como os processadores trocam informações. E, assim, conceber métodos eficientes de resolução.

Representação Matricial
1. f1(xo*,x1) = 0 2. f2(x1,x2) = 0 3. f3(x2,x3,x6) = 0 4. f4(x3,x4) = 0 5. f5(x4,x5) = 0 6. f6(x5,x6) = 0 7. f7(x6,x7) = 0 8. f8(x7,x8) = 0 X0 X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 1 2 3 4 5 6 7 8 Matriz Incidência (Numérica) Característica em Processos o número de variáveis em cada equação é pequeno: nem todas as variáveis figuram em todas as equações. X0 X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 1 * 2 3 4 5 6 7 8 Matriz Incidência (Gráfica) Matrizes Esparsas !

Representação Gráfica (Grafo)
1. f1(xo*,x1) = 0 2. f2(x1,x2) = 0 3. f3(x2,x3,x6) = 0 4. f4(x3,x4) = 0 5. f5(x4,x5) = 0 6. f6(x5,x6) = 0 7. f7(x6,x7) = 0 8. f8(x7,x8) = 0 Ciclo ! x6 1 2 3 4 5 6 7 8 x1 x2 x3 x4 x5 x7 x8 xo Proporciona uma visão mais clara da estrutura do sistema

3.1 Equações Não-Lineares 3.1.1 Representação 3.1.2 Métodos Numéricos 3.2 Sistemas de Equações Não-Lineares 3.2.1 Estrutura e Representação 3.3 Dimensionamento e Simulação de Equipamentos 3.4 Dimensionamento e Simulação de Processos 3.4.1 Estratégia Global 3.4.2 Estratégia Modular 3.5 Incerteza e Análise de Sensibilidade 3.5.1 Questionamento do Dimensionamento 3.5.2 Questionamento do Desempenho Futuro 3.2.2 Resolução: partição, abertura, ordenação de equações

3.2.2 Resolução: partição, abertura, ordenação de equações
Os sistemas de equações podem ser resolvidos por - métodos simultâneos - método seqüencial.

Métodos Simultâneos Todas as variáveis são alteradas simultaneamente.
Diversos métodos são descritos em livros texto e abordados em disciplinas de Métodos Numéricos. Exemplo: Newton-Raphson, Wegstein, ... Calcular F1 x1(k+1) = F1 Calcular F2 x2(k+1) = F2 TESTE x1 = x1(k+1) x1k x2k x1(k+1) x2(k+1) x2 = x2(k+1)

Este método é chamado de Resolução por Equações
Método Sequencial É um método alternativo em que as equações são acionadas uma-a-uma, passando informação de uma para a outra, numa sequência lógica previamente estabelecida. Este método é chamado de Resolução por Equações ("equation oriented").

ALGORITMO DE ORDENAÇÃO DE EQUAÇÕES
Este método pode ser implementado através do ALGORITMO DE ORDENAÇÃO DE EQUAÇÕES A.O.E.

Algoritmo de Ordenação de Equações (AOE)
É um algoritmo de atribuição de tarefas 1. Atribui a cada equação a tarefa de calcular uma das incógnitas do sistema. 2. Ao mesmo tempo, organiza as equações segundo uma Sequencia de Cálculo que minimiza o esforço computacional.

Outros resultados 3. Efetua automaticamente a partição do sistema em conjuntos cíclicos e acíclicos de equações, minimizando o número de equações envolvidas em cálculos iterativos. 4. Em problemas com graus de liberdade, indica as variáveis de projeto compatíveis com o esforço computacional mínimo. 5. Em problemas com ciclos, indica as variáveis de abertura (a definir). Partição ???

PARTIÇÃO "partitioning"
1. f1(xo,x1) = 0 2. f2(x1,x2) = 0 3. f3(x2,x3,x6) = 0 4. f4(x3,x4) = 0 5. f5(x4,x5) = 0 6. f6(x5,x6) = 0 7. f7(x6,x7) = 0 8. f8(x7,x8) = 0 PARTIÇÃO "partitioning" Consiste em decompor o sistema em sub-sistemas Resolvem-se os sub-sistemas sequencialmente x x* 1 2 3 4 5 6 7 8 o [ 3, 4 , 5 ,6 ] Parte Cíclica Cálculo Iterativo x6 1, 2 [ ] Parte Acíclica Cálculo Direto xo* x2 [7, 8] x8 Parte Acíclica Cálculo Direto

O Algoritmo simplesmente formaliza ações intuitivas e óbvias
utilizando os seguintes termos básicos Equações de Incógnita Única Variáveis de Frequência Unitária Ciclos

Equações de Incógnita Única
1. f1(xo,x1) = 0 2. f2(x1,x2) = 0 3. f3(x2,x3,x6) = 0 4. f4(x3,x4) = 0 5. f5(x4,x5) = 0 6. f6(x5,x6) = 0 7. f7(x6,x7) = 0 8. f8(x7,x8) = 0 Equações de Incógnita Única São equações em que todas as variáveis têm os seus valores conhecidos, menos uma! Exemplo: equação 1 Uma vez resolvida para x1 a equação 2 fica com incógnita única podendo ser resolvida para x2 Não há mais equações de incógnita única x x* 1 2 3 4 5 6 7 8 o  

O Algoritmo pode começar assim:
Enquanto houver equações com incógnita única atribuir (vincular) essa incógnita à respectiva equação (b) colocar a equação no primeira posição disponível na Sequencia de Cálculo (c) remover a variável da lista das incógnitas Sequência de Cálculo Não há mais equações de incógnita única 1. x1 2. x2 x x* 1 2 3 4 5 6 7 8 o  

Varáveis de Frequência Unitária
São variáveis que pertencem a uma só equação Exemplo: x8 Só pode ser calculada pela Eq. 8 depois de x7 Então x7 só pode ser calculada pela Eq.7 ficando com frequência unitária Só pode ser calculada pela Eq. 7 depois de x6 Não há mais variáveis de frequência unitária x x* 1 2 3 4 5 6 7 8 o    

O Algoritmo pode prosseguir assim:
Enquanto houver variáveis de frequência unitária atribuir (vincular) essa incógnita à respectiva equação (b) colocar a equação na última posição disponível na Sequencia de Cálculo Sequência de Cálculo (c) remover a variável da lista das incógnitas 1. x1 2. x2 - - - - Não há mais variáveis de frequência unitária 7. x7 8. x8 x x* 1 2 3 4 5 6 7 8 o    

Solução exclusivamente por métodos iterativos
Ciclos São conjuntos cíclicos de equações em que cada variável vem a ser função dela mesma. x 3 4 5 6 x2 x6 x6 = f6(x5) = f6(f5(x4)) = f6(f5(f4(x3))) = f6(f5(f4(f3(x2,x6)))) = F(x6) Solução exclusivamente por métodos iterativos

Preparação do sub-sistema cíclico para resolução por tentativas
(a) Selecionar uma Equação Final (b) Retornar à Etapa 2 (VFU) (c) Identificar a Variável de Abertura (não atribuída a qualquer equação) (d) Estabelecer o esquema de convergência Sequência de Cálculo 1. x1 2. x2 8. x8 7. x7 X6 Variável de Abertura x6 3. x3 3 4 5 X 6 3 4 5 X 6 4. x4 Equação Final 5. x5 6. final

Sequencia de Cálculo Resultante
META DO ALGORITMO 1 2 X o * 7 8 6 3 4 5 Equação Final EQUAÇÃO VARIÁVEL x final X6 Variável de Abertura x6

ALGORITMO PRONTO

Algoritmo de Ordenação de Equações
Enquanto houver equações com incógnita única (a) atribuir (vincular) essa incógnita à respectiva equação. (b) colocar a equação no primeira posição disponível na Sequencia de Cálculo. (c) remover a variável (X na vertical). Enquanto houver equações Enquanto houver variáveis de frequência unitária (a) atribuir (vincular) essa variável à respectiva equação. (b) colocar a equação no última posição disponível na Seqüência de Cálculo. (c) remover a equação (X na horizontal). Se ainda houver equações (ciclo!) (a) selecionar uma equação que contenha pelo menos uma variável de freqüência igual à menor freqüência dentre todas as variáveis (Final). (b) colocar essa equação na última posição disponível na Seqüência de Cálculo. (c ) remover equação (X na horizontal).

ESTABELECIMENTO DO ESQUEMA DE CONVERGÊNCIA
Insere-se um Promotor de Convergência São apresentados dois Promotores de Convergência baseados nos métodos para equações não-lineares: (a) Bisseção (b) Substituição Direta

Uma vez ordenadas, as equações podem ser resolvidas na seqüência estabelecida, com o mínimo de esforço computacional.

Relembrando o Método da Bisseção
x f BISS f (x) f(x) ALGORITMO Estabelecer xi, xs,  (tolerância) fs Calcular fi em xi Calcular fs em xs xi REPETIR x x = (xi + xs)/2 fi f xs x Calcular f em x Se Sinal (f) = Sinal (fi): Então atualizar : xi = x : fi = f Senão atualizar : xs = x : fs = f ATÉ xs - xi   f(x) xs fs SE ABS(fi) < ABS(fs) ENTÃO Solução = xi SENÃO Solução = xs x f xi fi x

x6a 3 4 5 6 x2 x3 x4 x5 x6 f6 (x5, x6) A cada iteração:
(a) BISSSEÇÃO x6a 3 4 5 6 x2 x3 x4 x5 x6 BISS f6 (x5, x6) f3 (x2,x3,x4) = 0 f4 (x3,x4) = 0 f5 (x4,x5) = 0 f6 (x5,x6) = 0 f(x) fs xi x fi f xs x A cada iteração: - arbitra-se x6a . resolve-se sucessivamente as equações 3, 4 e 5. pela equação 6 calcula-se f6 (x5, x6). avalia-se a convergência pelo critério do método da bisseção.

RELEMBRANDO O MÉTODO DA SUBSTITUIÇÃO DIRETA
f (x) = 0 explicitando x x = F ( x) A solução é a interseção de F(x) com a reta de 45º onde ela é igual ao próprio x. ALGORITMO Estabelecer xinicial,  (tolerância) F = xinicial F(x) F(x)  REPETIR x = F x3 x2 x1 x2 x3 x1 x x Calcular a Função F em x F'(x) > 0 |F'(x) < 1 F'(x) < 0 |F'(x)| < 1 ATÉ Convergir convergência monotonica convergência oscilatória xsolução = F (a) (c) Convergir = |(F - x)/x| < 

(b) SUBSTITUIÇÃO DIRETA
x6c 3 4 5 6 x2 x3 x4 x5 x6 SD x6a x 1 2 3 x6c x6a Arbitra-se x6c inicial. A cada iteração: toma-se x6a = x6c . resolve-se sucessivamente as equações 3, 4, 5 e 6, que calcula x6c. avalia-se a convergência através do erro relativo ABS (x6c – x6a) / x6a

COMPARAÇÃO DOS PROMOTORES DE CONVERGÊNCIA (b) Substituição Direta
f6 (x5, x6) (a) Bisseção x6a 3 4 5 6 x2 x3 x4 x5 x6 BISS f3 (x2,x3,x6) = 0 f4 (x3,x4) = 0 f5 (x4,x5) = 0 f6 (x5,x6) = 0 Arbitra-se x6a. A cada iteração, a eq.6 calcula f6 (x5, x6) (até convergir) x6c 3 4 5 6 x2 x3 x4 x5 x6 SD x6a f3 (x2,x3,x4) = 0 f4 (x3,x4) = 0 f5 (x4,x5) = 0 f6 (x5,x6) = 0 (b) Substituição Direta Arbitra-se x6a . A cada iteração, a eq.6 calcula x6c = f6(x5) : x6a = x6c (até convergir).

