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ESTRATÉGIAS DE CÁLCULO
CAPÍTULO 3 ESTRATÉGIAS DE CÁLCULO 08 de julho de 2013
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REVISÃO
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1. INTRODUÇÃO GERAL 1.1 Engenharia 1.2 Engenharia Química 1.3 Sistema
1.4 Engenharia de Sistemas 1.5 Inteligência Artificial 1.6 Engenharia de Processos 1.6.1 Estrutura dos Processos 1.6.2 Projeto de Processos 1.6.3 Síntese 1.6.4 Análise 1.6.5 Otimização 1.6.6 Métodos de Projeto 1.6.7 Nova Sistemática para o Projeto 1.3 Organização do Texto/Disciplina 1.4 Origem e Evolução da Engenharia de Processos 1.5 Computação 1.6 Bibliografia. 3
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ENGENHARIA Do Artesanato à
Dedica-se à aquisição e à aplicação de conhecimentos de natureza física, técnica, matemática e econômica para a criação, aperfeiçoamento e implementação de materiais, estruturas, máquinas e aparelhos, sistemas ou processos, com a finalidade de satisfazer as necessidades básicas da sociedade. Com ela, vieram os cursos superiores para a formação profissional de engenheiros, que vieram substituir os artesãos.
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Engenharia Química É o ramo da Engenharia dedicado ao projeto, à construção e à operação dos processos químicos de produção.
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Investigar disponibilidade de matéria prima
Investigar mercado para o produto Calcular o consumo de utilidades Estabelecer o número e o tipo dos reatores Definir o fluxograma do processo Investigar reagentes plausíveis Calcular a vazão das correntes intermediárias Estabelecer as condições da reação e sub-produtos Avaliar a lucratividade do processo Definir o número e o tipo de trocadores de calor Definir o número e o tipo dos separadores Calcular as dimensões dos equipamentos Calcular o consumo de insumos Calcular o consumo de matéria prima Estabelecer malhas de controle
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Uma maior organização da execução do projeto veio com a Engenharia de Processos
CIÊNCIAS BÁSICAS FUNDAMENTOS ENG. DE EQUIPAMENTOS 8
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Engenharia de Sistemas: No tratamento de conjuntos complexos
A Engenharia de Processos surgiu com a “Fertilização” da Eng. Química tradicional com elementos de: Resumindo: Engenharia de Sistemas: No tratamento de conjuntos complexos de elementos interdependentes Resultando: Utilização mais organizada e mais eficiente dos conhecimento específicos da Engenharia Química no Projeto de Processos: - Projeto mais rápido e mais eficiente. Processos mais econômicos, seguros e limpos. Inteligência Artificial: Na resolução de problemas combinatórios 9
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Um fato relevante ao final da década de 60
Começou a surgir uma TEORIA DE PROJETO Com de elementos de Engenharia de Sistemas e Inteligência Artificial As Teorias existentes, até então, explicavam apenas fenômenos naturais ...(Química, Física, Biologia...). 10
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Conhecimento específico de cada área utilizado intuitivamente
Eng. Química Eng. Naval Teoria de Projeto Engenharia de Processos Aplicável a todas as áreas Eng. Elétrica Eng. Mecânica As engenharias experimentaram um ganho expressivo
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O quê estes objetos têm em comum?
São meios de transporte! OK! E agora ? E agora ????
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Apesar de inteiramente distintos quanto à forma e a finalidade, os seus processos de criação e montagem seguem uma metodologia inteiramente análoga (exceto o corpo humano) Esses objetos recebem, então, uma denominação genérica SISTEMAS
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Para uma dada finalidade
Um sistema (do grego sietemiun), é um conjunto de elementos interconectados, de modo a formar um todo organizado. 2 1 3 4 5 7 6 Para uma dada finalidade
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Observa-se que SISTEMA é um conceito abrangente: Abstratos Intangíveis
Quanto à origem: constatados ou criados pelo homem Quanto à natureza dos elementos e conexões: concretos (tangíveis) , abstratos (intangíveis) 2 1 3 4 5 7 6 Concretos Tangíveis Abstratos Intangíveis Origem Constatados Eco - Sistemas Corpo Humano Criados Processo Químico ! Sistemas Econômicos
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O Processo Químico como um SISTEMA
Um conjunto de elementos especializados (equipamentos) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 extrato água vapor EVAPORADOR EXTRATOR CONDENSADOR RESFRIADOR MISTURADOR alimentação bomba DECANTADOR 20 HP rafinado produto W11 T11 W6 T6 W4 T4 f14 f24 x14 W7 T7 T3 W1 T1 x11 f11 f21 T2 f12 Ar Ae Vl t r f32 f23 Ac W8 T8 W15 T15 W13 T13 W14 T14 W12 T12 W10 T10 W9 T9 W5 T5 f13 e interdependentes (através das correntes) reunidos para um determinado fim (produção de um produto). 16
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Engenharia de Sistemas
Com o aumento da complexidade dos sistemas desenvolvidos pelo homem, pesquisadores sentiram a necessidade de estudar formalmente as propriedades de sistemas em geral. Sentiram que não bastava conhecer o comportamento individual dos elementos. Tornou-se necessário estudar o comportamento dos elementos quando interligados a outros: o comportamento do conjunto e desenvolver técnicas para a construção de sistemas de maneira rápida e confiável Esse novo campo do conhecimento foi batizado na década de 1940, no Laboratório da Bell, de Engenharia de Sistemas.
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INTELIGÊNCIA ARTIFICIAL
Ramo da Ciência da Computação que estuda a forma como o homem utiliza intuitivamente Inteligência e Raciocínio na solução de problemas complexos, implementando-as em máquinas Estratégias Básicas Decomposição Representação
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Os subproblemas são resolvidos de forma coordenada
SP 1 SP 2 SP 3 SP 4 Os subproblemas são resolvidos de forma coordenada DECOMPOSIÇÃO Problema Resolvido SP 1 SP 2 SP 3 SP 4 O conjunto das soluções dos sub-problemas forma a solução do Problema original.
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Ao longo dos ramos estão os estados intermediários percorridos durante a resolução do problema.
De cada estado sai uma bifurcação para os estados que dele se originam: há uma decisão associada. raiz REPRESENTAÇÃO Nas extremidades dos ramos encontram-se os estados finais, configurações completas, que são as soluções alternativas do problema.
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ENGENHARIA DE PROCESSOS
Área da Engenharia Química dedicada ao Projeto de Processos Químicos
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PROJETO DE PROCESSOS QUÍMICOS
É o conjunto de documentos elaborados por uma equipe de engenheiros com detalhes suficientes para a construção e a operação de uma planta industrial O Projeto resulta de um conjunto de ações desenvolvidas Desde A decisão de se produzir um determinado produto Até À conclusão do Projeto As ações são numerosas e diversificadas !!!
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Investigar disponibilidade de matéria prima
Investigar mercado para o produto Calcular o consumo de utilidades Estabelecer o número e o tipo dos reatores Definir o fluxograma do processo Investigar reagentes plausíveis Calcular a vazão das correntes intermediárias Estabelecer as condições da reação e sub-produtos Avaliar a lucratividade do processo Definir o número e o tipo de trocadores de calor Definir o número e o tipo dos separadores Calcular as dimensões dos equipamentos Calcular o consumo de insumos Calcular o consumo de matéria prima Estabelecer malhas de controle
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Calcular as dimensões dos equipamentos
Calcular o consumo de matéria prima Calcular o consumo de utilidades Calcular o consumo dos insumos Calcular a vazão das correntes intermediárias Avaliar a lucratividade do processo Estabelecer o número e o tipo dos reatores Definir o número e o tipo dos separadores Definir o número e o tipo de trocadores de calor Estabelecer malhas de controle Definir o fluxograma do processo Investigar mercado para o produto Investigar disponibilidade das matérias primas Definir as condições das reações e identificar os sub-produtos gerados Investigar reagentes plausíveis SELEÇÃO DE ROTAS QUÍMICAS SÍNTESE ANÁLISE
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Seleção da Rota Química MULTIPLICIDADE DE SOLUÇÕES
Primeiro passo Seleção da Rota Química DIFICULDADE: MULTIPLICIDADE DE SOLUÇÕES
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Rotas para a produção de fenol
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MULTIPLICIDADE DE SOLUÇÕES
SÍNTESE DIFICULDADE NA SÍNTESE MULTIPLICIDADE DE SOLUÇÕES
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Este problema é simples
Equipamentos disponíveis para a geração do fluxograma do Processo Ilustrativo RM Reator de mistura RT Reator tubular DS Coluna de destilação simples DE Coluna de destilação extrativa A Aquecedor R Resfriador T Trocador de Integração Este problema é simples O espaço das soluções é constituido apenas de 8 fluxogramas
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UM RISCO INERENTE À SÍNTESE . . .
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EXPLOSÃO COMBINATÓRIA !!! Muitas soluções para analisar
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MULTIPLICIDADE DE SOLUÇÕES
ANÁLISE DIFICULDADE NA ANÁLISE MULTIPLICIDADE DE SOLUÇÕES
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Exemplo: dimensionamento de 2 extratores em série
1 2 Q = kgA/h x = 0,02 kgAB/kgA o W kgB/h y kgAB/kgB x kgAB/kgA Modelo Matemático 1. Q(xo - x1) - W1 y1 = 0 2. y1 - k x1 = 0 3. Q(x1 -x2) - W2 y2 = 0 4. y2 - k x2 = 0 Avaliação Econômica L = R - C R = pAB (W1 y1 + W2 y2 ) C = pB (W1 + W2) pAB = 0,4 $/kgAB : pB = 0,01 $/kgB Para cada par de valores x1,x2 resultam valores de W1, W2, y1, y2 e Lucro
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MULTIPLICIDADE NA ANÁLISE Dificuldade: infinidade de soluções viáveis
A cada par (x1,x2) corresponde uma solução viável Dificuldade: infinidade de soluções viáveis
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Todo problema com Multiplicidade de Soluções
OTIMIZAÇÃO Todo problema com Multiplicidade de Soluções Exige a busca da sua Solução Ótima através da OTIMIZAÇÃO
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O Projeto de Processos é um problema complexo de otimização.
Constata-se, assim, que ... O Projeto de Processos é um problema complexo de otimização. Primeiro fator de complexidade: multiplicidade de soluções nos três níveis. Nível Tecnológico: determinar a melhor rota química. Nível Estrutural (Síntese): determinar a estrutura ótima. Nível Paramétrico (Análise): determinar as dimensões ótimas de equipamentos e correntes.
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Resolução por Busca Orientada por Árvore de Estados
Segundo fator de complexidade: Os 3 problemas são interdependentes. A solução ótima de um está atrelada à solução ótima dos outros dois. Uma abordagem... Resolução por Busca Orientada por Árvore de Estados 37
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Decomposição, Representação e Resolução do Problema de Projeto por Busca Orientada por Árvore de Estados Raiz Rota Química ? Fluxograma ? Dimensões ? P ? ? ? A+B P+C A,B P,C ?? D+E P+F D,E P,F ?? Nível Tecnológico Seleção de uma Rota Fluxograma ? Dimensões ? 1 P A B C x ? T D 2 P A B C x ? T P 3 D E F x ? M P F 4 D E x ? M Nível Estrutural Síntese de um Fluxograma Dimensões ? Lucro? L x 6 x o = 3 x* 8 L x x o = 4 x* L 10 x x o = 6 x* L x 7 x o = 5 x* Nível Paramétrico Análise do Fluxograma Dimensionamento dos Equipamentos e das Correntes. Lucro. Solução Ótima: Reagentes = D,E; Fluxograma = 3; x = 4
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Solução do Problema de Projeto por Busca Orientada
Raiz Rota Química ? Fluxograma ? Dimensões ? P ? ? ? Vantagem Varre todas as soluções sem repetições sem omitir a ótima D+E P+F D,E P,F ?? Nível Tecnológico Seleção de uma Rota Fluxograma ? Dimensões ? ? P 3 D E F x Nível Estrutural Síntese de um Fluxograma Dimensões ? Lucro? Desvantagem Explosão Combinatória (outros métodos) L x 4 10 Nível Paramétrico Análise do Fluxograma Dimensionamento dos Equipamentos e das Correntes. Lucro. Solução Ótima: Reagentes = D,E; Fluxograma = 3; x = 4 demais dimensões.
