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CAPÍTULO 3 ESTRATÉGIAS DE CÁLCULO 08 de julho de 2013.

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CAPÍTULO 3 ESTRATÉGIAS DE CÁLCULO 28 de agosto de 2013.

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1 CAPÍTULO 3 ESTRATÉGIAS DE CÁLCULO 08 de julho de 2013

2 REVISÃO

3 1. INTRODUÇÃO GERAL 1.1 Engenharia 1.2 Engenharia Química 1.3 Sistema 1.4 Engenharia de Sistemas 1.5 Inteligência Artificial 1.6 Engenharia de Processos Estrutura dos Processos Projeto de Processos Síntese Análise Otimização Métodos de Projeto Nova Sistemática para o Projeto 1.3 Organização do Texto/Disciplina 1.4 Origem e Evolução da Engenharia de Processos 1.5 Computação 1.6 Bibliografia.

4 ENGENHARIA Com ela, vieram os cursos superiores para a formação profissional de engenheiros, que vieram substituir os artesãos. Do Artesanato à Dedica-se à aquisição e à aplicação de conhecimentos de natureza física, técnica, matemática e econômica para a criação, aperfeiçoamento e implementação de materiais, estruturas, máquinas e aparelhos, sistemas ou processos, com a finalidade de satisfazer as necessidades básicas da sociedade.

5 Engenharia Química É o ramo da Engenharia dedicado ao projeto, à construção e à operação dos processos químicos de produção.

6

7 Investigar mercado para o produto Investigar disponibilidade de matéria prima Estabelecer as condições da reação e sub- produtos Estabelecer o número e o tipo dos reatores Definir o número e o tipo dos separadores Definir o número e o tipo de trocadores de calor Estabelecer malhas de controle Definir o fluxograma do processo Calcular as dimensões dos equipamentos Calcular o consumo de matéria prima Calcular o consumo de utilidades Calcular o consumo de insumos Calcular a vazão das correntes intermediárias Investigar reagentes plausíveis Avaliar a lucratividade do processo

8 CIÊNCIAS BÁSICAS FUNDAMENTOS ENG. DE EQUIPAMENTOS Uma maior organização da execução do projeto veio com a Engenharia de Processos

9 A Engenharia de Processos surgiu com a Fertilização da Eng. Química tradicional com elementos de: Resultando: Utilização mais organizada e mais eficiente dos conhecimento específicos da Engenharia Química no Projeto de Processos: - Projeto mais rápido e mais eficiente. - Processos mais econômicos, seguros e limpos. Engenharia de Sistemas: No tratamento de conjuntos complexos de elementos interdependentes Inteligência Artificial: Na resolução de problemas combinatórios Resumindo:

10 Um fato relevante ao final da década de 60 Com de elementos de Engenharia de Sistemas e Inteligência Artificial TEORIA DE PROJETO Começou a surgir uma As Teorias existentes, até então, explicavam apenas fenômenos naturais...(Química, Física, Biologia...).

11 Teoria de Projeto Eng. Naval Eng. Elétrica Eng. Química Eng. Mecânica Conhecimento específico de cada área utilizado intuitivamente Aplicável a todas as áreas As engenharias experimentaram um ganho expressivo Engenharia de Processos

12 São meios de transporte! OK! E agora ? E agora ???? O quê estes objetos têm em comum?

13 Apesar de inteiramente distintos quanto à forma e a finalidade, os seus processos de criação e montagem seguem uma metodologia inteiramente análoga (exceto o corpo humano) Esses objetos recebem, então, uma denominação genérica SISTEMAS

14 Um sistema (do grego sietemiun), é um conjunto de elementos interconectados, de modo a formar um todo organizado Para uma dada finalidade

15 Processo Químico ! Eco - SistemasCorpo Humano Criados Sistemas Econômicos Constatados Concretos Tangíveis Observa-se que SISTEMA é um conceito abrangente: Origem Abstratos Intangíveis Quanto à origem: constatados ou criados pelo homem Quanto à natureza dos elementos e conexões: concretos (tangíveis), abstratos (intangíveis)

16 e interdependentes (através das correntes) O Processo Químico como um SISTEMA Um conjunto de elementos especializados (equipamentos) reunidos para um determinado fim (produção de um produto) extrato água vapor EVAPORADOR EXTRATOR CONDENSADOR RESFRIADOR MISTURADOR alimentação bomba DECANTADOR 20 HP rafinado produto W 11 T 11 W6W6 T6T6 W4W4 T4T4 f 14 f 24 x 14 W7W7 T7T7 T3T3 W1W1 T1T1 x 11 f 11 f 21 T2T2 f 12 ArAr AeAe Vl t r f 32 f 23 AcAc W8W8 T8T8 W 15 T 15 W 13 T 13 W 14 T 14 W 12 T 12 W 10 T 10 W9W9 T9T9 W5W5 T5T5 f 13

17 Com o aumento da complexidade dos sistemas desenvolvidos pelo homem, pesquisadores sentiram a necessidade de estudar formalmente as propriedades de sistemas em geral. Engenharia de Sistemas Sentiram que não bastava conhecer o comportamento individual dos elementos. Esse novo campo do conhecimento foi batizado na década de 1940, no Laboratório da Bell, de Engenharia de Sistemas. Tornou-se necessário estudar o comportamento dos elementos quando interligados a outros: o comportamento do conjunto e desenvolver técnicas para a construção de sistemas de maneira rápida e confiável

18 INTELIGÊNCIA ARTIFICIAL Ramo da Ciência da Computação que estuda a forma como o homem utiliza intuitivamente Inteligência e Raciocínio na solução de problemas complexos, implementando-as em máquinas Estratégias Básicas Decomposição Representação

19 O conjunto das soluções dos sub-problemas forma a solução do Problema original. SP 1SP 2 SP 3 SP 4 SP 1SP 2 SP 3 SP 4 Problema Resolvido Os subproblemas são resolvidos de forma coordenada DECOMPOSIÇÃO

20 raiz De cada estado sai uma bifurcação para os estados que dele se originam: há uma decisão associada. Ao longo dos ramos estão os estados intermediários percorridos durante a resolução do problema. Nas extremidades dos ramos encontram-se os estados finais, configurações completas, que são as soluções alternativas do problema. REPRESENTAÇÃO

21 Área da Engenharia Química dedicada ao Projeto de Processos Químicos ENGENHARIA DE PROCESSOS

22 O Projeto resulta de um conjunto de ações desenvolvidas Desde A decisão de se produzir um determinado produto Até À conclusão do Projeto As ações são numerosas e diversificadas !!! PROJETO DE PROCESSOS QUÍMICOS É o conjunto de documentos elaborados por uma equipe de engenheiros com detalhes suficientes para a construção e a operação de uma planta industrial

23 Investigar mercado para o produto Investigar disponibilidade de matéria prima Estabelecer as condições da reação e sub- produtos Estabelecer o número e o tipo dos reatores Definir o número e o tipo dos separadores Definir o número e o tipo de trocadores de calor Estabelecer malhas de controle Definir o fluxograma do processo Calcular as dimensões dos equipamentos Calcular o consumo de matéria prima Calcular o consumo de utilidades Calcular o consumo de insumos Calcular a vazão das correntes intermediárias Investigar reagentes plausíveis Avaliar a lucratividade do processo

24 Estabelecer o número e o tipo dos reatores Definir o número e o tipo dos separadores Definir o número e o tipo de trocadores de calor Estabelecer malhas de controle Definir o fluxograma do processo Investigar mercado para o produto Investigar disponibilidade das matérias primas Definir as condições das reações e identificar os sub-produtos gerados Investigar reagentes plausíveis SELEÇÃO DE ROTAS QUÍMICAS SÍNTESEANÁLISE Calcular as dimensões dos equipamentos Calcular o consumo de matéria prima Calcular o consumo de utilidades Calcular o consumo dos insumos Calcular a vazão das correntes intermediárias Avaliar a lucratividade do processo

25 Primeiro passo DIFICULDADE: MULTIPLICIDADE DE SOLUÇÕES Seleção da Rota Química

26 Rotas para a produção de fenol

27 DIFICULDADE NA SÍNTESE MULTIPLICIDADE DE SOLUÇÕES SÍNTESE

28 Equipamentos disponíveis para a geração do fluxograma do Processo Ilustrativo RM Reator de mistura RT Reator tubular DS Coluna de destilação simples DE Coluna de destilação extrativa A Aquecedor R Resfriador T Trocador de Integração Este problema é simples O espaço das soluções é constituido apenas de 8 fluxogramas

29

30 UM RISCO INERENTE À SÍNTESE...

31 EXPLOSÃO COMBINATÓRIA !!! Muitas soluções para analisar

32 DIFICULDADE NA ANÁLISE MULTIPLICIDADE DE SOLUÇÕES ANÁLISE

33 12 Q = kgA/h x = 0,02 kgAB/kgA o W 1 kgB/hW 2 y 1 kgAB/kgBy 2 x 1 x 2 kgAB/kgA Modelo Matemático 1. Q(x o - x 1 ) - W 1 y 1 = 0 2. y 1 - k x 1 = 0 3. Q(x 1 -x 2 ) - W 2 y 2 = 0 4. y 2 - k x 2 = 0 Avaliação Econômica L = R - C R = p AB (W 1 y 1 + W 2 y 2 ) C = p B (W 1 + W 2 ) p AB = 0,4 $/kgAB : p B = 0,01 $/kgB Para cada par de valores x 1,x 2 resultam valores de W 1, W 2, y 1, y 2 e Lucro Exemplo: dimensionamento de 2 extratores em série

34 MULTIPLICIDADE NA ANÁLISE Dificuldade: infinidade de soluções viáveis A cada par (x 1,x 2 ) corresponde uma solução viável

35 OTIMIZAÇÃO Todo problema com Multiplicidade de Soluções Exige a busca da sua OTIMIZAÇÃO Solução Ótima através da

36 Primeiro fator de complexidade: multiplicidade de soluções nos três níveis. Nível Tecnológico: determinar a melhor rota química. Nível Paramétrico (Análise): determinar as dimensões ótimas de equipamentos e correntes. Nível Estrutural (Síntese): determinar a estrutura ótima. O Projeto de Processos é um problema complexo de otimização. Constata-se, assim, que...

37 Segundo fator de complexidade: Os 3 problemas são interdependentes. A solução ótima de um está atrelada à solução ótima dos outros dois. Resolução por Busca Orientada por Árvore de Estados Uma abordagem...

38 Nível Tecnológico Seleção de uma Rota Fluxograma ? Dimensões ? Nível Estrutural Síntese de um Fluxograma Dimensões ? Lucro? Nível Paramétrico Análise do Fluxograma Dimensionamento dos Equipamentos e das Correntes. Lucro. Solução Ótima: Reagentes = D,E; Fluxograma = 3; x = 4 Raiz Rota Química ? Fluxograma ? Dimensões ? Decomposição, Representação e Resolução do Problema de Projeto por Busca Orientada por Árvore de Estados P ? ? D+E P+F D,EP,F ?? A+B P+C A,BP,C ?? 1PA BC x ? TD 2 PA BC x ? TA P3D EF x ? DM P F 4 D E x ? ME L x 6 x o = 3 x* 8 L x x o = 4 x* L 10 x x o = 6 x* L x 7 x o = 5 x*

39 P ? ? D+E P+F D,E P,F ?? L x 4 10 ? P3 D E F x Nível Tecnológico Seleção de uma Rota Fluxograma ? Dimensões ? Nível Estrutural Síntese de um Fluxograma Dimensões ? Lucro? Nível Paramétrico Análise do Fluxograma Dimensionamento dos Equipamentos e das Correntes. Lucro. Solução Ótima: Reagentes = D,E; Fluxograma = 3; x = 4 demais dimensões. Raiz Rota Química ? Fluxograma ? Dimensões ? Solução do Problema de Projeto por Busca Orientada Vantagem Varre todas as soluções sem repetições sem omitir a ótima Desvantagem Explosão Combinatória (outros métodos)

40 INTRODUÇÃO À SÍNTESE DE PROCESSOS 8 6 SÍNTESE DE SISTEMAS DE SEPARAÇÃO 7 SÍNTESE SÍNTESE DE SISTEMAS DE INTEGRAÇÃO ENERGÉTICA INTRODUÇÃO À ANÁLISE DE PROCESSOS 2 ESTRATÉGIAS DE CÁLCULO 3 OTIMIZAÇÃO AVALIAÇÃO ECONÔMICA 45 ANÁLISE

41 2. INTRODUÇÃO À ANÁLISE DE PROCESSOS 2.1 Objetivo e Procedimento Geral 2.2 Etapas Preparatórias Reconhecimento do Processo Modelagem Matemática Propriedades Físicas e Coeficientes Técnicos 2.3 Etapas Executivas: dimensionamento e simulação Informações Relevantes: condições conhecidas, metas de projeto e de operação Balanço de Informação: conceito e finalidade, elementos envolvidos, graus de liberdade Execução: dimensionamento, simulação, otimização Módulos Computacionais: Estratégia de Cálculo, Avaliação Econômica Preliminar, Otimização Paramétrica 2.4 Um Programa Computacional para Análise de Processos

42 OBJETIVO E PROCEDIMENTO GERAL Bola de Cristal Objetivo da Análise Prever e avaliar o desempenho físico e econômico ou ainda inexistente (em fase de projeto) de um processo já existente (em operação)

43 Consiste em (a) prever as dimensões dos principais equipamentos e as condições das correntes, necessárias para atender às especificações técnicas estabelecidas para o projeto. Base Modelo Matemático Prever e avaliar o desempenho FÍSICO (b) prever o comportamento do processo em condições diferentes daquelas para qual foi dimensionado.