APLICAÇÃO AO SISTEMA ILUSTRATIVO

Do ponto de vista prático, o Algoritmo é aplicado sobre a
1. f1(xo*, x1) = 0 2. f2(x1, x2) = 0 3. f3(x2, x3, x6) = 0 4. f4(x3, x4) = 0 5. f5(x4, x5) = 0 6. f6(x5, x6) = 0 7. f7(x6, x7) = 0 8. f8(x7, x8) = 0 Do ponto de vista prático, o Algoritmo é aplicado sobre a Matriz Incidência

Equações de Incógnita Única (EIU)
X0* X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 1 X * 2 3 4 5 6 7 8 Seqüência 1 - 2 - 3 - 4 - 5 - 6 - 7 - 8 - Equações de Incógnita Única (EIU) Círculo na variável  inscrição no último lugar  x na horizontal

X0* X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 1 X O 2 * 3 4 5 6 7 8 Seqüência 1 - x1 2 - 3 - 4 - 5 - 6 - 7 - 8 - Equações de Incógnita Única (EIU) Círculo na variável  inscrição no primeiro lugar  x na vertical

X0* X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 1 X O 2 3 * 4 5 6 7 8 Seqüência 1 - x1 2 - x2 3 - 4 - 5 - 6 - 7 - 8 - Equações de Incógnita Única (EIU) Círculo na variável  inscrição no primeiro lugar  x na vertical Não há mais Equações de Incógnita Única (EIU)

Estado atual da Sequência de Cálculo

* X X X O 1 2 1 2 EQUAÇÃO VARIÁVEL 1 x 2

Variáveis de Frequência Unitária (VFU)
X0* X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 1 X O 2 3 * 4 5 6 7 8 Seqüência 1 - x1 2 - x2 3 - 4 - 5 - 6 - 7 - 8 - Variáveis de Frequência Unitária (VFU) Círculo na variável  inscrição no último lugar  x na horizontal

X0* X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 1 X O 2 3 * 4 5 6 7 8 Seqüência 1 - x1 2 - x2 3 - 4 - 5 - 6 - 7 - 8 - x8 Variáveis de Frequência Unitária (VFU) Círculo na variável  inscrição no último lugar  x na horizontal

X0* X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 1 X O 2 3 * 4 5 6 7 8 Seqüência 1 - x1 2 - x2 3 - 4 - 5 - 6 - 7 - x7 8 - x8 Variáveis de Frequência Unitária (VFU) Círculo na variável  inscrição no último lugar  x na horizontal

Não há mais Variáveis de Frequência Unitária (VFU)
X0* X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 1 X O 2 3 * 4 5 6 7 8 Seqüência 1 - x1 2 - x2 3 - 4 - 5 - 6 - 7 - x7 8 - x8 Não há mais Variáveis de Frequência Unitária (VFU)

Estado atual da Sequência de Cálculo

1 2 X O * 7 8 X 6 EQUAÇÃO VARIÁVEL 1 x 2 7 8

Seqüência 1 - x1 2 - x2 3 - 4 - 5 - 6 - 7 - x7 8 - x8 Ciclo!
* 4 5 6 7 8 Seqüência 1 - x1 2 - x2 3 - 4 - 5 - 6 - 7 - x7 8 - x8 Ciclo! Equação Final ? x 3 4 5 6 x2 x6

Em princípio, qualquer uma do ciclo
x 3 4 5 6 x2 x6 A figura motiva a 6 !

Seqüência 1 - x1 2 - x2 3 - 4 - 5 - 6 final 7 - x7 8 - x8
O 2 3 * 4 5 6 7 8 Seqüência 1 - x1 2 - x2 3 - 4 - 5 - 6 final 7 - x7 8 - x8 Equação Final: 6

X0* X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 1 X O 2 3 * 4 5 6 7 8 Seqüência 1 - x1 2 - x2 3 - 4 - 5 - 6 - final 7 - x7 8 - x8 Volta-se a buscar... Variáveis de Frequência Unitária (VFU)

Seqüência 1 - x1 2 - x2 3 - 4 - 5 - 6 - final 7 - x7 8 - x8
O 2 3 * 4 5 6 7 8 Seqüência 1 - x1 2 - x2 3 - 4 - 5 - 6 - final 7 - x7 8 - x8 Aqui há 2 VFU: X5 e X6. A ordem em que são escolhidas não importa. Uma não afeta a outra. Ela poderiam ser até resolvidas em paralelo. Na verdade, elas poderiam ser calculadas em paralelo porque

X0* X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 1 X O 2 3 * 4 5 6 7 8 Seqüência 1 - x1 2 - x2 3 - 4 - 5 - x5 6 - final 7 - x7 8 - x8 Variáveis de Frequência Unitária (VFU) Círculo na variável  inscrição no último lugar  x na horizontal

X0* X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 1 X O 2 3 * 4 5 6 7 8 Seqüência 1 - x1 2 - x2 3 - 4 - x4 5 - x5 6 - final 7 - x7 8 - x8 Variáveis de Frequência Unitária (VFU) Círculo na variável  inscrição no último lugar  x na horizontal

X0* X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 1 X O 2 3 4 5 6 7 8 Seqüência 1 - x1 2 - x2 3 - x3 4 - x4 5 - x5 6 - final 7 - x7 8 - x8 Variáveis de Frequência Unitária (VFU) Círculo na variável  inscrição no último lugar  x na horizontal

Variável de Abertura: x6
1 X O 2 3 4 5 6 7 8 Seqüência 1 - x1 2 - x2 3 - x3 4 - x4 5 - x5 6 - final 7 - x7 8 - x8 x6 Variável de Abertura: x6

SEQUÊNCIA DE CÁLCULO FINAL
1 2 3 4 5 6 7 8 X O * variável de abertura equação final EQUAÇÃO VARIÁVEL 1 x 2 3 4 5 6 final 7 8 x6

Mostrar o Programa AOE.xls

Estratégia de Cálculo para
4 situações típicas em Engenharia de Processos. Antecipando...

Sol.única sem ciclo Otimização sem ciclo Sol.única com ciclo
PROCESSO * E x x x x x x x x Sol.única sem ciclo AVALIAÇÃO LE 4 3 2 1 1 2 3 4 4 3 2 1 ECONÔMICA PROCESSO OTIMIZAÇÃO * LE E x 1 3 2 4 5 AVALIAÇÃO ECONÔMICA Otimização sem ciclo x4 PROCESSO * LE E x 1 4 3 2 AVALIAÇÃO ECONÔMICA Sol.única com ciclo x1 PROCESSO OTIMIZAÇÃO * LE E x 1 3 2 4 x4 5 AVALIAÇÃO ECONÔMICA Otimização com ciclo x1

G = 0 : solução única, sem variável de projeto
1 f1(x1, x2) 2 f2(x2, x3, x4) = 0 3 f3(x3, x4) = 0 4 f4(x4) = 0 Sistema 1 1 * 2 3 4 x1 x2 x3 x4 Matriz Incidência 1 2 3 4 x1 x2 x3 x4 Grafo G = 0 : solução única, sem variável de projeto Ciclo potencial: a confirmar, haverá uma variável de abertura

Enquanto houver equações com incógnita única (a) atribuir (vincular) essa incógnita à respectiva equação. (b) colocar a equação na primeira posição disponível na Seqüência de Cálculo. (c) remover a variável. Matriz Incidência Seqüência de Cálculo x1 x x3 x * * * * * * * * Equação Variável x4 X X X x3 X x2 x1

G = 0 : Solução Única, sem variável de projeto
1 2 3 4 x1 x2 x3 x4 Grafo Como a eq. 4 é de incógnita única, x4 é a primeira e o seu valor é transmitido para a eq.2 desfazendo o ciclo em potencial PROCESSO LE E* 4 3 2 1 x4 x3 x2 x1 AVALIAÇÃO ECONÔMICA x4 x3 x2 x1 G = 0 : Solução Única, sem variável de projeto Processo : sequência direta (sem ciclos)

G = 1 : problema de otimização, haverá uma variável de projeto.
Sistema 2 1 f1(x1,x2) 2 f2(x2,x3,x4) = 0 3 f3(x3,x4) = 0 4 f4(x4,x5) = 0 1 * x1 x2 x3 x4 x5 2 3 4 Matriz Incidência 1 2 3 4 x1 x2 x3 x4 x5 Grafo G = 1 : problema de otimização, haverá uma variável de projeto. Ciclo potencial: a confirmar, haverá uma variável de abertura.

Enquanto houver equações com incógnita única (a) atribuir (vincular) essa incógnita à respectiva equação. (b) colocar a equação na primeira posição disponível na Seqüência de Cálculo. (c) remover a variável. Enquanto houver equações Enquanto houver variáveis de freqüência unitária (a) atribuir (vincular) essa variável à respectiva equação. (b) colocar a equação na última posição disponível na Seqüência de Cálculo. (c) remover a equação. Seqüência de Cálculo Matriz Incidência x1 x2 x3 x4 x * * * * * * * * * Equação Variável x4 x3 X x2 X X X x1 x4 variável de projeto x5 X

Como x4 resultou como Variável de Projeto o ciclo desapareceu
1 2 3 4 x1 x2 x3 x4 x5 Grafo Como x4 resultou como Variável de Projeto o ciclo desapareceu PROCESSO OTIMIZAÇÃO LE E* 3 2 1 x3 4 x2 x1 x5 x4 AVALIAÇÃO ECONÔMICA x1 x2 x3 x5 G = 1 : Otimização, uma variável de projeto Processo : sequência direta (sem ciclos)

G = 0: solução única, sem variável de projeto
Sistema 3 1 f1(x1,x2) 2 f2(x1,x2,x3,x4) = 0 3 f3(x3,x4) = 0 4 f4(x4) = 0 x1 x2 x3 x4 1 * 2 3 4 Matriz Incidência 1 2 3 4 x2 x3 x4 x1 Grafo G = 0: solução única, sem variável de projeto Ciclos potenciais: a confirmar haverá variáveis de abertura