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INTEGRAÇÃO ENERGÉTICA
INTRODUÇÃO À ANÁLISE DE PROCESSOS 2 ESTRATÉGIAS DE CÁLCULO 3 OTIMIZAÇÃO AVALIAÇÃO ECONÔMICA 4 5 ANÁLISE INTRODUÇÃO À SÍNTESE DE PROCESSOS 8 6 SÍNTESE DE SISTEMAS DE SEPARAÇÃO 7 SÍNTESE SISTEMAS DE INTEGRAÇÃO ENERGÉTICA
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2. INTRODUÇÃO À ANÁLISE DE PROCESSOS
2.1 Objetivo e Procedimento Geral 2.2 Etapas Preparatórias 2.2.1 Reconhecimento do Processo 2.2.2 Modelagem Matemática 2.2.3 Propriedades Físicas e Coeficientes Técnicos 2.3 Etapas Executivas: dimensionamento e simulação 2.3.1 Informações Relevantes: condições conhecidas, metas de projeto e de operação 2.3.2 Balanço de Informação: conceito e finalidade, elementos envolvidos, graus de liberdade 2.3.3 Execução: dimensionamento, simulação, otimização 2.3.4 Módulos Computacionais: Estratégia de Cálculo, Avaliação Econômica Preliminar, Otimização Paramétrica 2.4 Um Programa Computacional para Análise de Processos
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OBJETIVO E PROCEDIMENTO GERAL
Objetivo da Análise Prever e avaliar o desempenho físico e econômico de um processo já existente (em operação) ou ainda inexistente (em fase de projeto) “Bola de Cristal”
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Prever e avaliar o desempenho FÍSICO
Consiste em (a) prever as dimensões dos principais equipamentos e as condições das correntes, necessárias para atender às especificações técnicas estabelecidas para o projeto. (b) prever o comportamento do processo em condições diferentes daquelas para qual foi dimensionado. Base Modelo Matemático
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Prever e avaliar o desempenho ECONÔMICO
Consiste em Verificar se o processo atende aos critérios econômicos de lucratividade de forma a justificar a sua montagem e a sua operação. Base Critério Econômico
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Correspondência dos Capítulos com os Módulos Computacionais
Resumo da Análise de Processos Correspondência dos Capítulos com os Módulos Computacionais AVALIAÇÃO ECONÔMICA 4 INTRODUÇÃO À ANÁLISE DE PROCESSOS 2 OTIMIZAÇÃO 5 ESTRATÉGIAS DE CÁLCULO 3 MODELO ECONÔMICO OTIMIZAÇÃO Variáveis Especificadas Variáveis de Projeto Parâmetros Econômicos Parâmetros Físicos Dimensões Calculadas Lucro MODELO FÍSICO
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Resolver Problema Otimizar Processo Calcular Lucro Dimensionar Extrator Evaporador Condensador Resfriador Misturador Simular Processo
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ROTEIRO PARA A RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS NA ANÁLISE DE PROCESSOS
1. Reconhecer ou desenhar o fluxograma: equipamentos,correntes, variáveis do processo. 2. Escrever o modelo matemático. fundamental 3. Identificar as variáveis conhecidas e as metas de projeto. 4. Efetuar o Balanço de Informação. 5. Estabelecer uma estratégia de cálculo. 6. Resolver o problema. 7. Avaliar criticamente o resultado. mais importante
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MOTIVAÇÃO PARA O CAPÍTULO 3
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Forma Geral dos Modelos Matemáticos de Processos
f1(x1, x2, ..., xi ,..., xM) = 0 f2(x1, x2, ..., xi ,..., xM) = 0 fN(x1, x2, ..., xi,..., xM) = 0 N equações M incógnitas
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Modelo do Processo Ilustrativo
01. f11 - f12 - f13 = W15 - f23 = f31 - f32 = k – (3 + 0,04 Td) = k – x13 / x12 = (f11 Cp1 + f31 Cp3) (T1 - Td) + W15 Cp2l (T15 - Td) = Vd - (f11 /1 + W15/2 + f31/3) = r - f13/f11 = T2 – Td = T3 – Td = 0 11. f13 - f14 = 0 12. f23 - f24 - W5 = 0 13. W6 - W7 = 0 14. W6 [3 + Cpv (T6 – T7)] - Qe = 0 15. Qe – [(f13Cp1 + f23Cp2l)(Te - T3) + W5 2] = 0 16. Qe - Ue Ae e = 0 17. e - (T6- Te) = T4 – Te = T5 – Te = 0
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Modelo do Processo Ilustrativo
20. W8 - W9 = 0 21. W5 - W10 = 0 22. Qc - W8 Cp3 (T9 - T8) = 0 23. W5 [2 + Cp2g (T5 – T10)] - Qc = 0 24. Qc - Uc Ac c = 0 25. c - [(T5 - T9) - (T10 - T8)]/ln[(T5 - T9)/(T10 - T8)] = 0 26. W11 - W12 = 0 27. W10 - W13 = 0 28. Qr - W11 Cp3 (T12 - T11) = 0 29. Qr - W10 Cp2l (T10 - T13) = 0 30. Qr - Ur Ar r = 0 31. r - [(T10 - T12) - (T13 - T11)]/ln[(T10 - T12)/(T13 - T11)] = 0 34. f11 + f31 - W1 = 0 35. x11 - f11 / W1 = 0 36. f12 + f22 – W2 = 0 37. x12 - f12/ W2 = 0 38. f13 + f23 – W3 = 0 39. x13 - f13 / W3 = 0 40. f14 + f24 - W4 = 0 41. x14 - f14/ W4 = 0 32. W13 + W14 - W15 = 0 33. W13 (T15 - T13) + W14 (T15 - T14) = 0
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Modelo do Processo Ilustrativo
01. f11 - f12 - f13 = W15 - f23 = f31 - f32 = k – (3 + 0,04 Td) = k – x13 / x12 = (f11 Cp1 + f31 Cp3) (T1 - Td) + W15 Cp2l (T15 - Td) = Vd - (f11 /1 + W15/2 + f31/3) = r - f13/f11 = T2 – Td = T3 – Td = 0 20. W8 - W9 = 0 21. W5 - W10 = 0 22. Qc - W8 Cp3 (T9 - T8) = 0 23. W5 [2 + Cp2g (T5 – T10)] - Qc = 0 24. Qc - Uc Ac c = 0 25. c - [(T5 - T9) - (T10 - T8)]/ln[(T5 - T9)/(T10 - T8)] = 0 26. W11 - W12 = 0 27. W10 - W13 = 0 28. Qr - W11 Cp3 (T12 - T11) = 0 29. Qr - W10 Cp2l (T10 - T13) = 0 30. Qr - Ur Ar r = 0 31. r - [(T10 - T12) - (T13 - T11)]/ln[(T10 - T12)/(T13 - T11)] = 0 11. f13 - f14 = 0 12. f23 - f24 - W5 = 0 13. W6 - W7 = 0 14. W6 [3 + Cpv (T6 – T7)] - Qe = 0 15. Qe – [(f13Cp1 + f23Cp2l)(Te - T3) + W5 2] = 0 16. Qe - Ue Ae e = 0 17. e - (T6- Te) = T4 – Te = T5 – Te = 0 32. W13 + W14 - W15 = 0 33. W13 (T15 - T13) + W14 (T15 - T14) = 0 34. f11 + f31 - W1 = 0 35. x11 - f11 / W1 = 0 36. f12 + f22 – W2 = 0 37. x12 - f12/ W2 = 0 38. f13 + f23 – W3 = 0 39. x13 - f13 / W3 = 0 40. f14 + f24 - W4 = 0 41. x14 - f14/ W4 = 0
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É pré-requisito para esta Disciplina. Formulação e Resolução !!!
Competem ao Engenheiro Químico CIÊNCIAS BÁSICAS FUNDAMENTOS ENG. DE EQUIPAMENTOS ENG. DE PROCESSOS Formulação e Resolução dos Modelos (a) Formulação (Modelagem Matemática): Consiste em utilizar os conhecimentos relativos aos Fundamentos e Equipamentos para representar o processo matematicamente. É pré-requisito para esta Disciplina. (b) Resolução : Consiste em utilizar técnicas de processamento de informação na resolução dos modelos em problemas de dimensionamento, simulação e otimização. Formulação e Resolução !!!
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Em geral, os modelos de processos são muito complexos.
Fontes de complexidade: (a) grande número de equações e de variáveis (b) não-linearidades em muitas equações (c) presença de reciclos nos processos Desafio: como viabilizar a resolução de modelos tão complexos, e como faze-lo da forma mais eficiente possível ??? A complexidade dos modelos exige o estabelecimento prévio de uma Estratégia de Cálculo Tema deste Capítulo
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Objetivo de uma Estratégia de Cálculo
Minimizar o esforço computacional envolvido na resolução dos modelos (problemas de dimensionamento, simulação e otimização de processos). MODELO FÍSICO MODELO ECONÔMICO OTIMIZAÇÃO Variáveis Especificadas Variáveis de Projeto Parâmetros Econômicos Parâmetros Físicos Dimensões Calculadas Lucro
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FINALIDADE DO CAPÍTULO 3
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3. ESTRATÉGIAS DE CÁLCULO
3.1 Equações Não - Lineares 3.1.1 Representação Resolução: redução de intervalos e aproximações sucessivas 3.2 Sistemas de Equações Não-Lineares 3.2.1 Estrutura e representação 3.2.2 Resolução: partição, abertura, ordenação de equações 3.3 Dimensionamento e Simulação de Equipamentos 3.4 Dimensionamento e Simulação de Processos 3.4.1 Estratégia Global 3.4.2 Estratégia Modular 3.5 Incerteza e Análise de Sensibilidade 3.5.1 Questionamento do Projeto 3.5.2 Questionamento do Desempenho Futuro
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Motivação para o estudo de equações não-lineares isoladas
No dimensionamento e na simulação de equipamentos e de processos podem surgir sistemas de equações que só podem ser resolvidos por métodos iterativos de tentativas. Esses métodos são extensões de métodos empregados na resolução de equações isoladas.
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Pode ser representada como um “processador de informação”
3.2 SISTEMAS DE EQUAÇÕES NÃO – LINEARES 3.2.1 Estrutura e Representação A equação f (x1, ..., xi-1, xi, xi+1,…, xM) = 0 Pode ser representada como um “processador de informação” f j x1 x2 x i - 1 x i + 1 xM x i 59
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Os elementos desse sistema são as equações.
As equações do modelo podem ser interligadas pelas variáveis comuns formando um sistema. Os elementos desse sistema são as equações. As conexões são as variáveis comuns. Os sistemas de equações podem ser considerados sistemas de processadores que, durante a resolução de um problema, passam informação de uns para os outros. Os sistemas de equações podem assumir as mais variadas estruturas. 60
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Estruturas Básicas Estrutura Cíclica Estrutura Acíclica
f 1 (x o ,x 3 ) = 0 2 ) = 0 x Estrutura Cíclica f 1 (x o , x ) = 0 2 ,x 3 Estrutura Acíclica 61
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Estrutura Acíclica Estrutura Cíclica
f 1 (x o , x ) = 0 2 ,x 3 Estrutura Acíclica f 1 (x o ,x 3 ) = 0 2 ) = 0 x Estrutura Cíclica Estrutura acíclica: resolução trivial por encadeamento sucessivo a partir que qualquer variável conhecida (xo, por exemplo). Estrutura cíclica: solução somente por tentativas (exemplo: conhecida xo, o cálculo de x1 depende de x3 ainda não calculada). 62
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Exemplo de estrutura complexa
A estrutura de um sistema pode conter partes cíclicas e acíclicas. Quanto mais complexa a estrutura, mais difícil é a resolução do sistema. Exemplo de estrutura complexa 1 2 3 4 5 6 7 8 1* 9 10 11 12 13 14
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Características Especiais na Engenharia de Processos
(a) o número de variáveis em cada equação é pequeno: nem todas as variáveis figuram em todas as equações. (b) em problemas de simulação corretamente formulados, o número de equações é igual ao de incógnitas. (c ) em problemas de dimensionamento, corretamente formulados, o número de incógnitas pode ser igual ou superior ao de equações. Quando maior otimização.
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01. f11 - f12 - f13 = W15 - f23 = f31 - f32 = k – (3 + 0,04 Td) = k – x13 / x12 = (f11 Cp1 + f31 Cp3) (T1 - Td) + W15 Cp2l (T15 - Td) = Vd - (f11 /1 + W15/2 + f31/3) = r - f13/f11 = T2 – Td = T3 – Td = 0 34. f11 + f31 - W1 = 0 35. x11 - f11 / W1 = 0 36. f12 + f22 – W2 = 0 37. x12 - f12/ W2 = 0 38. f13 + f23 – W3 = 0 39. x13 - f13 / W3 = 0
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pode ser tratado como se fosse uma única equação
Um sistema de equações f1 (xo, x1) = 0 f2 (x1, x2) = 0 f3 (x2, x3) = 0 xo x1 x2 x3 pode ser tratado como se fosse uma única equação f3 (x2,x3) = f3 (f2 (x1), x3) = f3 (f2 (f1(xo)) , x3) f1 (xo, x1) = 0 f2 (x1, x2) = 0 f3 (x2, x3) = 0 xo x1 x2 x3 f (xo, x3) = 0
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Uma estratégia para resolver o Sistema
1. f1(xo,x1) = 0 2. f2(x1,x2) = 0 3. f3(x2,x3,x6) = 0 4. f4(x3,x4) = 0 5. f5(x4,x5) = 0 6. f6(x5,x6) = 0 7. f7(x6,x7) = 0 8. f8(x7,x8) = 0 Uma estratégia para resolver o Sistema PARTIÇÃO Decomposição em sub-sistemas Resolução seqüencial dos sub-sistemas solução do Sistema x x* 1 2 3 4 5 6 7 8 o [ 3, 4 , 5 ,6 ] Parte Cíclica x6 1, 2 [ ] Parte Acíclica xo* x2 7, 8 [ ] Parte Acíclica x8
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Assim, este Capítulo começa com métodos de resolução de equações isoladas.
Em seguida, eles são estendidos aos sistemas de equações encontrados em equipamentos e processos.
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3.1 EQUAÇÕES NÃO – LINEARES
Trata-se de equações do tipo f (x1*, x2*,…, xi,…, xn*) = 0 em que a incógnita xi é calculada a partir dos valores conhecidos das demais variáveis xj*.
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3. ESTRATÉGIAS DE CÁLCULO
3.1 Equações Não-Lineares Resolução: redução de intervalos e aproximações sucessivas 3.2 Sistemas de Equações Não-Lineares 3.2.1 Estrutura e representação 3.2.2 Resolução: partição, abertura, ordenação de equações 3.3 Dimensionamento e Simulação de Equipamentos 3.4 Dimensionamento e Simulação de Processos 3.4.1 Estratégia Global 3.4.2 Estratégia Modular 3.5 Incerteza e Análise de Sensibilidade 3.5.1 Questionamento do Projeto 3.5.2 Questionamento do Desempenho Futuro 3.1.1 Representação
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f (x1*, ..., xi - 1*, xi, xi + 1*,…, xM*) = 0
3.1 EQUAÇÕES NÃO – LINEARES 3.1.1 Representação A equação f (x1*, ..., xi - 1*, xi, xi + 1*,…, xM*) = 0 pode ser vista como um “processador de informação” assim representado graficamente: f j x1 x2 x i - 1 x i + 1 xM x i
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f (x1*, ..., xi - 1*, xi , xi + 1*,…, xM*) = 0
A dificuldade da resolução de f (x1*, ..., xi - 1*, xi , xi + 1*,…, xM*) = 0 depende da sua forma funcional. Exemplo: x1 x2 + ln x1 = 0 Se a incógnita fôr x2: x1* x2 + ln x1* = 0 A resolução pode ser analítica simples: x2 = - (ln x1*) / x1* Se a incógnita fôr x1: x1 x2* + ln x1 = 0 A resolução tem que ser numérica por tentativas (inúmeros métodos).
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3. ESTRATÉGIAS DE CÁLCULO
3.1 Equações Não-Lineares 3.1.1 Representação 3.2 Sistemas de Equações Não-Lineares 3.2.1 Estrutura e representação 3.2.2 Resolução: partição, abertura, ordenação de equações 3.3 Dimensionamento e Simulação de Equipamentos 3.4 Dimensionamento e Simulação de Processos 3.4.1 Estratégia Global 3.4.2 Estratégia Modular 3.5 Incerteza e Análise de Sensibilidade 3.5.1 Questionamento do Dimensionamento 3.5.2 Questionamento do Desempenho Futuro 3.1.2 Resolução
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Aproximações Sucessivas
3.1.2 Resolução Há duas famílias importantes de métodos numéricos para a resolução de equações não-lineares. Métodos de Redução de Intervalos Métodos de Aproximações Sucessivas Partem de um intervalo inicial. (limites inferior e superior) Partem de um valor inicial. Por diferentes raciocínios lógicos, promovem a redução do intervalo até que se torne menor do que uma tolerância pré-estabelecida. Por diferentes raciocínios lógicos, testam novos valores até que a diferença relativa entre valores sucessivos se torne menor do que uma tolerância pré-estabelecida.
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(a) Métodos de Redução de Intervalos
Dados os limites superior xs e inferior xi , define-se o intervalo de incerteza xs - xi . Este é reduzido sucessivamente até se tornar menor do que uma tolerância pré-estabelecida: xs - xi . x i s x s i f (x) Qualquer valor no interior ou na fronteira do intervalo serve como solução.
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Método da Bisseção ou Busca Binária
Um método típico de Redução de Intervalos Método da Bisseção ou Busca Binária A cada iteração, o intervalo de incerteza é reduzido à metade.
