CAPÍTULO 3 ESTRATÉGIAS DE CÁLCULO 28 de agosto de 2013.

CAPÍTULO 3 ESTRATÉGIAS DE CÁLCULO 28 de agosto de 2013

REVISÃO

1. INTRODUÇÃO GERAL 1.1 Engenharia 1.2 Engenharia Química 1.3 Sistema 1.4 Engenharia de Sistemas 1.5 Inteligência Artificial 1.6 Engenharia de Processos 1.6.1 Estrutura dos Processos 1.6.2 Projeto de Processos 1.6.3 Síntese 1.6.4 Análise 1.6.5 Otimização 1.6.6 Métodos de Projeto 1.6.7 Nova Sistemática para o Projeto 1.3 Organização do Texto/Disciplina 1.4 Origem e Evolução da Engenharia de Processos 1.5 Computação 1.6 Bibliografia.

O Projeto resulta de um conjunto de ações desenvolvidas Desde A decisão de se produzir um determinado produto Até À conclusão do Projeto As ações são numerosas e diversificadas !!! PROJETO DE PROCESSOS QUÍMICOS É o conjunto de documentos elaborados por uma equipe de engenheiros com detalhes suficientes para a construção e a operação de uma planta industrial

Investigar mercado para o produto Investigar disponibilidade de matéria prima Estabelecer as condições da reação e sub- produtos Estabelecer o número e o tipo dos reatores Definir o número e o tipo dos separadores Definir o número e o tipo de trocadores de calor Estabelecer malhas de controle Definir o fluxograma do processo Calcular as dimensões dos equipamentos Calcular o consumo de matéria prima Calcular o consumo de utilidades Calcular o consumo de insumos Calcular a vazão das correntes intermediárias Investigar reagentes plausíveis Avaliar a lucratividade do processo

Estabelecer o número e o tipo dos reatores Definir o número e o tipo dos separadores Definir o número e o tipo de trocadores de calor Estabelecer malhas de controle Definir o fluxograma do processo Investigar mercado para o produto Investigar disponibilidade das matérias primas Definir as condições das reações e identificar os sub-produtos gerados Investigar reagentes plausíveis SELEÇÃO DE ROTAS QUÍMICAS SÍNTESEANÁLISE Calcular as dimensões dos equipamentos Calcular o consumo de matéria prima Calcular o consumo de utilidades Calcular o consumo dos insumos Calcular a vazão das correntes intermediárias Avaliar a lucratividade do processo

Primeiro passo DIFICULDADE: MULTIPLICIDADE DE SOLUÇÕES Seleção da Rota Química

Rotas para a produção de fenol

DIFICULDADE NA SÍNTESE MULTIPLICIDADE DE SOLUÇÕES SÍNTESE

Equipamentos disponíveis para a geração do fluxograma do Processo Ilustrativo RM Reator de mistura RT Reator tubular DS Coluna de destilação simples DE Coluna de destilação extrativa A Aquecedor R Resfriador T Trocador de Integração Este problema é simples O espaço das soluções é constituido apenas de 8 fluxogramas

UM RISCO INERENTE À SÍNTESE...

EXPLOSÃO COMBINATÓRIA !!! Muitas soluções para analisar

DIFICULDADE NA ANÁLISE MULTIPLICIDADE DE SOLUÇÕES ANÁLISE

12 Q = 10.000 kgA/h x = 0,02 kgAB/kgA o W 1 kgB/hW 2 y 1 kgAB/kgBy 2 x 1 x 2 kgAB/kgA Modelo Matemático 1. Q(x o - x 1 ) - W 1 y 1 = 0 2. y 1 - k x 1 = 0 3. Q(x 1 -x 2 ) - W 2 y 2 = 0 4. y 2 - k x 2 = 0 Avaliação Econômica L = R - C R = p AB (W 1 y 1 + W 2 y 2 ) C = p B (W 1 + W 2 ) p AB = 0,4 $/kgAB : p B = 0,01 $/kgB Para cada par de valores x 1,x 2 resultam valores de W 1, W 2, y 1, y 2 e Lucro Exemplo: dimensionamento de 2 extratores em série

MULTIPLICIDADE NA ANÁLISE Dificuldade: infinidade de soluções viáveis A cada par (x 1,x 2 ) corresponde uma solução viável

OTIMIZAÇÃO Todo problema com Multiplicidade de Soluções Exige a busca da sua OTIMIZAÇÃO Solução Ótima através da

Primeiro fator de complexidade: multiplicidade de soluções nos três níveis. Nível Tecnológico: determinar a melhor rota química. Nível Paramétrico (Análise): determinar as dimensões ótimas de equipamentos e correntes. Nível Estrutural (Síntese): determinar a estrutura ótima. O Projeto de Processos é um problema complexo de otimização. Constata-se, assim, que...

Segundo fator de complexidade: Os 3 problemas são interdependentes. A solução ótima de um está atrelada à solução ótima dos outros dois. Resolução por Busca Orientada por Árvore de Estados Uma abordagem...

Nível Tecnológico Seleção de uma Rota Fluxograma ? Dimensões ? Nível Estrutural Síntese de um Fluxograma Dimensões ? Lucro? Nível Paramétrico Análise do Fluxograma Dimensionamento dos Equipamentos e das Correntes. Lucro. Solução Ótima: Reagentes = D,E; Fluxograma = 3; x = 4 demais dimensões. Raiz Rota Química ? Fluxograma ? Dimensões ? Busca Orientada por Árvore de Estados P ? ? D+E P+F D,EP,F ?? A+B P+C A,BP,C ?? 1PA BC x ? TD 2 PA BC x ? TA P3D EF x ? DM P F 4 D E x ? ME L x 6 x o = 3 x* 8 L x x o = 4 x* L 10 x x o = 6 x* L x 7 x o = 5 x*

P ? ? D+E P+F D,E P,F ?? L x 4 10 ? P3 D E F x Nível Tecnológico Seleção de uma Rota Fluxograma ? Dimensões ? Nível Estrutural Síntese de um Fluxograma Dimensões ? Lucro? Nível Paramétrico Análise do Fluxograma Dimensionamento dos Equipamentos e das Correntes. Lucro. Solução Ótima: Reagentes = D,E; Fluxograma = 3; x = 4 demais dimensões. Raiz Rota Química ? Fluxograma ? Dimensões ? Solução do Problema de Projeto por Busca Orientada Vantagem Varre todas as soluções sem repetições sem omitir a ótima Desvantagem Explosão Combinatória (outros métodos)

INTRODUÇÃO À SÍNTESE DE PROCESSOS 8 6 SÍNTESE DE SISTEMAS DE SEPARAÇÃO 7 SÍNTESE SÍNTESE DE SISTEMAS DE INTEGRAÇÃO ENERGÉTICA INTRODUÇÃO À ANÁLISE DE PROCESSOS 2 ESTRATÉGIAS DE CÁLCULO 3 OTIMIZAÇÃO AVALIAÇÃO ECONÔMICA 45 ANÁLISE

2. INTRODUÇÃO À ANÁLISE DE PROCESSOS 2.1 Objetivo e Procedimento Geral 2.2 Etapas Preparatórias 2.2.1 Reconhecimento do Processo 2.2.2 Modelagem Matemática 2.2.3 Propriedades Físicas e Coeficientes Técnicos 2.3 Etapas Executivas: dimensionamento e simulação 2.3.1 Informações Relevantes: condições conhecidas, metas de projeto e de operação 2.3.2 Balanço de Informação: conceito e finalidade, elementos envolvidos, graus de liberdade 2.3.3 Execução: dimensionamento, simulação, otimização 2.3.4 Módulos Computacionais: Estratégia de Cálculo, Avaliação Econômica Preliminar, Otimização Paramétrica 2.4 Um Programa Computacional para Análise de Processos

OBJETIVO E PROCEDIMENTO GERAL Bola de Cristal Objetivo da Análise Prever e avaliar o desempenho físico e econômico ou ainda inexistente (em fase de projeto) de um processo já existente (em operação)

Consiste em (a) prever as dimensões dos principais equipamentos e as condições das correntes, necessárias para atender às especificações técnicas estabelecidas para o projeto. Base Modelo Matemático Prever e avaliar o desempenho FÍSICO (b) prever o comportamento do processo em condições diferentes daquelas para qual foi dimensionado.

Consiste em Verificar se o processo atende aos critérios econômicos de lucratividade de forma a justificar a sua montagem e a sua operação. Base Critério Econômico Prever e avaliar o desempenho ECONÔMICO

ESTRATÉGIAS DE CÁLCULO 3 AVALIAÇÃO ECONÔMICA 4 INTRODUÇÃO À ANÁLISE DE PROCESSOS 2 OTIMIZAÇÃO 5 Resumo da Análise de Processos Correspondência dos Capítulos com os Módulos Computacionais MODELO FÍSICO MODELO ECONÔMICO OTIMIZAÇÃO Variáveis Especificadas Variáveis de Projeto Parâmetros Econômicos Parâmetros Físicos Dimensões Calculadas Lucro

Resolver Problema Otimizar Processo Calcular Lucro Dimensionar Extrator Dimensionar Evaporador Dimensionar Condensador Dimensionar Resfriador Dimensionar Misturador Simular Extrator Simular Evaporador Simular Condensador Simular Resfriador Simular Misturador Simular Processo Dimensionar Processo

ROTEIRO PARA A RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS NA ANÁLISE DE PROCESSOS 2. Escrever o modelo matemático. 1. Reconhecer ou desenhar o fluxograma: equipamentos,correntes, variáveis do processo. 7. Avaliar criticamente o resultado. 6. Resolver o problema. 5. Estabelecer uma estratégia de cálculo. 4. Efetuar o Balanço de Informação. 3. Identificar as variáveis conhecidas e as metas de projeto. fundamental mais importante

MOTIVAÇÃO PARA O CAPÍTULO 3

Forma Geral dos Modelos Matemáticos de Processos f 1 (x 1, x 2,..., x i,..., x M ) = 0 f 2 (x 1, x 2,..., x i,..., x M ) = 0...... f N (x 1, x 2,..., x i,..., x M ) = 0 N equações M incógnitas

Modelo do Processo Ilustrativo 01. f 11 - f 12 - f 13 = 0 02. W 15 - f 23 = 0 03. f 31 - f 32 = 0 04. k – (3 + 0,04 Td) = 0 05. k – x 13 / x 12 = 0 06. (f 11 Cp 1 + f 31 Cp 3 ) (T 1 - T d ) + W 15 Cp 2l (T 15 - T d ) = 0 07. V d - (f 11 / 1 + W 15/ 2 + f 31 / 3 ) = 0 08. r - f 13 /f 11 = 0 09. T 2 – T d = 0 10. T 3 – T d = 0 11. f 13 - f 14 = 0 12. f 23 - f 24 - W 5 = 0 13. W 6 - W 7 = 0 14. W 6 [ 3 + Cpv (T 6 – T 7 )] - Q e = 0 15. Q e – [(f 13 Cp 1 + f 23 Cp 2l )(T e - T 3 ) + W 5 2 ] = 0 16. Q e - U e A e e = 0 17. e - (T 6 - T e ) = 0 18. T 4 – T e = 0 19. T 5 – T e = 0

Modelo do Processo Ilustrativo 20. W 8 - W 9 = 0 21. W 5 - W 10 = 0 22. Q c - W 8 Cp 3 (T 9 - T 8 ) = 0 23. W 5 [ 2 + Cp 2g (T 5 – T 10 )] - Q c = 0 24. Q c - U c A c c = 0 25. c - [(T 5 - T 9 ) - (T 10 - T 8 )]/ln[(T 5 - T 9 )/(T 10 - T 8 )] = 0 26. W 11 - W 12 = 0 27. W 10 - W 13 = 0 28. Q r - W 11 Cp 3 (T 12 - T 11 ) = 0 29. Q r - W 10 Cp 2l (T 10 - T 13 ) = 0 30. Q r - U r A r r = 0 31. r - [(T 10 - T 12 ) - (T 13 - T 11 )]/ln[(T 10 - T 12 )/(T 13 - T 11 )] = 0 32. W 13 + W 14 - W 15 = 0 33. W 13 (T 15 - T 13 ) + W 14 (T 15 - T 14 ) = 0 34. f 11 + f 31 - W 1 = 0 35. x 11 - f 11 / W 1 = 0 36. f 12 + f 22 – W 2 = 0 37. x 12 - f 12 / W 2 = 0 38. f 13 + f 23 – W 3 = 0 39. x 13 - f 13 / W 3 = 0 40. f 14 + f 24 - W 4 = 0 41. x 14 - f 14 / W 4 = 0