Enquanto houver equações com incógnita única (a) atribuir (vincular) essa incógnita à respectiva equação. (b) colocar a equação na primeira posição disponível na Seqüência de Cálculo. (c) remover a variável. Matriz Incidência x1 x x3 x * * * * * * * * * Seqüência de Cálculo Equação Variável x4 X X X X X x3 x1 X x2 final x1: Variável de Abertura

LE E* x4 x3 x2 x1 Grafo Aqui, o ciclo persistiu e teve que ser aberto
x1 : variável de abertura PROCESSO LE E* 4 3 2 1 x4 x3 x2 x1 AVALIAÇÃO ECONÔMICA x1 x2 x3 x4 G = 0 : Solução Única, sem variável de projeto Processo : sequência com ciclo e uma variável de abertura

G = 1: problema de otimização com uma variável de projeto
Sistema 4 1 f1(x1,x2) 2 f2(x1,x2,x3,x4) = 0 3 f3(x3,x4) = 0 4 f4(x4,x5) = 0 x1 x2 x3 x4 x5 1 * 2 3 4 Matriz Incidência 1 2 3 4 x2 x3 x4 x1 Grafo x5 G = 1: problema de otimização com uma variável de projeto Ciclos potenciais: poderá haver variáveis de abertura

Enquanto houver equações com incógnita única (a) atribuir (vincular) essa incógnita à respectiva equação. (b) colocar a equação na primeira posição disponível na Seqüência de Cálculo. (c) remover a variável. Enquanto houver equações Enquanto houver variáveis de freqüência unitária (a) atribuir (vincular) essa variável à respectiva equação. (b) colocar a equação na última posição disponível na Seqüência de Cálculo. (c) remover a equação. Seqüência de Cálculo Matriz Incidência Equação Variável x1 x2 x3 x4 x * * * * * * * * * * Eqs 1 e 3 independentes: qualquer uma x2 X x3 X X X X Sobram x1 e x4 final X Uma de projeto x5 Outra de abertura X

x4: variável de abertura x1 : variável de projeto Opção 1:
2 3 4 x2 x3 x4 x1 Grafo x5 E* PROCESSO OTIMIZAÇÃO LE 2 3 1 x 4 x4 x1 5 AVALIAÇÃO ECONÔMICA G = 1: Otimização, com uma variável de projeto Processo: Sequência Cíclica com uma variável de abertura

x4: variável de projeto x1 : variável de projeto Opção 2: Grafo 1 2 3
PROCESSO OTIMIZAÇÃO LE 2 3 1 x 4 x1 x4 5 AVALIAÇÃO ECONÔMICA G = 1: Otimização, com uma variável de projeto Processo: Sequência Cíclica com uma variável de abertura

RESUMO DOS 4 TIPOS DE PROBLEMAS

Sol.única sem ciclo Otimização sem ciclo Sol.única com ciclo
PROCESSO * E x x x x x x x x Sol.única sem ciclo AVALIAÇÃO LE 4 3 2 1 1 2 3 4 4 3 2 1 ECONÔMICA PROCESSO OTIMIZAÇÃO * LE E x 1 3 2 4 5 AVALIAÇÃO ECONÔMICA Otimização sem ciclo x4 PROCESSO * LE E x 1 4 3 2 AVALIAÇÃO ECONÔMICA Sol.única com ciclo x1 PROCESSO OTIMIZAÇÃO * LE E x 1 3 2 4 x4 5 AVALIAÇÃO ECONÔMICA Otimização com ciclo x1

REGRAS COMPLEMENTARES NA APLICAÇÃO DO
ALGORITMO DE ORDENAÇÃO DE EQUAÇÕES - Variáveis discretas - Variáveis de cálculo direto e iterativo - Variáveis limitadas - Ciclos múltiplos - Variáveis de abertura e de projeto - Eliminação de ciclos.

Seus valores são limitados a um conjunto finito. Exemplos:
Variáveis Discretas Seus valores são limitados a um conjunto finito. Exemplos: - tipos de insumos: utilidades, solventes, catalisadores. - diâmetros comerciais de tubos. - número de estágios. Em problemas com G > 0 elas têm preferência como Variáveis de Projeto. Assim: - assumem apenas os valores viáveis atribuídos pelo otimizador. - não sendo calculadas, não há risco de assumirem valores inviáveis.

Exemplo: y = a x O parâmetro só pode assumir 2 valores: 1 ou 0,5
V = 3 : N = 1 : G = 2 (duas variáveis de projeto) Para: a = 0,5 : x = 1  y = 0,5 Para: a = 1 : y = 1  x = 1 Para x = 1 : y = 3  a = 3 (não existe !) Logo: a tem que ser uma das duas variáveis de projeto

Variáveis de Cálculo Direto ou Iterativo
Variáveis de cálculo direto são aquelas que podem ser facilmente explicitadas numa equação e calculadas sem necessidade de iterações. Exemplo Nesta equação: -  é uma variável de cálculo direto (dadas as temperaturas) - qualquer T é de cálculo iterativo (dado  e as demais T’s) As variáveis de cálculo direto têm preferência para a condição de calculadas.

Varáveis Limitadas Os seus valores variam entre limites bem definidos. Exemplos: - frações mássicas ou molares - temperaturas em trocadores de calor Variáveis limitadas devem ter preferência para atuar como variáveis de abertura e de projeto. Durante a execução do Algoritmo, a atribuição deve ser postergada ao máximo para que essa preferência seja concretizada.

Um sistema de equações pode exibir diversos ciclos.
Ciclos Múltiplos Um sistema de equações pode exibir diversos ciclos. Ciclos em Sequência Primeira entrada de x3: eq. 1 Primeira entrada de x7: eq. 5 Fechar o ciclo com a final mais próxima x3 f 1 ( x o , 3 ) 2 4 5 7 6 = 1 2 4 5 6 1. x 2. x 3. final 4. x 5. x 6. x 7. final x7

Ciclos Aninhados (“nested”)
Ciclos Múltiplos Ciclos Aninhados (“nested”) Primeira entrada de x4: eq. 4 Primeira entrada de x7: eq. 7 Fechar o ciclo com a final mais próxima X7 f x 1 o 7 2 6 3 5 4 ( , ) = 1. x1 4. x3 6. x5 3. x2 5. final 7. x6 2. final X4

Variáveis de Abertura e de Projeto Simultâneas
Em problemas com G > 0 e com ciclo, a variável de abertura deve ser aquela que fecha, com a Equação Final, um ciclo com o menor número de equações. (a) 1. x 1 2. x 2 4. x 4 6. x 6 3. x 3 x 7 5 5. final 7. x 8 Escolha Conveniente Ciclo com 3 equações 1. x 1 2. x 2 4. x 4 6. x 6 3. x 3 x 7 5 5. final (b) 7. x 8 Escolha Inconveniente Ciclo com 4 equações

Substituição Algébrica
Eliminação de Ciclos Sequência com Ciclo Sequência sem Ciclo 31. x31 = 1 – x11* 32. x32 = 1 – x12 04. x13 = k x12 / [1 + (k – 1) x12] 07. W3 = W1* x11* r / x13 01. W2 = W1* x31 / x32 02. W1* x11* – W2 x12 – W3 x13 = 0 x12 31. x31 = 1 – x11* 02’. x12 = x11* (1 – r) / [x31 + x11* (1 – r)] 32. x32 = 1 – x12 04. x13 = k x12 / [1 + (k – 1) x12] 07. W3 = W1* x11* r / x13 01. W2 = W1* x31 / x32 Substituição Algébrica Equação Final 02. W1* x11* – W2 x12 – W3 x13 = 0 W2 da eq.01: 02’. W1* x11* - [W1* x31 / x32] x12 – W3 x13 = 0 W3 da eq. 07: 02’. W1* x11* - [W1* x31 / x32] x12 – [W1* x11* r / x13] x13 = 0 x13 da eq. 04 e x32 da eq.32: 02’. x12 = x11* (1 – r) / [x31 + x11* (1 – r)] x31 calculado antes do ciclo

3.1 Equações Não-Lineares 3.1.1 Representação 3.1.2 Métodos Numéricos 3.2 Sistemas de Equações Não-Lineares 3.2.1 Estrutura e representação 3.2.2 Resolução: partição, abertura, ordenação de equações 3.4 Dimensionamento e Simulação de Processos 3.4.1 Estratégia Global 3.4.2 Estratégia Modular 3.5 Incerteza e Análise de Sensibilidade 3.5.1 Questionamento do Dimensionamento 3.5.2 Questionamento do Desempenho Futuro 3.3 Dimensionamento e Simulação de Equipamentos

Rever conhecimentos adquiridos em disciplinas anteriormente cursadas.
3.3 Dimensionamento e Simulação dos Equipamentos Motivação para estudar os equipamentos isolados Adquirir familiaridade com os equipamentos antes de integrá-los no processo (livres de interações). Analogia: estudar os instrumentos isoladamente antes de compor a melodia para a orquestra Montar as rotinas de dimensionamento e de simulação que integram o programa de análise do processo. Rever conhecimentos adquiridos em disciplinas anteriormente cursadas.

ENGENHARIA DE EQUIPAMENTOS
Projeto e Análise dos Equipamentos de Processo Reatores Trocadores de calor Separadores Torres de destilação Torres de absorção Extratores Cristalizadores Filtros Outros... Instrumentos de Controle Automático Tratamento compartimentado!

No caso de processos químicos, a Análise consiste em prever e avaliar o desempenho de cada fluxograma gerado na Síntese, para fins de comparação Dimensões dos principais Equipamentos. Consumo de utilidades matérias primas e insumos Modelo Matemático  previsão Especificações de projeto Dimensões dos principais equipamentos Consumo de utilidades matérias primas e insumos Modelo Econômico  avaliação Lucro

Genericamente: análise significa decompor um todo em suas partes,
PROJETO = SÍNTESE  ANÁLISE Genericamente: análise significa decompor um todo em suas partes, depreender o comportamento do todo a partir do comportamento das partes.