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SE ABS(fi) < ABS(fs) ENTÃO Solução = xi SENÃO Solução = xs
BISS f (x) f(x) ALGORITMO Estabelecer xi, xs, (tolerância) fs Calcular fi em xi Calcular fs em xs xi REPETIR x x = (xi + xs)/2 fi f xs x Calcular f em x Se Sinal (f) = Sinal (fi): Então atualizar : xi = x : fi = f Senão atualizar : xs = x : fs = f ATÉ xs - xi f(x) xs fs SE ABS(fi) < ABS(fs) ENTÃO Solução = xi SENÃO Solução = xs x f xi fi x
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Fixando : x2* = 2, Intervalo: xi = 0, xs = 1 Tolerância: = 0,1
Se Sinal (f) = Sinal (fi): Então atualizar : xi = x : fi = f Estabelecer xi, xs, (tolerância) Calcular fi em xi Calcular fs em xs REPETIR x = (xi + xs)/2 Calcular f em x Senão atualizar : xs = x : fs = f ATÉ xs - xi Exemplo: x1 x2* + ln x1 = 0 f = x1 x2* + ln x1 Fixando : x2* = 2, Intervalo: xi = 0, xs = 1 Tolerância: = 0,1 xi fi x f xs fs 0, , 0, ,307 0, ,51 0, ,88 0, ,307 0,5 0, ,88 0, ,231 0, ,307 0,25 0, ,231 0, ,048 0, ,307 0,125 0, ,231 0,4375 0,048 0,0625 Solução para = 0,1 : x = 0, f = 0,048 Com 6 cálculos de f, o intervalo foi reduzido a 6,25%. Com 9 cálculos, o intervalo é reduzido a menos de 1%
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(b) Métodos de Aproximações Sucessivas
Atribui-se um valor inicial para a incógnita. Esse valor é atualizado sucessivamente até que o erro relativo entre duas aproximações sucessivas, abs [(xk - xk-1)/ xk], seja menor do que uma tolerância pré-estabelecida. xi xs x1 x2 x3 x4
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Duas formas de explicitar a incógnita
Um método típico: Método da Substituição Direta Se a incógnita aparecer em mais de termo da equação, ela é explicitada parcialmente: f(xi ) = 0 xi = F(xi) Exemplo: x1 x2* + ln x1 = 0 Duas formas de explicitar a incógnita x1 = - (1/ x2*) ln x1 F(x1) = - (1/ x2*) ln x1 x1 = e - x1 x2* F(x1) = e - x1 x2*
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A solução é o valor de xi em que F(xi) = xi .
f(xi ) = 0 explicitando xi = F(xi) A solução é o valor de xi em que F(xi) = xi . F(x) x Em cada iteração, o valor arbitrado para xi é o valor de F(xi - 1) obtido na iteração anterior.
82
Estabelecer xinicial, (tolerância) F = xinicial REPETIR x = F
ALGORITMO Estabelecer xinicial, (tolerância) F = xinicial REPETIR x = F Calcular a Função F em x ATÉ Convergir xsolução = F Condição para Convergência : |F´(x)| < 1 Modos de Convergência F’(x) > 0: Comportamento Monotônico Convergir = |(F-x)/x| < (erro relativo) F(x) x 1 2 3 (b) F'(x)>0 |F'(x)|>1 divergência monotonica x 1 2 3 F(x) (a) F'(x)>0 |F'(x)<1 convergência monotonica
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Estabelecer xinicial, (tolerância) F = xinicial REPETIR x = F
ALGORITMO Estabelecer xinicial, (tolerância) F = xinicial REPETIR x = F Calcular a Função F em x ATÉ Convergir xsolução = F Condição para Convergência : |F´(x)| < 1 Modos de Convergência F’(x) < 0: Comportamento Oscilatório Convergir = |(F-x)/x| < (erro relativo) (c) F'(x)<0 |F'(x)| <1 convergência oscilante x 1 3 2 F(x) F(x) x 1 2 3 (d) F'(x) <0 |F'(x)| >1 divergência oscilante
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Exemplo: x1 x2* + ln x1 = 0 F(x1) = - (1/ x2*) ln x1
F(x1) = e - x1 x2* x F x F 0,5 0,346 0,308 0,5 0,367 0,264 0,346 0,529 0,529 0,367 0,479 0,302 0,529 0,317 0,400 0,479 0,383 0,199 0,317 0,573 0,806 0,383 0,464 0,210 0,573 0,278 0,515 0,464 0,395 0,149 Divergência Oscilatória F’(x1) = - 1,17 Convergência Oscilatória F’(x1) = - 0,85 x 1 3 2 F(x) F(x) x 1 2 3 Exemplo: x1 x2* + ln x1 = 0 x1 = F(x1) (x2* = 2 : x1 inicial = 0,5) Solução: x = 0,4263
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Equações que representam processos de operação estável, também apresentam comportamento estável, ou seja, convergem
86
Esses métodos serão evocados a seguir em
Em resumo Equações Não-Lineares podem ser resolvidas por métodos: redução de intervalos (ex.: bisseção) aproximações sucessivas (ex.: substituição direta) Esses métodos serão evocados a seguir em Sistemas de Equações. f1 (xo, x1) = 0 f2 (x1, x2) = 0 f3 (x2, x3) = 0 xo x1 x2 x3
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3. ESTRATÉGIAS DE CÁLCULO
3.1 Equações Não-Lineares 3.1.1 Representação 3.1.2 Resolução: redução de intervalos e aproximações sucessivas 3.2.2 Resolução: partição, abertura, ordenação de equações 3.3 Dimensionamento e Simulação de Equipamentos 3.4 Dimensionamento e Simulação de Processos 3.4.1 Estratégia Global 3.4.2 Estratégia Modular 3.5 Incerteza e Análise de Sensibilidade 3.5.1 Questionamento do Dimensionamento 3.5.2 Questionamento do Desempenho Futuro 3.2 Sistemas de Equações Não-Lineares 3.2.1 Estrutura e Representação
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Pode ser representada como um “processador de informação”
3.2 SISTEMAS DE EQUAÇÕES NÃO – LINEARES 3.2.1 Estrutura e Representação A equação f (x1, ..., xi-1, xi, xi+1,…, xM) = 0 Pode ser representada como um “processador de informação” f j x1 x2 x i - 1 x i + 1 xM x i
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Os elementos desse sistema são as equações.
As equações do modelo podem ser interligadas pelas variáveis comuns formando um sistema. Os elementos desse sistema são as equações. As conexões são as variáveis comuns. Os sistemas de equações podem ser considerados sistemas de processadores que, durante a resolução de um problema, passam informação de uns para os outros. Os sistemas de equações podem assumir as mais variadas estruturas. 89
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Estruturas Básicas Estrutura Cíclica Estrutura Acíclica
f 1 (x o ,x 3 ) = 0 2 ) = 0 x Estrutura Cíclica f 1 (x o , x ) = 0 2 ,x 3 Estrutura Acíclica
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Estrutura Acíclica Estrutura Cíclica
f 1 (x o , x ) = 0 2 ,x 3 Estrutura Acíclica f 1 (x o ,x 3 ) = 0 2 ) = 0 x Estrutura Cíclica Estrutura acíclica: resolução trivial por encadeamento sucessivo a partir que qualquer variável conhecida (xo, por exemplo). Estrutura cíclica: solução somente por tentativas (exemplo: conhecida xo, o cálculo de x1 depende de x3 ainda não calculada).
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Exemplo de estrutura complexa
A estrutura de um sistema pode conter partes cíclicas e acíclicas. Quanto mais complexa a estrutura, mais difícil é a resolução do sistema. Exemplo de estrutura complexa 1 2 3 4 5 6 7 8 1* 9 10 11 12 13 14
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Características Especiais na Engenharia de Processos
(a) o número de variáveis em cada equação é pequeno: nem todas as variáveis figuram em todas as equações. (b) em problemas de simulação corretamente formulados, o número de equações é igual ao de incógnitas. (c ) em problemas de dimensionamento, corretamente formulados, o número de incógnitas pode ser igual ou superior ao de equações. Quando maior otimização.
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Um Sistema de Equações Típico de um Modelo de Processo
1. f1(xo*, x1) = 0 2. f2(x1, x2) = 0 3. f3(x2, x3, x6) = 0 4. f4(x3, x4) = 0 5. f5(x4, x5) = 0 6. f6(x5, x6) = 0 7. f7(x6, x7) = 0 8. f8(x7, x8) = 0
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Representação da Estrutura
Através da representação é possível enxergar como os processadores trocam informações. E, assim, conceber métodos eficientes de resolução. ANALOGIA Somente descobrindo túneis e câmaras dos formigueiros que foi possível observar e compreender o sistema social e de sobrevivência das formigas.
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Representação Matricial
X0 X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 1 2 3 4 5 6 7 8 Matriz Incidência (Numérica) 1. f1(xo*,x1) = 0 2. f2(x1,x2) = 0 3. f3(x2,x3,x6) = 0 4. f4(x3,x4) = 0 5. f5(x4,x5) = 0 6. f6(x5,x6) = 0 7. f7(x6,x7) = 0 8. f8(x7,x8) = 0 X0 X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 1 * 2 3 4 5 6 7 8 Matriz Incidência (Gráfica) Matrizes Esparsas !
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Representação Gráfica (Grafo)
1. f1(xo*,x1) = 0 2. f2(x1,x2) = 0 3. f3(x2,x3,x6) = 0 4. f4(x3,x4) = 0 5. f5(x4,x5) = 0 6. f6(x5,x6) = 0 7. f7(x6,x7) = 0 8. f8(x7,x8) = 0 Ciclo ! x 1 2 3 4 5 6 7 8 o
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3. ESTRATÉGIAS DE CÁLCULO
3.1 Equações Não-Lineares 3.1.1 Representação 3.1.2 Resolução: redução de intervalos e aproximações sucessivas 3.2 Sistemas de Equações Não-Lineares 3.2.1 Estrutura e Representação 3.3 Dimensionamento e Simulação de Equipamentos 3.4 Dimensionamento e Simulação de Processos 3.4.1 Estratégia Global 3.4.2 Estratégia Modular 3.5 Incerteza e Análise de Sensibilidade 3.5.1 Questionamento do Dimensionamento 3.5.2 Questionamento do Desempenho Futuro 3.2.2 Resolução
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3.2.2 Resolução Os sistemas de equações podem ser resolvidos por - métodos simultâneos - método seqüencial.
100
Métodos Simultâneos Todas as variáveis são alteradas simultaneamente.
Diversos métodos são descritos em livros texto e abordados em disciplinas de Métodos Numéricos. Exemplo: Newton-Raphson, Wegstein, ... Calcular F1 x1(k+1) = F1 Calcular F2 x2(k+1) = F2 TESTE x1 = x1(k+1) x1k x2k x1(k+1) x2(k+1) x2 = x2(k+1)
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Método Sequencial É um procedimento alternativo em que as equações são acionadas uma-a-uma, passando informação de uma para a outra, numa sequência lógica previamente estabelecida. Baseia-se no conhecimento da estrutura do sistema. Com isso, torna-se um método flexível e eficiente Este método é chamado de Resolução por Equações ("equation oriented").
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ALGORITMO DE ORDENAÇÃO DE EQUAÇÕES
Este método pode ser implementado através do ALGORITMO DE ORDENAÇÃO DE EQUAÇÕES
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Algoritmo de Ordenação de Equações (A.O.E.)
É um algoritmo de atribuição de tarefas 1. Atribui a cada equação a tarefa de calcular uma das incógnitas do sistema. 2. Ao mesmo tempo, organiza as equações segundo uma Sequencia de Cálculo que evita cálculos iterativos desnecessários, minimizando o esforço computacional na resolução do sistema.
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Outros resultados 3. Efetua automaticamente a partição do sistema em conjuntos cíclicos e acíclicos de equações, minimizando o número de equações envolvidas em cálculos iterativos. 4. Em problemas com graus de liberdade, indica as variáveis de projeto compatíveis com o esforço computacional mínimo. 5. Em problemas com ciclos, indica as variáveis de abertura.
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PARTIÇÃO "partitioning"
1. f1(xo,x1) = 0 2. f2(x1,x2) = 0 3. f3(x2,x3,x6) = 0 4. f4(x3,x4) = 0 5. f5(x4,x5) = 0 6. f6(x5,x6) = 0 7. f7(x6,x7) = 0 8. f8(x7,x8) = 0 PARTIÇÃO "partitioning" Consiste em decompor o sistema em sub-sistemas Resolve-se os sub-sistemas sequencialmente x x* 1 2 3 4 5 6 7 8 o 1, 2 [ 3, 4 , 5 ,6 7, 8 [ ] Parte Cíclica Parte Acíclica xo* x2 x6 x8
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A lógica do Algoritmo é muito simples
Ele simplesmente formaliza ações intuitivas inteiramente óbvias relativas aos seguintes elementos encontrados em sistemas de equações Equações de Incógnita Única Variáveis de Frequência Unitária Ciclos
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Equações de Incógnita Única
São equações em que todas as variáveis têm os seus valores conhecidos, menos uma! Exemplo: equação 1 no sistema f1 (xo*, x1) = 0 f2 (x1, x2) = 0 xo* 1 2 x Pela lógica: são as primeiras a serem resolvidas ! Devem ser colocadas no início da Sequência de Cálculo
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Varáveis de Freqüência Unitária
São variáveis que pertencem a uma só equação Exemplo: x8 na equação 8 f7 (x6*, x7) = f8 (x7, x8) = 0 7 8 x* 6 x Pela lógica: só podem ser calculadas por esta equação e depois de todas as anteriores terem sido resolvidas. Devem ser colocadas no final da Sequência de Cálculo
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Solução exclusivamente por métodos iterativos
Ciclos São conjuntos cíclicos de equações em que cada variável vem a ser função dela mesma. x 3 4 5 6 x2 x6 x6 = f6(x5) = f6(f5(x4)) = f6(f5(f4(x3))) = f6(f5(f4(f3(x2,x6)))) = F(x6) Solução exclusivamente por métodos iterativos
110
META DO ALGORITMO Produzir uma sequência de cálculo a ser obedecida para a resolução do sistema com mínimo esforço computacional
111
Sequencia de Cálculo Resultante
META DO ALGORITMO Sequencia de Cálculo Resultante 1 2 X o * 7 8 6 3 4 5 Equação Final EQUAÇÃO VARIÁVEL x final X6 Variável de Abertura x6
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Algoritmo de Ordenação de Equações
Enquanto houver equações com incógnita única (a) atribuir (vincular) essa incógnita à respectiva equação. (b) colocar a equação no primeira posição disponível na Sequencia de Cálculo. (c) remover a variável (X na vertical). Enquanto houver equações Enquanto houver variáveis de frequência unitária (a) atribuir (vincular) essa variável à respectiva equação. (b) colocar a equação no última posição disponível na Seqüência de Cálculo. (c) remover a equação (X na horizontal). Se ainda houver equações (ciclo!) (a) selecionar uma equação que contenha pelo menos uma variável de freqüência igual à menor freqüência dentre todas as variáveis (Final). (b) colocar essa equação na última posição disponível na Seqüência de Cálculo. (c ) remover equação (X na horizontal).