Modelo do Processo Ilustrativo 01. f 11 - f 12 - f 13 = 0 02. W 15 - f 23 = 0 03. f 31 - f 32 = 0 04. k – (3 + 0,04 Td) = 0 05. k – x 13 / x 12 = 0 06. (f 11 Cp 1 + f 31 Cp 3 ) (T 1 - T d ) + W 15 Cp 2l (T 15 - T d ) = 0 07. V d - (f 11 / 1 + W 15/ 2 + f 31 / 3 ) = 0 08. r - f 13 /f 11 = 0 09. T 2 – T d = 0 10. T 3 – T d = 0 11. f 13 - f 14 = 0 12. f 23 - f 24 - W 5 = 0 13. W 6 - W 7 = 0 14. W 6 [ 3 + Cpv (T 6 – T 7 )] - Q e = 0 15. Q e – [(f 13 Cp 1 + f 23 Cp 2l )(T e - T 3 ) + W 5 2 ] = 0 16. Q e - U e A e e = 0 17. e - (T 6 - T e ) = 0 18. T 4 – T e = 0 19. T 5 – T e = 0 20. W 8 - W 9 = 0 21. W 5 - W 10 = 0 22. Q c - W 8 Cp 3 (T 9 - T 8 ) = 0 23. W 5 [ 2 + Cp 2g (T 5 – T 10 )] - Q c = 0 24. Q c - U c A c c = 0 25. c - [(T 5 - T 9 ) - (T 10 - T 8 )]/ln[(T 5 - T 9 )/(T 10 - T 8 )] = 0 26. W 11 - W 12 = 0 27. W 10 - W 13 = 0 28. Q r - W 11 Cp 3 (T 12 - T 11 ) = 0 29. Q r - W 10 Cp 2l (T 10 - T 13 ) = 0 30. Q r - U r A r r = 0 31. r - [(T 10 - T 12 ) - (T 13 - T 11 )]/ln[(T 10 - T 12 )/(T 13 - T 11 )] = 0 32. W 13 + W 14 - W 15 = 0 33. W 13 (T 15 - T 13 ) + W 14 (T 15 - T 14 ) = 0 34. f 11 + f 31 - W 1 = 0 35. x 11 - f 11 / W 1 = 0 36. f 12 + f 22 – W 2 = 0 37. x 12 - f 12 / W 2 = 0 38. f 13 + f 23 – W 3 = 0 39. x 13 - f 13 / W 3 = 0 40. f 14 + f 24 - W 4 = 0 41. x 14 - f 14 / W 4 = 0

CIÊNCIAS BÁSICAS FUNDAMENTOS ENG. DE EQUIPAMENTOS ENG. DE PROCESSOS Consiste em utilizar os conhecimentos relativos aos Fundamentos e Equipamentos Consiste em utilizar técnicas de processamento de informação na resolução dos modelos em problemas de dimensionamento, simulação e otimização. Competem ao Engenheiro Químico (a) Formulação (Modelagem Matemática): (b) Resolução : para representar o processo matematicamente. É pré-requisito para esta Disciplina. Formulação e Resolução !!! Formulação e Resolução dos Modelos

A complexidade dos modelos exige o estabelecimento prévio de uma Estratégia de Cálculo Tema deste Capítulo Fontes de complexidade: Em geral, os modelos de processos são muito complexos. (c) presença de reciclos nos processos (b) não-linearidades em muitas equações (a) grande número de equações e de variáveis Desafio: como viabilizar a resolução de modelos tão complexos, e como faze-lo da forma mais eficiente possível ???

MODELO FÍSICO MODELO ECONÔMICO OTIMIZAÇÃO Variáveis Especificadas Variáveis de Projeto Parâmetros Econômicos Parâmetros Físicos Dimensões CalculadasLucro Objetivo de uma Estratégia de Cálculo Minimizar o esforço computacional envolvido na resolução dos modelos ( problemas de dimensionamento, simulação e otimização de processos ).

FINALIDADE DO CAPÍTULO 3

3.1.1 Representação 3.1.2 Resolução: redução de intervalos e aproximações sucessivas 3.2 Sistemas de Equações Não-Lineares 3.2.1 Estrutura e representação 3.2.2 Resolução: partição, abertura, ordenação de equações 3.3 Dimensionamento e Simulação de Equipamentos 3.4 Dimensionamento e Simulação de Processos 3.4.1 Estratégia Global 3.4.2 Estratégia Modular 3.5 Incerteza e Análise de Sensibilidade 3.5.1 Questionamento do Projeto 3.5.2 Questionamento do Desempenho Futuro 3. ESTRATÉGIAS DE CÁLCULO 3.1 Equações Não - Lineares

3.1 EQUAÇÕES NÃO – LINEARES Motivação para o estudo de equações não-lineares isoladas No dimensionamento e na simulação de equipamentos e de processos podem surgir sistemas de equações que só podem ser resolvidos por métodos iterativos de tentativas. Esses métodos são extensões de métodos empregados na resolução de equações isoladas.

A equação f (x 1,..., x i-1, x i, x i+1,…, x M ) = 0 Pode ser representada como um processador de informação 3.2 SISTEMAS DE EQUAÇÕES NÃO – LINEARES 3.2.1 Estrutura e Representação f j......... x1x1 x2x2 x i - 1 x i + 1 xMxM x i

As equações do modelo podem ser interligadas pelas variáveis comuns formando um sistema. Os sistemas de equações podem assumir as mais variadas estruturas. Os elementos desse sistema são as equações. As conexões são as variáveis comuns. Os sistemas de equações podem ser considerados sistemas de processadores que, durante a resolução de um problema, passam informação de uns para os outros.

f 1 (x o, x 1 ) = 0 f 2 (x 1,x 2 ) = 0 f 3 (x 2,x 3 ) = 0 123 xx 1 x 2 x 30 Estrutura Acíclica f 1 (x o,x 1 3 ) = 0 f 2 (x 1,x 2 ) = 0 f 3 (x 2,x 3 ) = 0 123 x 0 x 1 x 2 x 3 x 3 Estrutura Cíclica Estruturas Básicas

f 1 (x o, x 1 ) = 0 f 2 (x 1,x 2 ) = 0 f 3 (x 2,x 3 ) = 0 123 xx 1 x 2 x 30 Estrutura Acíclica f 1 (x o,x 1 3 ) = 0 f 2 (x 1,x 2 ) = 0 f 3 (x 2,x 3 ) = 0 123 x 0 x 1 x 2 x 3 x 3 Estrutura Cíclica Estrutura acíclica: resolução trivial por encadeamento sucessivo a partir que qualquer variável conhecida (x o, por exemplo). Estrutura cíclica: solução somente por tentativas (exemplo: conhecida x o, o cálculo de x 1 depende de x 3 ainda não calculada).

12345678 1*1* 23 4 56 7 8 9 1011 12 13 14 Exemplo de estrutura complexa Quanto mais complexa a estrutura, mais difícil é a resolução do sistema. A estrutura de um sistema pode conter partes cíclicas e acíclicas.

Características Especiais na Engenharia de Processos (a) o número de variáveis em cada equação é pequeno: nem todas as variáveis figuram em todas as equações. (b) em problemas de simulação corretamente formulados, o número de equações é igual ao de incógnitas. (c ) em problemas de dimensionamento, corretamente formulados, o número de incógnitas pode ser igual ou superior ao de equações. Quando maior otimização.

01. f 11 - f 12 - f 13 = 0 02. W 15 - f 23 = 0 03. f 31 - f 32 = 0 04. k – (3 + 0,04 Td) = 0 05. k – x 13 / x 12 = 0 06. (f 11 Cp 1 + f 31 Cp 3 ) (T 1 - T d ) + W 15 Cp 2l (T 15 - T d ) = 0 07. V d - (f 11 / 1 + W 15/ 2 + f 31 / 3 ) = 0 08. r - f 13 /f 11 = 0 09. T 2 – T d = 0 10. T 3 – T d = 0 34. f 11 + f 31 - W 1 = 0 35. x 11 - f 11 / W 1 = 0 36. f 12 + f 22 – W 2 = 0 37. x 12 - f 12 / W 2 = 0 38. f 13 + f 23 – W 3 = 0 39. x 13 - f 13 / W 3 = 0

f 1 (x o, x 1 ) = 0f 2 (x 1, x 2 ) = 0f 3 (x 2, x 3 ) = 0 xoxo x1x1 x2x2 x3x3 f 1 (x o, x 1 ) = 0f 2 (x 1, x 2 ) = 0f 3 (x 2, x 3 ) = 0 xoxo x1x1 x2x2 x3x3 f (x o, x 3 ) = 0 Um sistema de equações pode ser tratado como se fosse uma única equação f 3 (x 2,x 3 ) = f 3 (f 2 (x 1 ), x 3 ) = f 3 (f 2 (f 1 (x o )), x 3 )

x x* 12345678 x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 6 o Decomposição em sub-sistemas PARTIÇÃO 1. f 1 (x o,x 1 ) = 0 2. f 2 (x 1,x 2 ) = 0 3. f 3 (x 2,x 3,x 6 ) = 0 4. f 4 (x 3,x 4 ) = 0 5. f 5 (x 4,x 5 ) = 0 6. f 6 (x 5,x 6 ) = 0 7. f 7 (x 6,x 7 ) = 0 8. f 8 (x 7,x 8 ) = 0 Uma estratégia para resolver o Sistema 1, 2[] Parte Acíclica xo*xo*x2x2 [ 3, 4, 5,6 ] Parte Cíclica x6x6 7, 8[] Parte Acíclica x8x8 Resolução seqüencial dos sub-sistemas solução do Sistema

Assim, este Capítulo começa com métodos de resolução de equações isoladas. Em seguida, eles são estendidos aos sistemas de equações encontrados em equipamentos e processos.

3.1 EQUAÇÕES NÃO – LINEARES Trata-se de equações do tipo f (x 1 *, x 2 *,…, x i,…, x n * ) = 0 em que a incógnita x i é calculada a partir dos valores conhecidos das demais variáveis x j *.

3.1 Equações Não-Lineares 3.1.2 Resolução: redução de intervalos e aproximações sucessivas 3.2 Sistemas de Equações Não-Lineares 3.2.1 Estrutura e representação 3.2.2 Resolução: partição, abertura, ordenação de equações 3.3 Dimensionamento e Simulação de Equipamentos 3.4 Dimensionamento e Simulação de Processos 3.4.1 Estratégia Global 3.4.2 Estratégia Modular 3.5 Incerteza e Análise de Sensibilidade 3.5.1 Questionamento do Projeto 3.5.2 Questionamento do Desempenho Futuro 3. ESTRATÉGIAS DE CÁLCULO 3.1.1 Representação

A equação f (x 1 *,..., x i - 1 *, x i, x i + 1 *,…, x M * ) = 0 pode ser vista como um processador de informação assim representado graficamente: 3.1 EQUAÇÕES NÃO – LINEARES 3.1.1 Representação f j......... x1x1 x2x2 x i - 1 x i + 1 xMxM x i

A dificuldade da resolução de f (x 1 *,..., x i - 1 *, x i, x i + 1 *,…, x M * ) = 0 depende da sua forma funcional. Se a incógnita fôr x 2 : x 1 * x 2 + ln x 1 * = 0 Se a incógnita fôr x 1 : x 1 x 2 * + ln x 1 = 0 A resolução pode ser analítica simples: x 2 = - (ln x 1 * ) / x 1 * A resolução tem que ser numérica por tentativas (inúmeros métodos). Exemplo: x 1 x 2 + ln x 1 = 0

3.1 Equações Não-Lineares 3.1.1 Representação 3.2 Sistemas de Equações Não-Lineares 3.2.1 Estrutura e representação 3.2.2 Resolução: partição, abertura, ordenação de equações 3.3 Dimensionamento e Simulação de Equipamentos 3.4 Dimensionamento e Simulação de Processos 3.4.1 Estratégia Global 3.4.2 Estratégia Modular 3.5 Incerteza e Análise de Sensibilidade 3.5.1 Questionamento do Dimensionamento 3.5.2 Questionamento do Desempenho Futuro 3. ESTRATÉGIAS DE CÁLCULO 3.1.2 Resolução