44 Consiste em Verificar se o processo atende aos critérios econômicos de lucratividade de forma a justificar a sua montagem e a sua operação. Base Critério Econômico Prever e avaliar o desempenho ECONÔMICO

45 ESTRATÉGIAS DE CÁLCULO 3 AVALIAÇÃO ECONÔMICA 4 INTRODUÇÃO À ANÁLISE DE PROCESSOS 2 OTIMIZAÇÃO 5 Resumo da Análise de Processos Correspondência dos Capítulos com os Módulos Computacionais MODELO FÍSICO MODELO ECONÔMICO OTIMIZAÇÃO Variáveis Especificadas Variáveis de Projeto Parâmetros Econômicos Parâmetros Físicos Dimensões Calculadas Lucro

46 Resolver Problema Otimizar Processo Calcular Lucro Dimensionar Extrator Dimensionar Evaporador Dimensionar Condensador Dimensionar Resfriador Dimensionar Misturador Simular Extrator Simular Evaporador Simular Condensador Simular Resfriador Simular Misturador Simular Processo Dimensionar Processo

47 ROTEIRO PARA A RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS NA ANÁLISE DE PROCESSOS 2. Escrever o modelo matemático. 1. Reconhecer ou desenhar o fluxograma: equipamentos,correntes, variáveis do processo. 7. Avaliar criticamente o resultado. 6. Resolver o problema. 5. Estabelecer uma estratégia de cálculo. 4. Efetuar o Balanço de Informação. 3. Identificar as variáveis conhecidas e as metas de projeto. fundamental mais importante

48 MOTIVAÇÃO PARA O CAPÍTULO 3

49 Forma Geral dos Modelos Matemáticos de Processos f 1 (x 1, x 2,..., x i,..., x M ) = 0 f 2 (x 1, x 2,..., x i,..., x M ) = f N (x 1, x 2,..., x i,..., x M ) = 0 N equações M incógnitas

50 Modelo do Processo Ilustrativo 01. f 11 - f 12 - f 13 = W 15 - f 23 = f 31 - f 32 = k – (3 + 0,04 Td) = k – x 13 / x 12 = (f 11 Cp 1 + f 31 Cp 3 ) (T 1 - T d ) + W 15 Cp 2l (T 15 - T d ) = V d - (f 11 / 1 + W 15/ 2 + f 31 / 3 ) = r - f 13 /f 11 = T 2 – T d = T 3 – T d = f 13 - f 14 = f 23 - f 24 - W 5 = W 6 - W 7 = W 6 [ 3 + Cpv (T 6 – T 7 )] - Q e = Q e – [(f 13 Cp 1 + f 23 Cp 2l )(T e - T 3 ) + W 5 2 ] = Q e - U e A e e = e - (T 6 - T e ) = T 4 – T e = T 5 – T e = 0

51 Modelo do Processo Ilustrativo 20. W 8 - W 9 = W 5 - W 10 = Q c - W 8 Cp 3 (T 9 - T 8 ) = W 5 [ 2 + Cp 2g (T 5 – T 10 )] - Q c = Q c - U c A c c = c - [(T 5 - T 9 ) - (T 10 - T 8 )]/ln[(T 5 - T 9 )/(T 10 - T 8 )] = W 11 - W 12 = W 10 - W 13 = Q r - W 11 Cp 3 (T 12 - T 11 ) = Q r - W 10 Cp 2l (T 10 - T 13 ) = Q r - U r A r r = r - [(T 10 - T 12 ) - (T 13 - T 11 )]/ln[(T 10 - T 12 )/(T 13 - T 11 )] = W 13 + W 14 - W 15 = W 13 (T 15 - T 13 ) + W 14 (T 15 - T 14 ) = f 11 + f 31 - W 1 = x 11 - f 11 / W 1 = f 12 + f 22 – W 2 = x 12 - f 12 / W 2 = f 13 + f 23 – W 3 = x 13 - f 13 / W 3 = f 14 + f 24 - W 4 = x 14 - f 14 / W 4 = 0

52 Modelo do Processo Ilustrativo 01. f 11 - f 12 - f 13 = W 15 - f 23 = f 31 - f 32 = k – (3 + 0,04 Td) = k – x 13 / x 12 = (f 11 Cp 1 + f 31 Cp 3 ) (T 1 - T d ) + W 15 Cp 2l (T 15 - T d ) = V d - (f 11 / 1 + W 15/ 2 + f 31 / 3 ) = r - f 13 /f 11 = T 2 – T d = T 3 – T d = f 13 - f 14 = f 23 - f 24 - W 5 = W 6 - W 7 = W 6 [ 3 + Cpv (T 6 – T 7 )] - Q e = Q e – [(f 13 Cp 1 + f 23 Cp 2l )(T e - T 3 ) + W 5 2 ] = Q e - U e A e e = e - (T 6 - T e ) = T 4 – T e = T 5 – T e = W 8 - W 9 = W 5 - W 10 = Q c - W 8 Cp 3 (T 9 - T 8 ) = W 5 [ 2 + Cp 2g (T 5 – T 10 )] - Q c = Q c - U c A c c = c - [(T 5 - T 9 ) - (T 10 - T 8 )]/ln[(T 5 - T 9 )/(T 10 - T 8 )] = W 11 - W 12 = W 10 - W 13 = Q r - W 11 Cp 3 (T 12 - T 11 ) = Q r - W 10 Cp 2l (T 10 - T 13 ) = Q r - U r A r r = r - [(T 10 - T 12 ) - (T 13 - T 11 )]/ln[(T 10 - T 12 )/(T 13 - T 11 )] = W 13 + W 14 - W 15 = W 13 (T 15 - T 13 ) + W 14 (T 15 - T 14 ) = f 11 + f 31 - W 1 = x 11 - f 11 / W 1 = f 12 + f 22 – W 2 = x 12 - f 12 / W 2 = f 13 + f 23 – W 3 = x 13 - f 13 / W 3 = f 14 + f 24 - W 4 = x 14 - f 14 / W 4 = 0

53 CIÊNCIAS BÁSICAS FUNDAMENTOS ENG. DE EQUIPAMENTOS ENG. DE PROCESSOS Consiste em utilizar os conhecimentos relativos aos Fundamentos e Equipamentos Consiste em utilizar técnicas de processamento de informação na resolução dos modelos em problemas de dimensionamento, simulação e otimização. Competem ao Engenheiro Químico (a) Formulação (Modelagem Matemática): (b) Resolução : para representar o processo matematicamente. É pré-requisito para esta Disciplina. Formulação e Resolução !!! Formulação e Resolução dos Modelos

54 A complexidade dos modelos exige o estabelecimento prévio de uma Estratégia de Cálculo Tema deste Capítulo Fontes de complexidade: Em geral, os modelos de processos são muito complexos. (c) presença de reciclos nos processos (b) não-linearidades em muitas equações (a) grande número de equações e de variáveis Desafio: como viabilizar a resolução de modelos tão complexos, e como faze-lo da forma mais eficiente possível ???

55 MODELO FÍSICO MODELO ECONÔMICO OTIMIZAÇÃO Variáveis Especificadas Variáveis de Projeto Parâmetros Econômicos Parâmetros Físicos Dimensões CalculadasLucro Objetivo de uma Estratégia de Cálculo Minimizar o esforço computacional envolvido na resolução dos modelos ( problemas de dimensionamento, simulação e otimização de processos ).

56 FINALIDADE DO CAPÍTULO 3

57 3.1.1 Representação Resolução: redução de intervalos e aproximações sucessivas 3.2 Sistemas de Equações Não-Lineares Estrutura e representação Resolução: partição, abertura, ordenação de equações 3.3 Dimensionamento e Simulação de Equipamentos 3.4 Dimensionamento e Simulação de Processos Estratégia Global Estratégia Modular 3.5 Incerteza e Análise de Sensibilidade Questionamento do Projeto Questionamento do Desempenho Futuro 3. ESTRATÉGIAS DE CÁLCULO 3.1 Equações Não - Lineares

58 3.1 EQUAÇÕES NÃO – LINEARES Motivação para o estudo de equações não-lineares isoladas No dimensionamento e na simulação de equipamentos e de processos podem surgir sistemas de equações que só podem ser resolvidos por métodos iterativos de tentativas. Esses métodos são extensões de métodos empregados na resolução de equações isoladas.

59 A equação f (x 1,..., x i-1, x i, x i+1,…, x M ) = 0 Pode ser representada como um processador de informação 3.2 SISTEMAS DE EQUAÇÕES NÃO – LINEARES Estrutura e Representação f j x1x1 x2x2 x i - 1 x i + 1 xMxM x i

60 As equações do modelo podem ser interligadas pelas variáveis comuns formando um sistema. Os sistemas de equações podem assumir as mais variadas estruturas. Os elementos desse sistema são as equações. As conexões são as variáveis comuns. Os sistemas de equações podem ser considerados sistemas de processadores que, durante a resolução de um problema, passam informação de uns para os outros.

61 f 1 (x o, x 1 ) = 0 f 2 (x 1,x 2 ) = 0 f 3 (x 2,x 3 ) = xx 1 x 2 x 30 Estrutura Acíclica f 1 (x o,x 1 3 ) = 0 f 2 (x 1,x 2 ) = 0 f 3 (x 2,x 3 ) = x 0 x 1 x 2 x 3 x 3 Estrutura Cíclica Estruturas Básicas

62 f 1 (x o, x 1 ) = 0 f 2 (x 1,x 2 ) = 0 f 3 (x 2,x 3 ) = xx 1 x 2 x 30 Estrutura Acíclica f 1 (x o,x 1 3 ) = 0 f 2 (x 1,x 2 ) = 0 f 3 (x 2,x 3 ) = x 0 x 1 x 2 x 3 x 3 Estrutura Cíclica Estrutura acíclica: resolução trivial por encadeamento sucessivo a partir que qualquer variável conhecida (x o, por exemplo). Estrutura cíclica: solução somente por tentativas (exemplo: conhecida x o, o cálculo de x 1 depende de x 3 ainda não calculada).

63 *1* Exemplo de estrutura complexa Quanto mais complexa a estrutura, mais difícil é a resolução do sistema. A estrutura de um sistema pode conter partes cíclicas e acíclicas.

64 Características Especiais na Engenharia de Processos (a) o número de variáveis em cada equação é pequeno: nem todas as variáveis figuram em todas as equações. (b) em problemas de simulação corretamente formulados, o número de equações é igual ao de incógnitas. (c ) em problemas de dimensionamento, corretamente formulados, o número de incógnitas pode ser igual ou superior ao de equações. Quando maior otimização.

65 01. f 11 - f 12 - f 13 = W 15 - f 23 = f 31 - f 32 = k – (3 + 0,04 Td) = k – x 13 / x 12 = (f 11 Cp 1 + f 31 Cp 3 ) (T 1 - T d ) + W 15 Cp 2l (T 15 - T d ) = V d - (f 11 / 1 + W 15/ 2 + f 31 / 3 ) = r - f 13 /f 11 = T 2 – T d = T 3 – T d = f 11 + f 31 - W 1 = x 11 - f 11 / W 1 = f 12 + f 22 – W 2 = x 12 - f 12 / W 2 = f 13 + f 23 – W 3 = x 13 - f 13 / W 3 = 0

66 f 1 (x o, x 1 ) = 0f 2 (x 1, x 2 ) = 0f 3 (x 2, x 3 ) = 0 xoxo x1x1 x2x2 x3x3 f 1 (x o, x 1 ) = 0f 2 (x 1, x 2 ) = 0f 3 (x 2, x 3 ) = 0 xoxo x1x1 x2x2 x3x3 f (x o, x 3 ) = 0 Um sistema de equações pode ser tratado como se fosse uma única equação f 3 (x 2,x 3 ) = f 3 (f 2 (x 1 ), x 3 ) = f 3 (f 2 (f 1 (x o )), x 3 )

67 x x* x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 6 o Decomposição em sub-sistemas PARTIÇÃO 1. f 1 (x o,x 1 ) = 0 2. f 2 (x 1,x 2 ) = 0 3. f 3 (x 2,x 3,x 6 ) = 0 4. f 4 (x 3,x 4 ) = 0 5. f 5 (x 4,x 5 ) = 0 6. f 6 (x 5,x 6 ) = 0 7. f 7 (x 6,x 7 ) = 0 8. f 8 (x 7,x 8 ) = 0 Uma estratégia para resolver o Sistema 1, 2[] Parte Acíclica xo*xo*x2x2 [ 3, 4, 5,6 ] Parte Cíclica x6x6 7, 8[] Parte Acíclica x8x8 Resolução seqüencial dos sub-sistemas solução do Sistema

68 Assim, este Capítulo começa com métodos de resolução de equações isoladas. Em seguida, eles são estendidos aos sistemas de equações encontrados em equipamentos e processos.

69 3.1 EQUAÇÕES NÃO – LINEARES Trata-se de equações do tipo f (x 1 *, x 2 *,…, x i,…, x n * ) = 0 em que a incógnita x i é calculada a partir dos valores conhecidos das demais variáveis x j *.

70 3.1 Equações Não-Lineares Resolução: redução de intervalos e aproximações sucessivas 3.2 Sistemas de Equações Não-Lineares Estrutura e representação Resolução: partição, abertura, ordenação de equações 3.3 Dimensionamento e Simulação de Equipamentos 3.4 Dimensionamento e Simulação de Processos Estratégia Global Estratégia Modular 3.5 Incerteza e Análise de Sensibilidade Questionamento do Projeto Questionamento do Desempenho Futuro 3. ESTRATÉGIAS DE CÁLCULO Representação

71 A equação f (x 1 *,..., x i - 1 *, x i, x i + 1 *,…, x M * ) = 0 pode ser vista como um processador de informação assim representado graficamente: 3.1 EQUAÇÕES NÃO – LINEARES Representação f j x1x1 x2x2 x i - 1 x i + 1 xMxM x i

72 A dificuldade da resolução de f (x 1 *,..., x i - 1 *, x i, x i + 1 *,…, x M * ) = 0 depende da sua forma funcional. Se a incógnita fôr x 2 : x 1 * x 2 + ln x 1 * = 0 Se a incógnita fôr x 1 : x 1 x 2 * + ln x 1 = 0 A resolução pode ser analítica simples: x 2 = - (ln x 1 * ) / x 1 * A resolução tem que ser numérica por tentativas (inúmeros métodos). Exemplo: x 1 x 2 + ln x 1 = 0

73 3.1 Equações Não-Lineares Representação 3.2 Sistemas de Equações Não-Lineares Estrutura e representação Resolução: partição, abertura, ordenação de equações 3.3 Dimensionamento e Simulação de Equipamentos 3.4 Dimensionamento e Simulação de Processos Estratégia Global Estratégia Modular 3.5 Incerteza e Análise de Sensibilidade Questionamento do Dimensionamento Questionamento do Desempenho Futuro 3. ESTRATÉGIAS DE CÁLCULO Resolução

74 Métodos de Aproximações Sucessivas Há duas famílias importantes de métodos numéricos para a resolução de equações não-lineares. Métodos de Redução de Intervalos Por diferentes raciocínios lógicos, promovem a redução do intervalo até que se torne menor do que uma tolerância pré-estabelecida. Por diferentes raciocínios lógicos, testam novos valores até que a diferença relativa entre valores sucessivos se torne menor do que uma tolerância pré-estabelecida. Partem de um intervalo inicial. (limites inferior e superior) Partem de um valor inicial Resolução

75 Dados os limites superior x s e inferior x i, define-se o intervalo de incerteza x s - x i. Qualquer valor no interior ou na fronteira do intervalo serve como solução. x s x i (a) Métodos de Redução de Intervalos x i x s x i x s Este é reduzido sucessivamente até se tornar menor do que uma tolerância pré-estabelecida: x s - x i. f (x)

76 Um método típico de Redução de Intervalos Método da Bisseção ou Busca Binária A cada iteração, o intervalo de incerteza é reduzido à metade.