113
Etapa 1 1.f1(xo*, x1) = 0 2.f2 (x1, x2) = 0 3.f3 (x2, x3, x6) = 0
Enquanto houver equações com incógnita única (a) atribuir (vincular) essa incógnita à respectiva equação. (b) colocar a equação no primeira posição disponível na Seqüência de Cálculo. 1.f1(xo*, x1) = 0 2.f2 (x1, x2) = 0 3.f3 (x2, x3, x6) = 0 4.f4 (x3, x4) = 0 5.f5 (x4, x5) = 0 6.f6 (x5, x6) = 0 7.f7 (x6, x7) = 0 8.f8 (x7, x8 ) = 0 1. x1 = f1(xo*) 2.f2 (x1, x2) = 0 2. x2 = f2 (x1) xo* 1 2 x Não há mais EIU !
114
Estágio Atual da Seqüência de Cálculo
1 2 3 4 5 6 7 8 X o * x2 = f2(x1) = f2(f1(xo)) = f(xo)
115
Etapa 2 1. x1 = f1(xo*) 2. x2 = f2 (x1) 3.f3 (x2, x3, x6) = 0
Enquanto houver equações Enquanto houver variáveis de freqüência unitária (a) atribuir (vincular) essa variável à respectiva equação. (b) colocar a equação no última posição disponível na Seqüência de Cálculo. 1. x1 = f1(xo*) 2. x2 = f2 (x1) 3.f3 (x2, x3, x6) = 0 4.f4 (x3, x4) = 0 5.f5 (x4, x5) = 0 6.f6 (x5, x6) = 0 7.f7 (x6, x7) = 0 8.f8 (x7, x8 ) = 0 7 8 x 6 7. x7 = f7 (x6) 8. x8 = f8 (x7) Não há mais VFU !
116
Estágio Atual da Seqüência de Cálculo
1 2 3 4 5 6 7 8 X o * x2 = f2(x1) = f2(f1(x0)) = f(x0) x8 = f8(x7) = f8(f7(x6)) = f(x6) As equações remanescentes formam um ciclo !!!
117
Preparação do sub-sistema cíclico para resolução por tentativas
(a) Selecionar uma Equação Final (b) Retornar à Etapa 2 (VFU) (c) Identificar a Variável de Abertura (a não atribuída a qualquer equação) (d) Estabelecer o esquema de convergência X6 Variável de Abertura 1 2 X o * 3 4 5 X 6 3 4 5 X 6 7 8 X 6 Equação Final EQUAÇÃO VARIÁVEL 1 x 2 7 6 final 8 EQUAÇÃO VARIÁVEL 1 x 2 7 3 4 5 6 final 8 x6
118
Formalmente no Algoritmo
Se ainda houver equações (a) selecionar uma equação que contenha pelo menos uma variável de freqüência igual à menor freqüência dentre todas as variáveis (Final). (b) colocar essa equação na última posição disponível na Seqüência de Cálculo. (c ) remover equação. X6 Variável de Abertura 1 2 X o * 3 4 5 X 6 3 4 5 X 6 7 8 X 6 Equação Final EQUAÇÃO VARIÁVEL 1 x 2 7 6 final 8 EQUAÇÃO VARIÁVEL 1 x 2 7 3 4 5 6 final 8 x6
119
Algoritmo de Ordenação de Equações
Enquanto houver equações com incógnita única (a) atribuir (vincular) essa incógnita à respectiva equação. (b) colocar a equação no primeira posição disponível na Sequencia de Cálculo. (c) remover a variável (X na vertical). Enquanto houver equações Enquanto houver variáveis de frequência unitária (a) atribuir (vincular) essa variável à respectiva equação. (b) colocar a equação no última posição disponível na Seqüência de Cálculo. (c) remover a equação (X na horizontal). Se ainda houver equações (ciclo!) (a) selecionar uma equação que contenha pelo menos uma variável de freqüência igual à menor freqüência dentre todas as variáveis (Final). (b) colocar essa equação na última posição disponível na Seqüência de Cálculo. (c ) remover equação (X na horizontal).
120
APLICAÇÃO AO SISTEMA ILUSTRATIVO
121
1. f1(xo. , x1) = 0 2. f2(x1, x2) = 0 3. f3(x2, x3, x6) = 0 4
1. f1(xo*, x1) = 0 2. f2(x1, x2) = 0 3. f3(x2, x3, x6) = 0 4. f4(x3, x4) = 0 5. f5(x4, x5) = 0 6. f6(x5, x6) = 0 7. f7(x6, x7) = 0 8. f8(x7, x8) = 0
122
Equações de Incógnita Única (EIU)
X0* X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 1 X * 2 3 4 5 6 7 8 Seqüência 1 - 2 - 3 - 4 - 5 - 6 - 7 - 8 - Equações de Incógnita Única (EIU) Círculo na variável inscrição no último lugar x na horizontal
123
Equações de Incógnita Única (EIU)
X0* X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 1 X O 2 * 3 4 5 6 7 8 Seqüência 1 - x1 2 - 3 - 4 - 5 - 6 - 7 - 8 - Equações de Incógnita Única (EIU) Círculo na variável inscrição no primeiro lugar x na vertical
124
Equações de Incógnita Única (EIU)
X0* X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 1 X O 2 3 * 4 5 6 7 8 Seqüência 1 - x1 2 - x2 3 - 4 - 5 - 6 - 7 - 8 - Equações de Incógnita Única (EIU) Círculo na variável inscrição no primeiro lugar x na vertical
125
* X X X O 1 2 1 2 EQUAÇÃO VARIÁVEL 1 x 2
126
Variáveis de Freqüência Unitária (VFU)
X0* X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 1 X O 2 3 * 4 5 6 7 8 Seqüência 1 - x1 2 - x2 3 - 4 - 5 - 6 - 7 - 8 - Variáveis de Freqüência Unitária (VFU) Círculo na variável inscrição no último lugar x na horizontal
127
Variáveis de Freqüência Unitária (VFU)
X0* X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 1 X O 2 3 * 4 5 6 7 8 Seqüência 1 - x1 2 - x2 3 - 4 - 5 - 6 - 7 - 8 - x8 Variáveis de Freqüência Unitária (VFU) Círculo na variável inscrição no último lugar x na horizontal
128
Variáveis de Freqüência Unitária (VFU)
X0* X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 1 X O 2 3 * 4 5 6 7 8 Seqüência 1 - x1 2 - x2 3 - 4 - 5 - 6 - 7 - x7 8 - x8 Variáveis de Freqüência Unitária (VFU) Círculo na variável inscrição no último lugar x na horizontal
129
1 2 X O * 7 8 X 6 EQUAÇÃO VARIÁVEL 1 x 2 7 8
130
Seqüência 1 - x1 2 - x2 3 - 4 - 5 - 6 - 7 - x7 8 - x8 Ciclo! X0* X1 X2
131
Seqüência 1 - x1 2 - x2 3 - 4 - 5 - 6 final 7 - x7 8 - x8
O 2 3 * 4 5 6 7 8 Seqüência 1 - x1 2 - x2 3 - 4 - 5 - 6 final 7 - x7 8 - x8 Equação Final: 6
132
Variáveis de Freqüência Unitária (VFU)
X0* X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 1 X O 2 3 * 4 5 6 7 8 Seqüência 1 - x1 2 - x2 3 - 4 - 5 - 6 - final 7 - x7 8 - x8 Variáveis de Freqüência Unitária (VFU) Círculo na variável inscrição no último lugar x na horizontal
133
Variáveis de Freqüência Unitária (VFU)
X0* X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 1 X O 2 3 * 4 5 6 7 8 Seqüência 1 - x1 2 - x2 3 - 4 - 5 - x5 6 - final 7 - x7 8 - x8 Variáveis de Freqüência Unitária (VFU) Círculo na variável inscrição no último lugar x na horizontal
134
Variáveis de Freqüência Unitária (VFU)
X0* X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 1 X O 2 3 * 4 5 6 7 8 Seqüência 1 - x1 2 - x2 3 - 4 - x4 5 - x5 6 - final 7 - x7 8 - x8 Variáveis de Freqüência Unitária (VFU) Círculo na variável inscrição no último lugar x na horizontal
135
Variáveis de Freqüência Unitária (VFU)
X0* X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 1 X O 2 3 4 5 6 7 8 Seqüência 1 - x1 2 - x2 3 - x3 4 - x4 5 - x5 6 - final 7 - x7 8 - x8 Variáveis de Freqüência Unitária (VFU) Círculo na variável inscrição no último lugar x na horizontal
136
Variável de Abertura: x6
1 X O 2 3 4 5 6 7 8 Seqüência 1 - x1 2 - x2 3 - x3 4 - x4 5 - x5 6 - final 7 - x7 8 - x8 x6 Variável de Abertura: x6
137
x6: variável de abertura
Resolução do Ciclo 1 2 3 4 5 6 7 8 X O * x6: variável de abertura equação final EQUAÇÃO VARIÁVEL 1 x 2 3 4 5 6 final 7 8 x6
138
ESTABELECIMENTO DO ESQUEMA DE CONVERGÊNCIA
Insere-se um Promotor de Convergência São apresentados dois Promotores de Convergência baseados nos métodos para equações não-lineares: (a) Bisseção (b) Substituição Direta
139
Relembrando o Método da Bisseção
x f BISS f (x) f(x) ALGORITMO Estabelecer xi, xs, (tolerância) fs Calcular fi em xi Calcular fs em xs xi REPETIR x x = (xi + xs)/2 fi f xs x Calcular f em x Se Sinal (f) = Sinal (fi): Então atualizar : xi = x : fi = f Senão atualizar : xs = x : fs = f ATÉ xs - xi f(x) xs fs SE ABS(fi) < ABS(fs) ENTÃO Solução = xi SENÃO Solução = xs x f xi fi x
140
x6a 3 4 5 6 x2 x3 x4 x5 x6 f6 (x5, x6) A cada iteração:
(a) BISSSEÇÃO x6a 3 4 5 6 x2 x3 x4 x5 x6 BISS f6 (x5, x6) f3 (x2,x3,x4) = 0 f4 (x3,x4) = 0 f5 (x4,x5) = 0 f6 (x5,x6) = 0 f(x) fs xi x fi f xs x A cada iteração: - arbitra-se x6a . resolve-se sucessivamente as equações 3, 4 e 5. pela equação 6 calcula-se f6 (x5, x6). avalia-se a convergência pelo critério do método da bisseção.
141
RELEMBRANDO O MÉTODO DA SUBSTITUIÇÃO DIRETA
f (x) = 0 explicitando x x = F ( x) A solução é a interseção de F(x) com a reta de 45º onde ela é igual ao próprio x. ALGORITMO Estabelecer xinicial, (tolerância) F = xinicial F(x) F(x) REPETIR x = F x3 x2 x1 x2 x3 x1 x x Calcular a Função F em x F'(x) > 0 |F'(x) < 1 F'(x) < 0 |F'(x)| < 1 ATÉ Convergir convergência monotonica convergência oscilante xsolução = F (a) (c) Convergir = |(F - x)/x| <
142
(b) SUBSTITUIÇÃO DIRETA
x6c 3 4 5 6 x2 x3 x4 x5 x6 SD x6a x 1 2 3 x6c x6a Arbitra-se x6c inicial. A cada iteração: toma-se x6a = x6c . resolve-se sucessivamente as equações 3, 4, 5 e 6, que calcula x6c. avalia-se a convergência através do erro relativo ABS (x6c – x6a) / x6a
143
COMPARAÇÃO DOS PROMOTORES DE CONVERGÊNCIA (b) Substituição Direta
f6 (x5, x6) (a) Bisseção x6a 3 4 5 6 x2 x3 x4 x5 x6 BISS f3 (x2,x3,x6) = 0 f4 (x3,x4) = 0 f5 (x4,x5) = 0 f6 (x5,x6) = 0 Arbitra-se x6a. A cada iteração, a eq.6 calcula f6 (x5, x6) (até convergir) x6c 3 4 5 6 x2 x3 x4 x5 x6 SD x6a f3 (x2,x3,x4) = 0 f4 (x3,x4) = 0 f5 (x4,x5) = 0 f6 (x5,x6) = 0 (b) Substituição Direta Arbitra-se x6a . A cada iteração, a eq.6 calcula x6c = f6(x5) : x6a = x6c (até convergir).
144
Algoritmo de Ordenação de Equações
Enquanto houver equações com incógnita única (a) atribuir (vincular) essa incógnita à respectiva equação. (b) colocar a equação na primeira posição disponível na Seqüência de Cálculo. (c) remover a variável. x* 1 2 x o 7 8 x 6 Enquanto houver equações Enquanto houver variáveis de freqüência unitária (a) atribuir (vincular) essa variável à respectiva equação. (b) colocar a equação na última posição disponível na Seqüência de Cálculo. (c) remover a equação. 3 4 5 X 6 x6 Se ainda houver equações (a) selecionar uma equação que contenha pelo menos uma variável de freqüência igual à menor freqüência dentre todas as variáveis (Final). (b) colocar essa equação na última posição disponível na Seqüência de Cálculo. (c ) remover equação.
145
Mostrar o Programa AOE.xls
146
Uma vez ordenadas, as equações podem ser resolvidas na seqüência estabelecida, com o mínimo de esforço computacional.
147
Algoritmo de Ordenação de Equações
Aplicação a 4 Sistemas típicos em Engenharia de Processos.
148
G = 0 : solução única, sem variável de projeto
1 f1(x1, x2) 2 f2(x2, x3, x4) = 0 3 f3(x3, x4) = 0 4 f4(x4) = 0 Sistema 1 1 * 2 3 4 x1 x2 x3 x4 Matriz Incidência 1 2 3 4 x1 x2 x3 x4 Grafo G = 0 : solução única, sem variável de projeto Ciclo potencial: pode haver variável de abertura
149
Algoritmo de Ordenação de Equações
Enquanto houver equações com incógnita única (a) atribuir (vincular) essa incógnita à respectiva equação. (b) colocar a equação na primeira posição disponível na Seqüência de Cálculo. (c) remover a variável. Matriz Incidência Seqüência de Cálculo x1 x x3 x * * * * * * * * Equação Variável x4 X X X x3 X x2 x1
150
O Sistema 1 como um Problema de Simulação ou de
Dimensionamento sem Otimização - Sequência Acíclica Seqüência de Cálculo Equação Variável x4 x3 x2 x1 PROCESSO LE E* 4 3 2 1 x4 x3 x2 x1 AVALIAÇÃO ECONÔMICA x4 x3 x2 x1
151
G = 1 : problema de otimização, com variável de projeto.
Sistema 2 1 f1(x1,x2) 2 f2(x2,x3,x4) = 0 3 f3(x3,x4) = 0 4 f4(x4,x5) = 0 1 * x1 x2 x3 x4 x5 2 3 4 Matriz Incidência 1 2 3 4 x1 x2 x3 x4 x5 Grafo G = 1 : problema de otimização, com variável de projeto. Ciclo potencial: pode haver variável de abertura.