Métodos de Aproximações Sucessivas Há duas famílias importantes de métodos numéricos para a resolução de equações não-lineares. Métodos de Redução de Intervalos Por diferentes raciocínios lógicos, promovem a redução do intervalo até que se torne menor do que uma tolerância pré-estabelecida. Por diferentes raciocínios lógicos, testam novos valores até que a diferença relativa entre valores sucessivos se torne menor do que uma tolerância pré-estabelecida. Partem de um intervalo inicial. (limites inferior e superior) Partem de um valor inicial. 3.1.2 Resolução

Dados os limites superior x s e inferior x i, define-se o intervalo de incerteza x s - x i. Qualquer valor no interior ou na fronteira do intervalo serve como solução. x s x i (a) Métodos de Redução de Intervalos x i x s x i x s Este é reduzido sucessivamente até se tornar menor do que uma tolerância pré-estabelecida: x s - x i. f (x)

Um método típico de Redução de Intervalos Método da Bisseção ou Busca Binária A cada iteração, o intervalo de incerteza é reduzido à metade.

x ALGORITMO SE ABS(f i ) < ABS(f s ) ENTÃO Solução = x i SENÃO Solução = x s f(x) x xixi fifi xsxs fsfs x f xsxs fsfs xixi fifi x f Se Sinal (f) = Sinal (f i ): Então atualizar : x i = x : f i = f Estabelecer x i, x s, (tolerância) Calcular f i em x i Calcular f s em x s REPETIR x = (x i + x s )/2 Calcular f em x Senão atualizar : x s = x : f s = f ATÉ x s - x i xf BISS f (x)

Exemplo: x 1 x 2 * + ln x 1 = 0 Solução para = 0,1 : x = 0,4375 f = 0,048 x i f i x f x s f s 0,00005 -11,51 1 2 1 0,00005 -11,51 0,5 0,307 0,375 -0,231 0,5 0,307 0,25 -0,88 0,375 -0,231 0,4375 0,048 0,5 0,307 0,25 -0,88 0,375 -0,231 0,43750,048 0,5 0,25 0,125 0,0625 f = x 1 x 2 * + ln x 1 Fixando : x 2 * = 2, Intervalo: x i = 0, x s = 1 Tolerância: = 0,1 Com 6 cálculos de f, o intervalo foi reduzido a 6,25%. Com 9 cálculos, o intervalo é reduzido a menos de 1% Se Sinal (f) = Sinal (f i ): Então atualizar : x i = x : f i = f Estabelecer x i, x s, (tolerância) Calcular f i em x i Calcular f s em x s REPETIR x = (x i + x s )/2 Calcular f em x Senão atualizar : x s = x : f s = f ATÉ x s - x i

Atribui-se um valor inicial para a incógnita. (b) Métodos de Aproximações Sucessivas xixi xsxs x1x1 x2x2 x3x3 Esse valor é atualizado sucessivamente até que o erro relativo entre duas aproximações sucessivas, abs [(x k - x k-1 )/ x k ], seja menor do que uma tolerância pré-estabelecida. x4x4

Um método típico: Método da Substituição Direta Se a incógnita aparecer em mais de termo da equação, ela é explicitada parcialmente: f(x i ) = 0 x i = F(x i ) Exemplo: x 1 x 2 * + ln x 1 = 0 x 1 = e - x 1 x 2 * F(x 1 ) = e - x 1 x 2 * x 1 = - (1/ x 2 * ) ln x 1 F(x 1 ) = - (1/ x 2 * ) ln x 1 Duas formas de explicitar a incógnita

Em cada iteração, o valor arbitrado para x i é o valor de F(x i - 1 ) obtido na iteração anterior. f(x i ) = 0 explicitando x i = F(x i ) F(x) x A solução é o valor de x i em que F(x i ) = x i.

ALGORITMO Estabelecer x inicial, (tolerância) F = x inicial REPETIR x = F Calcular a Função F em x ATÉ Convergir x solução = F Condição para Convergência : |F´(x)| < 1 Convergir = |(F-x)/x| < (erro relativo) x 1 x 2 x 3 F(x) x (a) F'(x)>0|F'(x)<1 convergência monotonica F(x) x 1 x 2 x 3 x (b) F'(x)>0|F'(x)|>1 divergência monotonica F(x) > 0: Comportamento Monotônico Modos de Convergência

ALGORITMO Estabelecer x inicial, (tolerância) F = x inicial REPETIR x = F Calcular a Função F em x ATÉ Convergir x solução = F Condição para Convergência : |F´(x)| < 1 Convergir = |(F-x)/x| < (erro relativo) F(x) x 1 x 2 x 3 x (d) F'(x) <0|F'(x)| >1 divergência oscilante F(x) < 0: Comportamento Oscilatório (c) F'(x)<0|F'(x)| <1 convergência oscilante x 1 x 3 x 2 F(x) x Modos de Convergência

Exemplo: x 1 x 2 * + ln x 1 = 0 x 1 = F(x 1 ) (x 2 * = 2 : x 1 inicial = 0,5) F(x 1 ) = - (1/ x 2 * ) ln x 1 F(x 1 ) = e - x 1 x 2 * Divergência Oscilatória F(x 1 ) = - 1,17 Convergência Oscilatória F(x 1 ) = - 0,85 Solução: x = 0,4263 F(x) x 1 x 2 x 3 x x 1 x 3 x 2 x x F 0,50,3460,308 0,3460,5290,529 0,5290,3170,400 0,3170,5730,806 0,5730,2780,515 x F 0,50,3670,264 0,3670,4790,302 0,4790,3830,199 0,3830,4640,210 0,4640,3950,149 Exemplo: x 1 x 2 * + ln x 1 = 0

Equações que representam processos de operação estável, também apresentam comportamento estável, ou seja, convergem

Em resumo Equações Não-Lineares podem ser resolvidas por métodos: - redução de intervalos (ex.: bisseção) - aproximações sucessivas (ex.: substituição direta) Esses métodos serão evocados a seguir em Sistemas de Equações. f 1 (x o, x 1 ) = 0f 2 (x 1, x 2 ) = 0f 3 (x 2, x 3 ) = 0 xoxo x1x1 x2x2 x3x3

3.1 Equações Não-Lineares 3.1.1 Representação 3.1.2 Resolução: redução de intervalos e aproximações sucessivas 3.2.2 Resolução: partição, abertura, ordenação de equações 3.3 Dimensionamento e Simulação de Equipamentos 3.4 Dimensionamento e Simulação de Processos 3.4.1 Estratégia Global 3.4.2 Estratégia Modular 3.5 Incerteza e Análise de Sensibilidade 3.5.1 Questionamento do Dimensionamento 3.5.2 Questionamento do Desempenho Futuro 3. ESTRATÉGIAS DE CÁLCULO 3.2 Sistemas de Equações Não-Lineares 3.2.1 Estrutura e Representação

A equação f (x 1,..., x i-1, x i, x i+1,…, x M ) = 0 Pode ser representada como um processador de informação 3.2 SISTEMAS DE EQUAÇÕES NÃO – LINEARES 3.2.1 Estrutura e Representação f j......... x1x1 x2x2 x i - 1 x i + 1 xMxM x i

As equações do modelo podem ser interligadas pelas variáveis comuns formando um sistema. Os sistemas de equações podem assumir as mais variadas estruturas. Os elementos desse sistema são as equações. As conexões são as variáveis comuns. Os sistemas de equações podem ser considerados sistemas de processadores que, durante a resolução de um problema, passam informação de uns para os outros.

f 1 (x o, x 1 ) = 0 f 2 (x 1,x 2 ) = 0 f 3 (x 2,x 3 ) = 0 123 xx 1 x 2 x 30 Estrutura Acíclica f 1 (x o,x 1 3 ) = 0 f 2 (x 1,x 2 ) = 0 f 3 (x 2,x 3 ) = 0 123 x 0 x 1 x 2 x 3 x 3 Estrutura Cíclica Estruturas Básicas

f 1 (x o, x 1 ) = 0 f 2 (x 1,x 2 ) = 0 f 3 (x 2,x 3 ) = 0 123 xx 1 x 2 x 30 Estrutura Acíclica f 1 (x o,x 1 3 ) = 0 f 2 (x 1,x 2 ) = 0 f 3 (x 2,x 3 ) = 0 123 x 0 x 1 x 2 x 3 x 3 Estrutura Cíclica Estrutura acíclica: resolução trivial por encadeamento sucessivo a partir que qualquer variável conhecida (x o, por exemplo). Estrutura cíclica: solução somente por tentativas (exemplo: conhecida x o, o cálculo de x 1 depende de x 3 ainda não calculada).

12345678 1*1* 23 4 56 7 8 9 1011 12 13 14 Exemplo de estrutura complexa Quanto mais complexa a estrutura, mais difícil é a resolução do sistema. A estrutura de um sistema pode conter partes cíclicas e acíclicas.

Características Especiais na Engenharia de Processos (a) o número de variáveis em cada equação é pequeno: nem todas as variáveis figuram em todas as equações. (b) em problemas de simulação corretamente formulados, o número de equações é igual ao de incógnitas. (c ) em problemas de dimensionamento, corretamente formulados, o número de incógnitas pode ser igual ou superior ao de equações. Quando maior otimização.

Um Sistema de Equações Típico de um Modelo de Processo 1. f 1 (x o *, x 1 ) = 0 2. f 2 (x 1, x 2 ) = 0 3. f 3 (x 2, x 3, x 6 ) = 0 4. f 4 (x 3, x 4 ) = 0 5. f 5 (x 4, x 5 ) = 0 6. f 6 (x 5, x 6 ) = 0 7. f 7 (x 6, x 7 ) = 0 8. f 8 (x 7, x 8 ) = 0

Representação da Estrutura Através da representação é possível enxergar como os processadores trocam informações. E, assim, conceber métodos eficientes de resolução. ANALOGIA Somente descobrindo túneis e câmaras dos formigueiros que foi possível observar e compreender o sistema social e de sobrevivência das formigas.

Matrizes Esparsas ! 1. f 1 (x o *,x 1 ) = 0 2. f 2 (x 1,x 2 ) = 0 3. f 3 (x 2,x 3,x 6 ) = 0 4. f 4 (x 3,x 4 ) = 0 5. f 5 (x 4,x 5 ) = 0 6. f 6 (x 5,x 6 ) = 0 7. f 7 (x 6,x 7 ) = 0 8. f 8 (x 7,x 8 ) = 0 Representação Matricial

x x 12345678 x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 6 o 1. f 1 (x o *,x 1 ) = 0 2. f 2 (x 1,x 2 ) = 0 3. f 3 (x 2,x 3,x 6 ) = 0 4. f 4 (x 3,x 4 ) = 0 5. f 5 (x 4,x 5 ) = 0 6. f 6 (x 5,x 6 ) = 0 7. f 7 (x 6,x 7 ) = 0 8. f 8 (x 7,x 8 ) = 0 Representação Gráfica (Grafo) Ciclo !

3.1 Equações Não-Lineares 3.1.1 Representação 3.1.2 Resolução: redução de intervalos e aproximações sucessivas 3.2 Sistemas de Equações Não-Lineares 3.2.1 Estrutura e Representação 3.3 Dimensionamento e Simulação de Equipamentos 3.4 Dimensionamento e Simulação de Processos 3.4.1 Estratégia Global 3.4.2 Estratégia Modular 3.5 Incerteza e Análise de Sensibilidade 3.5.1 Questionamento do Dimensionamento 3.5.2 Questionamento do Desempenho Futuro 3. ESTRATÉGIAS DE CÁLCULO 3.2.2 Resolução

Os sistemas de equações podem ser resolvidos por - métodos simultâneos - método seqüencial.

Métodos Simultâneos Calcular F 1 x 1 (k+1) = F 1 Calcular F 2 x 2 (k+1) = F 2 TESTE x 1 = x 1 (k+1) x1kx1k x2kx2k x 1 (k+1) x 2 (k+1) x 2 = x 2 (k+1) Diversos métodos são descritos em livros texto e abordados em disciplinas de Métodos Numéricos. Exemplo: Newton-Raphson, Wegstein,... Todas as variáveis são alteradas simultaneamente.

Método Sequencial Baseia-se no conhecimento da estrutura do sistema. É um procedimento alternativo em que as equações são acionadas uma-a-uma, passando informação de uma para a outra, numa sequência lógica previamente estabelecida. Este método é chamado de Resolução por Equações ("equation oriented"). Com isso, torna-se um método flexível e eficiente

Este método pode ser implementado através do ALGORITMO DE ORDENAÇÃO DE EQUAÇÕES

É um algoritmo de atribuição de tarefas Algoritmo de Ordenação de Equações (A.O.E.) 1. Atribui a cada equação a tarefa de calcular uma das incógnitas do sistema. 2. Ao mesmo tempo, organiza as equações segundo uma Sequencia de Cálculo que evita cálculos iterativos desnecessários, minimizando o esforço computacional na resolução do sistema.