Para analisar o Processo
W6 T6 W10 T10 W13 T13 W11 T11 W8 T8 W1 x11 T1 f11 f31 W7 T7 W5 T5 W3 x13 T3 f13 f23 W4 x14 T4 f14 f24 W12 T12 W14 T14 W2 x12 T2 f12 f32 EXTRATOR Extrato Rafinado EVAPORADOR CONDENSADOR RESFRIADOR MISTURADOR BOMBA 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 Vd Ae Ac Ar Alimentação Vapor Água Benzeno Produto Condensado W15 T15 Para analisar o Processo

Fragmentando o Processo
W14 T14 MISTURADOR 14 15 Benzeno W15 T15 13 W10 T10 W13 T13 W12 T12 RESFRIADOR 10 11 12 13 Ar Água W8 T8 W5 T5 W12 T12 CONDENSADOR 5 8 9 Ac Água W10 T10 10 Benzeno W1 x11 T1 f11 f31 1 15 Alimentação Extrato 3 W2 x12 T2 f12 f32 EXTRATOR Rafinado BOMBA 2 Vd W3 x13 T3 f13 f23 W15 T15 W6 T6 W7 T7 W3 x13 T3 f13 f23 W4 x14 T4 f14 f24 EVAPORADOR 4 6 7 Ae Vapor W5 T5 5 Benzeno Produto Condensado 3 Extrato

O Processo fragmentado...
W10 T10 W13 T13 W12 T12 RESFRIADOR 10 11 12 13 Ar Água W8 T8 W5 T5 W12 T12 CONDENSADOR 5 8 9 Ac Água W10 T10 10 Benzeno W14 T14 MISTURADOR 14 15 Benzeno W15 T15 13 O Processo fragmentado... W6 T6 W7 T7 W3 x13 T3 f13 f23 W4 x14 T4 f14 f24 EVAPORADOR 4 6 7 Ae Vapor W5 T5 5 Benzeno Produto Condensado 3 Extrato W1 x11 T1 f11 f31 1 15 Alimentação Extrato 3 W2 x12 T2 f12 f32 EXTRATOR Rafinado BOMBA 2 Vd W3 x13 T3 f13 f23 W15 T15

Segue a análise de cada equipamento através de problemas de dimensionamento e de simulação

EXTRATOR

DIMENSIONAMENTO DE UM EXTRATOR
Problema proposto: determinar o volume do decantador e a vazão de benzeno necessários para recuperar 60% do ácido benzóico presente a 0,2% nos kg/h de alimentação, a 25 oC, com um tempo de residência de 5 min (0,0833 h). Determinar as concentrações das correntes de extrato e de rafinado. A temperatura do benzeno é 25 oC. Fluxograma W3 x13 T3 f13 f23 W*1= kg/h x*11 = 0,002 T*1 = 25 oC f11 f31 1 15 Alimentação Extrato 3 W2 x12 T2 f12 f32 EXTRATOR Rafinado BOMBA 2 T*15 = 25 oC *= 0,0833 h r* = 0,60 Vd W15 Por enquanto, o extrator é apenas uma figura (ainda não existe)

MODELO 01. Balanço Material do Ácido Benzóico: f11 - f12 - f13 = 0
W1 x11 T1 f11 f31 1 15 Alimentação Extrato 3 W2 x12 T2 f12 f32 EXTRATOR Rafinado BOMBA 2 Vd W3 x13 T3 f13 f23 W15 T15 01. Balanço Material do Ácido Benzóico: f f12 - f13 = 0 02. Balanço Material do Benzeno: W15 - f23 = 0 03. Balanço Material da Água: f31 - f32 = 0 04. Relação de Equilíbrio Líquido-Líquido: x13 - k x12 = 0 05. Relação de Equilíbrio Líquido-Líquido: k – (3 + 0,04 Td) = Balanço de Energia: (f11 Cp1 + f31 Cp3) (T1 - Td) + W15 Cp2l (T15 - Td) = Equação de Dimensionamento: Vd -  (f11 / 1 + W15 / 2 + f31 / 3) = 0 08. Fração Recuperada de Ácido Benzóico: r - f13 / f11 = Fases em Equilíbrio T2 – Td = Fases em Equilíbrio T3 – Td = 0 34. Vazão Total na Corrente 1: f11 + f31 - W1 = 0 35. Fração Mássica na Corrente 1: x11 - f11 / W1 = 0 36. Vazão Total na Corrente 2: f12 + f32 – W2 = 0 37. Fração Mássica na Corrente 2: x12 - f12 / W2 = 0 38. Vazão Total na Corrente 3: f13 + f23 – W3 = 0 39. Fração Mássica na Corrente 3: x13 - f13 / W3 = 0

Metas de Projeto Máximo = 2
Balanço de Informação V = 22 N = 16 C = 4 G = 2 ! W3 x13 T3 f13 f23 W*1= kg/h x*11 = 0,002 T*1 = 25 oC f11 f31 1 15 Alimentação Extrato 3 W2 x12 T2 f12 f32 EXTRATOR Rafinado BOMBA 2 T*15 = 25 oC Vd W15 Metas de Projeto Máximo = 2 *= 0,0833 h r* = 0,60 V = 22 N = 16 C = 4 M = 2 G = 0

Ordenação das Equações pelo Algoritmo A.O.E.
Quando ocorre um ciclo, o programa busca uma equação final de cima para baixo e toma a primeira que encontra (no caso, a eq 02)

Montagem da rotina Dimensionar Extrator do programa BenzoDSO (ciclo eliminado)
f11 = x11 * W '35 f13 = r * f '08 f12 = f11 - f '01 f31 = W1 - f '34 f32 = f '03 W2 = f12 + f '36 x12 = f12 / W '37 W = Cp1 * f11 + f31 a = (25 / x12) * (W + f13 * Cp2l) b = W * (T ) - f13 * Cp2l * (T / x12) c = f13 * Cp2l * (T ) discr = Sqr(b ^ * a * c) x13 = (discr + b) / (2 * a) '06' (Variável de abertura) W3 = f13 / x ' (Início do Ciclo) k = x13 / x '04 f23 = W3 - f '38 Td = 25 * (k - 3) '05 W15 = f ' (Final do Ciclo) Vd = Tau * (f11 / Ro1 + W15 / Ro2 + f31 / Ro3) '07 T2 = Td '09 T3 = Td '10 Aqui aparece a sequência com a eq. 06 como final e x13 var. de abertura

Extrator dimensionado
Problema proposto: determinar o volume do decantador e a vazão de benzeno necessários para recuperar 60% do ácido benzóico presente a 0,2% nos kg/h de alimentação, a 25 oC, com um tempo de residência de 5 min (0,0833 h). Determinar as concentrações das correntes de extrato e de rafinado. A temperatura do benzeno é 25 oC. W*1= kg/h x*11 = 0,002 T*1 = 25 oC 1 15 Alimentação Extrato 3 W2 x12 T2 f12 f32 EXTRATOR Rafinado BOMBA 2 W3 x13 T3 f13 f23 T*15 = 25 oC *= 0,0833 h r* = 0,60 Vd W2 = kg/h x12 = 0,0008 T2 = 25 oC f12 = 80 kg/h f32 = kg/h W3 = kg/h x13 = 0,0032 T3 = 25 oC f13 = 120 kg/h f23 = kg/h f11 = 200 kg/h f31 = kg/h W15 = kg/h W15 Vd = l Extrator dimensionado Agora o extrator passa a existir, com um volume conhecido.

sobre as metas originais e as variáveis de saída
Uma vez existindo e dimensionado para certas metas, pode-se prever o efeito de alterações nas correntes de entrada sobre as metas originais e as variáveis de saída W*1= kg/h x*11 = 0,002 T*1 = 25 oC 1 15 Alimentação Extrato 3 EXTRATOR Rafinado BOMBA 2 T*15 = 25 oC *= 0,0833 h r* = 0,60 Vd W2 = kg/h x12 = 0,0008 T2 = 25 oC f12 = 80 kg/h f32 = kg/h W3 = kg/h x13 = 0,0032 T3 = 25 oC f13 = 120 kg/h f23 = kg/h f11 = 200 kg/h f31 = kg/h W15 = kg/h W15 Vd = l Extrator dimensionado SIMULAÇÃO ! EXEMPLO

SIMULAÇÃO DE UM EXTRATOR
Problema proposto: determinar as vazões e as concentrações das correntes de extrato e de rafinado, a fração recuperada de ácido benzóico e o tempo de residência, caso o extrator de Vd = L fosse alimentado com kg/h de benzeno, e não com os kg/h de projeto (as demais condições de entrada permanecendo as mesmas de projeto). W*1= kg/h x*11 = 0,002 T*1 = 25 oC f11 f31 1 15 Alimentação Extrato 3 W2 x12 T2 f12 f32 EXTRATOR Rafinado BOMBA 2 W3 x13 T3 f13 f23 T*15 = 25 oC *= 0,0833 h r* = 0,60 Vd W2 = kg/h x12 = 0,0008 T2 = 25 oC f12 = 80 kg/h f32 = kg/h W3 = kg/h x13 = 0,0032 T3 = 25 oC f13 = 120 kg/h f23 = kg/h f11 = 200 kg/h f31 = kg/h W15 = kg/h W15 Vd = l Extrator dimensionado W3 x13 T3 f13 f23 W*15 = kg/h W*1= kg/h x*11 = 0,002 T*1 = 25 oC 1 15 Alimentação Extrato 3 EXTRATOR Rafinado BOMBA 2 V*d = l T*15 =25 oC extrator para simulação  = r = W2 x12 T2 f12 f32

MODELO 01. Balanço Material do Ácido Benzóico: f11 - f12 - f13 = 0
W1 x11 T1 f11 f31 1 15 Alimentação Extrato 3 W2 x12 T2 f12 f32 EXTRATOR Rafinado BOMBA 2 Vd W3 x13 T3 f13 f23 W15 T15 01. Balanço Material do Ácido Benzóico: f f12 - f13 = 0 02. Balanço Material do Benzeno: W15 - f23 = 0 03. Balanço Material da Água: f31 - f32 = 0 04. Relação de Equilíbrio Líquido-Líquido: x13 - k x12 = 0 05. Relação de Equilíbrio Líquido-Líquido: k – (3 + 0,04 Td) = Balanço de Energia: (f11 Cp1 + f31 Cp3) (T1 - Td) + W15 Cp2l (T15 - Td) = Equação de Dimensionamento: Vd -  (f11 / 1 + W15 / 2 + f31 / 3) = 0 08. Fração Recuperada de Ácido Benzóico: r - f13 / f11 = Fases em Equilíbrio T2 – Td = Fases em Equilíbrio T3 – Td = 0 34. Vazão Total na Corrente 1: f11 + f31 - W1 = 0 35. Fração Mássica na Corrente 1: x11 - f11 / W1 = 0 36. Vazão Total na Corrente 2: f12 + f32 – W2 = 0 37. Fração Mássica na Corrente 2: x12 - f12 / W2 = 0 38. Vazão Total na Corrente 3: f13 + f23 – W3 = 0 39. Fração Mássica na Corrente 3: x13 - f13 / W3 = 0

Ordenação das Equações pelo Algoritmo AOE
Quando ocorre um ciclo, o programa examina as equações de cima para baixo e toma a primeira candidata como eq. Final (no caso, a eq 04)

Montagem da rotina Simular Extrator do programa BenzoDSO (ciclo eliminado)
f23 = W '02 f11 = W1 * x '35 f31 = W1 - f '34 f32 = f '03 a = f11 * Cp1 + f31 * Cp3 b = W15 * Cp2l Td = (a * T1 + b * T15) / (a + b) '06 Tau = Vd / (f11 / Ro1 + W15 / Ro2 + f31 / Ro3) '07 k = * Td '05 T2 = Td '09 T3 = Td '10 a = k - 1: 'Cells(24, 7) = a b = k * (f11 + f23) + f32 - f11: 'Cells(25, 7) = b c = f11 * f32: Cells(26, 7) = c discr = Sqr(b ^ * a * c): 'Cells(27, 7) = discr f12 = (b - discr) / (2 * a) '04' Variável de Abertura f13 = f11 - f '01 Início do Ciclo W2 = f12 + f '36 x12 = f12 / W '37 W3 = f13 + f '38 x13 = f13 / W '39 Final de Ciclo r = f13 / f '08 Aqui aparece a sequência com a eq. 04 como final e f12 var. de abertura