77 x ALGORITMO SE ABS(f i ) < ABS(f s ) ENTÃO Solução = x i SENÃO Solução = x s f(x) x xixi fifi xsxs fsfs x f xsxs fsfs xixi fifi x f Se Sinal (f) = Sinal (f i ): Então atualizar : x i = x : f i = f Estabelecer x i, x s, (tolerância) Calcular f i em x i Calcular f s em x s REPETIR x = (x i + x s )/2 Calcular f em x Senão atualizar : x s = x : f s = f ATÉ x s - x i xf BISS f (x)

78 Exemplo: x 1 x 2 * + ln x 1 = 0 Solução para = 0,1 : x = 0,4375 f = 0,048 x i f i x f x s f s 0, , , ,51 0,5 0,307 0,375 -0,231 0,5 0,307 0,25 -0,88 0,375 -0,231 0,4375 0,048 0,5 0,307 0,25 -0,88 0,375 -0,231 0,43750,048 0,5 0,25 0,125 0,0625 f = x 1 x 2 * + ln x 1 Fixando : x 2 * = 2, Intervalo: x i = 0, x s = 1 Tolerância: = 0,1 Com 6 cálculos de f, o intervalo foi reduzido a 6,25%. Com 9 cálculos, o intervalo é reduzido a menos de 1% Se Sinal (f) = Sinal (f i ): Então atualizar : x i = x : f i = f Estabelecer x i, x s, (tolerância) Calcular f i em x i Calcular f s em x s REPETIR x = (x i + x s )/2 Calcular f em x Senão atualizar : x s = x : f s = f ATÉ x s - x i

79 Atribui-se um valor inicial para a incógnita. (b) Métodos de Aproximações Sucessivas xixi xsxs x1x1 x2x2 x3x3 Esse valor é atualizado sucessivamente até que o erro relativo entre duas aproximações sucessivas, abs [(x k - x k-1 )/ x k ], seja menor do que uma tolerância pré-estabelecida. x4x4

80 Um método típico: Método da Substituição Direta Se a incógnita aparecer em mais de termo da equação, ela é explicitada parcialmente: f(x i ) = 0 x i = F(x i ) Exemplo: x 1 x 2 * + ln x 1 = 0 x 1 = e - x 1 x 2 * F(x 1 ) = e - x 1 x 2 * x 1 = - (1/ x 2 * ) ln x 1 F(x 1 ) = - (1/ x 2 * ) ln x 1 Duas formas de explicitar a incógnita

81 Em cada iteração, o valor arbitrado para x i é o valor de F(x i - 1 ) obtido na iteração anterior. f(x i ) = 0 explicitando x i = F(x i ) F(x) x A solução é o valor de x i em que F(x i ) = x i.

82 ALGORITMO Estabelecer x inicial, (tolerância) F = x inicial REPETIR x = F Calcular a Função F em x ATÉ Convergir x solução = F Condição para Convergência : |F´(x)| < 1 Convergir = |(F-x)/x| < (erro relativo) x 1 x 2 x 3 F(x) x (a) F'(x)>0|F'(x)<1 convergência monotonica F(x) x 1 x 2 x 3 x (b) F'(x)>0|F'(x)|>1 divergência monotonica F(x) > 0: Comportamento Monotônico Modos de Convergência

83 ALGORITMO Estabelecer x inicial, (tolerância) F = x inicial REPETIR x = F Calcular a Função F em x ATÉ Convergir x solução = F Condição para Convergência : |F´(x)| < 1 Convergir = |(F-x)/x| < (erro relativo) F(x) x 1 x 2 x 3 x (d) F'(x) <0|F'(x)| >1 divergência oscilante F(x) < 0: Comportamento Oscilatório (c) F'(x)<0|F'(x)| <1 convergência oscilante x 1 x 3 x 2 F(x) x Modos de Convergência

84 Exemplo: x 1 x 2 * + ln x 1 = 0 x 1 = F(x 1 ) (x 2 * = 2 : x 1 inicial = 0,5) F(x 1 ) = - (1/ x 2 * ) ln x 1 F(x 1 ) = e - x 1 x 2 * Divergência Oscilatória F(x 1 ) = - 1,17 Convergência Oscilatória F(x 1 ) = - 0,85 Solução: x = 0,4263 F(x) x 1 x 2 x 3 x x 1 x 3 x 2 x x F 0,50,3460,308 0,3460,5290,529 0,5290,3170,400 0,3170,5730,806 0,5730,2780,515 x F 0,50,3670,264 0,3670,4790,302 0,4790,3830,199 0,3830,4640,210 0,4640,3950,149 Exemplo: x 1 x 2 * + ln x 1 = 0

85 Equações que representam processos de operação estável, também apresentam comportamento estável, ou seja, convergem

86 Em resumo Equações Não-Lineares podem ser resolvidas por métodos: - redução de intervalos (ex.: bisseção) - aproximações sucessivas (ex.: substituição direta) Esses métodos serão evocados a seguir em Sistemas de Equações. f 1 (x o, x 1 ) = 0f 2 (x 1, x 2 ) = 0f 3 (x 2, x 3 ) = 0 xoxo x1x1 x2x2 x3x3

87 3.1 Equações Não-Lineares Representação Resolução: redução de intervalos e aproximações sucessivas Resolução: partição, abertura, ordenação de equações 3.3 Dimensionamento e Simulação de Equipamentos 3.4 Dimensionamento e Simulação de Processos Estratégia Global Estratégia Modular 3.5 Incerteza e Análise de Sensibilidade Questionamento do Dimensionamento Questionamento do Desempenho Futuro 3. ESTRATÉGIAS DE CÁLCULO 3.2 Sistemas de Equações Não-Lineares Estrutura e Representação

88 A equação f (x 1,..., x i-1, x i, x i+1,…, x M ) = 0 Pode ser representada como um processador de informação 3.2 SISTEMAS DE EQUAÇÕES NÃO – LINEARES Estrutura e Representação f j x1x1 x2x2 x i - 1 x i + 1 xMxM x i

89 As equações do modelo podem ser interligadas pelas variáveis comuns formando um sistema. Os sistemas de equações podem assumir as mais variadas estruturas. Os elementos desse sistema são as equações. As conexões são as variáveis comuns. Os sistemas de equações podem ser considerados sistemas de processadores que, durante a resolução de um problema, passam informação de uns para os outros.

90 f 1 (x o, x 1 ) = 0 f 2 (x 1,x 2 ) = 0 f 3 (x 2,x 3 ) = xx 1 x 2 x 30 Estrutura Acíclica f 1 (x o,x 1 3 ) = 0 f 2 (x 1,x 2 ) = 0 f 3 (x 2,x 3 ) = x 0 x 1 x 2 x 3 x 3 Estrutura Cíclica Estruturas Básicas

91 f 1 (x o, x 1 ) = 0 f 2 (x 1,x 2 ) = 0 f 3 (x 2,x 3 ) = xx 1 x 2 x 30 Estrutura Acíclica f 1 (x o,x 1 3 ) = 0 f 2 (x 1,x 2 ) = 0 f 3 (x 2,x 3 ) = x 0 x 1 x 2 x 3 x 3 Estrutura Cíclica Estrutura acíclica: resolução trivial por encadeamento sucessivo a partir que qualquer variável conhecida (x o, por exemplo). Estrutura cíclica: solução somente por tentativas (exemplo: conhecida x o, o cálculo de x 1 depende de x 3 ainda não calculada).

92 *1* Exemplo de estrutura complexa Quanto mais complexa a estrutura, mais difícil é a resolução do sistema. A estrutura de um sistema pode conter partes cíclicas e acíclicas.

93 Características Especiais na Engenharia de Processos (a) o número de variáveis em cada equação é pequeno: nem todas as variáveis figuram em todas as equações. (b) em problemas de simulação corretamente formulados, o número de equações é igual ao de incógnitas. (c ) em problemas de dimensionamento, corretamente formulados, o número de incógnitas pode ser igual ou superior ao de equações. Quando maior otimização.

94 Um Sistema de Equações Típico de um Modelo de Processo 1. f 1 (x o *, x 1 ) = 0 2. f 2 (x 1, x 2 ) = 0 3. f 3 (x 2, x 3, x 6 ) = 0 4. f 4 (x 3, x 4 ) = 0 5. f 5 (x 4, x 5 ) = 0 6. f 6 (x 5, x 6 ) = 0 7. f 7 (x 6, x 7 ) = 0 8. f 8 (x 7, x 8 ) = 0

95 Representação da Estrutura Através da representação é possível enxergar como os processadores trocam informações. E, assim, conceber métodos eficientes de resolução. ANALOGIA Somente descobrindo túneis e câmaras dos formigueiros que foi possível observar e compreender o sistema social e de sobrevivência das formigas.

96 Matrizes Esparsas ! 1. f 1 (x o *,x 1 ) = 0 2. f 2 (x 1,x 2 ) = 0 3. f 3 (x 2,x 3,x 6 ) = 0 4. f 4 (x 3,x 4 ) = 0 5. f 5 (x 4,x 5 ) = 0 6. f 6 (x 5,x 6 ) = 0 7. f 7 (x 6,x 7 ) = 0 8. f 8 (x 7,x 8 ) = 0 Representação Matricial

97 x x x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 6 o 1. f 1 (x o *,x 1 ) = 0 2. f 2 (x 1,x 2 ) = 0 3. f 3 (x 2,x 3,x 6 ) = 0 4. f 4 (x 3,x 4 ) = 0 5. f 5 (x 4,x 5 ) = 0 6. f 6 (x 5,x 6 ) = 0 7. f 7 (x 6,x 7 ) = 0 8. f 8 (x 7,x 8 ) = 0 Representação Gráfica (Grafo) Ciclo !

98 3.1 Equações Não-Lineares Representação Resolução: redução de intervalos e aproximações sucessivas 3.2 Sistemas de Equações Não-Lineares Estrutura e Representação 3.3 Dimensionamento e Simulação de Equipamentos 3.4 Dimensionamento e Simulação de Processos Estratégia Global Estratégia Modular 3.5 Incerteza e Análise de Sensibilidade Questionamento do Dimensionamento Questionamento do Desempenho Futuro 3. ESTRATÉGIAS DE CÁLCULO Resolução

99 Os sistemas de equações podem ser resolvidos por - métodos simultâneos - método seqüencial.

100 Métodos Simultâneos Calcular F 1 x 1 (k+1) = F 1 Calcular F 2 x 2 (k+1) = F 2 TESTE x 1 = x 1 (k+1) x1kx1k x2kx2k x 1 (k+1) x 2 (k+1) x 2 = x 2 (k+1) Diversos métodos são descritos em livros texto e abordados em disciplinas de Métodos Numéricos. Exemplo: Newton-Raphson, Wegstein,... Todas as variáveis são alteradas simultaneamente.

101 Método Sequencial Baseia-se no conhecimento da estrutura do sistema. É um procedimento alternativo em que as equações são acionadas uma-a-uma, passando informação de uma para a outra, numa sequência lógica previamente estabelecida. Este método é chamado de Resolução por Equações ("equation oriented"). Com isso, torna-se um método flexível e eficiente

102 Este método pode ser implementado através do ALGORITMO DE ORDENAÇÃO DE EQUAÇÕES

103 É um algoritmo de atribuição de tarefas Algoritmo de Ordenação de Equações (A.O.E.) 1. Atribui a cada equação a tarefa de calcular uma das incógnitas do sistema. 2. Ao mesmo tempo, organiza as equações segundo uma Sequencia de Cálculo que evita cálculos iterativos desnecessários, minimizando o esforço computacional na resolução do sistema.

104 Outros resultados 4. Em problemas com graus de liberdade, indica as variáveis de projeto compatíveis com o esforço computacional mínimo. 3. Efetua automaticamente a partição do sistema em conjuntos cíclicos e acíclicos de equações, minimizando o número de equações envolvidas em cálculos iterativos. 5. Em problemas com ciclos, indica as variáveis de abertura.

105 x x* x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 6 o Consiste em decompor o sistema em sub-sistemas PARTIÇÃO "partitioning" 1. f 1 (x o,x 1 ) = 0 2. f 2 (x 1,x 2 ) = 0 3. f 3 (x 2,x 3,x 6 ) = 0 4. f 4 (x 3,x 4 ) = 0 5. f 5 (x 4,x 5 ) = 0 6. f 6 (x 5,x 6 ) = 0 7. f 7 (x 6,x 7 ) = 0 8. f 8 (x 7,x 8 ) = 0 1, 2[ 3, 4, 5,67, 8[] ][] Parte Cíclica Parte Acíclica xo*xo*x2x2 x6x6 x8x8 Resolve-se os sub-sistemas sequencialmente

106 Ele simplesmente formaliza ações intuitivas inteiramente óbvias A lógica do Algoritmo é muito simples relativas aos seguintes elementos encontrados em sistemas de equações Equações de Incógnita Única Variáveis de Frequência Unitária Ciclos

107 Equações de Incógnita Única xo*xo* 12 x 1 x 2 Exemplo: equação 1 no sistema f 1 (x o *, x 1 ) = 0 f 2 (x 1, x 2 ) = 0 São equações em que todas as variáveis têm os seus valores conhecidos, menos uma! Pela lógica: são as primeiras a serem resolvidas ! Devem ser colocadas no início da Sequência de Cálculo

108 Varáveis de Freqüência Unitária São variáveis que pertencem a uma só equação Exemplo: x 8 na equação 8 f 7 (x 6 *, x 7 ) = 0 f 8 (x 7, x 8 ) = 0 78 x* 6 x 7 x 8 Pela lógica: só podem ser calculadas por esta equação e depois de todas as anteriores terem sido resolvidas. Devem ser colocadas no final da Sequência de Cálculo

109 Ciclos x 3456 x 3 x 4 x 5 6 x2x2 x6x6 x 6 = f 6 (x 5 ) = f 6 (f 5 (x 4 )) = f 6 (f 5 (f 4 (x 3 ))) = f 6 (f 5 (f 4 (f 3 (x 2,x 6 )))) = F(x 6 ) São conjuntos cíclicos de equações em que cada variável vem a ser função dela mesma. Solução exclusivamente por métodos iterativos

110 META DO ALGORITMO Produzir uma sequência de cálculo a ser obedecida para a resolução do sistema com mínimo esforço computacional

111 12 X o * X 1 X 2 78 X 6 X 7 X X 3 X 4 X X 3 X 4 X 5 Equação Final 345 X 3 X 4 X X 3 X 4 X 5 EQUAÇÃOVARIÁVEL 1x 1 2x 2 7x 7 6 final 8x 8 EQUAÇÃOVARIÁVEL 1x 1 2x 2 7x 7 3x 3 4x 4 5x 5 6 final 8x 8 X6X6 Variável de Abertura x6x6 META DO ALGORITMO Sequencia de Cálculo Resultante

112 Algoritmo de Ordenação de Equações Enquanto houver equações Enquanto houver equações com incógnita única (a) atribuir (vincular) essa incógnita à respectiva equação. (b) colocar a equação no primeira posição disponível na Sequencia de Cálculo. (c) remover a variável (X na vertical). Enquanto houver variáveis de frequência unitária (a) atribuir (vincular) essa variável à respectiva equação. (b) colocar a equação no última posição disponível na Seqüência de Cálculo. (c) remover a equação (X na horizontal). Se ainda houver equações (ciclo!) (a) selecionar uma equação que contenha pelo menos uma variável de freqüência igual à menor freqüência dentre todas as variáveis (Final). (b) colocar essa equação na última posição disponível na Seqüência de Cálculo. (c ) remover equação (X na horizontal).