Outros resultados 4. Em problemas com graus de liberdade, indica as variáveis de projeto compatíveis com o esforço computacional mínimo. 3. Efetua automaticamente a partição do sistema em conjuntos cíclicos e acíclicos de equações, minimizando o número de equações envolvidas em cálculos iterativos. 5. Em problemas com ciclos, indica as variáveis de abertura.

x x* 12345678 x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 6 o Consiste em decompor o sistema em sub-sistemas PARTIÇÃO "partitioning" 1. f 1 (x o,x 1 ) = 0 2. f 2 (x 1,x 2 ) = 0 3. f 3 (x 2,x 3,x 6 ) = 0 4. f 4 (x 3,x 4 ) = 0 5. f 5 (x 4,x 5 ) = 0 6. f 6 (x 5,x 6 ) = 0 7. f 7 (x 6,x 7 ) = 0 8. f 8 (x 7,x 8 ) = 0 1, 2[ 3, 4, 5,67, 8[] ][] Parte Cíclica Parte Acíclica xo*xo*x2x2 x6x6 x8x8 Resolve-se os sub-sistemas sequencialmente

Ele simplesmente formaliza ações intuitivas inteiramente óbvias A lógica do Algoritmo é muito simples relativas aos seguintes elementos encontrados em sistemas de equações Equações de Incógnita Única Variáveis de Frequência Unitária Ciclos

Equações de Incógnita Única xo*xo* 12 x 1 x 2 Exemplo: equação 1 no sistema f 1 (x o *, x 1 ) = 0 f 2 (x 1, x 2 ) = 0 São equações em que todas as variáveis têm os seus valores conhecidos, menos uma! Pela lógica: são as primeiras a serem resolvidas ! Devem ser colocadas no início da Sequência de Cálculo

Varáveis de Freqüência Unitária São variáveis que pertencem a uma só equação Exemplo: x 8 na equação 8 f 7 (x 6 *, x 7 ) = 0 f 8 (x 7, x 8 ) = 0 78 x* 6 x 7 x 8 Pela lógica: só podem ser calculadas por esta equação e depois de todas as anteriores terem sido resolvidas. Devem ser colocadas no final da Sequência de Cálculo

Ciclos x 3456 x 3 x 4 x 5 6 x2x2 x6x6 x 6 = f 6 (x 5 ) = f 6 (f 5 (x 4 )) = f 6 (f 5 (f 4 (x 3 ))) = f 6 (f 5 (f 4 (f 3 (x 2,x 6 )))) = F(x 6 ) São conjuntos cíclicos de equações em que cada variável vem a ser função dela mesma. Solução exclusivamente por métodos iterativos

META DO ALGORITMO Produzir uma sequência de cálculo a ser obedecida para a resolução do sistema com mínimo esforço computacional

12 X o * X 1 X 2 78 X 6 X 7 X 8 345 X 3 X 4 X 5 3456 X 3 X 4 X 5 Equação Final 345 X 3 X 4 X 5 3456 X 3 X 4 X 5 EQUAÇÃOVARIÁVEL 1x 1 2x 2 7x 7 6 final 8x 8 EQUAÇÃOVARIÁVEL 1x 1 2x 2 7x 7 3x 3 4x 4 5x 5 6 final 8x 8 X6X6 Variável de Abertura x6x6 META DO ALGORITMO Sequencia de Cálculo Resultante

Algoritmo de Ordenação de Equações Enquanto houver equações Enquanto houver equações com incógnita única (a) atribuir (vincular) essa incógnita à respectiva equação. (b) colocar a equação no primeira posição disponível na Sequencia de Cálculo. (c) remover a variável (X na vertical). Enquanto houver variáveis de frequência unitária (a) atribuir (vincular) essa variável à respectiva equação. (b) colocar a equação no última posição disponível na Seqüência de Cálculo. (c) remover a equação (X na horizontal). Se ainda houver equações (ciclo!) (a) selecionar uma equação que contenha pelo menos uma variável de freqüência igual à menor freqüência dentre todas as variáveis (Final). (b) colocar essa equação na última posição disponível na Seqüência de Cálculo. (c ) remover equação (X na horizontal).

Etapa 1 1.f 1 (x o *, x 1 ) = 0 2.f 2 (x 1, x 2 ) = 0 3.f 3 (x 2, x 3, x 6 ) = 0 4.f 4 (x 3, x 4 ) = 0 5.f 5 (x 4, x 5 ) = 0 6.f 6 (x 5, x 6 ) = 0 7.f 7 (x 6, x 7 ) = 0 8.f 8 (x 7, x 8 ) = 0 Não há mais EIU ! 1. x 1 = f 1 (x o * ) 2. x 2 = f 2 (x 1 ) 2.f 2 (x 1, x 2 ) = 0 xo*xo* 12 x 1 x 2 Enquanto houver equações com incógnita única (a) atribuir (vincular) essa incógnita à respectiva equação. (b) colocar a equação no primeira posição disponível na Seqüência de Cálculo.

Estágio Atual da Seqüência de Cálculo 12345678 X o * X 1 X 2 X 3 X 4 X 5 X 6 X 7 X 8 X 6 x 2 = f 2 (x 1 ) = f 2 (f 1 (x o )) = f(x o )

Etapa 2 1. x 1 = f 1 (x o * ) 2. x 2 = f 2 (x 1 ) 3.f 3 (x 2, x 3, x 6 ) = 0 4.f 4 (x 3, x 4 ) = 0 5.f 5 (x 4, x 5 ) = 0 6.f 6 (x 5, x 6 ) = 0 7.f 7 (x 6, x 7 ) = 0 8.f 8 (x 7, x 8 ) = 0 Não há mais VFU ! 8. x 8 = f 8 (x 7 ) 7. x 7 = f 7 (x 6 ) 78 x 6 x 7 x 8 Enquanto houver equações Enquanto houver variáveis de freqüência unitária (b) colocar a equação no última posição disponível na Seqüência de Cálculo. (a) atribuir (vincular) essa variável à respectiva equação.

As equações remanescentes formam um ciclo !!! Estágio Atual da Seqüência de Cálculo 12345678 X o * X 1 X 2 X 3 X 4 X 5 X 6 X 7 X 8 X 6 x 2 = f 2 (x 1 ) = f 2 (f 1 (x 0 )) = f(x 0 ) x 8 = f 8 (x 7 ) = f 8 (f 7 (x 6 )) = f(x 6 )

Preparação do sub-sistema cíclico para resolução por tentativas (d) Estabelecer o esquema de convergência 12 X o * X 1 X 2 78 X 6 X 7 X 8 (a) Selecionar uma Equação Final (b) Retornar à Etapa 2 (VFU) (c) Identificar a Variável de Abertura (a não atribuída a qualquer equação) 345 X 3 X 4 X 5 3456 X 3 X 4 X 5 Equação Final 345 X 3 X 4 X 5 3456 X 3 X 4 X 5 X6X6 Variável de Abertura x6x6

Formalmente no Algoritmo 12 X o * X 1 X 2 78 X 6 X 7 X 8 345 X 3 X 4 X 5 3456 X 3 X 4 X 5 Equação Final 345 X 3 X 4 X 5 3456 X 3 X 4 X 5 X6X6 Variável de Abertura x6x6 Se ainda houver equações (a) selecionar uma equação que contenha pelo menos uma variável de freqüência igual à menor freqüência dentre todas as variáveis (Final). (b) colocar essa equação na última posição disponível na Seqüência de Cálculo. (c ) remover equação.

Algoritmo de Ordenação de Equações Enquanto houver equações Enquanto houver equações com incógnita única (a) atribuir (vincular) essa incógnita à respectiva equação. (b) colocar a equação no primeira posição disponível na Sequencia de Cálculo. (c) remover a variável (X na vertical). Enquanto houver variáveis de frequência unitária (a) atribuir (vincular) essa variável à respectiva equação. (b) colocar a equação no última posição disponível na Seqüência de Cálculo. (c) remover a equação (X na horizontal). Se ainda houver equações (ciclo!) (a) selecionar uma equação que contenha pelo menos uma variável de freqüência igual à menor freqüência dentre todas as variáveis (Final). (b) colocar essa equação na última posição disponível na Seqüência de Cálculo. (c ) remover equação (X na horizontal).

APLICAÇÃO AO SISTEMA ILUSTRATIVO

1. f 1 (x o *, x 1 ) = 0 2. f 2 (x 1, x 2 ) = 0 3. f 3 (x 2, x 3, x 6 ) = 0 4. f 4 (x 3, x 4 ) = 0 5. f 5 (x 4, x 5 ) = 0 6. f 6 (x 5, x 6 ) = 0 7. f 7 (x 6, x 7 ) = 0 8. f 8 (x 7, x 8 ) = 0

1 - 2 - 3 - 4 - 5 - 6 - 7 - 8 - Seqüência Equações de Incógnita Única (EIU) Círculo na variável inscrição no último lugar x na horizontal

Seqüência 1 - x 1 2 - 3 - 4 - 5 - 6 - 7 - 8 - Equações de Incógnita Única (EIU) Círculo na variável inscrição no primeiro lugar x na vertical

1 - x 1 2 - x 2 3 - 4 - 5 - 6 - 7 - 8 - Seqüência Equações de Incógnita Única (EIU) Círculo na variável inscrição no primeiro lugar x na vertical

EQUAÇÃOVARIÁVEL 1x 1 2x 2 12 X O * X 1 X 2

Seqüência 1 - x 1 2 - x 2 3 - 4 - 5 - 6 - 7 - 8 - Variáveis de Freqüência Unitária (VFU) Círculo na variável inscrição no último lugar x na horizontal

1 - x 1 2 - x 2 3 - 4 - 5 - 6 - 7 - 8 - x 8 Seqüência Variáveis de Freqüência Unitária (VFU) Círculo na variável inscrição no último lugar x na horizontal

1 - x 1 2 - x 2 3 - 4 - 5 - 6 - 7 - x 7 8 - x 8 Seqüência Variáveis de Freqüência Unitária (VFU) Círculo na variável inscrição no último lugar x na horizontal

EQUAÇÃOVARIÁVEL 1x 1 2x 2 7x 7 8x 8 12 X O * X 1 X 2 78 X 7 X 8 X 6

Ciclo! 1 - x 1 2 - x 2 3 - 4 - 5 - 6 - 7 - x 7 8 - x 8 Seqüência

Equação Final: 6 1 - x 1 2 - x 2 3 - 4 - 5 - 6 final 7 - x 7 8 - x 8 Seqüência

1 - x 1 2 - x 2 3 - 4 - 5 - 6 - final 7 - x 7 8 - x 8 Seqüência Variáveis de Freqüência Unitária (VFU) Círculo na variável inscrição no último lugar x na horizontal

1 - x 1 2 - x 2 3 - 4 - 5 - x 5 6 - final 7 - x 7 8 - x 8 Seqüência Variáveis de Freqüência Unitária (VFU) Círculo na variável inscrição no último lugar x na horizontal

1 - x 1 2 - x 2 3 - 4 - x 4 5 - x 5 6 - final 7 - x 7 8 - x 8 Seqüência Variáveis de Freqüência Unitária (VFU) Círculo na variável inscrição no último lugar x na horizontal

1 - x 1 2 - x 2 3 - x 3 4 - x 4 5 - x 5 6 - final 7 - x 7 8 - x 8 Seqüência Variáveis de Freqüência Unitária (VFU) Círculo na variável inscrição no último lugar x na horizontal

Variável de Abertura: x 6 1 - x 1 2 - x 2 3 - x 3 4 - x 4 5 - x 5 6 - final 7 - x 7 8 - x 8 x6x6 Seqüência

Resolução do Ciclo EQUAÇÃOVARIÁVEL 1x 1 2x 2 3x 3 4x 4 5x 5 6 final 7x 7 8x 8 12345678 X O * X 1 X 2 X 3 X 4 X 5 X 6 X 7 X 8 X 6 X 6 x 6 : variável de abertura equação final x6x6

ESTABELECIMENTO DO ESQUEMA DE CONVERGÊNCIA Insere-se um Promotor de Convergência São apresentados dois Promotores de Convergência baseados nos métodos para equações não-lineares: (a) Bisseção (b) Substituição Direta

x ALGORITMO SE ABS(f i ) < ABS(f s ) ENTÃO Solução = x i SENÃO Solução = x s f(x) x xixi fifi xsxs fsfs x f xsxs fsfs xixi fifi x f Se Sinal (f) = Sinal (f i ): Então atualizar : x i = x : f i = f Estabelecer x i, x s, (tolerância) Calcular f i em x i Calcular f s em x s REPETIR x = (x i + x s )/2 Calcular f em x Senão atualizar : x s = x : f s = f ATÉ x s - x i xf BISS f (x) Relembrando o Método da Bisseção

A cada iteração: - arbitra-se x 6a. - resolve-se sucessivamente as equações 3, 4 e 5. - pela equação 6 calcula-se f 6 (x 5, x 6 ). - avalia-se a convergência pelo critério do método da bisseção. x xixi fifi xsxs fsfs x f f(x) (a) BISSSEÇÃO x 6a 3456 x2x2 x3x3 x4x4 x5x5 x6x6 BISS f 6 (x 5, x 6 ) f3 (x2,x3,x4) = 0f4 (x3,x4) = 0f5 (x4,x5) = 0f6 (x5,x6) = 0

(c) F'(x) < 0|F'(x)| < 1 convergência oscilante F(x) x x1x1 x2x2 x3x3 (a) F'(x) > 0|F'(x) < 1 convergência monotonica x1x1 x2x2 F(x) x x3x3 ALGORITMO Estabelecer x inicial, (tolerância) F = x inicial x solução = F Convergir = |(F - x)/x| < REPETIR x = F Calcular a Função F em x ATÉ Convergir RELEMBRANDO O MÉTODO DA SUBSTITUIÇÃO DIRETA x = F ( x)f (x) = 0explicitando x A solução é a interseção de F(x) com a reta de 45º onde ela é igual ao próprio x.