Extrator dimensionado
SIMULAÇÃO DO EXTRATOR Problema proposto: determinar as vazões e as concentrações das correntes de extrato e de rafinado, a fração recuperada de ácido benzóico e o tempo de residência, caso o extrator de Vd = L fosse alimentado com kg/h de benzeno, e não com os kg/h de projeto (as demais condições de entrada permanecendo as mesmas de projeto). W*1= kg/h x*11 = 0,002 T*1 = 25 oC f11 f31 1 15 Alimentação Extrato 3 W2 x12 T2 f12 f32 EXTRATOR Rafinado BOMBA 2 W3 x13 T3 f13 f23 T*15 = 25 oC *= 0,0833 h r* = 0,60 Vd W2 = kg/h x12 = 0,0008 T2 = 25 oC f12 = 80 kg/h f32 = kg/h W3 = kg/h x13 = 0,0032 T3 = 25 oC f13 = 120 kg/h f23 = kg/h f11 = 200 kg/h f31 = kg/h W15 = kg/h W15 Vd = l Extrator dimensionado Extrator após Simulação W*1= kg/h x*11 = 0,002 T*1 = 25 oC 1 15 Alimentação Extrato 3 EXTRATOR Rafinado BOMBA 2 V*d = l W*15 = kg/h T*15 =25 oC r = 0,67 W3 = kg/h x13 = 0,0026 T3 = 25 oC f13 = 133 kg/h f23 = kg/h W2 = kg/h x12 = 0,0007 T2 = 25 oC f12 = 67 kg/h f32 = kg/h  = 0,075 h

RESFRIADOR

DIMENSIONAMENTO DE UM RESFRIADOR
Problema proposto: determinar a vazão de água de resfriamento e a área de troca térmica do resfriador necessárias para resfriar kg/h de benzeno liquido saturado até 25 oC. A água se encontra a 15 oC e deve sair a 30 oC. Fluxograma W13 = T*13 = 25 oC W*10 = kg/h T*10 = 80 oC W12 = T*12 = 30 oC 10 11 12 13 Ar Água W11 = T*11 = 15 oC Por enquanto, o resfriador é apenas uma figura (ainda não existe)

MODELO 26. Balanço Material da Água: W11 - W12 = 0
27. Balanço Material do Benzeno: W10 - W13 = 0 28. Balanço de Energia na Corrente de Água: Qr - W11 Cp3 (T12 - T11) = 0 29. Balanço de Energia na Corrente de Benzeno: Qr - W10 Cp2l (T10 - T13) = 0 30. Equação de Dimensionamento: Qr - Ur Ar r = 0 31. Definição do T Médio Logarítmico (r ): r - [(T10 - T12) - (T13 - T11) ] / ln[(T10 - T12) / (T13 - T11)] = 0 MODELO W10 T10 W13 T13 W12 T12 10 11 12 13 Ar Água

Balanço de Informação V = 11 N = 6 C = 3 M = 2 G = 0 !
W13 = T*13 = 25 oC W*10 = kg/h T*10 = 80 oC W12 = T*12 = 30 oC 10 11 12 13 Ar Água W11 = T*11 = 15 oC Balanço de Informação V = 11 N = 6 C = 3 M = 2 G = 0 !

Montagem da rotina Dimensionar Resfriador do programa BenzoDSO
27. W13 = W Qr = W10 Cp2l (T10 - T13) 28. W11 = Qr / (Cp3 (T12 - T11)) 26. W12 = W d1 = T10 - T12: d2 = T13 - T dr = (d1 - d2) / ln (d1 / d2) 30. Ar = Qr / (Ur dr )

Resfriador dimensionado
Problema proposto: determinar a vazão de água de resfriamento e a área de troca térmica do resfriador necessárias para resfriar kg/h de benzeno liquido saturado até 25 oC. A água se encontra a 15 oC e deve sair a 30 oC. Resfriador dimensionado W*10 = kg/h T*10 = 80 oC W12 = kg/h T*12 = 30 oC 10 11 12 13 Ar = 362 m2 Água W11 = kg/h T*11 = 15 oC W13 = kg/h T*13 = 25 oC Agora o resfriador passa a existir, com uma área conhecida

sobre as metas originais e as variáveis de saída
Uma vez existindo e dimensionado para certas metas, pode-se prever o efeito de alterações nas correntes de entrada sobre as metas originais e as variáveis de saída W*10 = kg/h T*10 = 80 oC W12 = kg/h T*12 = 30 oC 10 11 12 13 Ar = 362 m2 Água W11 = kg/h T*11 = 15 oC W13 = kg/h T*13 = 25 oC SIMULAÇÃO ! EXEMPLO

SIMULAÇÃO DO RESFRIADOR
Problema proposto: pretende-se determinar as temperaturas de saída do benzeno e da água, caso o resfriador projetado para 362 m2 veha a ser alimentado com kg/h de benzeno ao invés de kg/h, mantidas a vazão e a temperatura da água de resfriamento. W*10 = kg/h T*10 = 80 oC W12 = kg/h T*12 = 30 oC 10 11 12 13 Ar = 362 m2 Água W11 = kg/h T*11 = 15 oC W13 = kg/h T*13 = 25 oC resfriador dimensionado T*10 = 80 oC W12 T12 10 11 12 13 A*r = 362 m2 Água W*11 = kg/h T*11 = 15 oC W13 T13 W*10 = kg/h resfriador para simulação

MODELO 26. Balanço Material da Água: W11 - W12 = 0
27. Balanço Material do Benzeno: W10 - W13 = 0 28. Balanço de Energia na Corrente de Água: Qr - W11 Cp3 (T12 - T11) = 0 29. Balanço de Energia na Corrente de Benzeno: Qr - W10 Cp2l (T10 - T13) = 0 30. Equação de Dimensionamento: Qr - Ur Ar r = 0 31. Definição do T Médio Logarítmico (r ): r - [(T10 - T12) - (T13 - T11) ] / ln[(T10 - T12) / (T13 - T11)] = 0 MODELO W10 T10 W13 T13 W12 T12 10 11 12 13 Ar Água

Logo de saída são ordenadas as duas EIU As 4 demais equações formam um ciclo. Qualquer uma pode ser escolhida como final. Por experiência, a única que permite e explicitação da variável de abertura é a 30.

Este é o resultado apresentado pelo AOE com a equação 28 como final e r como variável abertura.

Esta é a sequência com a equação 30 como final e Qr como variável de abertura.

Resultou a rotina SimularResfriador
W12 = W '26 W13 = W '27 a =T10 – T11: b = 1/(W11*cp3) : c = 1/(W10*cp2l) : d = 1/(Ur * Ar) : e = exp ((c-d)/b) Qr = a*(e-1)/(c*e-b) ‘(30’) Var. Abert. T12 = T11 + Qr * a '28 T13 = T10 - Qr * a ‘29 d1 = T10 - T12: d2 = T13 - T11 If Abs(d1 - d2) < Then dr = d1 Else dr = (d1 - d2) / Log(d1 / d2) '31

SIMULAÇÃO DO RESFRIADOR
Problema proposto: pretende-se determinar as temperaturas de saída do benzeno e da água, caso o resfriador projetado para 361 m2 fosse alimentado com kg/h de benzeno ao invés de kg/h, mantidas a vazão e a temperatura da água de resfriamento. W*10 = kg/h T*10 = 80 oC W12 = kg/h T*12 = 30 oC 10 11 12 13 Ar = 362 m2 Água W11 = kg/h T*11 = 15 oC W13 = kg/h T*13 = 25 oC W*10 = kg/h T*10 = 80 oC W12 = kg/h T12 = 24,5 oC 10 11 12 13 A*r = 362 m2 Água W*11 = kg/h T*11 = 15 oC W13 = kg/h T13 = 16,8 oC Resultado do dimensionamento Resultado da simulação

CONDENSADOR 20. Balanço Material da Água: W8 - W9 = 0
W5 T5 W10 T10 W9 T9 5 8 9 10 Ar Água W8 T8 CONDENSADOR 20. Balanço Material da Água: W8 - W9 = 0 21. Balanço Material do Benzeno: W5 - W10 = 0 22. Balanço de Energia na Corrente de Água: Qc - W8 Cp3 (T9 - T8) = 0 23. Balanço de Energia na Corrente de Benzeno: W5 [2 + Cp2g (T5 – T10)] - Qc = 0 24. Equação de Dimensionamento: Qc - Uc Ac c = 0 25. Definição do T Médio Logarítmico (c): c - [(T5 - T9) - (T10 - T8)]/ln[(T5 - T9)/(T10 - T8)] = 0

DIMENSIONAMENTO DO CONDENSADOR
Problema proposto: determinar a vazão de água de resfriamento e a área de troca térmica necessárias para condensar kg/h de benzeno de vapor saturado a líquido saturado. A água se encontra a 15 oC e deve sair a 30 oC . W10 = kg/h T*10 = 80 oC W9 = kg/h T*9 = 30 oC 5 8 9 10 Água W8 = kg/h T*8 = 15 oC Ac = 120 m2 W*5 = kg/h T*5 = 80 oC W*5 = kg/h T*5 = 80 oC W10 T*10 = 80 oC W9 T*9 = 30 oC 5 8 9 10 Água W8 T*8 = 15 oC Ac V = 11 N = 6 C = 3 M = 2 G = 0 !