113 Etapa 1 1.f 1 (x o *, x 1 ) = 0 2.f 2 (x 1, x 2 ) = 0 3.f 3 (x 2, x 3, x 6 ) = 0 4.f 4 (x 3, x 4 ) = 0 5.f 5 (x 4, x 5 ) = 0 6.f 6 (x 5, x 6 ) = 0 7.f 7 (x 6, x 7 ) = 0 8.f 8 (x 7, x 8 ) = 0 Não há mais EIU ! 1. x 1 = f 1 (x o * ) 2. x 2 = f 2 (x 1 ) 2.f 2 (x 1, x 2 ) = 0 xo*xo* 12 x 1 x 2 Enquanto houver equações com incógnita única (a) atribuir (vincular) essa incógnita à respectiva equação. (b) colocar a equação no primeira posição disponível na Seqüência de Cálculo.

114 Estágio Atual da Seqüência de Cálculo X o * X 1 X 2 X 3 X 4 X 5 X 6 X 7 X 8 X 6 x 2 = f 2 (x 1 ) = f 2 (f 1 (x o )) = f(x o )

115 Etapa 2 1. x 1 = f 1 (x o * ) 2. x 2 = f 2 (x 1 ) 3.f 3 (x 2, x 3, x 6 ) = 0 4.f 4 (x 3, x 4 ) = 0 5.f 5 (x 4, x 5 ) = 0 6.f 6 (x 5, x 6 ) = 0 7.f 7 (x 6, x 7 ) = 0 8.f 8 (x 7, x 8 ) = 0 Não há mais VFU ! 8. x 8 = f 8 (x 7 ) 7. x 7 = f 7 (x 6 ) 78 x 6 x 7 x 8 Enquanto houver equações Enquanto houver variáveis de freqüência unitária (b) colocar a equação no última posição disponível na Seqüência de Cálculo. (a) atribuir (vincular) essa variável à respectiva equação.

116 As equações remanescentes formam um ciclo !!! Estágio Atual da Seqüência de Cálculo X o * X 1 X 2 X 3 X 4 X 5 X 6 X 7 X 8 X 6 x 2 = f 2 (x 1 ) = f 2 (f 1 (x 0 )) = f(x 0 ) x 8 = f 8 (x 7 ) = f 8 (f 7 (x 6 )) = f(x 6 )

117 Preparação do sub-sistema cíclico para resolução por tentativas (d) Estabelecer o esquema de convergência 12 X o * X 1 X 2 78 X 6 X 7 X 8 (a) Selecionar uma Equação Final (b) Retornar à Etapa 2 (VFU) (c) Identificar a Variável de Abertura (a não atribuída a qualquer equação) 345 X 3 X 4 X X 3 X 4 X 5 Equação Final 345 X 3 X 4 X X 3 X 4 X 5 X6X6 Variável de Abertura x6x6

118 Formalmente no Algoritmo 12 X o * X 1 X 2 78 X 6 X 7 X X 3 X 4 X X 3 X 4 X 5 Equação Final 345 X 3 X 4 X X 3 X 4 X 5 X6X6 Variável de Abertura x6x6 Se ainda houver equações (a) selecionar uma equação que contenha pelo menos uma variável de freqüência igual à menor freqüência dentre todas as variáveis (Final). (b) colocar essa equação na última posição disponível na Seqüência de Cálculo. (c ) remover equação.

119 Algoritmo de Ordenação de Equações Enquanto houver equações Enquanto houver equações com incógnita única (a) atribuir (vincular) essa incógnita à respectiva equação. (b) colocar a equação no primeira posição disponível na Sequencia de Cálculo. (c) remover a variável (X na vertical). Enquanto houver variáveis de frequência unitária (a) atribuir (vincular) essa variável à respectiva equação. (b) colocar a equação no última posição disponível na Seqüência de Cálculo. (c) remover a equação (X na horizontal). Se ainda houver equações (ciclo!) (a) selecionar uma equação que contenha pelo menos uma variável de freqüência igual à menor freqüência dentre todas as variáveis (Final). (b) colocar essa equação na última posição disponível na Seqüência de Cálculo. (c ) remover equação (X na horizontal).

120 APLICAÇÃO AO SISTEMA ILUSTRATIVO

121 1. f 1 (x o *, x 1 ) = 0 2. f 2 (x 1, x 2 ) = 0 3. f 3 (x 2, x 3, x 6 ) = 0 4. f 4 (x 3, x 4 ) = 0 5. f 5 (x 4, x 5 ) = 0 6. f 6 (x 5, x 6 ) = 0 7. f 7 (x 6, x 7 ) = 0 8. f 8 (x 7, x 8 ) = 0

122 Seqüência Equações de Incógnita Única (EIU) Círculo na variável inscrição no último lugar x na horizontal

123 Seqüência 1 - x Equações de Incógnita Única (EIU) Círculo na variável inscrição no primeiro lugar x na vertical

124 1 - x x Seqüência Equações de Incógnita Única (EIU) Círculo na variável inscrição no primeiro lugar x na vertical

125 EQUAÇÃOVARIÁVEL 1x 1 2x 2 12 X O * X 1 X 2

126 Seqüência 1 - x x Variáveis de Freqüência Unitária (VFU) Círculo na variável inscrição no último lugar x na horizontal

127 1 - x x x 8 Seqüência Variáveis de Freqüência Unitária (VFU) Círculo na variável inscrição no último lugar x na horizontal

128 1 - x x x x 8 Seqüência Variáveis de Freqüência Unitária (VFU) Círculo na variável inscrição no último lugar x na horizontal

129 EQUAÇÃOVARIÁVEL 1x 1 2x 2 7x 7 8x 8 12 X O * X 1 X 2 78 X 7 X 8 X 6

130 Ciclo! 1 - x x x x 8 Seqüência

131 Equação Final: x x final 7 - x x 8 Seqüência

132 1 - x x final 7 - x x 8 Seqüência Variáveis de Freqüência Unitária (VFU) Círculo na variável inscrição no último lugar x na horizontal

133 1 - x x x final 7 - x x 8 Seqüência Variáveis de Freqüência Unitária (VFU) Círculo na variável inscrição no último lugar x na horizontal

134 1 - x x x x final 7 - x x 8 Seqüência Variáveis de Freqüência Unitária (VFU) Círculo na variável inscrição no último lugar x na horizontal

135 1 - x x x x x final 7 - x x 8 Seqüência Variáveis de Freqüência Unitária (VFU) Círculo na variável inscrição no último lugar x na horizontal

136 Variável de Abertura: x x x x x x final 7 - x x 8 x6x6 Seqüência

137 Resolução do Ciclo EQUAÇÃOVARIÁVEL 1x 1 2x 2 3x 3 4x 4 5x 5 6 final 7x 7 8x X O * X 1 X 2 X 3 X 4 X 5 X 6 X 7 X 8 X 6 X 6 x 6 : variável de abertura equação final x6x6

138 ESTABELECIMENTO DO ESQUEMA DE CONVERGÊNCIA Insere-se um Promotor de Convergência São apresentados dois Promotores de Convergência baseados nos métodos para equações não-lineares: (a) Bisseção (b) Substituição Direta

139 x ALGORITMO SE ABS(f i ) < ABS(f s ) ENTÃO Solução = x i SENÃO Solução = x s f(x) x xixi fifi xsxs fsfs x f xsxs fsfs xixi fifi x f Se Sinal (f) = Sinal (f i ): Então atualizar : x i = x : f i = f Estabelecer x i, x s, (tolerância) Calcular f i em x i Calcular f s em x s REPETIR x = (x i + x s )/2 Calcular f em x Senão atualizar : x s = x : f s = f ATÉ x s - x i xf BISS f (x) Relembrando o Método da Bisseção

140 A cada iteração: - arbitra-se x 6a. - resolve-se sucessivamente as equações 3, 4 e 5. - pela equação 6 calcula-se f 6 (x 5, x 6 ). - avalia-se a convergência pelo critério do método da bisseção. x xixi fifi xsxs fsfs x f f(x) (a) BISSSEÇÃO x 6a 3456 x2x2 x3x3 x4x4 x5x5 x6x6 BISS f 6 (x 5, x 6 ) f3 (x2,x3,x4) = 0f4 (x3,x4) = 0f5 (x4,x5) = 0f6 (x5,x6) = 0

141 (c) F'(x) < 0|F'(x)| < 1 convergência oscilante F(x) x x1x1 x2x2 x3x3 (a) F'(x) > 0|F'(x) < 1 convergência monotonica x1x1 x2x2 F(x) x x3x3 ALGORITMO Estabelecer x inicial, (tolerância) F = x inicial x solução = F Convergir = |(F - x)/x| < REPETIR x = F Calcular a Função F em x ATÉ Convergir RELEMBRANDO O MÉTODO DA SUBSTITUIÇÃO DIRETA x = F ( x)f (x) = 0explicitando x A solução é a interseção de F(x) com a reta de 45º onde ela é igual ao próprio x.

142 (b) SUBSTITUIÇÃO DIRETA Arbitra-se x 6c inicial. A cada iteração: - toma-se x 6a = x 6c. - resolve-se sucessivamente as equações 3, 4, 5 e 6, que calcula x 6c. - avalia-se a convergência através do erro relativo ABS (x 6c – x 6a ) / x 6a x 1 x 2 x 3 x 6c x 6a x 6c 3456 x2x2 x3x3 x4x4 x5x5 x6x6 SD x 6a

143 COMPARAÇÃO DOS PROMOTORES DE CONVERGÊNCIA (b) Substituição Direta Arbitra-se x 6a. A cada iteração, a eq.6 calcula x 6c = f 6 (x 5 ) : x 6a = x 6c (até convergir). f 6 (x 5, x 6 ) (a) Bisseção x 6a 3456 x2x2 x3x3 x4x4 x5x5 x6x6 BISS f3 (x2,x3,x6) = 0f4 (x3,x4) = 0f5 (x4,x5) = 0f6 (x5,x6) = 0 Arbitra-se x 6a. A cada iteração, a eq.6 calcula f 6 (x 5, x 6 ) (até convergir) x 6c 3456 x2x2 x3x3 x4x4 x5x5 x6x6 SD x 6a f3 (x2,x3,x4) = 0f4 (x3,x4) = 0f5 (x4,x5) = 0f6 (x5,x6) = 0

144 Algoritmo de Ordenação de Equações Enquanto houver equações com incógnita única (a) atribuir (vincular) essa incógnita à respectiva equação. (b) colocar a equação na primeira posição disponível na Seqüência de Cálculo. (c) remover a variável. Enquanto houver equações Enquanto houver variáveis de freqüência unitária (a) atribuir (vincular) essa variável à respectiva equação. (b) colocar a equação na última posição disponível na Seqüência de Cálculo. (c) remover a equação. Se ainda houver equações (a) selecionar uma equação que contenha pelo menos uma variável de freqüência igual à menor freqüência dentre todas as variáveis (Final). (b) colocar essa equação na última posição disponível na Seqüência de Cálculo. (c ) remover equação. x* 12 x 1 x 2o 78 x 6 x 7 x X 3 X 4 X X 3 X 4 X 5 x6x6

145 Mostrar o Programa AOE.xls

146 Uma vez ordenadas, as equações podem ser resolvidas na seqüência estabelecida, com o mínimo de esforço computacional.

147 Algoritmo de Ordenação de Equações Aplicação a 4 Sistemas típicos em Engenharia de Processos.

148 1f 1 (x 1, x 2 ) 2f 2 (x 2, x 3, x 4 ) = 0 3f 3 (x 3, x 4 ) = 0 4f 4 (x 4 ) = 0 Sistema 1 G = 0 : solução única, sem variável de projeto Ciclo potencial: pode haver variável de abertura 1** 2*** 3** 4* x 1 x 2 x 3 x 4 Matriz Incidência x1x1 x2x2 x3x3 x4x4 x4x4 Grafo

149 Algoritmo de Ordenação de Equações Enquanto houver equações com incógnita única (c) remover a variável. 4 x 4 3 x 3 2 x 2 1 x 1 Seqüência de Cálculo EquaçãoVariável Matriz Incidência x 1 x 2 x 3 x 4 1 * * 2 * * * 3 * * 4 * X X XX (a) atribuir (vincular) essa incógnita à respectiva equação. (b) colocar a equação na primeira posição disponível na Seqüência de Cálculo.

150 O Sistema 1 como um Problema de Simulação ou de Dimensionamento sem Otimização - Sequência Acíclica PROCESSO LEE* 4321 x4x4 x3x3 x2x2 x1x1 AVALIAÇÃO ECONÔMICA x 4 x 3 x 2 x 1 4 x 4 3 x 3 2 x 2 1 x 1 Seqüência de Cálculo EquaçãoVariável

151 Sistema 2 1f 1 (x 1,x 2 ) 2f 2 (x 2,x 3,x 4 ) = 0 3f 3 (x 3,x 4 ) = 0 4f 4 (x 4,x 5 ) = 0 G = 1 : problema de otimização, com variável de projeto. Ciclo potencial: pode haver variável de abertura. 1** x1x1 x2x2 x3x3 x4x4 x5x5 2*** 3** 4** Matriz Incidência x1x1 x2x2 x3x3 x4x4 x4x4 x5x5 Grafo

152 Algoritmo de Ordenação de Equações Enquanto houver equações com incógnita única (a) atribuir (vincular) essa incógnita à respectiva equação. (b) colocar a equação na primeira posição disponível na Seqüência de Cálculo. (c) remover a variável. 4 x 5 3 x 3 2 x 2 1 x 1 Seqüência de Cálculo EquaçãoVariável Matriz Incidência x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 1 * * 2 * * * 3 * * 4 * * X X XX X Enquanto houver equações Enquanto houver variáveis de freqüência unitária (c) remover a equação. x 4 variável de projeto (a) atribuir (vincular) essa variável à respectiva equação. (b) colocar a equação na última posição disponível na Seqüência de Cálculo.