152
Algoritmo de Ordenação de Equações
Enquanto houver equações com incógnita única (a) atribuir (vincular) essa incógnita à respectiva equação. (b) colocar a equação na primeira posição disponível na Seqüência de Cálculo. (c) remover a variável. Enquanto houver equações Enquanto houver variáveis de freqüência unitária (a) atribuir (vincular) essa variável à respectiva equação. (b) colocar a equação na última posição disponível na Seqüência de Cálculo. (c) remover a equação. Seqüência de Cálculo Matriz Incidência x1 x2 x3 x4 x * * * * * * * * * Equação Variável x3 X x2 X X X x1 x4 variável de projeto x5 X
153
O Sistema 2 como um Problema de Dimensionamento com Otimização - Sequência Acíclica
x1 x2 x3 x4 x5 Equação Variável 1 o x 3 2 4 PROCESSO OTIMIZAÇÃO LE E* 3 2 1 x3 4 x2 x1 x5 x4 AVALIAÇÃO ECONÔMICA x1 x2 x3 x5 x4 : variável de projeto
154
G = 0: solução única, sem variável de projeto
Sistema 3 1 f1(x1,x2) 2 f2(x1,x2,x3,x4) = 0 3 f3(x3,x4) = 0 4 f4(x4) = 0 x1 x2 x3 x4 1 * 2 3 4 Matriz Incidência 1 2 3 4 x1 x2 x3 x4 Grafo G = 0: solução única, sem variável de projeto Ciclos potenciais: podem haver variáveis de abertura
155
Algoritmo de Ordenação de Equações
Enquanto houver equações com incógnita única (a) atribuir (vincular) essa incógnita à respectiva equação. (b) colocar a equação na primeira posição disponível na Seqüência de Cálculo. (c) remover a variável. Matriz Incidência x1 x x3 x * * * * * * * * * Seqüência de Cálculo Equação Variável x4 X X X X X x3 X x2 final x1: Variável de Abertura
156
x1 x2 x3 x4 Equação Variável 1 x o 4 2 3 final E* x4 x3 x2 LE 4 3 1 2
O Sistema 3 como um Problema Simulação ou de Dimensionamento sem Otimização - Sequência Cíclica x1 x2 x3 x4 Equação Variável 1 x o 4 2 3 final PROCESSO E* x4 x3 x2 x1 x2 x3 x4 AVALIAÇÃO LE 4 3 1 2 ECONÔMICA x1 x1 : variável de abertura
157
G = 1: problema de otimização com variável de projeto
Sistema 4 1 f1(x1,x2) 2 f2(x1,x2,x3,x4) = 0 3 f3(x3,x4) = 0 4 f4(x4,x5) = 0 x1 x2 x3 x4 x5 1 * 2 3 4 Matriz Incidência Grafo G = 1: problema de otimização com variável de projeto Ciclos potenciais: pode haver variáveis de abertura
158
Algoritmo de Ordenação de Equações
Enquanto houver equações com incógnita única (a) atribuir (vincular) essa incógnita à respectiva equação. (b) colocar a equação na primeira posição disponível na Seqüência de Cálculo. (c) remover a variável. Enquanto houver equações Enquanto houver variáveis de freqüência unitária (a) atribuir (vincular) essa variável à respectiva equação. (b) colocar a equação na última posição disponível na Seqüência de Cálculo. (c) remover a equação. Seqüência de Cálculo Matriz Incidência Equação Variável x1 x2 x3 x4 x * * * * * * * * * * x2 X x3 X X X X final X x5 X
159
x4: variável de abertura x1 : variável de projeto
O Sistema 4 como um Problema de Dimensionamento com Otimização - Sequência Cíclica Seqüência de Cálculo Equação Variável Matriz Incidência x1 x2 x3 x4 x * * * * * * * * * * x1 x2 X x4 x3 X X X X final X x5 X PROCESSO x 1 2 3 5 E* x x x AVALIAÇÃO LE 2 3 5 OTIMIZAÇÃO 1 3 2 4 ECONÔMICA x4 x1 x4: variável de abertura x1 : variável de projeto
160
COMPARAÇÃO DOS 4 PROBLEMAS
161
Sol.única sem ciclo Otimização sem ciclo Sol.única com ciclo
PROCESSO * E x x x x x x x x AVALIAÇÃO LE Sol.única sem ciclo 4 3 2 1 1 2 3 4 4 3 2 1 ECONÔMICA PROCESSO OTIMIZAÇÃO * LE E x 1 3 2 4 5 AVALIAÇÃO ECONÔMICA Otimização sem ciclo PROCESSO * LE E x 1 4 3 2 AVALIAÇÃO ECONÔMICA Sol.única com ciclo PROCESSO OTIMIZAÇÃO * LE E x 1 3 2 4 5 AVALIAÇÃO ECONÔMICA Otimização com ciclo
162
REGRAS COMPLEMENTARES NA APLICAÇÃO DO
ALGORITMO DE ORDENAÇÃO DE EQUAÇÕES - Variáveis discretas - Variáveis de cálculo direto e iterativo - Variáveis limitadas - Ciclos múltiplos - Variáveis de abertura e de projeto - Eliminação de ciclos.
163
Seus valores são limitados a um conjunto finito. Exemplos:
Variáveis Discretas Seus valores são limitados a um conjunto finito. Exemplos: - tipos de insumos: utilidades, solventes, catalisadores. - diâmetros comerciais de tubos. - número de estágios. Em problemas com G > 0 elas têm preferência como Variáveis de Projeto. Assim: - assumem apenas os valores viáveis atribuídos pelo otimizador. - não sendo calculadas, não há risco de assumirem valores inviáveis.
164
Exemplo: y = a x [a = 1 ou a = 0,5]
G = 2 (duas variáveis de projeto) a = 0,5 : x = 1 y = 0,5 a = 1 : y = 1 x = 1 x = 1 : y = 3 a = 3 (não existe !) Logo: a tem que ser uma das duas variáveis de projeto
165
Variáveis de Cálculo Direto ou Iterativo
Variáveis de cálculo direto são aquelas que podem ser facilmente explicitadas numa equação e calculadas sem necessidade de iterações. Exemplo Nesta equação: - é uma variável de cálculo direto (dadas as temperaturas) - qualquer T é de cálculo iterativo (dado e as demais T’s) As variáveis de cálculo direto têm preferência para a condição de calculadas.
166
Varáveis Limitadas Os seus valores variam entre limites bem definidos. Exemplos: - frações mássicas ou molares - temperaturas em trocadores de calor Variáveis limitadas devem ter preferência para atuar como variáveis de abertura e de projeto. Durante a execução do Algoritmo, a atribuição deve ser postergada ao máximo para que essa preferência seja concretizada.
167
Um sistema de equações pode exibir diversos ciclos.
Ciclos Múltiplos Um sistema de equações pode exibir diversos ciclos. Ciclos em Sequência Primeira entrada de x3: eq. 1 Primeira entrada de x7: eq. 5 Fechar o ciclo com a final mais próxima x3 f 1 ( x o , 3 ) 2 4 5 7 6 = 1 2 4 5 6 1. x 2. x 3. final 4. x 5. x 6. x 7. final x7
168
f x ( , ) = X7 7. x6 6. x5 X4 4. x3 5. final 3. x2 1. x1 2. final
Ciclos Múltiplos Ciclos Aninhados Primeira entrada de x4: eq. 4 Primeira entrada de x7: eq. 7 Fechar o ciclo com a final mais próxima X7 f x 1 o 7 2 6 3 5 4 ( , ) = 1. x1 4. x3 6. x5 3. x2 5. final 7. x6 2. final X4
169
Variáveis de Abertura e de Projeto Simultâneas
Em problemas com G > 0 e com ciclo, a variável de abertura deve ser aquela que fecha, com a Equação Final, um ciclo com o menor número de equações. (a) 1. x 1 2. x 2 4. x 4 6. x 6 3. x 3 x 7 5 5. final 7. x 8 Escolha Conveniente Ciclo com 3 equações 1. x 1 2. x 2 4. x 4 6. x 6 3. x 3 x 7 5 5. final (b) 7. x 8 Escolha Inconveniente Ciclo com 4 equações
170
Eliminação de Ciclos 31 = 1 - X 11 31. X 32 12 13 = k X / [1 + (k - 1) X ] 3 = W 1 X r / X 01. W 2 / X 02. W * - W = 0 32. X 23 = 03. W 15 T 07. W 06. T 05. V d 08. 04. X 33. X 31 = 1 - X 11 31. X 32 12 13 = k X / [1 + (k - 1) X ] 3 = W 1 X r / X 01. W 2 / X 32. X 23 = 03. W 15 T 02'.X = X (1 - r) / [X + (1 - r) 07. W 06. T 05. V d 08. 04. X 33. X Substituindo 01, 07, 04 e 32 em 02, esta fica só com x12 como incógnita. Explicitando x12, resulta 02’, localizada logo depois de 31. A seqüência fica sem ciclo.
171
3. ESTRATÉGIAS DE CÁLCULO
3.1 Equações Não-Lineares 3.1.1 Representação 3.1.2 Resolução: redução de intervalos e aproximações sucessivas 3.2 Sistemas de Equações Não-Lineares 3.2.1 Estrutura e representação 3.2.2 Resolução: partição, abertura, ordenação de equações 3.4 Dimensionamento e Simulação de Processos 3.4.1 Estratégia Global 3.4.2 Estratégia Modular 3.5 Incerteza e Análise de Sensibilidade 3.5.1 Questionamento do Dimensionamento 3.5.2 Questionamento do Desempenho Futuro 3.3 Dimensionamento e Simulação de Equipamentos
172
Rever conhecimentos adquiridos em disciplinas anteriormente cursadas.
3.3 Dimensionamento e Simulação dos Equipamentos Motivação para estudar os equipamentos isolados: Adquirir familiaridade com os equipamentos antes de integrá-los no processo (livres de interações). Montar as rotinas de dimensionamento e de simulação que integram o programa de análise do processo. Rever conhecimentos adquiridos em disciplinas anteriormente cursadas.
173
ENGENHARIA DE EQUIPAMENTOS
Projeto e Análise dos Equipamentos de Processo Reatores Trocadores de calor Separadores Torres de destilação Torres de absorção Extratores Cristalizadores Filtros Outros... Instrumentos de Controle Automático Tratamento compartimentado!
174
Resolver Problema Otimizar Processo Calcular Lucro Dimensionar Extrator Evaporador Condensador Resfriador Misturador Simular Processo
175
Genericamente: análise significa decompor um todo em suas partes,
PROJETO = SÍNTESE ANÁLISE Genericamente: análise significa decompor um todo em suas partes, depreender o comportamento do todo a partir do comportamento das partes.
176
No caso de processos químicos, a Análise consiste em prever e avaliar o desempenho de cada fluxograma gerado na Síntese, para fins de comparação Dimensões dos principais Equipamentos. Consumo de utilidades matérias primas e insumos Modelo Matemático previsão Especificações de projeto Dimensões dos principais equipamentos Consumo de utilidades matérias primas e insumos Modelo Econômico avaliação Lucro
177
W6 T6 W10 T10 W13 T13 W11 T11 W8 T8 W1 x11 T1 f11 f31 W7 T7 W5 T5 W3 x13 T3 f13 f23 W4 x14 T4 f14 f24 W12 T12 W14 T14 W2 x12 T2 f12 f32 EXTRATOR Extrato Rafinado EVAPORADOR CONDENSADOR RESFRIADOR MISTURADOR BOMBA 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 Vd Ae Ac Ar Alimentação Vapor Água Benzeno Produto Condensado W15 T15
178
Fragmentando o Processo ...
W10 T10 W13 T13 W12 T12 RESFRIADOR 10 11 12 13 Ar Água W8 T8 W5 T5 W12 T12 CONDENSADOR 5 8 9 Ac Água W10 T10 10 Benzeno Fragmentando o Processo ... W6 T6 W7 T7 W3 x13 T3 f13 f23 W4 x14 T4 f14 f24 EVAPORADOR 4 6 7 Ae Vapor W5 T5 5 Benzeno Produto Condensado 3 Extrato W1 x11 T1 f11 f31 1 15 Alimentação Extrato 3 W2 x12 T2 f12 f32 EXTRATOR Rafinado BOMBA 2 Vd W3 x13 T3 f13 f23 W15 T15
179
EXTRATOR 01. Balanço Material do Ácido Benzóico: f11 - f12 - f13 = 0
W1 x11 T1 f11 f31 1 15 Alimentação Extrato 3 W2 x12 T2 f12 f32 EXTRATOR Rafinado BOMBA 2 Vd W3 x13 T3 f13 f23 W15 T15 01. Balanço Material do Ácido Benzóico: f f12 - f13 = 0 02. Balanço Material do Benzeno: W15 - f23 = 0 03. Balanço Material da Água: f31 - f32 = 0 04. Relação de Equilíbrio Líquido-Líquido: x13 - k x12 = 0 05. Relação de Equilíbrio Líquido-Líquido: k – (3 + 0,04 Td) = Balanço de Energia: (f11 Cp1 + f31 Cp3) (T1 - Td) + W15 Cp2l (T15 - Td) = Equação de Dimensionamento: Vd - (f11 / 1 + W15 / 2 + f31 / 3) = 0 08. Fração Recuperada de Ácido Benzóico: r - f13 / f11 = Fases em Equilíbrio T2 – Td = Fases em Equilíbrio T3 – Td = 0 34. Vazão Total na Corrente 1: f11 + f31 - W1 = 0 35. Fração Mássica na Corrente 1: x11 - f11 / W1 = 0 36. Vazão Total na Corrente 2: f12 + f32 – W2 = 0 37. Fração Mássica na Corrente 2: x12 - f12 / W2 = 0 38. Vazão Total na Corrente 3: f13 + f23 – W3 = 0 39. Fração Mássica na Corrente 3: x13 - f13 / W3 = 0
180
01. f f12 - f13 = 0 02. W15 - f23 = 0 03. f31 - f32 = 0 04. x13 - k x12 = 0 05. k – (3 + 0,04 Td) = (f11 Cp1 + f31 Cp3) (T1 - Td) + W15 Cp2l (T15 - Td) = Vd - (f11 / 1 + W15 / 2 + f31 / 3) = 0 08. r - f13 / f11 = T2 – Td = T3 – Td = 0 34. f11 + f31 - W1 = 0 35. x11 - f11 / W1 = 0 36. f12 + f32 – W2 = 0 37. x12 - f12 / W2 = 0 38. f13 + f23 – W3 = 0 39. x13 - f13 / W3 = 0 35 f11 8 f13 1 f12 34 f31 3 f32 36 W2 37 x12 W3 39 x13 4 k 5 Td 38 f23 6 W15 Final 2 10 T3 9 T2 7 Vd
181
DIMENSIONAMENTO DO EXTRATOR
Problema proposto: determinar o volume do decantador e a vazão de benzeno necessários para recuperar 60% do ácido benzóico presente a 0,2% nos kg/h de alimentação, a 25 oC, com um tempo de residência de 5 min (0,0833 h). Determinar as concentrações das correntes de extrato e de rafinado. A temperatura do benzeno é 25 oC. Balanço de Informação V = 22 N = 16 C = 4 G = 2 ! W3 = kg/h x13 = 0,0032 T3 = 25 oC f13 = 120 kg/h f23 = kg/h W3 x13 T3 f13 f23 15 W15 W15 = kg/h T*15 = 25 oC EXTRATOR BOMBA 3 1 Vd Vd = l Extrato *= 0,0833 h r* = 0,60 Metas de Projeto Máximo = 2 W*1= kg/h x*11 = 0,002 T*1 = 25 oC f11 f31 W2 = kg/h x12 = 0,0008 T2 = 25 oC f12 = 80 kg/h f32 = kg/h W2 x12 T2 f12 f32 2 V = 22 N = 16 C = 4 M = 2 G = 0 f11 = 200 kg/h f31 = kg/h Alimentação Rafinado
183
Resultando a rotina DimensionarExtrator do programa BenzoDSO (diferente)
f11 = x11 * W '35 f13 = r * f '08 f12 = f11 - f '01 f31 = W1 - f '34 f32 = f '03 W2 = f12 + f '36 x12 = f12 / W '37 W = Cp1 * f11 + f31 a = (25 / x12) * (W + f13 * Cp2l) b = W * (T ) - f13 * Cp2l * (T / x12) c = f13 * Cp2l * (T ) discr = Sqr(b ^ * a * c) x13 = (discr + b) / (2 * a) '06' (Variável de abertura) W3 = f13 / x ' (Início do Ciclo) k = x13 / x '04 f23 = W3 - f '38 Td = 25 * (k - 3) '05 W15 = f ' (Final do Ciclo) Vd = Tau * (f11 / Ro1 + W15 / Ro2 + f31 / Ro3) '07 T2 = Td '09 T3 = Td '10
184
Resolver Problema Otimizar Processo Calcular Lucro Dimensionar Extrator Evaporador Condensador Resfriador Misturador Simular Processo
185
SIMULAÇÃO DO EXTRATOR G = 0 !