CONDENSADOR 20. Balanço Material da Água: W8 - W9 = 0
W5 T5 W10 T10 W9 T9 5 8 9 10 Ar Água W8 T8 CONDENSADOR 20. Balanço Material da Água: W8 - W9 = 0 21. Balanço Material do Benzeno: W5 - W10 = 0 22. Balanço de Energia na Corrente de Água: Qc - W8 Cp3 (T9 - T8) = 0 23. Balanço de Energia na Corrente de Benzeno: W5 [2 + Cp2g (T5 – T10)] - Qc = 0 24. Equação de Dimensionamento: Qc - Uc Ac c = 0 25. Definição do T Médio Logarítmico (c): c - [(T5 - T9) - (T10 - T8)]/ln[(T5 - T9)/(T10 - T8)] = 0

Resultando a rotina DimensionarCondensador
21. W10 = W5 23. Qc = W5 2 d1 = T5 - T9: d2 = T10 - T8 22. W8 = Qc / (Cp3 * (T9 - T8)) 20. W9 = W8 25. dc = (d1 - d2) / ln (d1 / d2) 24. Ac = Qc / (Uc * dc)

SIMULAÇÃO DO CONDENSADOR
Problema proposto: determinar a vazão de água necessária para condensar kg/h de benzeno, ao invés dos kg/h para os quais foi calculada a área de 119 m2. Pretende-se que o benzeno deixe o condensador como líquido saturado. A água se encontra a 15 oC. W10 = kg/h T*10 = 80 oC W9 = kg/h T*9 = 30 oC 5 8 9 10 Água W8 = kg/h T*8 = 15 oC Ac = 120 m2 W*5 = kg/h T*5 = 80 oC W*5 = kg/h T*5 = 80 oC W10 = T*10 = 80 oC W9 = T9 = 5 8 9 10 Água W8 = kg/h T*8 = 15 oC A*c = 120 m2 V = 11 N = 6 C = 5 M = 1 G = - 1 !!! resultado do dimensionamento Pretendido na simulação

Este problema difere da simulação do extrator e do resfriador porque contem uma meta: o benzeno deve sair como líquido saturado, logo a 80 oC. Daí: G = -1. W*5 = kg/h T*5 = 80 oC W10 = T*10 = 80 oC W9 = T9 = 5 8 9 10 Água W8 = kg/h T*8 = 15 oC A*c = 120 m2 V = 11 N = 6 C = 5 M = 1 G = -1 !!!

V = 11 N = 6 C = 5 M = 1 G = -1 !!! V = 11 N = 5 C = 5 M = 1 G = 0
W*5 = kg/h T*5 = 80 oC W10 = T*10 = 80 oC W9 = T9 = 5 8 9 10 Água W8 = kg/h T*8 = 15 oC A*c = 120 m2 V = 11 N = 6 C = 5 M = 1 G = -1 !!! V = 11 N = 5 C = 5 M = 1 G = 0 O problema só pode ser resolvido se alguma condição conhecida deixar de sê-lo. W*5 = kg/h T*5 = 80 oC W10 = kg/h T*10 = 80 oC W9 = kg/h T9 = 67,7 oC 5 8 9 10 Água W8 = kg/h T*8 = 15 oC A*c = 120 m2 Uma solução consiste em transformar W8 em incógnita. O seu valor calculado pode ser tomado como set-point de um sistema de controle que a utilize como variável de controle.

resultado do dimensionamento resultado da simulação
W10 = kg/h T*10 = 80 oC W9 = kg/h T*9 = 30 oC 5 8 9 10 Água W8 = kg/h T*8 = 15 oC Ac = 120 m2 W*5 = kg/h T*5 = 80 oC resultado do dimensionamento W*5 = kg/h T*5 = 80 oC W10 = kg/h T*10 = 80 oC W9 = kg/h T9 = 67,7 oC 5 8 9 10 Água W8 = kg/h T*8 = 15 oC A*c = 120 m2 resultado da simulação

Resulta a rotina SimularCondensador
21. W10 = W5 23. Qc = W5 2 24. dc = Qc / (Uc Ac) 25. c - [(T5 - T9) - (T10 - T8)]/ln[(T5 - T9)/(T10 - T8)] = 0 (Resolução por Bisseção) 22. W8 = Qc / (Cp3 (T9 - T8)) 20. W9 = W8

EVAPORADOR 11. Balanço Material do Ácido Benzóico: f13 - f14 = 0
W6 T6 W7 T7 W3 x13 T3 f13 f23 W4 x14 T4 f14 f24 4 6 7 Ae Vapor W5 T5 5 Benzeno Produto Condensado 3 Extrato 11. Balanço Material do Ácido Benzóico: f13 - f14 = 0 12. Balanço Material do Benzeno: f23 - f24 - W5 = 0 13. Balanço Material do Vapor: W6 - W7 = 0 14. Balanço de Energia na Corrente de Vapor: W6 [3 + Cpv (T6 – T7)] - Qe = 0 15. Balanço de Energia na Corrente de Processo: Qe – [(f13Cp1 + f23Cp2l)(Te - T3) + W5 2] = 0 16. Equação de Dimensionamento: Qe - Ue Ae e = 0 17. Definição da Diferença de Temperatura (e): e - (T6 - Te) = Fases em Equilíbrio T4 – Te = Fases em Equilíbrio T5 – Te = 0 38. Vazão Total na Corrente 3: f13 + f23 – W3 = 0 39. Fração Mássica na Corrente 3: x13 - f13 /W3 = 0 40. Vazão Total na Corrente 4: f14 + f24 - W4 = 0 41. Fração Mássica na Corrente 4: x14 - f14/W4 = 0

DIMENSIONAMENTO DO EVAPORADOR
Problema proposto: determinar a vazão de um vapor a 150 oC e a área de troca térmica necessárias para obter um concentrado com 10% de ácido benzóico, a partir de uma corrente com kg/h de uma solução de 0,32% de ácido benzóico em benzeno, a 25 oC. O condensado deve sair como líquido saturado a 150 oC . O evaporador opera a 1 atm. W6 T*6 = 150 oC W7 T*7 = 150 oC W*3 = kg/h x*13 = 0,0032 T*3 = 25 oC f13 f23 W4 x*14 = 0,10 T4 f14 f24 4 6 7 Ae Vapor W5 T5 5 Benzeno Produto Condensado 3 Te* = 80 oC W6 = kg/h T*6 = 150 oC W7 = kg/h T*7 = 150 oC W*3 = kg/h x*13 = 0,0032 T*3 = 25 oC f13 = 120 kg/h f23 = kg/h W4 = kg/h x*14 = 0,10 T4 = 80 oC f14 = 120 kg/h f24 = 1.076kg/h 4 6 7 Ae= 124 m2 Vapor W5 = kg/h T5 = 80 oC 5 Benzeno Produto Condensado 3 Te* = 80 oC V = 20 N = 13 C = 4 M = 3 G = 0 !

Resulta a rotina DimensionarEvaporador
15. De = T6 - T 35. f13 = W3 x13 09. f14 = f13 34. f23 = W3 - f13 37. W4 = f14 / x14 36. f24 = W4 - f14 10. W5 = f23 - f24 13. Qe = (f13 Cp1 + f23 Cp2l) (T - T3) + W5 L2 12. W6 = Qe / (L 3 + Cp3 (T6 - T7)) 11. W7 = W6 14. Ae = Qe / (Ue De)

SIMULAÇÃO DO EVAPORADOR
Problema proposto: determinar as vazões de vapor e de evaporado, a vazão e a concentração do concentrado, caso o evaporador, com os mesmos 124 m2 de área de projeto, fosse alimentado com kg/h de solução e não mais com kg/h. Pretende-se que o condensado saia como líquido saturado (150 oC). resultado do dimensionamento pretendido na simulação W6 = kg/h T*6 = 150 oC W7 = kg/h T*7 = 150 oC W*3 = kg/h x*13 = 0,0032 T*3 = 25 oC f13 = 120 kg/h f23 = kg/h W4 = kg/h x*14 = 0,10 T4 = 80 oC f14 = 120 kg/h f24 = 1.081kg/h 4 6 7 Ae= 124 m2 Vapor W5 = kg/h T5 = 80 oC 5 Benzeno Produto Condensado 3 Te* = 80 oC W6 = kg/h T*6 = 150 oC W7 = T*7 = 150 oC W*3 = kg/h x*13 = 0,0032 T*3 = 25 oC f13 = 120 kg/h f23 = kg/h W4 = x14 = T4 = f14 = f24 = 4 6 7 Ae= 124 m2 Vapor W5 = T5 = 5 Benzeno Produto Condensado 3 Te* = 80 oC V = 20 N = 13 C = 7 M = 1 G = -1 !!!

Situação semelhante à da simulação do condensador
W5 = T5 = W6 = kg/h T*6 = 150 oC W7 = T*7 = 150 oC W*3 = kg/h x*13 = 0,0032 T*3 = 25 oC f13 = 120 kg/h f23 = kg/h W4 = x14 = T4 = f14 = f24 = 4 6 7 Ae= 124 m2 Vapor 5 Benzeno Produto Condensado 3 Te* = 80 oC V = 20 N = 13 C = 7 M = 1 G = -1 !!! Situação semelhante à da simulação do condensador W6 = kg/h T*6 = 150 oC W7 = kg/h T*7 = 150 oC W*3 = kg/h x*13 = 0,0032 T*3 = 25 oC f13 = 160 kg/h f23 = kg/h W4 = kg/h x14 = 0,0093 T4 = 80 oC f14 = 160 kg/h f24 = kg/h 4 6 7 Vapor W5 = kg/h T5 = 80 oC 5 Benzeno Produto Condensado 3 Te* = 80 oC Ae= 124 m2 Uma solução consiste em transformar W6 em incógnita. O seu valor calculado pode ser tomado como set-point de um sistema de controle que a utilize como variável de controle. V = 20 N = 13 C = 6 M = 1 G = 0

resultado do dimensionamento resultado da simulação
W6 = kg/h T*6 = 150 oC W7 = kg/h T*7 = 150 oC W*3 = kg/h x*13 = 0,0032 T*3 = 25 oC f13 = 120 kg/h f23 = kg/h W4 = kg/h x*14 = 0,10 T4 = 80 oC f14 = 120 kg/h f24 = 1.081kg/h 4 6 7 Ae= 124 m2 Vapor W5 = kg/h T5 = 80 oC 5 Benzeno Produto Condensado 3 Te* = 80 oC W6 = kg/h T*6 = 150 oC W7 = kg/h T*7 = 150 oC W*3 = kg/h x*13 = 0,0032 T*3 = 25 oC f13 = 160 kg/h f23 = kg/h W4 = kg/h x14 = 0,0093 T4 = 80 oC f14 = 160 kg/h f24 = kg/h 4 6 7 Vapor W5 = kg/h T5 = 80 oC 5 Benzeno Produto Condensado 3 Te* = 80 oC Ae= 124 m2 resultado da simulação

Resulta a rotina SimularEvaporador
15. De = T6 - T 14. Qe = Ue Ae De 12. W6 = Qe / (l3 + Cpv * (T6 - T7)) 11.W7 = W6 35. f13 = W3 * x13 09. f14 = f13 34. f23 = W3 - f13 13. W5 = (Qe - (f13 * Cp1 + f23 * Cp2l) * (T - T3)) / l2 10. f24 = f23 - W5 36. W4 = f14 + f24 37. x14 = f14 / W4

3.1 Equações Não-Lineares 3.1.1 Representação 3.1.2 Métodos Numéricos 3.2 Sistemas de Equações Não-Lineares 3.2.1 Estrutura e representação 3.2.2 Resolução: partição, abertura, ordenação de equações 3.3 Dimensionamento e Simulação de Equipamentos 3.4.2 Estratégia Modular 3.5 Incerteza e Análise de Sensibilidade 3.5.1 Questionamento do Dimensionamento 3.5.2 Questionamento do Desempenho Futuro 3.4 Dimensionamento e Simulação de Processos 3.4.1 Estratégia Global

É a estratégia mais indicada para dimensionamento.
3.4 DIMENSIONAMENTO E SIMULAÇÃO DE PROCESSOS Existem duas estratégias básicas: - Estratégia Global - Estratégia Modular 3.4.1 ESTRATÉGIA GLOBAL Todas as equações são consideradas simultaneamente, independentemente dos equipamentos a que pertencem. O Algoritmo de Ordenação de Equações é executado como se fosse para um equipamento isolado. É a estratégia mais indicada para dimensionamento.