(b) SUBSTITUIÇÃO DIRETA Arbitra-se x 6c inicial. A cada iteração: - toma-se x 6a = x 6c. - resolve-se sucessivamente as equações 3, 4, 5 e 6, que calcula x 6c. - avalia-se a convergência através do erro relativo ABS (x 6c – x 6a ) / x 6a x 1 x 2 x 3 x 6c x 6a x 6c 3456 x2x2 x3x3 x4x4 x5x5 x6x6 SD x 6a

COMPARAÇÃO DOS PROMOTORES DE CONVERGÊNCIA (b) Substituição Direta Arbitra-se x 6a. A cada iteração, a eq.6 calcula x 6c = f 6 (x 5 ) : x 6a = x 6c (até convergir). f 6 (x 5, x 6 ) (a) Bisseção x 6a 3456 x2x2 x3x3 x4x4 x5x5 x6x6 BISS f3 (x2,x3,x6) = 0f4 (x3,x4) = 0f5 (x4,x5) = 0f6 (x5,x6) = 0 Arbitra-se x 6a. A cada iteração, a eq.6 calcula f 6 (x 5, x 6 ) (até convergir) x 6c 3456 x2x2 x3x3 x4x4 x5x5 x6x6 SD x 6a f3 (x2,x3,x4) = 0f4 (x3,x4) = 0f5 (x4,x5) = 0f6 (x5,x6) = 0

Algoritmo de Ordenação de Equações Enquanto houver equações com incógnita única (a) atribuir (vincular) essa incógnita à respectiva equação. (b) colocar a equação na primeira posição disponível na Seqüência de Cálculo. (c) remover a variável. Enquanto houver equações Enquanto houver variáveis de freqüência unitária (a) atribuir (vincular) essa variável à respectiva equação. (b) colocar a equação na última posição disponível na Seqüência de Cálculo. (c) remover a equação. Se ainda houver equações (a) selecionar uma equação que contenha pelo menos uma variável de freqüência igual à menor freqüência dentre todas as variáveis (Final). (b) colocar essa equação na última posição disponível na Seqüência de Cálculo. (c ) remover equação. x* 12 x 1 x 2o 78 x 6 x 7 x 8 345 X 3 X 4 X 5 3456 X 3 X 4 X 5 x6x6

Mostrar o Programa AOE.xls

Uma vez ordenadas, as equações podem ser resolvidas na seqüência estabelecida, com o mínimo de esforço computacional.

Algoritmo de Ordenação de Equações Aplicação a 4 Sistemas típicos em Engenharia de Processos.

1f 1 (x 1, x 2 ) 2f 2 (x 2, x 3, x 4 ) = 0 3f 3 (x 3, x 4 ) = 0 4f 4 (x 4 ) = 0 Sistema 1 G = 0 : solução única, sem variável de projeto Ciclo potencial: pode haver variável de abertura 1** 2*** 3** 4* x 1 x 2 x 3 x 4 Matriz Incidência 1 234 x1x1 x2x2 x3x3 x4x4 x4x4 Grafo

Algoritmo de Ordenação de Equações Enquanto houver equações com incógnita única (c) remover a variável. 4 x 4 3 x 3 2 x 2 1 x 1 Seqüência de Cálculo EquaçãoVariável Matriz Incidência x 1 x 2 x 3 x 4 1 * * 2 * * * 3 * * 4 * X X XX (a) atribuir (vincular) essa incógnita à respectiva equação. (b) colocar a equação na primeira posição disponível na Seqüência de Cálculo.

O Sistema 1 como um Problema de Simulação ou de Dimensionamento sem Otimização - Sequência Acíclica PROCESSO LEE* 4321 x4x4 x3x3 x2x2 x1x1 AVALIAÇÃO ECONÔMICA x 4 x 3 x 2 x 1 4 x 4 3 x 3 2 x 2 1 x 1 Seqüência de Cálculo EquaçãoVariável

Sistema 2 1f 1 (x 1,x 2 ) 2f 2 (x 2,x 3,x 4 ) = 0 3f 3 (x 3,x 4 ) = 0 4f 4 (x 4,x 5 ) = 0 G = 1 : problema de otimização, com variável de projeto. Ciclo potencial: pode haver variável de abertura. 1** x1x1 x2x2 x3x3 x4x4 x5x5 2*** 3** 4** Matriz Incidência 123 4 x1x1 x2x2 x3x3 x4x4 x4x4 x5x5 Grafo

Algoritmo de Ordenação de Equações Enquanto houver equações com incógnita única (a) atribuir (vincular) essa incógnita à respectiva equação. (b) colocar a equação na primeira posição disponível na Seqüência de Cálculo. (c) remover a variável. 4 x 5 3 x 3 2 x 2 1 x 1 Seqüência de Cálculo EquaçãoVariável Matriz Incidência x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 1 * * 2 * * * 3 * * 4 * * X X XX X Enquanto houver equações Enquanto houver variáveis de freqüência unitária (c) remover a equação. x 4 variável de projeto (a) atribuir (vincular) essa variável à respectiva equação. (b) colocar a equação na última posição disponível na Seqüência de Cálculo.

O Sistema 2 como um Problema de Dimensionamento com Otimização - Sequência Acíclica x 4 : variável de projeto PROCESSO OTIMIZAÇÃO LE E* 321 x3x3 4 x2x2 x1x1 x5x5 x4x4 AVALIAÇÃO ECONÔMICA x 1 x 2 x 3 x 5

Sistema 3 1f 1 (x 1,x 2 ) 2f 2 (x 1,x 2,x 3,x 4 ) = 0 3f 3 (x 3,x 4 ) = 0 4f 4 (x 4 ) = 0 G = 0: solução única, sem variável de projeto Ciclos potenciais: podem haver variáveis de abertura x1x1 x2x2 x3x3 x4x4 1** 2**** 3** 4* Matriz Incidência 1234 x1x1 x2x2 x3x3 x4x4 x4x4 x1x1 Grafo

Algoritmo de Ordenação de Equações Enquanto houver equações com incógnita única (a) atribuir (vincular) essa incógnita à respectiva equação. (b) colocar a equação na primeira posição disponível na Seqüência de Cálculo. (c) remover a variável. 4 x 4 3 x 3 1 x 2 2 final Seqüência de Cálculo EquaçãoVariável Matriz Incidência x 1 x 2 x 3 x 4 1 * * 2 * * * * 3 * * 4 * X XXXX X x 1 : Variável de Abertura

O Sistema 3 como um Problema Simulação ou de Dimensionamento sem Otimização - Sequência Cíclica x 1 : variável de abertura PROCESSO LEE* 4321 x4x4 x3x3 x2x2 x1x1 AVALIAÇÃO ECONÔMICA x 1 x 2 x 3 x 4

Sistema 4 1f 1 (x 1,x 2 ) 2f 2 (x 1,x 2,x 3,x 4 ) = 0 3f 3 (x 3,x 4 ) = 0 4f 4 (x 4, x 5 ) = 0 G = 1: problema de otimização com variável de projeto Ciclos potenciais: pode haver variáveis de abertura x1x1 x2x2 x3x3 x4x4 x5x5 1** 2**** 3** 4** Matriz Incidência Grafo

Matriz Incidência x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 1 * * 2 * * * * 3 * * 4 * * X XXX X 4 x 5 3 x 3 1 x 2 2 final Seqüência de Cálculo EquaçãoVariável X X Enquanto houver equações Enquanto houver variáveis de freqüência unitária (a) atribuir (vincular) essa variável à respectiva equação. (b) colocar a equação na última posição disponível na Seqüência de Cálculo. (c) remover a equação. Algoritmo de Ordenação de Equações Enquanto houver equações com incógnita única (a) atribuir (vincular) essa incógnita à respectiva equação. (b) colocar a equação na primeira posição disponível na Seqüência de Cálculo. (c) remover a variável.

O Sistema 4 como um Problema de Dimensionamento com Otimização - Sequência Cíclica E* PROCESSO OTIMIZAÇÃO LE 321 x 4 x 3 x4x4 2 x x1x1 5 x 1 x 2 x 3 x 5 AVALIAÇÃO ECONÔMICA x 4 : variável de abertura x 1 : variável de projeto Matriz Incidência x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 1 * * 2 * * * * 3 * * 4 * * X XX X X 4 x 5 3 x 3 1 x 2 2 final Seqüência de Cálculo EquaçãoVariável X X x1x1 x4x4

COMPARAÇÃO DOS 4 PROBLEMAS

PROCESSO OTIMIZAÇÃO * LEEx 1 321 x 4 x 3 x 2 x 1 x 2 x 3 x x 55 4 AVALIAÇÃO ECONÔMICA PROCESSO OTIMIZAÇÃO * LEEx 1 321 x 4 x 3 x 2 x 1 x 2 x 3 x x 55 4 AVALIAÇÃO ECONÔMICA PROCESSO * LEEx 1 4321 x 4 x 3 x 2 x 1 x 2 x 3 x 4 AVALIAÇÃO ECONÔMICA Sol.única sem ciclo Otimização com ciclo Sol.única com ciclo Otimização sem ciclo PROCESSO * LEEx 1 4321 x 4 x 3 x 2 x 1 x 2 x 3 x 4 AVALIAÇÃO ECONÔMICA

REGRAS COMPLEMENTARES NA APLICAÇÃO DO ALGORITMO DE ORDENAÇÃO DE EQUAÇÕES - Variáveis discretas - Variáveis de cálculo direto e iterativo - Variáveis limitadas - Ciclos múltiplos - Variáveis de abertura e de projeto - Eliminação de ciclos.

Variáveis Discretas Seus valores são limitados a um conjunto finito. Exemplos: - tipos de insumos: utilidades, solventes, catalisadores. - diâmetros comerciais de tubos. - número de estágios. Em problemas com G > 0 elas têm preferência como Variáveis de Projeto. Assim: - assumem apenas os valores viáveis atribuídos pelo otimizador. - não sendo calculadas, não há risco de assumirem valores inviáveis.

x = 1 : y = 3 a = 3 (não existe !) a = 0,5 : x = 1 y = 0,5 a = 1 : y = 1 x = 1 x y a = 1 a = 0,5 G = 2 (duas variáveis de projeto) Exemplo: y = a x [a = 1 ou a = 0,5] Logo: a tem que ser uma das duas variáveis de projeto

Variáveis de Cálculo Direto ou Iterativo Exemplo Nesta equação: - é uma variável de cálculo direto (dadas as temperaturas) - qualquer T é de cálculo iterativo (dado e as demais Ts) As variáveis de cálculo direto têm preferência para a condição de calculadas. Variáveis de cálculo direto são aquelas que podem ser facilmente explicitadas numa equação e calculadas sem necessidade de iterações.