Problema proposto: determinar as vazões e as concentrações das correntes de extrato e de rafinado, a fração recuperada de ácido benzóico e o tempo de residência, caso o extrator de Vd = L fosse alimentado com kg/h de benzeno, e não com os kg/h de projeto (as demais condições de entrada permanecendo as mesmas de projeto). W*1= kg/h x*11 = 0,002 T*1 = 25 oC f11 f31 1 15 Alimentação Extrato 3 W2 x12 T2 f12 f32 EXTRATOR Rafinado BOMBA 2 W3 x13 T3 f13 f23 T*15 = 25 oC *= 0,0833 h r* = 0,60 Vd W2 = kg/h x12 = 0,0008 T2 = 25 oC f12 = 80 kg/h f32 = kg/h W3 = kg/h x13 = 0,0032 T3 = 25 oC f13 = 120 kg/h f23 = kg/h f11 = 200 kg/h f31 = kg/h W15 = kg/h W15 Vd = l W3 = kg/h x13 = 0,0026 T3 = 25 oC f13 = 133 kg/h f23 = kg/h W*15 = kg/h T*15 =25 oC 15 EXTRATOR BOMBA 3 1 V*d = l Extrato = 0,075 h r = 0,67 W*1= kg/h x*11 = 0,002 T*1 = 25 oC f11 = 200 kg/h f31 = kg/h W2 = kg/h x12 = 0,0007 T2 = 25 oC f12 = 67 kg/h f32 = kg/h 2 Alimentação G = 0 ! Rafinado
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Resulta a rotina SimularExtrator do programa BenzoDSO (diferente)
f23 = W '02 f11 = W1 * x '35 f31 = W1 - f '34 f32 = f '03 a = f11 * Cp1 + f31 * Cp3 b = W15 * Cp2l Td = (a * T1 + b * T15) / (a + b) '06 Tau = Vd / (f11 / Ro1 + W15 / Ro2 + f31 / Ro3) '07 k = * Td '05 T2 = Td '09 T3 = Td '10 a = k - 1: 'Cells(24, 7) = a b = k * (f11 + f23) + f32 - f11: 'Cells(25, 7) = b c = f11 * f32: Cells(26, 7) = c discr = Sqr(b ^ * a * c): 'Cells(27, 7) = discr f12 = (b - discr) / (2 * a) '04' Variável de Abertura f13 = f11 - f '01 Início do Ciclo W2 = f12 + f '36 x12 = f12 / W '37 W3 = f13 + f '38 x13 = f13 / W '39 Final de Ciclo r = f13 / f '08
188
Resolver Problema Otimizar Processo Calcular Lucro Dimensionar Extrator Evaporador Condensador Resfriador Misturador Simular Processo
189
RESFRIADOR 26. Balanço Material da Água: W11 - W12 = 0
27. Balanço Material do Benzeno: W10 - W13 = 0 28. Balanço de Energia na Corrente de Água: Qr - W11 Cp3 (T12 - T11) = 0 29. Balanço de Energia na Corrente de Benzeno: Qr - W10 Cp2l (T10 - T13) = 0 30. Equação de Dimensionamento: Qr - Ur Ar r = 0 31. Definição do T Médio Logarítmico (r ): r - [(T10 - T12) - (T13 - T11) ] / ln[(T10 - T12) / (T13 - T11)] = 0 RESFRIADOR W10 T10 W13 T13 W12 T12 10 11 12 13 Ar Água
190
DIMENSIONAMENTO DO RESFRIADOR
Problema proposto: determinar a vazão de água de resfriamento e a área de troca térmica do resfriador necessárias para resfriar kg/h de benzeno liquido saturado até 25 oC. A água se encontra a 15 oC e deve sair a 30 oC. W13 = T*13 = 25 oC W*10 = kg/h T*10 = 80 oC W12 = T*12 = 30 oC 10 11 12 13 Ar Água W11 = T*11 = 15 oC W*10 = kg/h T*10 = 80 oC W12 = kg/h T*12 = 30 oC 10 11 12 13 Ar = 362 m2 Água W11 = kg/h T*11 = 15 oC W13 = kg/h T*13 =25 oC V = 11 N = 6 C = 3 M = 2 G = 0 !
191
RESFRIADOR 26. Balanço Material da Água: W11 - W12 = 0
27. Balanço Material do Benzeno: W10 - W13 = 0 28. Balanço de Energia na Corrente de Água: Qr - W11 Cp3 (T12 - T11) = 0 29. Balanço de Energia na Corrente de Benzeno: Qr - W10 Cp2l (T10 - T13) = 0 30. Equação de Dimensionamento: Qr - Ur Ar r = 0 31. Definição do T Médio Logarítmico (r ): r - [(T10 - T12) - (T13 - T11)]/ln[(T10 - T12)/(T13 - T11)] = 0 RESFRIADOR W10 T10 W13 T13 W12 T12 10 11 12 13 Ar Água
193
Resultando a rotina DimensionarResfriador
27. W13 = W Qr = W10 Cp2l (T10 - T13) 28. W11 = Qr / (Cp3 (T12 - T11)) 26. W12 = W11 d1 = T10 - T12: d2 = T13 - T dr = (d1 - d2) / ln (d1 / d2) 30. Ar = Qr / (Ur dr )
194
Resolver Problema Otimizar Processo Calcular Lucro Dimensionar Extrator Evaporador Condensador Resfriador Misturador Simular Processo
195
SIMULAÇÃO DO RESFRIADOR
Problema proposto: pretende-se determinar as temperaturas de saída do benzeno e da água, caso o resfriador projetado para 361 m2 fosse alimentado com kg/h de benzeno ao invés de kg/h, mantidas a vazão e a temperatura da água de resfriamento. W*10 = kg/h T*10 = 80 oC W12 = kg/h T12 = 24,5 oC 10 11 12 13 A*r = 362 m2 Água W*11 = kg/h T*11 = 15 oC W13 = kg/h T13 = 16,8 oC W*10 = kg/h T*10 = 80 oC W12 = kg/h T*12 = 30 oC 10 11 12 13 Ar = 362 m2 Água W11 = kg/h T*11 = 15 oC W13 = kg/h T*13 = 25 oC V = 11 N = 6 E = 5 G = 0 ! Resultado do dimensionamento Resultado da simulação
197
Resultou a rotina SimularResfriador (diferente)
W12 = W '26 W13 = W '27 T = T10 - T11: a1 = 1 / (W10 * Cp2l) a2 = 1 / (W11 * Cp3): E1 = Exp(Ur * Ar * (a1 - a2)) Qr = T * (1 - E1) / (a2 - E1 * a1) '30 Variável de Abertura T12 = T11 + Qr * a '28 Inicio de Ciclo T13 = T10 - Qr * a '29 d1 = T10 - T12: d2 = T13 - T11 If Abs(d1 - d2) < Then Dr = d1 Else Dr = (d1 - d2) / Log(d1 / d2) '31 Final de Ciclo
198
Resolver Problema Otimizar Processo Calcular Lucro Dimensionar Extrator Evaporador Condensador Resfriador Misturador Simular Processo
199
CONDENSADOR 20. Balanço Material da Água: W8 - W9 = 0
W5 T5 W10 T10 W9 T9 5 8 9 10 Ar Água W8 T8 CONDENSADOR 20. Balanço Material da Água: W8 - W9 = 0 21. Balanço Material do Benzeno: W5 - W10 = 0 22. Balanço de Energia na Corrente de Água: Qc - W8 Cp3 (T9 - T8) = 0 23. Balanço de Energia na Corrente de Benzeno: W5 [2 + Cp2g (T5 – T10)] - Qc = 0 24. Equação de Dimensionamento: Qc - Uc Ac c = 0 25. Definição do T Médio Logarítmico (c): c - [(T5 - T9) - (T10 - T8)]/ln[(T5 - T9)/(T10 - T8)] = 0
200
DIMENSIONAMENTO DO CONDENSADOR
Problema proposto: determinar a vazão de água de resfriamento e a área de troca térmica necessárias para condensar kg/h de benzeno de vapor saturado a líquido saturado. A água se encontra a 15 oC e deve sair a 30 oC . W10 = kg/h T*10 = 80 oC W9 = kg/h T*9 = 30 oC 5 8 9 10 Água W8 = kg/h T*8 = 15 oC Ac = 120 m2 W*5 = kg/h T*5 = 80 oC W*5 = kg/h T*5 = 80 oC W10 T*10 = 80 oC W9 T*9 = 30 oC 5 8 9 10 Água W8 T*8 = 15 oC Ac V = 11 N = 6 C = 3 M = 2 G = 0 !
201
CONDENSADOR 20. Balanço Material da Água: W8 - W9 = 0
W5 T5 W10 T10 W9 T9 5 8 9 10 Ar Água W8 T8 CONDENSADOR 20. Balanço Material da Água: W8 - W9 = 0 21. Balanço Material do Benzeno: W5 - W10 = 0 22. Balanço de Energia na Corrente de Água: Qc - W8 Cp3 (T9 - T8) = 0 23. Balanço de Energia na Corrente de Benzeno: W5 [2 + Cp2g (T5 – T10)] - Qc = 0 24. Equação de Dimensionamento: Qc - Uc Ac c = 0 25. Definição do T Médio Logarítmico (c): c - [(T5 - T9) - (T10 - T8)]/ln[(T5 - T9)/(T10 - T8)] = 0
203
Resultando a rotina DimensionarCondensador
21. W10 = W5 23. Qc = W5 2 d1 = T5 - T9: d2 = T10 - T8 22. W8 = Qc / (Cp3 * (T9 - T8)) 20. W9 = W8 25. dc = (d1 - d2) / ln (d1 / d2) 24. Ac = Qc / (Uc * dc)
204
Resolver Problema Otimizar Processo Calcular Lucro Dimensionar Extrator Evaporador Condensador Resfriador Misturador Simular Processo
205
SIMULAÇÃO DO CONDENSADOR
Problema proposto: determinar a vazão de água necessária para condensar kg/h de benzeno, ao invés dos kg/h para os quais foi calculada a área de 119 m2. Pretende-se que o benzeno deixe o condensador como líquido saturado. A água se encontra a 15 oC. W10 = kg/h T*10 = 80 oC W9 = kg/h T*9 = 30 oC 5 8 9 10 Água W8 = kg/h T*8 = 15 oC Ac = 120 m2 W*5 = kg/h T*5 = 80 oC W*5 = kg/h T*5 = 80 oC W10 = T*10 = 80 oC W9 = T9 = 5 8 9 10 Água W8 = kg/h T*8 = 15 oC A*c = 120 m2 V = 11 N = 6 C = 5 M = 1 G = - 1 !!! resultado do dimensionamento Pretendido na simulação
206
Este problema difere da simulação do extrator e do resfriador porque contem uma meta: o benzeno deve sair como líquido saturado, logo a 80 oC. Daí: G = -1. W*5 = kg/h T*5 = 80 oC W10 = T*10 = 80 oC W9 = T9 = 5 8 9 10 Água W8 = kg/h T*8 = 15 oC A*c = 120 m2 V = 11 N = 6 C = 5 M = 1 G = -1 !!!
207
V = 11 N = 6 C = 5 M = 1 G = -1 !!! V = 11 N = 5 C = 5 M = 1 G = 0
W*5 = kg/h T*5 = 80 oC W10 = T*10 = 80 oC W9 = T9 = 5 8 9 10 Água W8 = kg/h T*8 = 15 oC A*c = 120 m2 V = 11 N = 6 C = 5 M = 1 G = -1 !!! V = 11 N = 5 C = 5 M = 1 G = 0 O problema só pode ser resolvido se alguma condição conhecida deixar de sê-lo. W*5 = kg/h T*5 = 80 oC W10 = kg/h T*10 = 80 oC W9 = kg/h T9 = 67,7 oC 5 8 9 10 Água W8 = kg/h T*8 = 15 oC A*c = 120 m2 Uma solução consiste em transformar W8 em incógnita. O seu valor calculado pode ser tomado como set-point de um sistema de controle que a utilize como variável de controle.