153 O Sistema 2 como um Problema de Dimensionamento com Otimização - Sequência Acíclica x 4 : variável de projeto PROCESSO OTIMIZAÇÃO LE E* 321 x3x3 4 x2x2 x1x1 x5x5 x4x4 AVALIAÇÃO ECONÔMICA x 1 x 2 x 3 x 5

154 Sistema 3 1f 1 (x 1,x 2 ) 2f 2 (x 1,x 2,x 3,x 4 ) = 0 3f 3 (x 3,x 4 ) = 0 4f 4 (x 4 ) = 0 G = 0: solução única, sem variável de projeto Ciclos potenciais: podem haver variáveis de abertura x1x1 x2x2 x3x3 x4x4 1** 2**** 3** 4* Matriz Incidência 1234 x1x1 x2x2 x3x3 x4x4 x4x4 x1x1 Grafo

155 Algoritmo de Ordenação de Equações Enquanto houver equações com incógnita única (a) atribuir (vincular) essa incógnita à respectiva equação. (b) colocar a equação na primeira posição disponível na Seqüência de Cálculo. (c) remover a variável. 4 x 4 3 x 3 1 x 2 2 final Seqüência de Cálculo EquaçãoVariável Matriz Incidência x 1 x 2 x 3 x 4 1 * * 2 * * * * 3 * * 4 * X XXXX X x 1 : Variável de Abertura

156 O Sistema 3 como um Problema Simulação ou de Dimensionamento sem Otimização - Sequência Cíclica x 1 : variável de abertura PROCESSO LEE* 4321 x4x4 x3x3 x2x2 x1x1 AVALIAÇÃO ECONÔMICA x 1 x 2 x 3 x 4

157 Sistema 4 1f 1 (x 1,x 2 ) 2f 2 (x 1,x 2,x 3,x 4 ) = 0 3f 3 (x 3,x 4 ) = 0 4f 4 (x 4, x 5 ) = 0 G = 1: problema de otimização com variável de projeto Ciclos potenciais: pode haver variáveis de abertura x1x1 x2x2 x3x3 x4x4 x5x5 1** 2**** 3** 4** Matriz Incidência Grafo

158 Matriz Incidência x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 1 * * 2 * * * * 3 * * 4 * * X XXX X 4 x 5 3 x 3 1 x 2 2 final Seqüência de Cálculo EquaçãoVariável X X Enquanto houver equações Enquanto houver variáveis de freqüência unitária (a) atribuir (vincular) essa variável à respectiva equação. (b) colocar a equação na última posição disponível na Seqüência de Cálculo. (c) remover a equação. Algoritmo de Ordenação de Equações Enquanto houver equações com incógnita única (a) atribuir (vincular) essa incógnita à respectiva equação. (b) colocar a equação na primeira posição disponível na Seqüência de Cálculo. (c) remover a variável.

159 O Sistema 4 como um Problema de Dimensionamento com Otimização - Sequência Cíclica E* PROCESSO OTIMIZAÇÃO LE 321 x 4 x 3 x4x4 2 x x1x1 5 x 1 x 2 x 3 x 5 AVALIAÇÃO ECONÔMICA x 4 : variável de abertura x 1 : variável de projeto Matriz Incidência x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 1 * * 2 * * * * 3 * * 4 * * X XX X X 4 x 5 3 x 3 1 x 2 2 final Seqüência de Cálculo EquaçãoVariável X X x1x1 x4x4

160 COMPARAÇÃO DOS 4 PROBLEMAS

161 PROCESSO OTIMIZAÇÃO * LEEx x 4 x 3 x 2 x 1 x 2 x 3 x x 55 4 AVALIAÇÃO ECONÔMICA PROCESSO OTIMIZAÇÃO * LEEx x 4 x 3 x 2 x 1 x 2 x 3 x x 55 4 AVALIAÇÃO ECONÔMICA PROCESSO * LEEx x 4 x 3 x 2 x 1 x 2 x 3 x 4 AVALIAÇÃO ECONÔMICA Sol.única sem ciclo Otimização com ciclo Sol.única com ciclo Otimização sem ciclo PROCESSO * LEEx x 4 x 3 x 2 x 1 x 2 x 3 x 4 AVALIAÇÃO ECONÔMICA

162 REGRAS COMPLEMENTARES NA APLICAÇÃO DO ALGORITMO DE ORDENAÇÃO DE EQUAÇÕES - Variáveis discretas - Variáveis de cálculo direto e iterativo - Variáveis limitadas - Ciclos múltiplos - Variáveis de abertura e de projeto - Eliminação de ciclos.

163 Variáveis Discretas Seus valores são limitados a um conjunto finito. Exemplos: - tipos de insumos: utilidades, solventes, catalisadores. - diâmetros comerciais de tubos. - número de estágios. Em problemas com G > 0 elas têm preferência como Variáveis de Projeto. Assim: - assumem apenas os valores viáveis atribuídos pelo otimizador. - não sendo calculadas, não há risco de assumirem valores inviáveis.

164 x = 1 : y = 3 a = 3 (não existe !) a = 0,5 : x = 1 y = 0,5 a = 1 : y = 1 x = 1 x y a = 1 a = 0,5 G = 2 (duas variáveis de projeto) Exemplo: y = a x [a = 1 ou a = 0,5] Logo: a tem que ser uma das duas variáveis de projeto

165 Variáveis de Cálculo Direto ou Iterativo Exemplo Nesta equação: - é uma variável de cálculo direto (dadas as temperaturas) - qualquer T é de cálculo iterativo (dado e as demais Ts) As variáveis de cálculo direto têm preferência para a condição de calculadas. Variáveis de cálculo direto são aquelas que podem ser facilmente explicitadas numa equação e calculadas sem necessidade de iterações.

166 Varáveis Limitadas Os seus valores variam entre limites bem definidos. Exemplos: - frações mássicas ou molares - temperaturas em trocadores de calor Variáveis limitadas devem ter preferência para atuar como variáveis de abertura e de projeto. Durante a execução do Algoritmo, a atribuição deve ser postergada ao máximo para que essa preferência seja concretizada.

167 Ciclos Múltiplos f 1 (x o,x 1,x 3 )0 f 2 (x 1,x 2 )0 f 3 (x 2,x 3 )0 f 4 (x 3,x 4 )0 f 5 (x 4,x 5,x 7 )0 f 6 (x 5,x 6 )0 f 7 (x 6,x 7 )0 = = = = = = = x 2. x 3. final 4. x 5. x 6. x 7. final x3x3 x7x7 Ciclos em Sequência Primeira entrada de x 7 : eq. 5 Primeira entrada de x 3 : eq. 1 Fechar o ciclo com a final mais próxima Um sistema de equações pode exibir diversos ciclos.

168 Ciclos Aninhados fxxx fxxx fxxx fxx fxxx fxxx fxx 1o (,,) (,,) (,,) (,) (,,) (,, ) (,) = = = = = = = X4X4 X7X7 1. x 1 4. x 3 6. x 5 3. x 2 5. final 7. x 6 2. final Ciclos Múltiplos Primeira entrada de x 7 : eq. 7 Primeira entrada de x 4 : eq. 4 Fechar o ciclo com a final mais próxima

169 Variáveis de Abertura e de Projeto Simultâneas (a) 1. x 1 2. x 2 4. x 4 6. x 6 3. x 3 x 7 x 5 5. final 7. x 8 Escolha Conveniente Ciclo com 3 equações 1. x 1 2. x 2 4. x 4 6. x 6 3. x 3 x 7 x 5 5. final (b) 7. x 8 Escolha Inconveniente Ciclo com 4 equações Em problemas com G > 0 e com ciclo, a variável de abertura deve ser aquela que fecha, com a Equação Final, um ciclo com o menor número de equações.

170 Eliminação de Ciclos 31 = 1 - X X 32 = 1 - X = k X 12 / [1 + (k - 1) X 12 ] 3 = W 1 X 11 r / X W 2 = W 1 X 31 / X X 23 =03. W 15 = 2 = T 3 = = 02'.X 12 = X 11 (1 - r) / [X 31 +X 11 (1 - r)] 07. W 06. T 05. V d X 33. X 31 = 1 - X X 32 = 1 - X = k X 12 / [1 + (k - 1) X 12 ] 3 = W 1 X 11 r / X W 2 = W 1 X 31 / X W 1 *X 11 *- W 2 X 12 - W 3 X 13 = X 23 =03. W 15 = 2 = T 3 = = X W 06. T 05. V d X 33. X Substituindo 01, 07, 04 e 32 em 02, esta fica só com x 12 como incógnita. Explicitando x 12, resulta 02, localizada logo depois de 31. A seqüência fica sem ciclo.

171 3.1 Equações Não-Lineares Representação Resolução: redução de intervalos e aproximações sucessivas 3.2 Sistemas de Equações Não-Lineares Estrutura e representação Resolução: partição, abertura, ordenação de equações 3.4 Dimensionamento e Simulação de Processos Estratégia Global Estratégia Modular 3.5 Incerteza e Análise de Sensibilidade Questionamento do Dimensionamento Questionamento do Desempenho Futuro 3. ESTRATÉGIAS DE CÁLCULO 3.3 Dimensionamento e Simulação de Equipamentos

172 3.3 Dimensionamento e Simulação dos Equipamentos Adquirir familiaridade com os equipamentos antes de integrá-los no processo (livres de interações). Motivação para estudar os equipamentos isolados: Montar as rotinas de dimensionamento e de simulação que integram o programa de análise do processo. Rever conhecimentos adquiridos em disciplinas anteriormente cursadas.

173 ENGENHARIA DE EQUIPAMENTOS Projeto e Análise dos Equipamentos de Processo Reatores Trocadores de calor Separadores Torres de destilação Torres de absorção Extratores Cristalizadores Filtros Outros... Instrumentos de Controle Automático Tratamento compartimentado!

174 Resolver Problema Otimizar Processo Calcular Lucro Dimensionar Extrator Dimensionar Evaporador Dimensionar Condensador Dimensionar Resfriador Dimensionar Misturador Simular Extrator Simular Evaporador Simular Condensador Simular Resfriador Simular Misturador Simular Processo Dimensionar Processo

175 1.6.4 Análise Genericamente: análise significa - decompor um todo em suas partes, - depreender o comportamento do todo a partir do comportamento das partes. PROJETO = SÍNTESE ANÁLISE

176 Dimensões dos principais Equipamentos. Consumo de utilidades matérias primas e insumos Especificações de projeto Modelo Matemático previsão Dimensões dos principais equipamentos Consumo de utilidades matérias primas e insumos Modelo Econômico avaliação Lucro No caso de processos químicos, a Análise consiste em prever e avaliar o desempenho de cada fluxograma gerado na Síntese, para fins de comparação

177 W6T6W6T6 W 10 T 10 W 13 T 13 W 11 T 11 W8T8W8T8 W 1 x 11 T 1 f 11 f 31 W7T7W7T7 W5T5W5T5 W 3 x 13 T 3 f 13 f 23 W 4 x 14 T 4 f 14 f 24 W 12 T 12 W 14 T 14 W 2 x 12 T 2 f 12 f 32 EXTRATOR Extrato Rafinado EVAPORADOR CONDENSADORRESFRIADORMISTURADOR BOMBA VdVd AeAe AcAc ArAr Alimentação Vapor Água Benzeno Produto Condensado W 15 T 15

178 W 10 T 10 W 13 T 13 W 12 T 12 RESFRIADOR ArAr Água W 13 T 13 W 1 x 11 T 1 f 11 f Alimentação Extrato 3 W 2 x 12 T 2 f 12 f 32 EXTRATOR Rafinado BOMBA 2 VdVd W 3 x 13 T 3 f 13 f 23 W 15 T 15 W8T8W8T8 W5T5W5T5 W 12 T 12 CONDENSADOR AcAc Água W 10 T Benzeno W6T6W6T6 W7T7W7T7 W 3 x 13 T 3 f 13 f 23 W 4 x 14 T 4 f 14 f 24 EVAPORADOR 4 67 AeAe Vapor W5T5W5T5 5 Benzeno Produto Condensado 3 Extrato Fragmentando o Processo...

179 01. Balanço Material do Ácido Benzóico: f 11 - f 12 - f 13 = Balanço Material do Benzeno: W 15 - f 23 = Balanço Material da Água: f 31 - f 32 = Relação de Equilíbrio Líquido-Líquido: x 13 - k x 12 = Relação de Equilíbrio Líquido-Líquido: k – (3 + 0,04 T d ) = Balanço de Energia: (f 11 Cp 1 + f 31 Cp 3 ) (T 1 - T d ) + W 15 Cp 2l (T 15 - T d ) = Equação de Dimensionamento: V d - (f 11 / 1 + W 15 / 2 + f 31 / 3 ) = Fração Recuperada de Ácido Benzóico: r - f 13 / f 11 = Fases em Equilíbrio T 2 – T d = Fases em Equilíbrio T 3 – T d = 0 EXTRATOR W 1 x 11 T 1 f 11 f Alimentação Extrato 3 W 2 x 12 T 2 f 12 f 32 EXTRATOR Rafinado BOMBA 2 VdVd W 3 x 13 T 3 f 13 f 23 W 15 T Vazão Total na Corrente 1: f 11 + f 31 - W 1 = Fração Mássica na Corrente 1: x 11 - f 11 / W 1 = Vazão Total na Corrente 2: f 12 + f 32 – W 2 = Fração Mássica na Corrente 2: x 12 - f 12 / W 2 = Vazão Total na Corrente 3: f 13 + f 23 – W 3 = Fração Mássica na Corrente 3: x 13 - f 13 / W 3 = 0

180 01. f 11 - f 12 - f 13 = W 15 - f 23 = f 31 - f 32 = x 13 - k x 12 = k – (3 + 0,04 T d ) = (f 11 Cp 1 + f 31 Cp 3 ) (T 1 - T d ) + W 15 Cp 2l (T 15 - T d ) = V d - (f 11 / 1 + W 15 / 2 + f 31 / 3 ) = r - f 13 / f 11 = T 2 – T d = T 3 – T d = f 11 + f 31 - W 1 = x 11 - f 11 / W 1 = f 12 + f 32 – W 2 = x 12 - f 12 / W 2 = f 13 + f 23 – W 3 = x 13 - f 13 / W 3 = 0 35f11 8f13 1f12 34f31 3f32 36W2 37x12 W339x13 4k 5Td 38f23 6W15 Fina l2 10T3 9T2 7Vd

181 Problema proposto: determinar o volume do decantador e a vazão de benzeno necessários para recuperar 60% do ácido benzóico presente a 0,2% nos kg/h de alimentação, a 25 o C, com um tempo de residência de 5 min (0,0833 h). Determinar as concentrações das correntes de extrato e de rafinado. A temperatura do benzeno é 25 o C. W * 1 = kg/h x * 11 = 0,002 T * 1 = 25 o C f 11 f Alimentação Extrato 3 W 2 x 12 T 2 f 12 f 32 EXTRATOR Rafinado BOMBA 2 W 3 x 13 T 3 f 13 f 23 T * 15 = 25 o C * = 0,0833 h r * = 0,60 VdVd W 2 = kg/h x 12 = 0,0008 T 2 = 25 o C f 12 = 80 kg/h f 32 = kg/h W 3 = kg/h x 13 = 0,0032 T 3 = 25 o C f 13 = 120 kg/h f 23 = kg/h f 11 = 200 kg/h f 31 = kg/h W 15 = kg/hW 15 V d = l Balanço de Informação V = 22 N = 16 C = 4 G = 2 ! Metas de Projeto Máximo = 2 V = 22 N = 16 C = 4 M = 2 G = 0 DIMENSIONAMENTO DO EXTRATOR