Varáveis Limitadas Os seus valores variam entre limites bem definidos. Exemplos: - frações mássicas ou molares - temperaturas em trocadores de calor Variáveis limitadas devem ter preferência para atuar como variáveis de abertura e de projeto. Durante a execução do Algoritmo, a atribuição deve ser postergada ao máximo para que essa preferência seja concretizada.

Ciclos Múltiplos f 1 (x o,x 1,x 3 )0 f 2 (x 1,x 2 )0 f 3 (x 2,x 3 )0 f 4 (x 3,x 4 )0 f 5 (x 4,x 5,x 7 )0 f 6 (x 5,x 6 )0 f 7 (x 6,x 7 )0 = = = = = = = 1 2 4 5 6 1. x 2. x 3. final 4. x 5. x 6. x 7. final x3x3 x7x7 Ciclos em Sequência Primeira entrada de x 7 : eq. 5 Primeira entrada de x 3 : eq. 1 Fechar o ciclo com a final mais próxima Um sistema de equações pode exibir diversos ciclos.

Ciclos Aninhados 0 0 0 0 fxxx fxxx fxxx fxx fxxx fxxx fxx 1o17 2126 3235 434 5345 6567 767 0 0 0 (,,) (,,) (,,) (,) (,,) (,, ) (,) = = = = = = = X4X4 X7X7 1. x 1 4. x 3 6. x 5 3. x 2 5. final 7. x 6 2. final Ciclos Múltiplos Primeira entrada de x 7 : eq. 7 Primeira entrada de x 4 : eq. 4 Fechar o ciclo com a final mais próxima

Variáveis de Abertura e de Projeto Simultâneas (a) 1. x 1 2. x 2 4. x 4 6. x 6 3. x 3 x 7 x 5 5. final 7. x 8 Escolha Conveniente Ciclo com 3 equações 1. x 1 2. x 2 4. x 4 6. x 6 3. x 3 x 7 x 5 5. final (b) 7. x 8 Escolha Inconveniente Ciclo com 4 equações Em problemas com G > 0 e com ciclo, a variável de abertura deve ser aquela que fecha, com a Equação Final, um ciclo com o menor número de equações.

Eliminação de Ciclos 31 = 1 - X 11 31. X 32 = 1 - X 12 13 = k X 12 / [1 + (k - 1) X 12 ] 3 = W 1 X 11 r / X 13 01. W 2 = W 1 X 31 / X 32 32. X 23 =03. W 15 = 2 = T 3 = = 02'.X 12 = X 11 (1 - r) / [X 31 +X 11 (1 - r)] 07. W 06. T 05. V d 08. 04. X 33. X 31 = 1 - X 11 31. X 32 = 1 - X 12 13 = k X 12 / [1 + (k - 1) X 12 ] 3 = W 1 X 11 r / X 13 01. W 2 = W 1 X 31 / X 32 02. W 1 *X 11 *- W 2 X 12 - W 3 X 13 = 0 32. X 23 =03. W 15 = 2 = T 3 = = X 12 07. W 06. T 05. V d 08. 04. X 33. X Substituindo 01, 07, 04 e 32 em 02, esta fica só com x 12 como incógnita. Explicitando x 12, resulta 02, localizada logo depois de 31. A seqüência fica sem ciclo.

3.1 Equações Não-Lineares 3.1.1 Representação 3.1.2 Resolução: redução de intervalos e aproximações sucessivas 3.2 Sistemas de Equações Não-Lineares 3.2.1 Estrutura e representação 3.2.2 Resolução: partição, abertura, ordenação de equações 3.4 Dimensionamento e Simulação de Processos 3.4.1 Estratégia Global 3.4.2 Estratégia Modular 3.5 Incerteza e Análise de Sensibilidade 3.5.1 Questionamento do Dimensionamento 3.5.2 Questionamento do Desempenho Futuro 3. ESTRATÉGIAS DE CÁLCULO 3.3 Dimensionamento e Simulação de Equipamentos

3.3 Dimensionamento e Simulação dos Equipamentos Adquirir familiaridade com os equipamentos antes de integrá-los no processo (livres de interações). Motivação para estudar os equipamentos isolados: Montar as rotinas de dimensionamento e de simulação que integram o programa de análise do processo. Rever conhecimentos adquiridos em disciplinas anteriormente cursadas.

ENGENHARIA DE EQUIPAMENTOS Projeto e Análise dos Equipamentos de Processo Reatores Trocadores de calor Separadores Torres de destilação Torres de absorção Extratores Cristalizadores Filtros Outros... Instrumentos de Controle Automático Tratamento compartimentado!

1.6.4 Análise Genericamente: análise significa - decompor um todo em suas partes, - depreender o comportamento do todo a partir do comportamento das partes. PROJETO = SÍNTESE ANÁLISE

Dimensões dos principais Equipamentos. Consumo de utilidades matérias primas e insumos Especificações de projeto Modelo Matemático previsão Dimensões dos principais equipamentos Consumo de utilidades matérias primas e insumos Modelo Econômico avaliação Lucro No caso de processos químicos, a Análise consiste em prever e avaliar o desempenho de cada fluxograma gerado na Síntese, para fins de comparação

W6T6W6T6 W 10 T 10 W 13 T 13 W 11 T 11 W8T8W8T8 W 1 x 11 T 1 f 11 f 31 W7T7W7T7 W5T5W5T5 W 3 x 13 T 3 f 13 f 23 W 4 x 14 T 4 f 14 f 24 W 12 T 12 W 14 T 14 W 2 x 12 T 2 f 12 f 32 EXTRATOR Extrato Rafinado EVAPORADOR CONDENSADORRESFRIADORMISTURADOR BOMBA 1 2 3 4 5 67 8 9 10 11 12 13 14 15 VdVd AeAe AcAc ArAr Alimentação Vapor Água Benzeno Produto Condensado W 15 T 15

W 10 T 10 W 13 T 13 W 12 T 12 RESFRIADOR 10 11 12 13 ArAr Água W 13 T 13 W 1 x 11 T 1 f 11 f 31 1 15 Alimentação Extrato 3 W 2 x 12 T 2 f 12 f 32 EXTRATOR Rafinado BOMBA 2 VdVd W 3 x 13 T 3 f 13 f 23 W 15 T 15 W8T8W8T8 W5T5W5T5 W 12 T 12 CONDENSADOR 5 8 9 AcAc Água W 10 T 10 10 Benzeno W6T6W6T6 W7T7W7T7 W 3 x 13 T 3 f 13 f 23 W 4 x 14 T 4 f 14 f 24 EVAPORADOR 4 67 AeAe Vapor W5T5W5T5 5 Benzeno Produto Condensado 3 Extrato Fragmentando o Processo...

01. Balanço Material do Ácido Benzóico: f 11 - f 12 - f 13 = 0 02. Balanço Material do Benzeno: W 15 - f 23 = 0 03. Balanço Material da Água: f 31 - f 32 = 0 04. Relação de Equilíbrio Líquido-Líquido: x 13 - k x 12 = 0 05. Relação de Equilíbrio Líquido-Líquido: k – (3 + 0,04 T d ) = 0 06. Balanço de Energia: (f 11 Cp 1 + f 31 Cp 3 ) (T 1 - T d ) + W 15 Cp 2l (T 15 - T d ) = 0 07. Equação de Dimensionamento: V d - (f 11 / 1 + W 15 / 2 + f 31 / 3 ) = 0 08. Fração Recuperada de Ácido Benzóico: r - f 13 / f 11 = 0 09. Fases em Equilíbrio T 2 – T d = 0 10. Fases em Equilíbrio T 3 – T d = 0 EXTRATOR W 1 x 11 T 1 f 11 f 31 1 15 Alimentação Extrato 3 W 2 x 12 T 2 f 12 f 32 EXTRATOR Rafinado BOMBA 2 VdVd W 3 x 13 T 3 f 13 f 23 W 15 T 15 34. Vazão Total na Corrente 1: f 11 + f 31 - W 1 = 0 35. Fração Mássica na Corrente 1: x 11 - f 11 / W 1 = 0 36. Vazão Total na Corrente 2: f 12 + f 32 – W 2 = 0 37. Fração Mássica na Corrente 2: x 12 - f 12 / W 2 = 0 38. Vazão Total na Corrente 3: f 13 + f 23 – W 3 = 0 39. Fração Mássica na Corrente 3: x 13 - f 13 / W 3 = 0

Problema proposto: determinar o volume do decantador e a vazão de benzeno necessários para recuperar 60% do ácido benzóico presente a 0,2% nos 100.000 kg/h de alimentação, a 25 o C, com um tempo de residência de 5 min (0,0833 h). Determinar as concentrações das correntes de extrato e de rafinado. A temperatura do benzeno é 25 o C. W * 1 = 100.000 kg/h x * 11 = 0,002 T * 1 = 25 o C f 11 f 31 1 15 Alimentação Extrato 3 W 2 x 12 T 2 f 12 f 32 EXTRATOR Rafinado BOMBA 2 W 3 x 13 T 3 f 13 f 23 T * 15 = 25 o C * = 0,0833 h r * = 0,60 VdVd W 2 = 99.880 kg/h x 12 = 0,0008 T 2 = 25 o C f 12 = 80 kg/h f 32 = 99.800 kg/h W 3 = 37.490 kg/h x 13 = 0,0032 T 3 = 25 o C f 13 = 120 kg/h f 23 = 37.370 kg/h f 11 = 200 kg/h f 31 = 99.800 kg/h W 15 = 37.370 kg/hW 15 V d = 11.855l Balanço de Informação V = 22 N = 16 C = 4 G = 2 ! Metas de Projeto Máximo = 2 V = 22 N = 16 C = 4 M = 2 G = 0 DIMENSIONAMENTO DO EXTRATOR

Resultando a rotina DimensionarExtrator do programa BenzoDSO (diferente) f11 = x11 * W1 '35 f13 = r * f11 '08 f12 = f11 - f13 '01 f31 = W1 - f11 '34 f32 = f31 '03 W2 = f12 + f32 '36 x12 = f12 / W2 '37 W = Cp1 * f11 + f31 a = (25 / x12) * (W + f13 * Cp2l) b = W * (T15 + 75) - f13 * Cp2l * (T15 + 75 + 25 / x12) c = f13 * Cp2l * (T15 + 75) discr = Sqr(b ^ 2 + 4 * a * c) x13 = (discr + b) / (2 * a) '06' (Variável de abertura) W3 = f13 / x13 '39 (Início do Ciclo) k = x13 / x12 '04 f23 = W3 - f13 '38 Td = 25 * (k - 3) '05 W15 = f23 '02 (Final do Ciclo) Vd = Tau * (f11 / Ro1 + W15 / Ro2 + f31 / Ro3) '07 T2 = Td '09 T3 = Td '10

Problema proposto: determinar as vazões e as concentrações das correntes de extrato e de rafinado, a fração recuperada de ácido benzóico e o tempo de residência, caso o extrator de V d = 11.855L fosse alimentado com 50.000 kg/h de benzeno, e não com os 37.370 kg/h de projeto (as demais condições de entrada permanecendo as mesmas de projeto). W * 1 = 100.000 kg/h x * 11 = 0,002 T * 1 = 25 o C f 11 = 200 kg/h f 31 = 99.800 kg/h 1 15 Alimentação Extrat o 3 EXTRATOR Rafinado BOMBA 2 V * d = 11.855 l W * 15 = 50.000 kg/h T * 15 =25 o C r = 0,67 = 0,075 h W 2 = 99.867 kg/h x 12 = 0,0007 T 2 = 25 o C f 12 = 67 kg/h f 32 = 99.800 kg/h W 3 = 50.133 kg/h x 13 = 0,0026 T 3 = 25 o C f 13 = 133 kg/h f 23 = 50.000 kg/h SIMULAÇÃO DO EXTRATOR G = 0 ! W * 1 = 100.000 kg/h x * 11 = 0,002 T * 1 = 25 o C f 11 f 31 1 15 Alimentação Extrato 3 W 2 x 12 T 2 f 12 f 32 EXTRATOR Rafinado BOMBA 2 W 3 x 13 T 3 f 13 f 23 T * 15 = 25 o C * = 0,0833 h r * = 0,60 VdVd W 2 = 99.880 kg/h x 12 = 0,0008 T 2 = 25 o C f 12 = 80 kg/h f 32 = 99.800 kg/h W 3 = 37.490 kg/h x 13 = 0,0032 T 3 = 25 o C f 13 = 120 kg/h f 23 = 37.370 kg/h f 11 = 200 kg/h f 31 = 99.800 kg/h W 15 = 37.370 kg/hW 15 V d = 11.855l