208
resultado do dimensionamento resultado da simulação
W10 = kg/h T*10 = 80 oC W9 = kg/h T*9 = 30 oC 5 8 9 10 Água W8 = kg/h T*8 = 15 oC Ac = 120 m2 W*5 = kg/h T*5 = 80 oC resultado do dimensionamento W*5 = kg/h T*5 = 80 oC W10 = kg/h T*10 = 80 oC W9 = kg/h T9 = 67,7 oC 5 8 9 10 Água W8 = kg/h T*8 = 15 oC A*c = 120 m2 resultado da simulação
210
Resulta a rotina SimularCondensador
21. W10 = W5 23. Qc = W5 2 24. dc = Qc / (Uc Ac) 25. c - [(T5 - T9) - (T10 - T8)]/ln[(T5 - T9)/(T10 - T8)] = 0 (Resolução por Bisseção) 22. W8 = Qc / (Cp3 (T9 - T8)) 20. W9 = W8
211
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212
EVAPORADOR 11. Balanço Material do Ácido Benzóico: f13 - f14 = 0
W6 T6 W7 T7 W3 x13 T3 f13 f23 W4 x14 T4 f14 f24 4 6 7 Ae Vapor W5 T5 5 Benzeno Produto Condensado 3 Extrato 11. Balanço Material do Ácido Benzóico: f13 - f14 = 0 12. Balanço Material do Benzeno: f23 - f24 - W5 = 0 13. Balanço Material do Vapor: W6 - W7 = 0 14. Balanço de Energia na Corrente de Vapor: W6 [3 + Cpv (T6 – T7)] - Qe = 0 15. Balanço de Energia na Corrente de Processo: Qe – [(f13Cp1 + f23Cp2l)(Te - T3) + W5 2] = 0 16. Equação de Dimensionamento: Qe - Ue Ae e = 0 17. Definição da Diferença de Temperatura (e): e - (T6 - Te) = Fases em Equilíbrio T4 – Te = Fases em Equilíbrio T5 – Te = 0 38. Vazão Total na Corrente 3: f13 + f23 – W3 = 0 39. Fração Mássica na Corrente 3: x13 - f13 /W3 = 0 40. Vazão Total na Corrente 4: f14 + f24 - W4 = 0 41. Fração Mássica na Corrente 4: x14 - f14/W4 = 0
213
DIMENSIONAMENTO DO EVAPORADOR
Problema proposto: determinar a vazão de um vapor a 150 oC e a área de troca térmica necessárias para obter um concentrado com 10% de ácido benzóico, a partir de uma corrente com kg/h de uma solução de 0,32% de ácido benzóico em benzeno, a 25 oC. O condensado deve sair como líquido saturado a 150 oC . O evaporador opera a 1 atm. W6 T*6 = 150 oC W7 T*7 = 150 oC W*3 = kg/h x*13 = 0,0032 T*3 = 25 oC f13 f23 W4 x*14 = 0,10 T4 f14 f24 4 6 7 Ae Vapor W5 T5 5 Benzeno Produto Condensado 3 Te* = 80 oC W6 = kg/h T*6 = 150 oC W7 = kg/h T*7 = 150 oC W*3 = kg/h x*13 = 0,0032 T*3 = 25 oC f13 = 120 kg/h f23 = kg/h W4 = kg/h x*14 = 0,10 T4 = 80 oC f14 = 120 kg/h f24 = 1.076kg/h 4 6 7 Ae= 124 m2 Vapor W5 = kg/h T5 = 80 oC 5 Benzeno Produto Condensado 3 Te* = 80 oC V = 20 N = 13 C = 4 M = 3 G = 0 !
215
Resulta a rotina DimensionarEvaporador
15. De = T6 - T 35. f13 = W3 x13 09. f14 = f13 34. f23 = W3 - f13 37. W4 = f14 / x14 36. f24 = W4 - f14 10. W5 = f23 - f24 13. Qe = (f13 Cp1 + f23 Cp2l) (T - T3) + W5 L2 12. W6 = Qe / (L 3 + Cp3 (T6 - T7)) 11. W7 = W6 14. Ae = Qe / (Ue De)
216
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217
SIMULAÇÃO DO EVAPORADOR
Problema proposto: determinar as vazões de vapor e de evaporado, a vazão e a concentração do concentrado, caso o evaporador, com os mesmos 124 m2 de área de projeto, fosse alimentado com kg/h de solução e não mais com kg/h. Pretende-se que o condensado saia como líquido saturado (150 oC). resultado do dimensionamento pretendido na simulação W6 = kg/h T*6 = 150 oC W7 = kg/h T*7 = 150 oC W*3 = kg/h x*13 = 0,0032 T*3 = 25 oC f13 = 120 kg/h f23 = kg/h W4 = kg/h x*14 = 0,10 T4 = 80 oC f14 = 120 kg/h f24 = 1.081kg/h 4 6 7 Ae= 124 m2 Vapor W5 = kg/h T5 = 80 oC 5 Benzeno Produto Condensado 3 Te* = 80 oC W6 = kg/h T*6 = 150 oC W7 = T*7 = 150 oC W*3 = kg/h x*13 = 0,0032 T*3 = 25 oC f13 = 120 kg/h f23 = kg/h W4 = x14 = T4 = f14 = f24 = 4 6 7 Ae= 124 m2 Vapor W5 = T5 = 5 Benzeno Produto Condensado 3 Te* = 80 oC V = 20 N = 13 C = 7 M = 1 G = -1 !!!
218
Situação semelhante à da simulação do condensador
W5 = T5 = W6 = kg/h T*6 = 150 oC W7 = T*7 = 150 oC W*3 = kg/h x*13 = 0,0032 T*3 = 25 oC f13 = 120 kg/h f23 = kg/h W4 = x14 = T4 = f14 = f24 = 4 6 7 Ae= 124 m2 Vapor 5 Benzeno Produto Condensado 3 Te* = 80 oC V = 20 N = 13 C = 7 M = 1 G = -1 !!! Situação semelhante à da simulação do condensador W6 = kg/h T*6 = 150 oC W7 = kg/h T*7 = 150 oC W*3 = kg/h x*13 = 0,0032 T*3 = 25 oC f13 = 160 kg/h f23 = kg/h W4 = kg/h x14 = 0,0093 T4 = 80 oC f14 = 160 kg/h f24 = kg/h 4 6 7 Vapor W5 = kg/h T5 = 80 oC 5 Benzeno Produto Condensado 3 Te* = 80 oC Ae= 124 m2 Uma solução consiste em transformar W6 em incógnita. O seu valor calculado pode ser tomado como set-point de um sistema de controle que a utilize como variável de controle. V = 20 N = 13 C = 6 M = 1 G = 0
219
resultado do dimensionamento resultado da simulação
W6 = kg/h T*6 = 150 oC W7 = kg/h T*7 = 150 oC W*3 = kg/h x*13 = 0,0032 T*3 = 25 oC f13 = 120 kg/h f23 = kg/h W4 = kg/h x*14 = 0,10 T4 = 80 oC f14 = 120 kg/h f24 = 1.081kg/h 4 6 7 Ae= 124 m2 Vapor W5 = kg/h T5 = 80 oC 5 Benzeno Produto Condensado 3 Te* = 80 oC W6 = kg/h T*6 = 150 oC W7 = kg/h T*7 = 150 oC W*3 = kg/h x*13 = 0,0032 T*3 = 25 oC f13 = 160 kg/h f23 = kg/h W4 = kg/h x14 = 0,0093 T4 = 80 oC f14 = 160 kg/h f24 = kg/h 4 6 7 Vapor W5 = kg/h T5 = 80 oC 5 Benzeno Produto Condensado 3 Te* = 80 oC Ae= 124 m2 resultado da simulação
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Resulta a rotina SimularEvaporador
15. De = T6 - T 14. Qe = Ue Ae De 12. W6 = Qe / (l3 + Cpv * (T6 - T7)) 11.W7 = W6 35. f13 = W3 * x13 09. f14 = f13 34. f23 = W3 - f13 13. W5 = (Qe - (f13 * Cp1 + f23 * Cp2l) * (T - T3)) / l2 10. f24 = f23 - W5 36. W4 = f14 + f24 37. x14 = f14 / W4
222
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223
3. ESTRATÉGIAS DE CÁLCULO
3.1 Equações Não-Lineares 3.1.1 Representação 3.1.2 Resolução: redução de intervalos e aproximações sucessivas 3.2 Sistemas de Equações Não-Lineares 3.2.1 Estrutura e representação 3.2.2 Resolução: partição, abertura, ordenação de equações 3.3 Dimensionamento e Simulação de Equipamentos 3.4.2 Estratégia Modular 3.5 Incerteza e Análise de Sensibilidade 3.5.1 Questionamento do Dimensionamento 3.5.2 Questionamento do Desempenho Futuro 3.4 Dimensionamento e Simulação de Processos 3.4.1 Estratégia Global
224
É a estratégia mais indicada para dimensionamento.
3.4 DIMENSIONAMENTO E SIMULAÇÃO DE PROCESSOS Existem duas estratégias básicas: - Estratégia Global - Estratégia Modular 3.4.1 ESTRATÉGIA GLOBAL Todas as equações são consideradas simultaneamente, independentemente dos equipamentos a que pertencem. O Algoritmo de Ordenação de Equações é executado como se fosse para um equipamento isolado. É a estratégia mais indicada para dimensionamento.
225
Dimensionamento do Processo – Estratégia Global
01. f11 - f12 - f13 = W15 - f23 = f31 - f32 = k – (3 + 0,04 Td) = k - x13 / x12= (f11 Cp1 + f31 Cp3) (T1 - Td) + W15 Cp2l (T15 - Td) = Vd - (f11 /1 + W15/2 + f31/3) = r - f13/f11 = T2 – Td = T3 – Td = 0 20. W8 - W9 = 0 21. W5 - W10 = 0 22. Qc - W8 Cp3 (T9 - T8) = 0 23. W5 [2 + Cp2g (T5 – T10)] - Qc = 0 24. Qc - Uc Ac c = 0 25. c - [(T5 - T9) - (T10 - T8)]/ln[(T5 - T9)/(T10 - T8)] = 0 26. W11 - W12 = 0 27. W10 - W13 = 0 28. Qr - W11 Cp3 (T12 - T11) = 0 29. Qr - W10 Cp2l (T10 - T13) = 0 30. Qr - Ur Ar r = 0 31. r - [(T10 - T12) - (T13 - T11)]/ln[(T10 - T12)/(T13 - T11)] = 0 11. f13 - f14 = 0 12. f23 - f24 - W5 = 0 13. W6 - W7 = 0 14. W6 [3 + Cpv (T6 – T7)] - Qe = 0 15. Qe – [(f13Cp1 + f23Cp2l)(Te - T3) + W5 2] = 0 16. Qe - Ue Ae e = 0 17. e - (T6- Te) = T4 – Te = T5 – Te = 0 32. W13 + W14 - W15 = 0 33. W13 (T15 - T13) + W14 (T15 - T14) = 0 34. f11 + f31 - W1 = 0 35. x11 - f11 /W1 = 0 36. f12 + f22 – W2 = 0 37. x12 - f12/W2 = 0 38. f13 + f23 – W3 = 0 39. x13 - f13 /W3 = 0 40. f14 + f24 - W4 = 0 41. x14 - f14/W4 = 0
227
Dimensionar Processo (03) T3 = T2 (13) T4 = T5 (16) e = T6 - T5
(22) D1 = T5 - T9: D2 = T10 - T8 : c = (D1 - D2) / ln (D1 / D2) (32) f11 = W1 x11 (08) f13 = f11 r (31) f31 = W1 - f11 (01) f12 = f11 - f13 (09) f14 = f13 (03) f32 = f31 (04) f23 = f13 f32 / (k f12) (34) W4 = f14 / x14 (02) W15 = f23 (33) f24 = W4 - f14 (05) T15 = T2 - (f11 Cp1 + f31 Cp3) (T1 - T2) / (W15 Cp2l) (07) Vd = (f11 / 1 + W15 / 2 + f31 / 3) (10) W5 = f23 - f24 (14) Qe = (f13 Cp1 + f23 Cp2l) (T5 - T3) + W52
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(18) W10 = W5 (20) Qc = W5 (2 + Cp2l (T5 - T10))
(12) W6 = Qe / ( 3 + Cp3 (T6 - T7)) (15) Ae = Qe / (Ue e) (24) W13 = W10 (19) W8 = Qc / (Cp3 (T9 - T8)) (21) Ac = Qc / (Uc c) (11) W7 = W6 (29) W14 = W15 - W13 (17) W9 = W8 (30) T13 = T15 + W14 (T15 - T14) / W13 (26) Qr = W10 Cp2l (T10 - T13) (28) D1 = T10 - T12: D2 = T13 - T11: r = (D1 - D2) / ln (D1 / D2) (25) W11 = Qr / (Cp3 (T12 - T11)) (27) Ar = Qr / (Ur r) (23) W12 = W11
229
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3. ESTRATÉGIAS DE CÁLCULO
3.1 Equações Não-Lineares 3.1.1 Representação 3.1.2 Resolução: redução de intervalos e aproximações sucessivas 3.2 Sistemas de Equações Não-Lineares 3.2.1 Estrutura e representação 3.2.2 Resolução: partição, abertura, ordenação de equações 3.3 Dimensionamento e Simulação de Equipamentos 3.4 Dimensionamento e Simulação de Processos 3.4.1 Estratégia Global 3.5 Incerteza e Análise de Sensibilidade 3.5.1 Questionamento do Dimensionamento 3.5.2 Questionamento do Desempenho Futuro 3.4.2 Estratégia Modular
231
Utiliza módulos criados previamente para cada equipamento.
3.4.2 Estratégia Modular Utiliza módulos criados previamente para cada equipamento. Cada módulo contem as equações já ordenadas para dimensionamento ou simulação (Seção 3.3). Para cada problema, os módulos são seqüenciados convenientemente segundo o fluxograma material do processo. Havendo a presença de reciclos no fluxograma, torna-se necessária a abertura de um certo número de correntes e a inserção de um módulo promotor de convergência para cada uma. É a estratégia mais indicada para simulação.
232
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Simulação do Processo Ilustrativo Estratégia Modular
234
O fluxograma exibe um reciclo.