Dimensionamento do Processo – Estratégia Global
01. f11 - f12 - f13 = W15 - f23 = f31 - f32 = k – (3 + 0,04 Td) = k - x13 / x12= (f11 Cp1 + f31 Cp3) (T1 - Td) + W15 Cp2l (T15 - Td) = Vd -  (f11 /1 + W15/2 + f31/3) = r - f13/f11 = T2 – Td = T3 – Td = 0 20. W8 - W9 = 0 21. W5 - W10 = 0 22. Qc - W8 Cp3 (T9 - T8) = 0 23. W5 [2 + Cp2g (T5 – T10)] - Qc = 0 24. Qc - Uc Ac c = 0 25. c - [(T5 - T9) - (T10 - T8)]/ln[(T5 - T9)/(T10 - T8)] = 0 26. W11 - W12 = 0 27. W10 - W13 = 0 28. Qr - W11 Cp3 (T12 - T11) = 0 29. Qr - W10 Cp2l (T10 - T13) = 0 30. Qr - Ur Ar r = 0 31. r - [(T10 - T12) - (T13 - T11)]/ln[(T10 - T12)/(T13 - T11)] = 0 11. f13 - f14 = 0 12. f23 - f24 - W5 = 0 13. W6 - W7 = 0 14. W6 [3 + Cpv (T6 – T7)] - Qe = 0 15. Qe – [(f13Cp1 + f23Cp2l)(Te - T3) + W5 2] = 0 16. Qe - Ue Ae e = 0 17. e - (T6- Te) = T4 – Te = T5 – Te = 0 32. W13 + W14 - W15 = 0 33. W13 (T15 - T13) + W14 (T15 - T14) = 0 34. f11 + f31 - W1 = 0 35. x11 - f11 /W1 = 0 36. f12 + f22 – W2 = 0 37. x12 - f12/W2 = 0 38. f13 + f23 – W3 = 0 39. x13 - f13 /W3 = 0 40. f14 + f24 - W4 = 0 41. x14 - f14/W4 = 0

Dimensionar Processo (03) T3 = T2 (13) T4 = T5 (16) e = T6 - T5
(22) D1 = T5 - T9: D2 = T10 - T8 : c = (D1 - D2) / ln (D1 / D2) (32) f11 = W1 x11 (08) f13 = f11 r (31) f31 = W1 - f11 (01) f12 = f11 - f13 (09) f14 = f13 (03) f32 = f31 (04) f23 = f13 f32 / (k f12) (34) W4 = f14 / x14 (02) W15 = f23 (33) f24 = W4 - f14 (05) T15 = T2 - (f11 Cp1 + f31 Cp3) (T1 - T2) / (W15 Cp2l) (07) Vd =  (f11 / 1 + W15 /  2 + f31 /  3) (10) W5 = f23 - f24 (14) Qe = (f13 Cp1 + f23 Cp2l) (T5 - T3) + W52

(18) W10 = W5 (20) Qc = W5 (2 + Cp2l (T5 - T10))
(12) W6 = Qe / ( 3 + Cp3 (T6 - T7)) (15) Ae = Qe / (Ue  e) (24) W13 = W10 (19) W8 = Qc / (Cp3 (T9 - T8)) (21) Ac = Qc / (Uc  c) (11) W7 = W6 (29) W14 = W15 - W13 (17) W9 = W8 (30) T13 = T15 + W14 (T15 - T14) / W13 (26) Qr = W10 Cp2l (T10 - T13) (28) D1 = T10 - T12: D2 = T13 - T11:  r = (D1 - D2) / ln (D1 / D2) (25) W11 = Qr / (Cp3 (T12 - T11)) (27) Ar = Qr / (Ur  r) (23) W12 = W11

3.1 Equações Não-Lineares 3.1.1 Representação 3.1.2 Métodos Numéricos 3.2 Sistemas de Equações Não-Lineares 3.2.1 Estrutura e representação 3.2.2 Resolução: partição, abertura, ordenação de equações 3.3 Dimensionamento e Simulação de Equipamentos 3.4 Dimensionamento e Simulação de Processos 3.4.1 Estratégia Global 3.5 Incerteza e Análise de Sensibilidade 3.5.1 Questionamento do Dimensionamento 3.5.2 Questionamento do Desempenho Futuro 3.4.2 Estratégia Modular

Utiliza módulos criados previamente para cada equipamento.
3.4.2 Estratégia Modular Utiliza módulos criados previamente para cada equipamento. Cada módulo contem as equações já ordenadas para dimensionamento ou simulação (Seção 3.3). Para cada problema, os módulos são seqüenciados convenientemente segundo o fluxograma material do processo. Havendo a presença de reciclos no fluxograma, torna-se necessária a abertura de um certo número de correntes e a inserção de um módulo promotor de convergência para cada uma. É a estratégia mais indicada para simulação.

Simulação do Processo Ilustrativo Estratégia Modular

O fluxograma exibe um reciclo.
MISTURADOR RESFRIADOR CONDENSADOR W*14 = kg/h T*14 = 25 oC 14 W12 = kg/h T12 = 29 oC W12 = kg/h T12 = 29 oC 12 O fluxograma exibe um reciclo. 9 13 10 Seleciona-se uma corrente de abertura com o menor número possível de variáveis (simplificar o gerenciamento da convergência): no caso, foi selecionada a corrente 5 (é preciso gerenciar apenas W5). W13 = kg/h T13 = 25 oC W10 = kg/h T*10 = 80 oC A*r = 361 m2 A*c = 119 m2 11 8 W11 = kg/h T*11 = 15 oC W8 = kg/h T*8 = 15 oC W5 = kg/h T*5 = 80 oC 15 W15 = kg/h T13 = 25 oC Implementa-se um módulo promotor de convergência: no caso, o de Substituição Direta. W3 = kg/h x13 = 0,004 T3 = 25 oC f13 = 149 kg/h f23 = kg/h 5 EXTRATOR BOMBA EVAPORADOR O valor inicial arbitrado para W5 pode ser aquele obtido no Dimensionamento. 3 A*e = 124 m2 1 V*d = l W6 =8.594 kg/h T*6 = 150 oC  = 0,0617 h Extrato W*1 = kg/h x*11 = 0,002 T*1 = 25 oC f11 = 300 kg/h f31 = kg/h r = 0,50 7 6 W2 = kg/h x12 = 0,001 T2 = 25 oC f12 = 150 kg/h f32 = kg/h A cada iteração o módulo confere a convergência e atualiza o valor de W5 W7 = kg/h T*7 = 150 oC W4 = kg/h x14 = 0,12 T4 = 80 oC f14 = 150 kg/h f24 = kg/h 2 4 Rafinado

Simulação do Processo Ilustrativo - Estratégia Modular
W45 T14 RESFRIADOR CONDENSADOR 24. W W12 25'. Qr 28. T T r W10 T10 18. W Qc 19. c 22'. T9 21. W8 17. W9 W13 T13 MISTURADOR 29. W T15 Repetição até convergir |W5c – W5a| / W5a   erro relativo W15 T15 W5a T5 SS W5c W1 T1 x11 f11 f31 EXTRATOR EVAPORADOR 02. f f f f T2 07.  06. T3 01' f f r 09. f T4 16. e 15. Qe 12. W6 14. W5 10. f W7 33. W4 34. x14 f13 f23 T3 T2 f12 f32 W4 T4 x14 f14 f24

SUB SimularOProcesso ' INPUT "W5= "; W5c W5$ = "W5 = " + STR$(INT(W5c)) NoDeIteracoes = 0 DO W5a = W5c SimularOCondensador SimularOResfriador SimularOMisturador SimularOExtrator SimularOEvaporador MostrarOResultado NoDeIteracoes = NoDeIteracoes + 1 ErroRelativo = ABS(W5a - W5c) / W5a PausaSeQuizer LOOP UNTIL Convergir END SUB

Simulação de Processos com Estrutura Complexa
1 2 3 4 5 6 7 8 1* 9 10 11 12 13 14 Problema: Estabelecer uma estratégia de cálculo e implementá-la sob a forma de um algoritmo executável em computador. Cada equipamento é representado por um módulo computacional em que as equações se encontram ordenadas para simulação. A estratégia de cálculo é a ordem em que os equipamentos devem ser simulados.

Simulação de Processos com Estrutura Complexa
1 2 3 4 5 6 7 8 1* 9 10 11 12 13 14 Dificuldade: os diversos reciclos Procedimento: (a) identificação dos ciclos. (b) seleção das correntes de abertura (c ) construção do algoritmo de simulação

Um ciclo é identificado ao se chegar a um equipamento já visitado.
(a) Identificação dos Ciclos 1 2 3 4 5 6 7 8 1* 9 10 11 12 13 14 Pode-se utilizar o Método do Traçado de Percursos (labirinto) Percorre-se o fluxograma anotando, numa lista dupla, as correntes (LC) e os equipamentos visitados (LE). Um ciclo é identificado ao se chegar a um equipamento já visitado. Corrente: Destino : Equipamento 1 já visitado : ciclo 2 3 4

ALGORITMO RESUMIDO (a) Identificação dos Ciclos
1 2 3 4 5 6 7 8 1* 9 10 11 12 13 14 ALGORITMO RESUMIDO Colocar uma corrente conhecida na LC (toda corrente colocada fica “aberta”) Colocar o seu destino na LE REPETIR O destino já está na LE: registrar o ciclo formado por todas as correntes abertas após o primeiro registro do destino) e fechar as correntes até à última aberta; tomar a última corrente aberta e colocar seu destino na LE O destino não está na LE: colocar as suas correntes de saída na LC; colocar o destino da primeira delas na LE. ATÉ NÃO MAIS HAVER CORRENTES ABERTAS

Os Ciclos encontrados são registrados na
MATRIZ CICLO - CORRENTE 1 2 3 4 5 6 7 8 1* 9 10 11 12 13 14

APLICAÇÃO AO PROBLEMA ILUSTRATIVO

3 4 5 6 7 1 1* 2 8 9 10 11 12 13 14 7 C: D: 13 2 7 C: D: 13 2 C: D: 7 6 5 8 6 7 6 5 8 6 1 1 2 2 2 2 3 3 5 4 1 3 3 5 4 1 C: D: C: D: 13 2 13 2 C: D: 12 9 5 8 6 12 9 5 8 6 12 C: D: 13 2 12 C: D: C: D: C: D: 13 2 Colocar uma corrente conhecida na LC (toda corrente colocada fica “aberta”) Colocar o seu destino na LE REPETIR O destino já está na LE: registrar o ciclo formado por todas as correntes abertas após o primeiro registro do destino) e fechar as correntes até à última aberta; tomar a última corrente aberta e colocar seu destino na LE O destino não está na LE: colocar as suas correntes de saída na LC; colocar o destino da primeira delas na LE. ATÉ NÃO MAIS HAVER CORRENTES ABERTAS