Resulta a rotina SimularExtrator do programa BenzoDSO (diferente) f23 = W15 '02 f11 = W1 * x11 '35 f31 = W1 - f11 '34 f32 = f31 '03 a = f11 * Cp1 + f31 * Cp3 b = W15 * Cp2l Td = (a * T1 + b * T15) / (a + b) '06 Tau = Vd / (f11 / Ro1 + W15 / Ro2 + f31 / Ro3) '07 k = 3 + 0.04 * Td '05 T2 = Td '09 T3 = Td '10 a = k - 1: 'Cells(24, 7) = a b = k * (f11 + f23) + f32 - f11: 'Cells(25, 7) = b c = f11 * f32: Cells(26, 7) = c discr = Sqr(b ^ 2 - 4 * a * c): 'Cells(27, 7) = discr f12 = (b - discr) / (2 * a) '04' Variável de Abertura f13 = f11 - f12 '01 Início do Ciclo W2 = f12 + f32 '36 x12 = f12 / W2 '37 W3 = f13 + f23 '38 x13 = f13 / W3 '39 Final de Ciclo r = f13 / f11 '08

26. Balanço Material da Água: W 11 - W 12 = 0 27. Balanço Material do Benzeno: W 10 - W 13 = 0 28. Balanço de Energia na Corrente de Água: Q r - W 11 Cp 3 (T 12 - T 11 ) = 0 29. Balanço de Energia na Corrente de Benzeno: Q r - W 10 Cp 2l (T 10 - T 13 ) = 0 30. Equação de Dimensionamento: Q r - U r A r r = 0 31. Definição do T Médio Logarítmico ( r ): r - [(T 10 - T 12 ) - (T 13 - T 11 ) ] / ln[(T 10 - T 12 ) / (T 13 - T 11 )] = 0 RESFRIADOR W 10 T 10 W 13 T 13 W 12 T 12 10 11 12 13 ArAr Água W 13 T 13

DIMENSIONAMENTO DO RESFRIADOR Problema proposto: determinar a vazão de água de resfriamento e a área de troca térmica do resfriador necessárias para resfriar 36.345 kg/h de benzeno liquido saturado até 25 o C. A água se encontra a 15 o C e deve sair a 30 o C. W 13 = T * 13 = 25 o C W * 10 = 36.345 kg/h T * 10 = 80 o C W 12 = T * 12 = 30 o C 10 11 12 13 ArAr Água W 11 = T * 11 = 15 o C W * 10 = 36.345 kg/h T * 10 = 80 o C W 12 = 59.969 kg/h T * 12 = 30 o C 10 11 12 13 A r = 362 m 2 Água W 11 = 59.969 kg/h T * 11 = 15 o C W 13 = 36.345 kg/h T * 13 =25 o C V = 11 N = 6 C = 3 M = 2 G = 0 !

26. Balanço Material da Água: W 11 - W 12 = 0 27. Balanço Material do Benzeno: W 10 - W 13 = 0 28. Balanço de Energia na Corrente de Água: Q r - W 11 Cp 3 (T 12 - T 11 ) = 0 29. Balanço de Energia na Corrente de Benzeno: Q r - W 10 Cp 2l (T 10 - T 13 ) = 0 30. Equação de Dimensionamento: Q r - U r A r r = 0 31. Definição do T Médio Logarítmico ( r ): r - [(T 10 - T 12 ) - (T 13 - T 11 )]/ln[(T 10 - T 12 )/(T 13 - T 11 )] = 0 RESFRIADOR W 10 T 10 W 13 T 13 W 12 T 12 10 11 12 13 ArAr Água W 13 T 13

27. W 13 = W 10 29. Q r = W 10 Cp 2l (T 10 - T 13 ) 28. W 11 = Q r / (Cp 3 (T 12 - T 11 )) 26. W 12 = W 11 d 1 = T 10 - T 12 : d 2 = T 13 - T 11 31. dr = (d 1 - d 2 ) / ln (d 1 / d 2 ) 30. A r = Q r / (U r dr ) Resultando a rotina DimensionarResfriador

SIMULAÇÃO DO RESFRIADOR Problema proposto: pretende-se determinar as temperaturas de saída do benzeno e da água, caso o resfriador projetado para 361 m 2 fosse alimentado com 20.000 kg/h de benzeno ao invés de 36.345 kg/h, mantidas a vazão e a temperatura da água de resfriamento. W * 10 = 36.345 kg/h T * 10 = 80 o C W 12 = 59.969 kg/h T * 12 = 30 o C 10 11 12 13 A r = 362 m 2 Água W 11 = 59.969 kg/h T * 11 = 15 o C W 13 = 36.345 kg/h T * 13 = 25 o C W * 10 = 20.000 kg/h T * 10 = 80 o C W 12 = 59.969 kg/h T 12 = 24,5 o C 10 11 12 13 A * r = 362 m 2 Água W* 11 = 59.969 kg/h T* 11 = 15 o C W 13 = 20.000 kg/h T 13 = 16,8 o C Resultado do dimensionamento V = 11 N = 6 E = 5 G = 0 ! Resultado da simulação

Resultou a rotina SimularResfriador (diferente) W12 = W11 '26 W13 = W10 '27 T = T10 - T11: a1 = 1 / (W10 * Cp2l) a2 = 1 / (W11 * Cp3): E1 = Exp(Ur * Ar * (a1 - a2)) Qr = T * (1 - E1) / (a2 - E1 * a1) '30 Variável de Abertura T12 = T11 + Qr * a2 '28 Inicio de Ciclo T13 = T10 - Qr * a1 '29 d1 = T10 - T12: d2 = T13 - T11 If Abs(d1 - d2) < 0.00001 Then Dr = d1 Else Dr = (d1 - d2) / Log(d1 / d2) '31 Final de Ciclo

20. Balanço Material da Água: W 8 - W 9 = 0 21. Balanço Material do Benzeno: W 5 - W 10 = 0 22. Balanço de Energia na Corrente de Água: Q c - W 8 Cp 3 (T 9 - T 8 ) = 0 23. Balanço de Energia na Corrente de Benzeno: W 5 [ 2 + Cp 2g (T 5 – T 10 )] - Q c = 0 24. Equação de Dimensionamento: Q c - U c A c c = 0 25. Definição do T Médio Logarítmico ( c ): c - [(T 5 - T 9 ) - (T 10 - T 8 )]/ln[(T 5 - T 9 )/(T 10 - T 8 )] = 0 CONDENSADOR W5T5W5T5 W 10 T 10 W9T9W9T9 5 8 9 10 ArAr Água W8T8W8T8

DIMENSIONAMENTO DO CONDENSADOR Problema proposto: determinar a vazão de água de resfriamento e a área de troca térmica necessárias para condensar 36.345 kg/h de benzeno de vapor saturado a líquido saturado. A água se encontra a 15 o C e deve sair a 30 o C. W * 5 = 36.345 kg/h T * 5 = 80 o C W 10 T * 10 = 80 o C W 9 T * 9 = 30 o C 5 8 9 10 Água W 8 T * 8 = 15 o C AcAc W 10 = 36.345 kg/h T * 10 = 80 o C W 9 = 228.101 kg/h T * 9 = 30 o C 5 8 9 10 Água W 8 = 228.101 kg/h T * 8 = 15 o C A c = 120 m 2 W * 5 = 36.345 kg/h T * 5 = 80 o C V = 11 N = 6 C = 3 M = 2 G = 0 !

20. Balanço Material da Água: W 8 - W 9 = 0 21. Balanço Material do Benzeno: W 5 - W 10 = 0 22. Balanço de Energia na Corrente de Água: Q c - W 8 Cp 3 (T 9 - T 8 ) = 0 23. Balanço de Energia na Corrente de Benzeno: W 5 [ 2 + Cp 2g (T 5 – T 10 )] - Q c = 0 24. Equação de Dimensionamento: Q c - U c A c c = 0 25. Definição do T Médio Logarítmico ( c ): c - [(T 5 - T 9 ) - (T 10 - T 8 )]/ln[(T 5 - T 9 )/(T 10 - T 8 )] = 0 CONDENSADOR W5T5W5T5 W 10 T 10 W9T9W9T9 5 8 9 10 ArAr Água W8T8W8T8

21. W 10 = W 5 23. Qc = W 5 2 d 1 = T 5 - T 9 : d 2 = T 10 - T 8 22. W 8 = Qc / (Cp 3 * (T 9 - T 8 )) 20. W 9 = W 8 25. dc = (d 1 - d 2 ) / ln (d 1 / d 2 ) 24. Ac = Qc / (Uc * dc) Resultando a rotina DimensionarCondensador

SIMULAÇÃO DO CONDENSADOR Problema proposto: determinar a vazão de água necessária para condensar 20.000 kg/h de benzeno, ao invés dos 36.345 kg/h para os quais foi calculada a área de 119 m 2. Pretende-se que o benzeno deixe o condensador como líquido saturado. A água se encontra a 15 o C. W * 5 = 20.000 kg/h T * 5 = 80 o C W 10 = T * 10 = 80 o C W 9 = T 9 = 5 8 9 10 Água W 8 = 228.101 kg/h T * 8 = 15 o C A * c = 120 m 2 W 10 = 36.345 kg/h T * 10 = 80 o C W 9 = 228.101 kg/h T * 9 = 30 o C 5 8 9 10 Água W 8 = 228.101 kg/h T * 8 = 15 o C A c = 120 m 2 W * 5 = 36.345 kg/h T * 5 = 80 o C resultado do dimensionamento V = 11 N = 6 C = 5 M = 1 G = - 1 !!! Pretendido na simulação

V = 11 N = 6 C = 5 M = 1 G = -1 !!! Este problema difere da simulação do extrator e do resfriador porque contem uma meta: o benzeno deve sair como líquido saturado, logo a 80 o C. Daí: G = -1. W * 5 = 20.000 kg/h T * 5 = 80 o C W 10 = T * 10 = 80 o C W 9 = T 9 = 5 8 9 10 Água W 8 = 228.101 kg/h T * 8 = 15 o C A * c = 120 m 2

V = 11 N = 6 C = 5 M = 1 G = -1 !!! W * 5 = 20.000 kg/h T * 5 = 80 o C W 10 = T * 10 = 80 o C W 9 = T 9 = 5 8 9 10 Água W 8 = 228.101 kg/h T * 8 = 15 o C A * c = 120 m 2 O problema só pode ser resolvido se alguma condição conhecida deixar de sê-lo. Uma solução consiste em transformar W 8 em incógnita. O seu valor calculado pode ser tomado como set- point de um sistema de controle que a utilize como variável de controle. W * 5 = 20.000 kg/h T * 5 = 80 o C W 10 = 20.000 kg/h T * 10 = 80 o C W 9 = 35.718 kg/h T 9 = 67,7 o C 5 8 9 10 Água W 8 = 35.718 kg/h T * 8 = 15 o C A * c = 120 m 2 V = 11 N = 5 C = 5 M = 1 G = 0

W 10 = 36.345 kg/h T * 10 = 80 o C W 9 = 228.101 kg/h T * 9 = 30 o C 5 8 9 10 Água W 8 = 228.101 kg/h T * 8 = 15 o C A c = 120 m 2 W * 5 = 36.345 kg/h T * 5 = 80 o C resultado do dimensionamento W * 5 = 20.000 kg/h T * 5 = 80 o C W 10 = 20.000 kg/h T * 10 = 80 o C W 9 = 35.727 kg/h T 9 = 67,7 o C 5 8 9 10 Água W 8 = 35.727 kg/h T * 8 = 15 o C A * c = 120 m 2 resultado da simulação

21. W 10 = W 5 23. Qc = W 5 2 24. dc = Qc / (Uc Ac) 25. c - [(T 5 - T 9 ) - (T 10 - T 8 )]/ln[(T 5 - T 9 )/(T 10 - T 8 )] = 0 (Resolução por Bisseção) 22. W 8 = Qc / (Cp 3 (T 9 - T 8 )) 20. W 9 = W 8 Resulta a rotina SimularCondensador