182

183 Resultando a rotina DimensionarExtrator do programa BenzoDSO (diferente) f11 = x11 * W1 '35 f13 = r * f11 '08 f12 = f11 - f13 '01 f31 = W1 - f11 '34 f32 = f31 '03 W2 = f12 + f32 '36 x12 = f12 / W2 '37 W = Cp1 * f11 + f31 a = (25 / x12) * (W + f13 * Cp2l) b = W * (T ) - f13 * Cp2l * (T / x12) c = f13 * Cp2l * (T ) discr = Sqr(b ^ * a * c) x13 = (discr + b) / (2 * a) '06' (Variável de abertura) W3 = f13 / x13 '39 (Início do Ciclo) k = x13 / x12 '04 f23 = W3 - f13 '38 Td = 25 * (k - 3) '05 W15 = f23 '02 (Final do Ciclo) Vd = Tau * (f11 / Ro1 + W15 / Ro2 + f31 / Ro3) '07 T2 = Td '09 T3 = Td '10

184 Resolver Problema Otimizar Processo Calcular Lucro Dimensionar Extrator Dimensionar Evaporador Dimensionar Condensador Dimensionar Resfriador Dimensionar Misturador Simular Extrator Simular Evaporador Simular Condensador Simular Resfriador Simular Misturador Simular Processo Dimensionar Processo

185 Problema proposto: determinar as vazões e as concentrações das correntes de extrato e de rafinado, a fração recuperada de ácido benzóico e o tempo de residência, caso o extrator de V d = L fosse alimentado com kg/h de benzeno, e não com os kg/h de projeto (as demais condições de entrada permanecendo as mesmas de projeto). W * 1 = kg/h x * 11 = 0,002 T * 1 = 25 o C f 11 = 200 kg/h f 31 = kg/h 1 15 Alimentação Extrat o 3 EXTRATOR Rafinado BOMBA 2 V * d = l W * 15 = kg/h T * 15 =25 o C r = 0,67 = 0,075 h W 2 = kg/h x 12 = 0,0007 T 2 = 25 o C f 12 = 67 kg/h f 32 = kg/h W 3 = kg/h x 13 = 0,0026 T 3 = 25 o C f 13 = 133 kg/h f 23 = kg/h SIMULAÇÃO DO EXTRATOR G = 0 ! W * 1 = kg/h x * 11 = 0,002 T * 1 = 25 o C f 11 f Alimentação Extrato 3 W 2 x 12 T 2 f 12 f 32 EXTRATOR Rafinado BOMBA 2 W 3 x 13 T 3 f 13 f 23 T * 15 = 25 o C * = 0,0833 h r * = 0,60 VdVd W 2 = kg/h x 12 = 0,0008 T 2 = 25 o C f 12 = 80 kg/h f 32 = kg/h W 3 = kg/h x 13 = 0,0032 T 3 = 25 o C f 13 = 120 kg/h f 23 = kg/h f 11 = 200 kg/h f 31 = kg/h W 15 = kg/hW 15 V d = l

186

187 Resulta a rotina SimularExtrator do programa BenzoDSO (diferente) f23 = W15 '02 f11 = W1 * x11 '35 f31 = W1 - f11 '34 f32 = f31 '03 a = f11 * Cp1 + f31 * Cp3 b = W15 * Cp2l Td = (a * T1 + b * T15) / (a + b) '06 Tau = Vd / (f11 / Ro1 + W15 / Ro2 + f31 / Ro3) '07 k = * Td '05 T2 = Td '09 T3 = Td '10 a = k - 1: 'Cells(24, 7) = a b = k * (f11 + f23) + f32 - f11: 'Cells(25, 7) = b c = f11 * f32: Cells(26, 7) = c discr = Sqr(b ^ * a * c): 'Cells(27, 7) = discr f12 = (b - discr) / (2 * a) '04' Variável de Abertura f13 = f11 - f12 '01 Início do Ciclo W2 = f12 + f32 '36 x12 = f12 / W2 '37 W3 = f13 + f23 '38 x13 = f13 / W3 '39 Final de Ciclo r = f13 / f11 '08

188 Resolver Problema Otimizar Processo Calcular Lucro Dimensionar Extrator Dimensionar Evaporador Dimensionar Condensador Dimensionar Resfriador Dimensionar Misturador Simular Extrator Simular Evaporador Simular Condensador Simular Resfriador Simular Misturador Simular Processo Dimensionar Processo

189 26. Balanço Material da Água: W 11 - W 12 = Balanço Material do Benzeno: W 10 - W 13 = Balanço de Energia na Corrente de Água: Q r - W 11 Cp 3 (T 12 - T 11 ) = Balanço de Energia na Corrente de Benzeno: Q r - W 10 Cp 2l (T 10 - T 13 ) = Equação de Dimensionamento: Q r - U r A r r = Definição do T Médio Logarítmico ( r ): r - [(T 10 - T 12 ) - (T 13 - T 11 ) ] / ln[(T 10 - T 12 ) / (T 13 - T 11 )] = 0 RESFRIADOR W 10 T 10 W 13 T 13 W 12 T ArAr Água W 13 T 13

190 DIMENSIONAMENTO DO RESFRIADOR Problema proposto: determinar a vazão de água de resfriamento e a área de troca térmica do resfriador necessárias para resfriar kg/h de benzeno liquido saturado até 25 o C. A água se encontra a 15 o C e deve sair a 30 o C. W 13 = T * 13 = 25 o C W * 10 = kg/h T * 10 = 80 o C W 12 = T * 12 = 30 o C ArAr Água W 11 = T * 11 = 15 o C W * 10 = kg/h T * 10 = 80 o C W 12 = kg/h T * 12 = 30 o C A r = 362 m 2 Água W 11 = kg/h T * 11 = 15 o C W 13 = kg/h T * 13 =25 o C V = 11 N = 6 C = 3 M = 2 G = 0 !

191 26. Balanço Material da Água: W 11 - W 12 = Balanço Material do Benzeno: W 10 - W 13 = Balanço de Energia na Corrente de Água: Q r - W 11 Cp 3 (T 12 - T 11 ) = Balanço de Energia na Corrente de Benzeno: Q r - W 10 Cp 2l (T 10 - T 13 ) = Equação de Dimensionamento: Q r - U r A r r = Definição do T Médio Logarítmico ( r ): r - [(T 10 - T 12 ) - (T 13 - T 11 )]/ln[(T 10 - T 12 )/(T 13 - T 11 )] = 0 RESFRIADOR W 10 T 10 W 13 T 13 W 12 T ArAr Água W 13 T 13

192

193 27. W 13 = W Q r = W 10 Cp 2l (T 10 - T 13 ) 28. W 11 = Q r / (Cp 3 (T 12 - T 11 )) 26. W 12 = W 11 d 1 = T 10 - T 12 : d 2 = T 13 - T dr = (d 1 - d 2 ) / ln (d 1 / d 2 ) 30. A r = Q r / (U r dr ) Resultando a rotina DimensionarResfriador

194 Resolver Problema Otimizar Processo Calcular Lucro Dimensionar Extrator Dimensionar Evaporador Dimensionar Condensador Dimensionar Resfriador Dimensionar Misturador Simular Extrator Simular Evaporador Simular Condensador Simular Resfriador Simular Misturador Simular Processo Dimensionar Processo

195 SIMULAÇÃO DO RESFRIADOR Problema proposto: pretende-se determinar as temperaturas de saída do benzeno e da água, caso o resfriador projetado para 361 m 2 fosse alimentado com kg/h de benzeno ao invés de kg/h, mantidas a vazão e a temperatura da água de resfriamento. W * 10 = kg/h T * 10 = 80 o C W 12 = kg/h T * 12 = 30 o C A r = 362 m 2 Água W 11 = kg/h T * 11 = 15 o C W 13 = kg/h T * 13 = 25 o C W * 10 = kg/h T * 10 = 80 o C W 12 = kg/h T 12 = 24,5 o C A * r = 362 m 2 Água W* 11 = kg/h T* 11 = 15 o C W 13 = kg/h T 13 = 16,8 o C Resultado do dimensionamento V = 11 N = 6 E = 5 G = 0 ! Resultado da simulação

196

197 Resultou a rotina SimularResfriador (diferente) W12 = W11 '26 W13 = W10 '27 T = T10 - T11: a1 = 1 / (W10 * Cp2l) a2 = 1 / (W11 * Cp3): E1 = Exp(Ur * Ar * (a1 - a2)) Qr = T * (1 - E1) / (a2 - E1 * a1) '30 Variável de Abertura T12 = T11 + Qr * a2 '28 Inicio de Ciclo T13 = T10 - Qr * a1 '29 d1 = T10 - T12: d2 = T13 - T11 If Abs(d1 - d2) < Then Dr = d1 Else Dr = (d1 - d2) / Log(d1 / d2) '31 Final de Ciclo

198 Resolver Problema Otimizar Processo Calcular Lucro Dimensionar Extrator Dimensionar Evaporador Dimensionar Condensador Dimensionar Resfriador Dimensionar Misturador Simular Extrator Simular Evaporador Simular Condensador Simular Resfriador Simular Misturador Simular Processo Dimensionar Processo

199 20. Balanço Material da Água: W 8 - W 9 = Balanço Material do Benzeno: W 5 - W 10 = Balanço de Energia na Corrente de Água: Q c - W 8 Cp 3 (T 9 - T 8 ) = Balanço de Energia na Corrente de Benzeno: W 5 [ 2 + Cp 2g (T 5 – T 10 )] - Q c = Equação de Dimensionamento: Q c - U c A c c = Definição do T Médio Logarítmico ( c ): c - [(T 5 - T 9 ) - (T 10 - T 8 )]/ln[(T 5 - T 9 )/(T 10 - T 8 )] = 0 CONDENSADOR W5T5W5T5 W 10 T 10 W9T9W9T ArAr Água W8T8W8T8

200 DIMENSIONAMENTO DO CONDENSADOR Problema proposto: determinar a vazão de água de resfriamento e a área de troca térmica necessárias para condensar kg/h de benzeno de vapor saturado a líquido saturado. A água se encontra a 15 o C e deve sair a 30 o C. W * 5 = kg/h T * 5 = 80 o C W 10 T * 10 = 80 o C W 9 T * 9 = 30 o C Água W 8 T * 8 = 15 o C AcAc W 10 = kg/h T * 10 = 80 o C W 9 = kg/h T * 9 = 30 o C Água W 8 = kg/h T * 8 = 15 o C A c = 120 m 2 W * 5 = kg/h T * 5 = 80 o C V = 11 N = 6 C = 3 M = 2 G = 0 !

201 20. Balanço Material da Água: W 8 - W 9 = Balanço Material do Benzeno: W 5 - W 10 = Balanço de Energia na Corrente de Água: Q c - W 8 Cp 3 (T 9 - T 8 ) = Balanço de Energia na Corrente de Benzeno: W 5 [ 2 + Cp 2g (T 5 – T 10 )] - Q c = Equação de Dimensionamento: Q c - U c A c c = Definição do T Médio Logarítmico ( c ): c - [(T 5 - T 9 ) - (T 10 - T 8 )]/ln[(T 5 - T 9 )/(T 10 - T 8 )] = 0 CONDENSADOR W5T5W5T5 W 10 T 10 W9T9W9T ArAr Água W8T8W8T8

202

203 21. W 10 = W Qc = W 5 2 d 1 = T 5 - T 9 : d 2 = T 10 - T W 8 = Qc / (Cp 3 * (T 9 - T 8 )) 20. W 9 = W dc = (d 1 - d 2 ) / ln (d 1 / d 2 ) 24. Ac = Qc / (Uc * dc) Resultando a rotina DimensionarCondensador

204 Resolver Problema Otimizar Processo Calcular Lucro Dimensionar Extrator Dimensionar Evaporador Dimensionar Condensador Dimensionar Resfriador Dimensionar Misturador Simular Extrator Simular Evaporador Simular Condensador Simular Resfriador Simular Misturador Simular Processo Dimensionar Processo

205 SIMULAÇÃO DO CONDENSADOR Problema proposto: determinar a vazão de água necessária para condensar kg/h de benzeno, ao invés dos kg/h para os quais foi calculada a área de 119 m 2. Pretende-se que o benzeno deixe o condensador como líquido saturado. A água se encontra a 15 o C. W * 5 = kg/h T * 5 = 80 o C W 10 = T * 10 = 80 o C W 9 = T 9 = Água W 8 = kg/h T * 8 = 15 o C A * c = 120 m 2 W 10 = kg/h T * 10 = 80 o C W 9 = kg/h T * 9 = 30 o C Água W 8 = kg/h T * 8 = 15 o C A c = 120 m 2 W * 5 = kg/h T * 5 = 80 o C resultado do dimensionamento V = 11 N = 6 C = 5 M = 1 G = - 1 !!! Pretendido na simulação

206 V = 11 N = 6 C = 5 M = 1 G = -1 !!! Este problema difere da simulação do extrator e do resfriador porque contem uma meta: o benzeno deve sair como líquido saturado, logo a 80 o C. Daí: G = -1. W * 5 = kg/h T * 5 = 80 o C W 10 = T * 10 = 80 o C W 9 = T 9 = Água W 8 = kg/h T * 8 = 15 o C A * c = 120 m 2

207 V = 11 N = 6 C = 5 M = 1 G = -1 !!! W * 5 = kg/h T * 5 = 80 o C W 10 = T * 10 = 80 o C W 9 = T 9 = Água W 8 = kg/h T * 8 = 15 o C A * c = 120 m 2 O problema só pode ser resolvido se alguma condição conhecida deixar de sê-lo. Uma solução consiste em transformar W 8 em incógnita. O seu valor calculado pode ser tomado como set- point de um sistema de controle que a utilize como variável de controle. W * 5 = kg/h T * 5 = 80 o C W 10 = kg/h T * 10 = 80 o C W 9 = kg/h T 9 = 67,7 o C Água W 8 = kg/h T * 8 = 15 o C A * c = 120 m 2 V = 11 N = 5 C = 5 M = 1 G = 0

208 W 10 = kg/h T * 10 = 80 o C W 9 = kg/h T * 9 = 30 o C Água W 8 = kg/h T * 8 = 15 o C A c = 120 m 2 W * 5 = kg/h T * 5 = 80 o C resultado do dimensionamento W * 5 = kg/h T * 5 = 80 o C W 10 = kg/h T * 10 = 80 o C W 9 = kg/h T 9 = 67,7 o C Água W 8 = kg/h T * 8 = 15 o C A * c = 120 m 2 resultado da simulação

209

210 21. W 10 = W Qc = W dc = Qc / (Uc Ac) 25. c - [(T 5 - T 9 ) - (T 10 - T 8 )]/ln[(T 5 - T 9 )/(T 10 - T 8 )] = 0 (Resolução por Bisseção) 22. W 8 = Qc / (Cp 3 (T 9 - T 8 )) 20. W 9 = W 8 Resulta a rotina SimularCondensador

211 Resolver Problema Otimizar Processo Calcular Lucro Dimensionar Extrator Dimensionar Evaporador Dimensionar Condensador Dimensionar Resfriador Dimensionar Misturador Simular Extrator Simular Evaporador Simular Condensador Simular Resfriador Simular Misturador Simular Processo Dimensionar Processo