(b) Seleção das Correntes de Abertura
Matriz Ciclo - Corrente A C ALGORITMO Calcular os elementos de C Repetir Identificar a corrente com o maior valor em C (pode ser a primeira encontrada) Inscrever a corrente em A Remover os ciclos abertos pela corrente (anular os elementos na linhas correspondentes) Atualizar C Até C = 0

C A C 3 A

C 3 A C 3 8 A

(c) Construção do Algoritmo de Simulação
Corrente 1: única conhecida 1 2 3 4 5 6 7 8 1* 9 10 11 12 13 14 Abrir C3 REPETIR Simular E3 (C4,C5) Simular E1 (C2) Abrir C8 REPETIR Simular E6 (C10,C11) Simular E4 (C6,C7 ) Simular E7 (C9, C12) Simular E5 (C8) ATÉ Convergir C8 Simular E8 (C13, C14) Simular E2 (C3) ATÉ Convergir C3

3.1 Equações Não-Lineares 3.1.1 Representação 3.1.2 Métodos Numéricos . 3.2 Sistemas de Equações Não-Lineares 3.2.1 Estrutura e representação 3.2.2 Resolução: partição, abertura, ordenação de equações 3.3 Dimensionamento e Simulação de Equipamentos 3.4 Dimensionamento e Simulação de Processos 3.4.1 Estratégia Global 3.4.2 Estratégia Modular 3.5.1 Questionamento do Dimensionamento 3.5.2 Questionamento do Desempenho Futuro 3.5 Incerteza e Análise de Sensibilidade

ASSUNTO TRANSFERIDO PARA DEPOIS DO CAPÍTULO 4

Análise de Sensibilidade
3.5 INCERTEZA E ANÁLISE DE SENSIBILIDADE A Análise de Processos é executada em ambiente de muita incerteza. Fontes de incerteza: modelos matemáticos: aproximações lineares, coeficientes constantes... (b) parâmetros físicos e econômicos: valores incertos (aproximados e variáveis). A avaliação dos efeitos da incerteza é efetuada através da Análise de Sensibilidade

A Análise de Sensibilidade avalia os efeitos da incerteza através de dois questionamentos ao final do dimensionamento, (a) questionamento do próprio dimensionamento: Em que grau a incerteza nos parâmetros compromete o resultado do dimensionamento ? (b) questionamento do desempenho futuro: Em que grau a incerteza nos parâmetros comprometerá as metas de projeto que serviram de base para o dimensionamento?

Fazem parte da Análise:
- as variáveis características do dimensionamento: dimensões. - as variáveis características do desempenho do processo: variáveis de saída (metas de projeto). - os parâmetros cujos valores são considerados incertos (variáveis conhecidas são aqui incorporadas ao conjunto dos parâmetros).

Fundamento da Análise de Sensibilidade Exemplo: Trocador de Calor
T1* = 80 oC W1* = kg/h A = 265,6 m2 T 2* = 25 oC W3 = kg/h T3* = 15 oC T4* = 30 oC : vetor dos parâmetros (físicos e econômicos) e das variáveis especificadas cujos valores são incertos. Exemplo: Cp1, Cp3, U, W1, T1, T3. F: variável do processo cujo valor é incerto devido à incerteza nos parâmetros . Exemplo: W3, A.

Fundamento da Análise de Sensibilidade
: vetor dos parâmetros (físicos e econômicos) e das variáveis especificadas cujos valores são incertos. Exemplo: Cp1, Cp3, U, W1, T1, T3. F: variável do processo cujo valor é incerto devido à incerteza nos parâmetros . Exemplo: W3, A. S (F; i): Sensibilidade de F à incerteza no parâmetro i. Exemplo: i * F i A Sensibilidade é função do parâmetro 

Análise de Sensibilidade com Variáveis Adimensionais
Conveniência: usar variáveis adimensionais F/F* e i / i* Vantagens: (a) os valores independem das dimensões das variáveis e dos parâmetros. (b) as Sensibilidades podem ser comparadas, permitindo verificar a qual parâmetro a variável de interesse é mais sensível, e em que grau. Nova definição de Sensibilidade: Exemplo

Sensibilidade de F/F* à incerteza em i / i*
1 F/F* i / i * 

Utilizando um incremento de 1% para melhor aproximar a derivada
Em processos complexos é impossível obter a derivada  aproximação linear Utilizando um incremento de 1% para melhor aproximar a derivada

|S| > 1 : incerteza ampliada |S| < 1 : incerteza amortecida
S(F/F*;i/ i*) estima a incerteza % em F diante de uma incerteza de 1% em i |S| > 1 : incerteza ampliada |S| < 1 : incerteza amortecida

DIMENSIONAMENTO ORIGINAL
[U = 101] A = 262,93 m2 T1* = 80 oC W1* = kg/h T3* = 15 oC W3 = kg/h T4* = 30 oC T 2* = 25 oC QUESTIONAMENTO DO PROJETO Re-dimensionamento com U = 101 DIMENSIONAMENTO ORIGINAL (BASE) T1* = 80 oC W1* = kg/h A = 265,6 m2 [U = 100] T 2* = 25 oC W3 = kg/h T3* = 15 oC T4* = 30 oC S(W3;U) = 0 S(A;U) = 100 (262,93-265,6)/265,6 = - 0,99 S (T4;U) = 100(30,047-30)/30 = 0,156 S (T2;U) = 100 (24,828-25)/25 = - 0,686 [U = 101] T2 = 24,828 oC T1* = 80 oC W1* = kg/h T3* = 15 oC W3* = kg/h T4 = 30,047 oC A* = 265,6 m2 QUESTIONAMENTO DO DESEMPENHO Simulação com U = 101

A Sensibilidade de F à incerteza em todos os parâmetros, considerados simultaneamente, pode ser estimada: Para um incremento de 1% em todos os parâmetros (aproximação da derivada): Ou seja, a Sensibilidade de F à incerteza em todos os parâmetros é a soma das Sensibilidades a cada parâmetro:

Questionamento do Projeto
Sensibilidades de W3, A e CT à incerteza em cada parâmetro e variável especificada e ao conjunto: i S(W3; i) S(A; i) S(CT; i) W1 1 0,93 T1 1,45 0,45 1,21 T3 1,01 0,56 0,88 Cp1 Cp3 - 1 - 0,78 U - 0,13 S(F; ) 3,46 2,01 3,04 Por serem adimensionais, as Sensibilidades podem ser comparadas.

Questionamento do Projeto
Sensibilidades de W3, A e CT à incerteza em cada parâmetro e ao conjunto de parâmetros: i S(W3; i) S(A; i) S(CT; i) S(F; ) 3,46 2,01 3,04 Caso os valores reais de todos os parâmetros estivessem positivamente afastados em 1% dos seus valores-base (usados no dimensionamento), os valores de corretos de W3, A e CT estariam afastados de seus valores-base (calculados no dimensionamento) nos percentuais acima.

Questionamento do Desempenho
Sensibilidades de T2 e T4 à incerteza em cada parâmetro e variável especificada, e ao conjunto: i S(T2; i) S(T4; i) W1 0,80 0,32 T1 0,48 0,63 T3 0,37 W3 - 0,12 - 0,47 A - 0,68 0,17 Cp1 Cp3 U S(F; ) 0,96 1,04 Por serem adimensionais, as Sensibilidades podem ser comparadas.

Questionamento do Desempenho
Sensibilidades de T2 e T4 à incerteza em cada parâmetro e variável especificada, e ao conjunto: i S(T2; i) S(T4; i) S(F; ) 0,96 1,04 Caso os valores reais de todos os parâmetros estivessem positivamente afastados em 1% dos seus valores-base (usados no dimensionamento), os valores reais esperados para T2 e T4 , durante a operação do trocador, estariam afastados de seus valores-base nos percentuais acima.

EXTRATOR: DIMENSIONAMENTO

EXTRATOR: SIMULAÇÃO

EVAPORADOR: DIMENSIONAMENTO

EVAPORADOR: SIMULAÇÃO

EXEMPLO: convergência pela Bisseção
31. x31 = 1 – x x32 = 1 – x12a 04. x13 = k x12a 07. W3 = W11 x11 r / x W2 = W1 x31 / x W1 x11 – W2 x12a – W3 x13 = 0 Na ordenação das equações surgiu um ciclo. A eq. 02 foi escolhida como Final. Resultou x12 como variável de abertura x12a 32 04 07 02 01 x31 x32 x13 W3 W2 BISS x12a f (x12) f (x12) = W1 x11 – W2 x12a – W3 x13 = 0

32 04 07 02 01 x31 x32 x13 W3 W2 BISS x12a f (x12) Esquema de convergência pela Bisseção f (x) fs Até convergir f2 xi x1 fi f1 x2 xs x f (x12) = W1 x11 – W2 x12a – W3 x13 = 0

EXEMPLO: convergência pela Substituição Direta
31. x31 = 1 – x x32 = 1 – x12a 04. x13 = k x12a 07. W3 = W11 x11 r / x W2 = W1 x31 / x W1 x11 – W2 x12a – W3 x13 = 0 Na ordenação das equações surgiu um ciclo. A eq. 02 foi escolhida como Final. Resultou x12 como variável de abertura x12a 32 04 07 02 01 x31 x32 x13 W3 W2 SD x12a = x12c x12c x12c = (W1 x11– W3 x13) / W2

Um instrumento fundamental para a resolução de problemas
ALGORITMO

Algoritmos podem ser programas em computadores
ALGORITMO é uma seqüência inequívoca de ações bem definidas que conduzem sempre à solução de um problema O exemplo mais trivial e prosaico de algoritmo é uma receita culinária. Um outro no campo da matemática é o da extração da raiz quadrada de um número. Algoritmos podem incluir etapas repetitivas (iterações) ou exigir decisões (lógica e comparações). Algoritmos podem ser programas em computadores Assim, qualquer pessoa, ou mesmo um computador por ela programado, chegará sempre à solução do problema. Existem algoritmos complexos e poderosos capazes de gerar outros algoritmos (Inteligência Artificial)

Origem dos Algoritmos An algorithm is a procedure or formula for solving a problem. The word derives from the name of the mathematician, Mohammed ibn-Musa al-Khwarizmi, who was part of the royal court in Baghdad and who lived from about 780 to 850. Al-Khwarizmi's work is the likely source for the word algebra as well.

CAPÍTULO 3 ESTRATÉGIAS DE CÁLCULO

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