MISTURADOR RESFRIADOR CONDENSADOR W*14 = kg/h T*14 = 25 oC 14 W12 = kg/h T12 = 29 oC W12 = kg/h T12 = 29 oC 12 O fluxograma exibe um reciclo. 9 13 10 Seleciona-se uma corrente de abertura com o menor número possível de variáveis (simplificar o gerenciamento da convergência): no caso, foi selecionada a corrente 5 (é preciso gerenciar apenas W5). W13 = kg/h T13 = 25 oC W10 = kg/h T*10 = 80 oC A*r = 361 m2 A*c = 119 m2 11 8 W11 = kg/h T*11 = 15 oC W8 = kg/h T*8 = 15 oC W5 = kg/h T*5 = 80 oC 15 W15 = kg/h T13 = 25 oC Implementa-se um módulo promotor de convergência: no caso, o de Substituição Direta. W3 = kg/h x13 = 0,004 T3 = 25 oC f13 = 149 kg/h f23 = kg/h 5 EXTRATOR BOMBA EVAPORADOR O valor inicial arbitrado para W5 pode ser aquele obtido no Dimensionamento. 3 A*e = 124 m2 1 V*d = l W6 =8.594 kg/h T*6 = 150 oC = 0,0617 h Extrato W*1 = kg/h x*11 = 0,002 T*1 = 25 oC f11 = 300 kg/h f31 = kg/h r = 0,50 7 6 W2 = kg/h x12 = 0,001 T2 = 25 oC f12 = 150 kg/h f32 = kg/h A cada iteração o módulo confere a convergência e atualiza o valor de W5 W7 = kg/h T*7 = 150 oC W4 = kg/h x14 = 0,12 T4 = 80 oC f14 = 150 kg/h f24 = kg/h 2 4 Rafinado
235
Simulação do Processo Ilustrativo - Estratégia Modular
W45 T14 RESFRIADOR CONDENSADOR 24. W W12 25'. Qr 28. T T r W10 T10 18. W Qc 19. c 22'. T9 21. W8 17. W9 W13 T13 MISTURADOR 29. W T15 Repetição até convergir |W5c – W5a| / W5a erro relativo W15 T15 W5a T5 SS W5c W1 T1 x11 f11 f31 EXTRATOR EVAPORADOR 02. f f f f T2 07. 06. T3 01' f f r 09. f T4 16. e 15. Qe 12. W6 14. W5 10. f W7 33. W4 34. x14 f13 f23 T3 T2 f12 f32 W4 T4 x14 f14 f24
236
SUB SimularOProcesso ' INPUT "W5= "; W5c W5$ = "W5 = " + STR$(INT(W5c)) NoDeIteracoes = 0 DO W5a = W5c SimularOCondensador SimularOResfriador SimularOMisturador SimularOExtrator SimularOEvaporador MostrarOResultado NoDeIteracoes = NoDeIteracoes + 1 ErroRelativo = ABS(W5a - W5c) / W5a PausaSeQuizer LOOP UNTIL Convergir END SUB
237
Resolver Problema Otimizar Processo Calcular Lucro Dimensionar Extrator Evaporador Condensador Resfriador Misturador Simular Processo
238
Simulação de Processos com Estrutura Complexa
1 2 3 4 5 6 7 8 1* 9 10 11 12 13 14 Problema: Estabelecer uma estratégia de cálculo e implementá-la sob a forma de um algoritmo executável em computador. Cada equipamento é representado por um módulo computacional em que as equações se encontram ordenadas para simulação. A estratégia de cálculo é a ordem em que os equipamentos devem ser simulados.
239
Simulação de Processos com Estrutura Complexa
1 2 3 4 5 6 7 8 1* 9 10 11 12 13 14 Dificuldade: os diversos reciclos Procedimento: (a) identificação dos ciclos. (b) seleção das correntes de abertura (c ) construção do algoritmo de simulação
240
Um ciclo é identificado ao se chegar a um equipamento já visitado.
(a) Identificação dos Ciclos 1 2 3 4 5 6 7 8 1* 9 10 11 12 13 14 Pode-se utilizar o Método do Traçado de Percursos (labirinto) Percorre-se o fluxograma anotando, numa lista dupla, as correntes (LC) e os equipamentos visitados (LE). Um ciclo é identificado ao se chegar a um equipamento já visitado. Corrente: Destino : Equipamento 1 já visitado : ciclo 2 3 4
241
ALGORITMO RESUMIDO (a) Identificação dos Ciclos
1 2 3 4 5 6 7 8 1* 9 10 11 12 13 14 ALGORITMO RESUMIDO Colocar uma corrente conhecida na LC (toda corrente colocada fica “aberta”) Colocar o seu destino na LE REPETIR O destino já está na LE: registrar o ciclo formado por todas as correntes abertas após o primeiro registro do destino) e fechar as correntes até à última aberta; tomar a última corrente aberta e colocar seu destino na LE O destino não está na LE: colocar as suas correntes de saída na LC; colocar o destino da primeira delas na LE. ATÉ NÃO MAIS HAVER CORRENTES ABERTAS
242
Os Ciclos encontrados são registrados na
MATRIZ CICLO - CORRENTE 1 2 3 4 5 6 7 8 1* 9 10 11 12 13 14
243
APLICAÇÃO AO PROBLEMA ILUSTRATIVO
244
3 4 5 6 7 1 1* 2 8 9 10 11 12 13 14 7 C: D: 13 2 7 C: D: 13 2 C: D: 7 6 5 8 6 7 6 5 8 6 1 1 2 2 2 2 3 3 5 4 1 3 3 5 4 1 C: D: C: D: 13 2 13 2 C: D: 12 9 5 8 6 12 9 5 8 6 12 C: D: 13 2 12 C: D: C: D: C: D: 13 2 Colocar uma corrente conhecida na LC (toda corrente colocada fica “aberta”) Colocar o seu destino na LE REPETIR O destino já está na LE: registrar o ciclo formado por todas as correntes abertas após o primeiro registro do destino) e fechar as correntes até à última aberta; tomar a última corrente aberta e colocar seu destino na LE O destino não está na LE: colocar as suas correntes de saída na LC; colocar o destino da primeira delas na LE. ATÉ NÃO MAIS HAVER CORRENTES ABERTAS
245
(b) Seleção das Correntes de Abertura
Matriz Ciclo - Corrente A C ALGORITMO Calcular os elementos de C Repetir Identificar a corrente com o maior valor em C (pode ser a primeira encontrada) Inscrever a corrente em A Remover os ciclos abertos pela corrente (anular os elementos na linhas correspondentes) Atualizar C Até C = 0
246
C A C 3 A
247
C 3 A C 3 8 A
248
(c) Construção do Algoritmo de Simulação
Corrente 1: única conhecida 1 2 3 4 5 6 7 8 1* 9 10 11 12 13 14 Abrir C3 REPETIR Simular E3 (C4,C5) Simular E1 (C2) Abrir C8 REPETIR Simular E6 (C10,C11) Simular E4 (C6,C7 ) Simular E7 (C9, C12) Simular E5 (C8) ATÉ Convergir C8 Simular E8 (C13, C14) Simular E2 (C3) ATÉ Convergir C3
249
3. ESTRATÉGIAS DE CÁLCULO
3.1 Equações Não-Lineares 3.1.1 Representação 3.1.2 Resolução: redução de intervalos e aproximações sucessivas 3.2 Sistemas de Equações Não-Lineares 3.2.1 Estrutura e representação 3.2.2 Resolução: partição, abertura, ordenação de equações 3.3 Dimensionamento e Simulação de Equipamentos 3.4 Dimensionamento e Simulação de Processos 3.4.1 Estratégia Global 3.4.2 Estratégia Modular 3.5.1 Questionamento do Dimensionamento 3.5.2 Questionamento do Desempenho Futuro 3.5 Incerteza e Análise de Sensibilidade
250
ASSUNTO TRANSFERIDO PARA DEPOIS DO CAPÍTULO 4
251
Análise de Sensibilidade
3.5 INCERTEZA E ANÁLISE DE SENSIBILIDADE A Análise de Processos é executada em ambiente de muita incerteza. Fontes de incerteza: modelos matemáticos: aproximações lineares, coeficientes constantes... (b) parâmetros físicos e econômicos: valores incertos (aproximados e variáveis). A avaliação dos efeitos da incerteza é efetuada através da Análise de Sensibilidade
252
A Análise de Sensibilidade avalia os efeitos da incerteza através de dois questionamentos ao final do dimensionamento, (a) questionamento do próprio dimensionamento: Em que grau a incerteza nos parâmetros compromete o resultado do dimensionamento ? (b) questionamento do desempenho futuro: Em que grau a incerteza nos parâmetros comprometerá as metas de projeto que serviram de base para o dimensionamento?
253
Fazem parte da Análise:
- as variáveis características do dimensionamento: dimensões. - as variáveis características do desempenho do processo: variáveis de saída (metas de projeto). - os parâmetros cujos valores são considerados incertos (variáveis conhecidas são aqui incorporadas ao conjunto dos parâmetros).
254
Fundamento da Análise de Sensibilidade Exemplo: Trocador de Calor
T1* = 80 oC W1* = kg/h A = 265,6 m2 T 2* = 25 oC W3 = kg/h T3* = 15 oC T4* = 30 oC : vetor dos parâmetros (físicos e econômicos) e das variáveis especificadas cujos valores são incertos. Exemplo: Cp1, Cp3, U, W1, T1, T3. F: variável do processo cujo valor é incerto devido à incerteza nos parâmetros . Exemplo: W3, A.
255
Fundamento da Análise de Sensibilidade
: vetor dos parâmetros (físicos e econômicos) e das variáveis especificadas cujos valores são incertos. Exemplo: Cp1, Cp3, U, W1, T1, T3. F: variável do processo cujo valor é incerto devido à incerteza nos parâmetros . Exemplo: W3, A. S (F; i): Sensibilidade de F à incerteza no parâmetro i. Exemplo: i * F i A Sensibilidade é função do parâmetro
256
Análise de Sensibilidade com Variáveis Adimensionais
Conveniência: usar variáveis adimensionais F/F* e i / i* Vantagens: (a) os valores independem das dimensões das variáveis e dos parâmetros. (b) as Sensibilidades podem ser comparadas, permitindo verificar a qual parâmetro a variável de interesse é mais sensível, e em que grau. Nova definição de Sensibilidade: Exemplo
257
Sensibilidade de F/F* à incerteza em i / i*
1 F/F* i / i *
258
Utilizando um incremento de 1% para melhor aproximar a derivada
Em processos complexos é impossível obter a derivada aproximação linear Utilizando um incremento de 1% para melhor aproximar a derivada
259
|S| > 1 : incerteza ampliada |S| < 1 : incerteza amortecida
S(F/F*;i/ i*) estima a incerteza % em F diante de uma incerteza de 1% em i |S| > 1 : incerteza ampliada |S| < 1 : incerteza amortecida
260
DIMENSIONAMENTO ORIGINAL
[U = 101] A = 262,93 m2 T1* = 80 oC W1* = kg/h T3* = 15 oC W3 = kg/h T4* = 30 oC T 2* = 25 oC QUESTIONAMENTO DO PROJETO Re-dimensionamento com U = 101 DIMENSIONAMENTO ORIGINAL (BASE) T1* = 80 oC W1* = kg/h A = 265,6 m2 [U = 100] T 2* = 25 oC W3 = kg/h T3* = 15 oC T4* = 30 oC S(W3;U) = 0 S(A;U) = 100 (262,93-265,6)/265,6 = - 0,99 S (T4;U) = 100(30,047-30)/30 = 0,156 S (T2;U) = 100 (24,828-25)/25 = - 0,686 [U = 101] T2 = 24,828 oC T1* = 80 oC W1* = kg/h T3* = 15 oC W3* = kg/h T4 = 30,047 oC A* = 265,6 m2 QUESTIONAMENTO DO DESEMPENHO Simulação com U = 101
261
A Sensibilidade de F à incerteza em todos os parâmetros, considerados simultaneamente, pode ser estimada: Para um incremento de 1% em todos os parâmetros (aproximação da derivada): Ou seja, a Sensibilidade de F à incerteza em todos os parâmetros é a soma das Sensibilidades a cada parâmetro:
262
Questionamento do Projeto
Sensibilidades de W3, A e CT à incerteza em cada parâmetro e variável especificada e ao conjunto: i S(W3; i) S(A; i) S(CT; i) W1 1 0,93 T1 1,45 0,45 1,21 T3 1,01 0,56 0,88 Cp1 Cp3 - 1 - 0,78 U - 0,13 S(F; ) 3,46 2,01 3,04 Por serem adimensionais, as Sensibilidades podem ser comparadas.
263
Questionamento do Projeto
Sensibilidades de W3, A e CT à incerteza em cada parâmetro e ao conjunto de parâmetros: i S(W3; i) S(A; i) S(CT; i) S(F; ) 3,46 2,01 3,04 Caso os valores reais de todos os parâmetros estivessem positivamente afastados em 1% dos seus valores-base (usados no dimensionamento), os valores de corretos de W3, A e CT estariam afastados de seus valores-base (calculados no dimensionamento) nos percentuais acima.
264
Questionamento do Desempenho
Sensibilidades de T2 e T4 à incerteza em cada parâmetro e variável especificada, e ao conjunto: i S(T2; i) S(T4; i) W1 0,80 0,32 T1 0,48 0,63 T3 0,37 W3 - 0,12 - 0,47 A - 0,68 0,17 Cp1 Cp3 U S(F; ) 0,96 1,04 Por serem adimensionais, as Sensibilidades podem ser comparadas.
265
Questionamento do Desempenho
Sensibilidades de T2 e T4 à incerteza em cada parâmetro e variável especificada, e ao conjunto: i S(T2; i) S(T4; i) S(F; ) 0,96 1,04 Caso os valores reais de todos os parâmetros estivessem positivamente afastados em 1% dos seus valores-base (usados no dimensionamento), os valores reais esperados para T2 e T4 , durante a operação do trocador, estariam afastados de seus valores-base nos percentuais acima.
266
FIM
267
EXTRATOR: DIMENSIONAMENTO
268
EXTRATOR: SIMULAÇÃO
269
EVAPORADOR: DIMENSIONAMENTO
270
EVAPORADOR: SIMULAÇÃO
271
EXEMPLO: convergência pela Bisseção
31. x31 = 1 – x x32 = 1 – x12a 04. x13 = k x12a 07. W3 = W11 x11 r / x W2 = W1 x31 / x W1 x11 – W2 x12a – W3 x13 = 0 Na ordenação das equações surgiu um ciclo. A eq. 02 foi escolhida como Final. Resultou x12 como variável de abertura x12a 32 04 07 02 01 x31 x32 x13 W3 W2 BISS x12a f (x12) f (x12) = W1 x11 – W2 x12a – W3 x13 = 0
272
32 04 07 02 01 x31 x32 x13 W3 W2 BISS x12a f (x12) Esquema de convergência pela Bisseção f (x) fs Até convergir f2 xi x1 fi f1 x2 xs x f (x12) = W1 x11 – W2 x12a – W3 x13 = 0
273
EXEMPLO: convergência pela Substituição Direta
31. x31 = 1 – x x32 = 1 – x12a 04. x13 = k x12a 07. W3 = W11 x11 r / x W2 = W1 x31 / x W1 x11 – W2 x12a – W3 x13 = 0 Na ordenação das equações surgiu um ciclo. A eq. 02 foi escolhida como Final. Resultou x12 como variável de abertura x12a 32 04 07 02 01 x31 x32 x13 W3 W2 SD x12a = x12c x12c x12c = (W1 x11– W3 x13) / W2
274
Um instrumento fundamental para a resolução de problemas
ALGORITMO
275
Algoritmos podem ser programas em computadores
ALGORITMO é uma seqüência inequívoca de ações bem definidas que conduzem sempre à solução de um problema O exemplo mais trivial e prosaico de algoritmo é uma receita culinária. Um outro no campo da matemática é o da extração da raiz quadrada de um número. Algoritmos podem incluir etapas repetitivas (iterações) ou exigir decisões (lógica e comparações). Algoritmos podem ser programas em computadores Assim, qualquer pessoa, ou mesmo um computador por ela programado, chegará sempre à solução do problema. Existem algoritmos complexos e poderosos capazes de gerar outros algoritmos (Inteligência Artificial)
276
Origem dos Algoritmos An algorithm is a procedure or formula for solving a problem. The word derives from the name of the mathematician, Mohammed ibn-Musa al-Khwarizmi, who was part of the royal court in Baghdad and who lived from about 780 to 850. Al-Khwarizmi's work is the likely source for the word algebra as well.
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