212 11. Balanço Material do Ácido Benzóico: f 13 - f 14 = Balanço Material do Benzeno: f 23 - f 24 - W 5 = Balanço Material do Vapor: W 6 - W 7 = Balanço de Energia na Corrente de Vapor: W 6 [ 3 + Cpv (T 6 – T 7 )] - Q e = Balanço de Energia na Corrente de Processo: Q e – [(f 13 Cp 1 + f 23 Cp 2l )(T e - T 3 ) + W 5 2 ] = Equação de Dimensionamento: Q e - U e A e e = Definição da Diferença de Temperatura ( e ): e - (T 6 - T e ) = Fases em Equilíbrio T 4 – T e = Fases em Equilíbrio T 5 – T e = 0 EVAPORADOR W6T6W6T6 W7T7W7T7 W 3 x 13 T 3 f 13 f 23 W 4 x 14 T 4 f 14 f AeAe Vapor W5T5W5T5 5 Benzeno Produto Condensado 3 Extrato 38. Vazão Total na Corrente 3: f 13 + f 23 – W 3 = Fração Mássica na Corrente 3: x 13 - f 13 /W 3 = Vazão Total na Corrente 4: f 14 + f 24 - W 4 = Fração Mássica na Corrente 4: x 14 - f 14 /W 4 = 0

213 DIMENSIONAMENTO DO EVAPORADOR Problema proposto: determinar a vazão de um vapor a 150 o C e a área de troca térmica necessárias para obter um concentrado com 10% de ácido benzóico, a partir de uma corrente com kg/h de uma solução de 0,32% de ácido benzóico em benzeno, a 25 o C. O condensado deve sair como líquido saturado a 150 o C. O evaporador opera a 1 atm. W 6 T * 6 = 150 o C W 7 T * 7 = 150 o C W * 3 = kg/h x * 13 = 0,0032 T * 3 = 25 o C f 13 f 23 W 4 x * 14 = 0,10 T 4 f 14 f AeAe Vapor W5T5W5T5 5 Benzeno Produto Condensado 3 T e * = 80 o C W 6 = kg/h T * 6 = 150 o C W 7 = kg/h T * 7 = 150 o C W * 3 = kg/h x * 13 = 0,0032 T * 3 = 25 o C f 13 = 120 kg/h f 23 = kg/h W 4 = kg/h x * 14 = 0,10 T 4 = 80 o C f 14 = 120 kg/h f 24 = 1.076kg/h A e = 124 m 2 Vapor W 5 = kg/h T 5 = 80 o C 5 Benzeno Produto Condensado 3 T e * = 80 o C V = 20 N = 13 C = 4 M = 3 G = 0 !

214

215 15. De = T 6 - T 35. f 13 = W 3 x f 14 = f f 23 = W 3 - f W 4 = f 14 / x f 24 = W 4 - f W 5 = f 23 - f Q e = (f 13 Cp 1 + f 23 Cp 2l ) (T - T 3 ) + W 5 L W 6 = Q e / (L 3 + Cp3 (T 6 - T 7 )) 11. W 7 = W A e = Q e / (U e De) Resulta a rotina DimensionarEvaporador

216 Resolver Problema Otimizar Processo Calcular Lucro Dimensionar Extrator Dimensionar Evaporador Dimensionar Condensador Dimensionar Resfriador Dimensionar Misturador Simular Extrator Simular Evaporador Simular Condensador Simular Resfriador Simular Misturador Simular Processo Dimensionar Processo

217 SIMULAÇÃO DO EVAPORADOR Problema proposto: determinar as vazões de vapor e de evaporado, a vazão e a concentração do concentrado, caso o evaporador, com os mesmos 124 m 2 de área de projeto, fosse alimentado com kg/h de solução e não mais com kg/h. Pretende-se que o condensado saia como líquido saturado (150 o C). V = 20 N = 13 C = 7 M = 1 G = -1 !!! pretendido na simulaçãoresultado do dimensionamento W 6 = kg/h T * 6 = 150 o C W 7 = kg/h T * 7 = 150 o C W * 3 = kg/h x * 13 = 0,0032 T * 3 = 25 o C f 13 = 120 kg/h f 23 = kg/h W 4 = kg/h x * 14 = 0,10 T 4 = 80 o C f 14 = 120 kg/h f 24 = 1.081kg/h A e = 124 m 2 Vapor W 5 = kg/h T 5 = 80 o C 5 Benzeno Produto Condensado 3 T e * = 80 o C W 6 = kg/h T * 6 = 150 o C W 7 = T * 7 = 150 o C W * 3 = kg/h x * 13 = 0,0032 T * 3 = 25 o C f 13 = 120 kg/h f 23 = kg/h W 4 = x 14 = T 4 = f 14 = f 24 = A e = 124 m 2 Vapor W 5 = T 5 = 5 Benzeno Produto Condensado 3 T e * = 80 o C

218 V = 20 N = 13 C = 7 M = 1 G = -1 !!! W 5 = T 5 = W 6 = kg/h T * 6 = 150 o C W 7 = T * 7 = 150 o C W * 3 = kg/h x * 13 = 0,0032 T * 3 = 25 o C f 13 = 120 kg/h f 23 = kg/h W 4 = x 14 = T 4 = f 14 = f 24 = A e = 124 m 2 Vapor 5 Benzeno Produto Condensado 3 T e * = 80 o C Uma solução consiste em transformar W 6 em incógnita. O seu valor calculado pode ser tomado como set-point de um sistema de controle que a utilize como variável de controle. Situação semelhante à da simulação do condensador V = 20 N = 13 C = 6 M = 1 G = 0 W 6 = kg/h T * 6 = 150 o C W 7 = kg/h T * 7 = 150 o C W * 3 = kg/h x * 13 = 0,0032 T * 3 = 25 o C f 13 = 160 kg/h f 23 = kg/h W 4 = kg/h x 14 = 0,0093 T 4 = 80 o C f 14 = 160 kg/h f 24 = kg/h Vapor W 5 = kg/h T 5 = 80 o C 5 Benzeno Produto Condensado 3 T e * = 80 o C A e = 124 m 2

219 resultado do dimensionamento W 6 = kg/h T * 6 = 150 o C W 7 = kg/h T * 7 = 150 o C W * 3 = kg/h x * 13 = 0,0032 T * 3 = 25 o C f 13 = 120 kg/h f 23 = kg/h W 4 = kg/h x * 14 = 0,10 T 4 = 80 o C f 14 = 120 kg/h f 24 = 1.081kg/h A e = 124 m 2 Vapor W 5 = kg/h T 5 = 80 o C 5 Benzeno Produto Condensado 3 T e * = 80 o C W 6 = kg/h T * 6 = 150 o C W 7 = kg/h T * 7 = 150 o C W * 3 = kg/h x * 13 = 0,0032 T * 3 = 25 o C f 13 = 160 kg/h f 23 = kg/h W 4 = kg/h x 14 = 0,0093 T 4 = 80 o C f 14 = 160 kg/h f 24 = kg/h Vapor W 5 = kg/h T 5 = 80 o C 5 Benzeno Produto Condensado 3 T e * = 80 o C A e = 124 m 2 resultado da simulação

220

221 15. De = T 6 - T 14. Q e = U e A e De 12. W 6 = Q e / (l 3 + Cp v * (T 6 - T 7 )) 11.W 7 = W f 13 = W 3 * x f 14 = f f 23 = W 3 - f W 5 = (Q e - (f 13 * Cp 1 + f 23 * Cp 2l ) * (T - T 3 )) / l f 24 = f 23 - W5 36. W 4 = f 14 + f x 14 = f 14 / W 4 Resulta a rotina SimularEvaporador

222 Resolver Problema Otimizar Processo Calcular Lucro Dimensionar Extrator Dimensionar Evaporador Dimensionar Condensador Dimensionar Resfriador Dimensionar Misturador Simular Extrator Simular Evaporador Simular Condensador Simular Resfriador Simular Misturador Simular Processo Dimensionar Processo

223 3.1 Equações Não-Lineares Representação Resolução: redução de intervalos e aproximações sucessivas 3.2 Sistemas de Equações Não-Lineares Estrutura e representação Resolução: partição, abertura, ordenação de equações 3.3 Dimensionamento e Simulação de Equipamentos Estratégia Modular 3.5 Incerteza e Análise de Sensibilidade Questionamento do Dimensionamento Questionamento do Desempenho Futuro 3. ESTRATÉGIAS DE CÁLCULO 3.4 Dimensionamento e Simulação de Processos Estratégia Global

224 3.4 DIMENSIONAMENTO E SIMULAÇÃO DE PROCESSOS Todas as equações são consideradas simultaneamente, independentemente dos equipamentos a que pertencem. É a estratégia mais indicada para dimensionamento. O Algoritmo de Ordenação de Equações é executado como se fosse para um equipamento isolado ESTRATÉGIA GLOBAL Existem duas estratégias básicas: - Estratégia Global - Estratégia Modular

225 Dimensionamento do Processo – Estratégia Global 01. f 11 - f 12 - f 13 = W 15 - f 23 = f 31 - f 32 = k – (3 + 0,04 Td) = k - x 13 / x 12 = (f 11 Cp 1 + f 31 Cp 3 ) (T 1 - T d ) + W 15 Cp 2l (T 15 - T d ) = V d - (f 11 / 1 + W 15/ 2 + f 31 / 3 ) = r - f 13 /f 11 = T 2 – T d = T 3 – T d = f 13 - f 14 = f 23 - f 24 - W 5 = W 6 - W 7 = W 6 [ 3 + Cpv (T 6 – T 7 )] - Q e = Q e – [(f 13 Cp 1 + f 23 Cp 2l )(T e - T 3 ) + W 5 2 ] = Q e - U e A e e = e - (T 6 - T e ) = T 4 – T e = T 5 – T e = W 8 - W 9 = W 5 - W 10 = Q c - W 8 Cp 3 (T 9 - T 8 ) = W 5 [ 2 + Cp 2g (T 5 – T 10 )] - Q c = Q c - U c A c c = c - [(T 5 - T 9 ) - (T 10 - T 8 )]/ln[(T 5 - T 9 )/(T 10 - T 8 )] = W 11 - W 12 = W 10 - W 13 = Q r - W 11 Cp 3 (T 12 - T 11 ) = Q r - W 10 Cp 2l (T 10 - T 13 ) = Q r - U r A r r = r - [(T 10 - T 12 ) - (T 13 - T 11 )]/ln[(T 10 - T 12 )/(T 13 - T 11 )] = W 13 + W 14 - W 15 = W 13 (T 15 - T 13 ) + W 14 (T 15 - T 14 ) = f 11 + f 31 - W 1 = x 11 - f 11 /W 1 = f 12 + f 22 – W 2 = x 12 - f 12 /W 2 = f 13 + f 23 – W 3 = x 13 - f 13 /W 3 = f 14 + f 24 - W 4 = x 14 - f 14 /W 4 = 0

226

227 Dimensionar Processo (03) T 3 = T 2 (13) T 4 = T 5 (16) e = T 6 - T 5 (22) D 1 = T 5 - T 9 : D 2 = T 10 - T 8 : c = (D 1 - D 2 ) / ln (D 1 / D 2 ) (32) f 11 = W 1 x 11 (08) f 13 = f 11 r (31) f 31 = W 1 - f 11 (01) f 12 = f 11 - f 13 (09) f 14 = f 13 (03) f 32 = f 31 (04) f 23 = f 13 f 32 / (k f 12 ) (34) W 4 = f 14 / x 14 (02) W 15 = f 23 (33) f 24 = W 4 - f 14 (05) T 15 = T 2 - (f 11 Cp 1 + f 31 Cp 3 ) (T 1 - T 2 ) / (W 15 Cp 2l ) (07) V d = (f 11 / 1 + W 15 / 2 + f 31 / 3 ) (10) W 5 = f 23 - f 24 (14) Q e = (f 13 Cp 1 + f 23 Cp 2l ) (T 5 - T 3 ) + W 5 2

228 ( 18) W 10 = W 5 (20) Q c = W 5 ( 2 + Cp 2l (T 5 - T 10 )) (12) W 6 = Q e / ( 3 + Cp 3 (T 6 - T 7 )) (15) A e = Q e / (U e e ) (24) W 13 = W 10 (19) W 8 = Q c / (Cp 3 (T 9 - T 8 )) (21) A c = Q c / (U c c ) (11) W 7 = W 6 (29) W 14 = W 15 - W 13 (17) W 9 = W 8 (30) T 13 = T 15 + W 14 (T 15 - T 14 ) / W 13 (26) Q r = W 10 Cp 2l (T 10 - T 13 ) (28) D 1 = T 10 - T 12 : D 2 = T 13 - T 11 : r = (D 1 - D 2 ) / ln (D 1 / D 2 ) (25) W 11 = Q r / (Cp 3 (T 12 - T 11 )) (27) A r = Q r / (U r r ) (23) W 12 = W 11

229 Resolver Problema Otimizar Processo Calcular Lucro Dimensionar Extrator Dimensionar Evaporador Dimensionar Condensador Dimensionar Resfriador Dimensionar Misturador Simular Extrator Simular Evaporador Simular Condensador Simular Resfriador Simular Misturador Simular Processo Dimensionar Processo

230 3.1 Equações Não-Lineares Representação Resolução: redução de intervalos e aproximações sucessivas 3.2 Sistemas de Equações Não-Lineares Estrutura e representação Resolução: partição, abertura, ordenação de equações 3.3 Dimensionamento e Simulação de Equipamentos 3.4 Dimensionamento e Simulação de Processos Estratégia Global 3.5 Incerteza e Análise de Sensibilidade Questionamento do Dimensionamento Questionamento do Desempenho Futuro 3. ESTRATÉGIAS DE CÁLCULO Estratégia Modular

231 Para cada problema, os módulos são seqüenciados convenientemente segundo o fluxograma material do processo. Havendo a presença de reciclos no fluxograma, torna-se necessária a abertura de um certo número de correntes e a inserção de um módulo promotor de convergência para cada uma. É a estratégia mais indicada para simulação. Utiliza módulos criados previamente para cada equipamento. Cada módulo contem as equações já ordenadas para dimensionamento ou simulação (Seção 3.3).

232 Resolver Problema Otimizar Processo Calcular Lucro Dimensionar Extrator Dimensionar Evaporador Dimensionar Condensador Dimensionar Resfriador Dimensionar Misturador Simular Extrator Simular Evaporador Simular Condensador Simular Resfriador Simular Misturador Simular Processo Dimensionar Processo

233 Simulação do Processo Ilustrativo Estratégia Modular

234 W 6 =8.594 kg/h T * 6 = 150 o C W 10 = kg/h T * 10 = 80 o C W 13 = kg/h T 13 = 25 o C W 11 = kg/h T * 11 = 15 o C W 8 = kg/h T * 8 = 15 o C W * 1 = kg/h x * 11 = 0,002 T * 1 = 25 o C f 11 = 300 kg/h f 31 = kg/h W 7 = kg/h T * 7 = 150 o C W 5 = kg/h T * 5 = 80 o C W 3 = kg/h x 13 = 0,004 T 3 = 25 o C f 13 = 149 kg/h f 23 = kg/h W 4 = kg/h x 14 = 0,12 T 4 = 80 o C f 14 = 150 kg/h f 24 = kg/h W 12 = kg/h T 12 = 29 o C W 12 = kg/h T 12 = 29 o C W * 14 = kg/h T * 14 = 25 o C W 2 = kg/h x 12 = 0,001 T 2 = 25 o C f 12 = 150 kg/h f 32 = kg/h EXTRATOR Extrato Rafinado EVAPORADOR CONDENSADORRESFRIADORMISTURADOR BOMBA V * d = l = 0,0617 h r = 0,50 A * e = 124 m 2 A * c = 119 m 2 A * r = 361 m 2 W 15 = kg/h T 13 = 25 o C O fluxograma exibe um reciclo. A cada iteração o módulo confere a convergência e atualiza o valor de W 5 O valor inicial arbitrado para W 5 pode ser aquele obtido no Dimensionamento. Implementa-se um módulo promotor de convergência: no caso, o de Substituição Direta. Seleciona-se uma corrente de abertura com o menor número possível de variáveis (simplificar o gerenciamento da convergência): no caso, foi selecionada a corrente 5 (é preciso gerenciar apenas W 5 ).

235 Simulação do Processo Ilustrativo - Estratégia Modular EXTRATOR RESFRIADOR MISTURADOR CONDENSADOR EVAPORADOR SS 18. W Q c 19. c 22'. T W W W W 12 25'. Q r 28. T T r 29. W T f f f f T T 3 01' f f r W 1 T 1 x 11 f 11 f 31 W 15 T 15 W 45 T 14 W 13 T 13 W 10 T 10 f 13 f 23 T 3 W 4 T 4 x 14 f 14 f f T e 15. Q e 12. W W f W W x 14 T5T5 T 2 f 12 f 32 W 5a W 5c Repetição até convergir |W 5c – W 5a | / W 5a erro relativo

236 SUB SimularOProcesso ' INPUT "W5= "; W5c W5$ = "W5 = " + STR$(INT(W5c)) NoDeIteracoes = 0 DO W5a = W5c SimularOCondensador SimularOResfriador SimularOMisturador SimularOExtrator SimularOEvaporador MostrarOResultado NoDeIteracoes = NoDeIteracoes + 1 ErroRelativo = ABS(W5a - W5c) / W5a PausaSeQuizer LOOP UNTIL Convergir END SUB

237 Resolver Problema Otimizar Processo Calcular Lucro Dimensionar Extrator Dimensionar Evaporador Dimensionar Condensador Dimensionar Resfriador Dimensionar Misturador Simular Extrator Simular Evaporador Simular Condensador Simular Resfriador Simular Misturador Simular Processo Dimensionar Processo

238 Simulação de Processos com Estrutura Complexa *1* Problema: Estabelecer uma estratégia de cálculo e implementá-la sob a forma de um algoritmo executável em computador. Cada equipamento é representado por um módulo computacional em que as equações se encontram ordenadas para simulação. A estratégia de cálculo é a ordem em que os equipamentos devem ser simulados.

239 Simulação de Processos com Estrutura Complexa *1* Procedimento: (a) identificação dos ciclos. (b) seleção das correntes de abertura (c ) construção do algoritmo de simulação Dificuldade: os diversos reciclos

240 (a) Identificação dos Ciclos Pode-se utilizar o Método do Traçado de Percursos (labirinto) *1* Percorre-se o fluxograma anotando, numa lista dupla, as correntes (LC) e os equipamentos visitados (LE). Corrente: Destino : Um ciclo é identificado ao se chegar a um equipamento já visitado. Equipamento 1 já visitado : ciclo 2 3 4

241 (a) Identificação dos Ciclos *1* ALGORITMO RESUMIDO Colocar uma corrente conhecida na LC (toda corrente colocada fica aberta) Colocar o seu destino na LE REPETIR O destino já está na LE: registrar o ciclo formado por todas as correntes abertas após o primeiro registro do destino) e fechar as correntes até à última aberta; tomar a última corrente aberta e colocar seu destino na LE. O destino não está na LE: colocar as suas correntes de saída na LC; colocar o destino da primeira delas na LE. ATÉ NÃO MAIS HAVER CORRENTES ABERTAS

242 MATRIZ CICLO - CORRENTE Os Ciclos encontrados são registrados na *1*

243 APLICAÇÃO AO PROBLEMA ILUSTRATIVO

244 C: D: *1* C: D: C: D: C: D: C: D: C: D: C: D: C: D: C: D: C: D: Colocar uma corrente conhecida na LC (toda corrente colocada fica aberta) Colocar o seu destino na LE REPETIR O destino já está na LE: registrar o ciclo formado por todas as correntes abertas após o primeiro registro do destino) e fechar as correntes até à última aberta; tomar a última corrente aberta e colocar seu destino na LE. O destino não está na LE: colocar as suas correntes de saída na LC; colocar o destino da primeira delas na LE. ATÉ NÃO MAIS HAVER CORRENTES ABERTAS

245 (b) Seleção das Correntes de Abertura Matriz Ciclo - Corrente ALGORITMO Calcular os elementos de C Repetir Identificar a corrente com o maior valor em C (pode ser a primeira encontrada) Inscrever a corrente em A Remover os ciclos abertos pela corrente (anular os elementos na linhas correspondentes) Atualizar C Até C = C A

246 C A C A

247 C A C A

248 (c) Construção do Algoritmo de Simulação *1* Abrir C 3 REPETIR Simular E 3 (C 4,C 5 ) Simular E 1 (C 2 ) REPETIR Simular E 6 (C 10,C 11 ) Simular E 4 (C 6,C 7 ) Simular E 7 (C 9, C 12 ) Simular E 5 (C 8 ) ATÉ Convergir C 8 Simular E8 (C 13, C 14 ) Simular E2 (C 3 ) ATÉ Convergir C 3 Abrir C 8 Corrente 1: única conhecida

249 3.1 Equações Não-Lineares Representação Resolução: redução de intervalos e aproximações sucessivas 3.2 Sistemas de Equações Não-Lineares Estrutura e representação Resolução: partição, abertura, ordenação de equações 3.3 Dimensionamento e Simulação de Equipamentos 3.4 Dimensionamento e Simulação de Processos Estratégia Global Estratégia Modular Questionamento do Dimensionamento Questionamento do Desempenho Futuro 3. ESTRATÉGIAS DE CÁLCULO 3.5 Incerteza e Análise de Sensibilidade

250 ASSUNTO TRANSFERIDO PARA DEPOIS DO CAPÍTULO 4

251 3.5 INCERTEZA E ANÁLISE DE SENSIBILIDADE (a)modelos matemáticos: aproximações lineares, coeficientes constantes... A Análise de Processos é executada em ambiente de muita incerteza. A avaliação dos efeitos da incerteza é efetuada através da (b) parâmetros físicos e econômicos: valores incertos (aproximados e variáveis). Fontes de incerteza: Análise de Sensibilidade

252 (b) questionamento do desempenho futuro: (a) questionamento do próprio dimensionamento: A Análise de Sensibilidade avalia os efeitos da incerteza através de dois questionamentos ao final do dimensionamento, Em que grau a incerteza nos parâmetros compromete o resultado do dimensionamento ? Em que grau a incerteza nos parâmetros comprometerá as metas de projeto que serviram de base para o dimensionamento?

253 Fazem parte da Análise: - as variáveis características do dimensionamento: dimensões. - as variáveis características do desempenho do processo: variáveis de saída (metas de projeto). - os parâmetros cujos valores são considerados incertos (variáveis conhecidas são aqui incorporadas ao conjunto dos parâmetros).

254 F: variável do processo cujo valor é incerto devido à incerteza nos parâmetros. Exemplo: W 3, A. : vetor dos parâmetros (físicos e econômicos) e das variáveis especificadas cujos valores são incertos. Exemplo: Cp 1, Cp 3, U, W 1, T 1, T 3. Fundamento da Análise de Sensibilidade Exemplo: Trocador de Calor T 1 * = 80 o C W 1 * = kg/h A = 265,6 m 2 T 2 * = 25 o C W 3 = kg/h T 3 * = 15 o C T 4 * = 30 o C

255 F: variável do processo cujo valor é incerto devido à incerteza nos parâmetros. Exemplo: W 3, A. S (F; i ): Sensibilidade de F à incerteza no parâmetro i. : vetor dos parâmetros (físicos e econômicos) e das variáveis especificadas cujos valores são incertos. Exemplo: Cp 1, Cp 3, U, W 1, T 1, T 3. Fundamento da Análise de Sensibilidade i * F i Exemplo: A Sensibilidade é função do parâmetro

256 Conveniência: usar variáveis adimensionais F/F* e i / i * Análise de Sensibilidade com Variáveis Adimensionais Vantagens: (a) os valores independem das dimensões das variáveis e dos parâmetros. (b) as Sensibilidades podem ser comparadas, permitindo verificar a qual parâmetro a variável de interesse é mais sensível, e em que grau. Nova definição de Sensibilidade: Exemplo

257 Sensibilidade de F/F * à incerteza em i / i * 1 F/F* i / i * F i i * F*

258 Utilizando um incremento de 1% para melhor aproximar a derivada Em processos complexos é impossível obter a derivada aproximação linear

259 S(F/F * ; i / i * ) estima a incerteza % em F diante de uma incerteza de 1% em i |S| > 1 : incerteza ampliada |S| < 1 : incerteza amortecida

260 S (T 2 ;U) = 100 (24,828-25)/25 = - 0,686 S (T 4 ;U) = 100(30,047-30)/30 = 0,156 S(A;U) = 100 (262,93-265,6)/265,6 = - 0,99 S(W 3 ;U) = 0 QUESTIONAMENTO DO PROJETO Re-dimensionamento com U = 101 QUESTIONAMENTO DO DESEMPENHO Simulação com U = 101 DIMENSIONAMENTO ORIGINAL (BASE) T 1 * = 80 o C W 1 * = kg/h A = 265,6 m 2 [U = 100] T 2 * = 25 o C W 3 = kg/h T 3 * = 15 o C T 4 * = 30 o C [U = 101] A = 262,93 m 2 T 1 * = 80 o C W 1 * = kg/h T 3 * = 15 o C W 3 = kg/h T 4 * = 30 o C T 2 * = 25 o C [U = 101] T 2 = 24,828 o C T 1 * = 80 o C W 1 * = kg/h T 3 * = 15 o C W 3 * = kg/h T 4 = 30,047 o C A * = 265,6 m 2

261 Para um incremento de 1% em todos os parâmetros (aproximação da derivada): Ou seja, a Sensibilidade de F à incerteza em todos os parâmetros é a soma das Sensibilidades a cada parâmetro: A Sensibilidade de F à incerteza em todos os parâmetros, considerados simultaneamente, pode ser estimada:

262 Questionamento do Projeto Sensibilidades de W 3, A e C T à incerteza em cada parâmetro e variável especificada e ao conjunto: i S(W 3 ; i )S(A; i )S(C T ; i ) W1W1 110,93 T1T1 1,450,451,21 T3T3 1,010,560,88 Cp 1 110,93 Cp ,78 U ,13 Por serem adimensionais, as Sensibilidades podem ser comparadas. S(F; ) 3,462,013,04

263 Questionamento do Projeto Sensibilidades de W 3, A e C T à incerteza em cada parâmetro e ao conjunto de parâmetros: i S(W 3 ; i )S(A; i )S(C T ; i ) S(F; ) 3,462,013,04 Caso os valores reais de todos os parâmetros estivessem positivamente afastados em 1% dos seus valores-base (usados no dimensionamento), os valores de corretos de W 3, A e C T estariam afastados de seus valores-base (calculados no dimensionamento) nos percentuais acima.

264 Questionamento do Desempenho Sensibilidades de T 2 e T 4 à incerteza em cada parâmetro e variável especificada, e ao conjunto: i S(T 2 ; i )S(T 4 ; i ) W1W1 0,800,32 T1T1 0,480,63 T3T3 0,480,37 W3W3 - 0,12- 0,47 A- 0,680,17 Cp 1 0,800,32 Cp 3 - 0,12- 0,47 U- 0,680,17 Por serem adimensionais, as Sensibilidades podem ser comparadas. S(F; ) 0,961,04

265 Questionamento do Desempenho Sensibilidades de T 2 e T 4 à incerteza em cada parâmetro e variável especificada, e ao conjunto: i S(T 2 ; i )S(T 4 ; i ) S(F; ) 0,961,04 Caso os valores reais de todos os parâmetros estivessem positivamente afastados em 1% dos seus valores-base (usados no dimensionamento), os valores reais esperados para T 2 e T 4, durante a operação do trocador, estariam afastados de seus valores-base nos percentuais acima.

266 FIM

267 EXTRATOR: DIMENSIONAMENTO

268 EXTRATOR: SIMULAÇÃO

269 EVAPORADOR: DIMENSIONAMENTO

270 EVAPORADOR: SIMULAÇÃO

271 EXEMPLO: convergência pela Bisseção 31. x31 = 1 – x x32 = 1 – x12a 04. x13 = k x12a 07. W3 = W11 x11 r / x W2 = W1 x31 / x W1 x11 – W2 x12a – W3 x13 = 0 x12a x31 x32 x13 W3 W2 BISS x12a f (x12) Na ordenação das equações surgiu um ciclo. A eq. 02 foi escolhida como Final. Resultou x12 como variável de abertura f (x12) = W1 x11 – W2 x12a – W3 x13 = 0

272 f (x) x xi xs fs x1 f1 x2 f2 fi Esquema de convergência pela Bisseção x31 x32 x13 W3 W2 BISS x12a f (x12) f (x12) = W1 x11 – W2 x12a – W3 x13 = 0 Até convergir

273 EXEMPLO: convergência pela Substituição Direta 31. x31 = 1 – x x32 = 1 – x12a 04. x13 = k x12a 07. W3 = W11 x11 r / x W2 = W1 x31 / x W1 x11 – W2 x12a – W3 x13 = 0 x12a x31 x32 x13 W3 W2 SD x12a = x12c x12c Na ordenação das equações surgiu um ciclo. A eq. 02 foi escolhida como Final. Resultou x12 como variável de abertura x12c = (W1 x11– W3 x13) / W2

274 Um instrumento fundamental para a resolução de problemas ALGORITMO

275 ALGORITMO é uma seqüência inequívoca de ações bem definidas que conduzem sempre à solução de um problema Assim, qualquer pessoa, ou mesmo um computador por ela programado, chegará sempre à solução do problema. O exemplo mais trivial e prosaico de algoritmo é uma receita culinária. Um outro no campo da matemática é o da extração da raiz quadrada de um número. Algoritmos podem incluir etapas repetitivas (iterações) ou exigir decisões (lógica e comparações). Algoritmos podem ser programas em computadores Existem algoritmos complexos e poderosos capazes de gerar outros algoritmos (Inteligência Artificial)

276 Origem dos Algoritmos An algorithm is a procedure or formula for solving a problem. The word derives from the name of the mathematician, Mohammed ibn-Musa al-Khwarizmi, who was part of the royal court in Baghdad and who lived from about 780 to 850. Al-Khwarizmi's work is the likely source for the word algebra as well.


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