11. Balanço Material do Ácido Benzóico: f 13 - f 14 = 0 12. Balanço Material do Benzeno: f 23 - f 24 - W 5 = 0 13. Balanço Material do Vapor: W 6 - W 7 = 0 14. Balanço de Energia na Corrente de Vapor: W 6 [ 3 + Cpv (T 6 – T 7 )] - Q e = 0 15. Balanço de Energia na Corrente de Processo: Q e – [(f 13 Cp 1 + f 23 Cp 2l )(T e - T 3 ) + W 5 2 ] = 0 16. Equação de Dimensionamento: Q e - U e A e e = 0 17. Definição da Diferença de Temperatura ( e ): e - (T 6 - T e ) = 0 18. Fases em Equilíbrio T 4 – T e = 0 19. Fases em Equilíbrio T 5 – T e = 0 EVAPORADOR W6T6W6T6 W7T7W7T7 W 3 x 13 T 3 f 13 f 23 W 4 x 14 T 4 f 14 f 24 4 67 AeAe Vapor W5T5W5T5 5 Benzeno Produto Condensado 3 Extrato 38. Vazão Total na Corrente 3: f 13 + f 23 – W 3 = 0 39. Fração Mássica na Corrente 3: x 13 - f 13 /W 3 = 0 40. Vazão Total na Corrente 4: f 14 + f 24 - W 4 = 0 41. Fração Mássica na Corrente 4: x 14 - f 14 /W 4 = 0

DIMENSIONAMENTO DO EVAPORADOR Problema proposto: determinar a vazão de um vapor a 150 o C e a área de troca térmica necessárias para obter um concentrado com 10% de ácido benzóico, a partir de uma corrente com 37.545 kg/h de uma solução de 0,32% de ácido benzóico em benzeno, a 25 o C. O condensado deve sair como líquido saturado a 150 o C. O evaporador opera a 1 atm. W 6 T * 6 = 150 o C W 7 T * 7 = 150 o C W * 3 = 37.345 kg/h x * 13 = 0,0032 T * 3 = 25 o C f 13 f 23 W 4 x * 14 = 0,10 T 4 f 14 f 24 4 6 7 AeAe Vapor W5T5W5T5 5 Benzeno Produto Condensado 3 T e * = 80 o C W 6 = 8.569 kg/h T * 6 = 150 o C W 7 = 8.569 kg/h T * 7 = 150 o C W * 3 = 37.545 kg/h x * 13 = 0,0032 T * 3 = 25 o C f 13 = 120 kg/h f 23 = 37.225 kg/h W 4 = 1.195 kg/h x * 14 = 0,10 T 4 = 80 o C f 14 = 120 kg/h f 24 = 1.076kg/h 4 6 7 A e = 124 m 2 Vapor W 5 = 36.150 kg/h T 5 = 80 o C 5 Benzeno Produto Condensado 3 T e * = 80 o C V = 20 N = 13 C = 4 M = 3 G = 0 !

15. De = T 6 - T 35. f 13 = W 3 x 13 09. f 14 = f 13 34. f 23 = W 3 - f 13 37. W 4 = f 14 / x 14 36. f 24 = W 4 - f 14 10. W 5 = f 23 - f 24 13. Q e = (f 13 Cp 1 + f 23 Cp 2l ) (T - T 3 ) + W 5 L 2 12. W 6 = Q e / (L 3 + Cp3 (T 6 - T 7 )) 11. W 7 = W 6 14. A e = Q e / (U e De) Resulta a rotina DimensionarEvaporador

SIMULAÇÃO DO EVAPORADOR Problema proposto: determinar as vazões de vapor e de evaporado, a vazão e a concentração do concentrado, caso o evaporador, com os mesmos 124 m 2 de área de projeto, fosse alimentado com 50.000 kg/h de solução e não mais com 37.545 kg/h. Pretende-se que o condensado saia como líquido saturado (150 o C). V = 20 N = 13 C = 7 M = 1 G = -1 !!! pretendido na simulaçãoresultado do dimensionamento W 6 = 8.615 kg/h T * 6 = 150 o C W 7 = 8.615 kg/h T * 7 = 150 o C W * 3 = 37.545 kg/h x * 13 = 0,0032 T * 3 = 25 o C f 13 = 120 kg/h f 23 = 37.425 kg/h W 4 = 1.201 kg/h x * 14 = 0,10 T 4 = 80 o C f 14 = 120 kg/h f 24 = 1.081kg/h 4 6 7 A e = 124 m 2 Vapor W 5 = 36.344 kg/h T 5 = 80 o C 5 Benzeno Produto Condensado 3 T e * = 80 o C W 6 = 8.615 kg/h T * 6 = 150 o C W 7 = T * 7 = 150 o C W * 3 = 50.000 kg/h x * 13 = 0,0032 T * 3 = 25 o C f 13 = 120 kg/h f 23 = 37.425 kg/h W 4 = x 14 = T 4 = f 14 = f 24 = 4 6 7 A e = 124 m 2 Vapor W 5 = T 5 = 5 Benzeno Produto Condensado 3 T e * = 80 o C

V = 20 N = 13 C = 7 M = 1 G = -1 !!! W 5 = T 5 = W 6 = 8.615 kg/h T * 6 = 150 o C W 7 = T * 7 = 150 o C W * 3 = 50.000 kg/h x * 13 = 0,0032 T * 3 = 25 o C f 13 = 120 kg/h f 23 = 37.425 kg/h W 4 = x 14 = T 4 = f 14 = f 24 = 4 6 7 A e = 124 m 2 Vapor 5 Benzeno Produto Condensado 3 T e * = 80 o C Uma solução consiste em transformar W 6 em incógnita. O seu valor calculado pode ser tomado como set-point de um sistema de controle que a utilize como variável de controle. Situação semelhante à da simulação do condensador V = 20 N = 13 C = 6 M = 1 G = 0 W 6 = 8.569 kg/h T * 6 = 150 o C W 7 = 8.569 kg/h T * 7 = 150 o C W * 3 = 50.000 kg/h x * 13 = 0,0032 T * 3 = 25 o C f 13 = 160 kg/h f 23 = 49.840 kg/h W 4 = 17.177 kg/h x 14 = 0,0093 T 4 = 80 o C f 14 = 160 kg/h f 24 = 17.017 kg/h 4 6 7 Vapor W 5 = 32.823 kg/h T 5 = 80 o C 5 Benzeno Produto Condensado 3 T e * = 80 o C A e = 124 m 2

resultado do dimensionamento W 6 = 8.569 kg/h T * 6 = 150 o C W 7 = 8.569 kg/h T * 7 = 150 o C W * 3 = 37.545 kg/h x * 13 = 0,0032 T * 3 = 25 o C f 13 = 120 kg/h f 23 = 37.425 kg/h W 4 = 1.201 kg/h x * 14 = 0,10 T 4 = 80 o C f 14 = 120 kg/h f 24 = 1.081kg/h 4 6 7 A e = 124 m 2 Vapor W 5 = 36.344 kg/h T 5 = 80 o C 5 Benzeno Produto Condensado 3 T e * = 80 o C W 6 = 8.569 kg/h T * 6 = 150 o C W 7 = 8.569 kg/h T * 7 = 150 o C W * 3 = 50.000 kg/h x * 13 = 0,0032 T * 3 = 25 o C f 13 = 160 kg/h f 23 = 49.840 kg/h W 4 = 17.177 kg/h x 14 = 0,0093 T 4 = 80 o C f 14 = 160 kg/h f 24 = 17.017 kg/h 4 6 7 Vapor W 5 = 32.823 kg/h T 5 = 80 o C 5 Benzeno Produto Condensado 3 T e * = 80 o C A e = 124 m 2 resultado da simulação

15. De = T 6 - T 14. Q e = U e A e De 12. W 6 = Q e / (l 3 + Cp v * (T 6 - T 7 )) 11.W 7 = W 6 35. f 13 = W 3 * x 13 09. f 14 = f 13 34. f 23 = W 3 - f 13 13. W 5 = (Q e - (f 13 * Cp 1 + f 23 * Cp 2l ) * (T - T 3 )) / l 2 10. f 24 = f 23 - W5 36. W 4 = f 14 + f 24 37. x 14 = f 14 / W 4 Resulta a rotina SimularEvaporador

3.1 Equações Não-Lineares 3.1.1 Representação 3.1.2 Resolução: redução de intervalos e aproximações sucessivas 3.2 Sistemas de Equações Não-Lineares 3.2.1 Estrutura e representação 3.2.2 Resolução: partição, abertura, ordenação de equações 3.3 Dimensionamento e Simulação de Equipamentos 3.4.2 Estratégia Modular 3.5 Incerteza e Análise de Sensibilidade 3.5.1 Questionamento do Dimensionamento 3.5.2 Questionamento do Desempenho Futuro 3. ESTRATÉGIAS DE CÁLCULO 3.4 Dimensionamento e Simulação de Processos 3.4.1 Estratégia Global

3.4 DIMENSIONAMENTO E SIMULAÇÃO DE PROCESSOS Todas as equações são consideradas simultaneamente, independentemente dos equipamentos a que pertencem. É a estratégia mais indicada para dimensionamento. O Algoritmo de Ordenação de Equações é executado como se fosse para um equipamento isolado. 3.4.1 ESTRATÉGIA GLOBAL Existem duas estratégias básicas: - Estratégia Global - Estratégia Modular

Dimensionamento do Processo – Estratégia Global 01. f 11 - f 12 - f 13 = 0 02. W 15 - f 23 = 0 03. f 31 - f 32 = 0 04. k – (3 + 0,04 Td) = 0 05. k - x 13 / x 12 = 0 06. (f 11 Cp 1 + f 31 Cp 3 ) (T 1 - T d ) + W 15 Cp 2l (T 15 - T d ) = 0 07. V d - (f 11 / 1 + W 15/ 2 + f 31 / 3 ) = 0 08. r - f 13 /f 11 = 0 09. T 2 – T d = 0 10. T 3 – T d = 0 11. f 13 - f 14 = 0 12. f 23 - f 24 - W 5 = 0 13. W 6 - W 7 = 0 14. W 6 [ 3 + Cpv (T 6 – T 7 )] - Q e = 0 15. Q e – [(f 13 Cp 1 + f 23 Cp 2l )(T e - T 3 ) + W 5 2 ] = 0 16. Q e - U e A e e = 0 17. e - (T 6 - T e ) = 0 18. T 4 – T e = 0 19. T 5 – T e = 0 20. W 8 - W 9 = 0 21. W 5 - W 10 = 0 22. Q c - W 8 Cp 3 (T 9 - T 8 ) = 0 23. W 5 [ 2 + Cp 2g (T 5 – T 10 )] - Q c = 0 24. Q c - U c A c c = 0 25. c - [(T 5 - T 9 ) - (T 10 - T 8 )]/ln[(T 5 - T 9 )/(T 10 - T 8 )] = 0 26. W 11 - W 12 = 0 27. W 10 - W 13 = 0 28. Q r - W 11 Cp 3 (T 12 - T 11 ) = 0 29. Q r - W 10 Cp 2l (T 10 - T 13 ) = 0 30. Q r - U r A r r = 0 31. r - [(T 10 - T 12 ) - (T 13 - T 11 )]/ln[(T 10 - T 12 )/(T 13 - T 11 )] = 0 32. W 13 + W 14 - W 15 = 0 33. W 13 (T 15 - T 13 ) + W 14 (T 15 - T 14 ) = 0 34. f 11 + f 31 - W 1 = 0 35. x 11 - f 11 /W 1 = 0 36. f 12 + f 22 – W 2 = 0 37. x 12 - f 12 /W 2 = 0 38. f 13 + f 23 – W 3 = 0 39. x 13 - f 13 /W 3 = 0 40. f 14 + f 24 - W 4 = 0 41. x 14 - f 14 /W 4 = 0

Dimensionar Processo (03) T 3 = T 2 (13) T 4 = T 5 (16) e = T 6 - T 5 (22) D 1 = T 5 - T 9 : D 2 = T 10 - T 8 : c = (D 1 - D 2 ) / ln (D 1 / D 2 ) (32) f 11 = W 1 x 11 (08) f 13 = f 11 r (31) f 31 = W 1 - f 11 (01) f 12 = f 11 - f 13 (09) f 14 = f 13 (03) f 32 = f 31 (04) f 23 = f 13 f 32 / (k f 12 ) (34) W 4 = f 14 / x 14 (02) W 15 = f 23 (33) f 24 = W 4 - f 14 (05) T 15 = T 2 - (f 11 Cp 1 + f 31 Cp 3 ) (T 1 - T 2 ) / (W 15 Cp 2l ) (07) V d = (f 11 / 1 + W 15 / 2 + f 31 / 3 ) (10) W 5 = f 23 - f 24 (14) Q e = (f 13 Cp 1 + f 23 Cp 2l ) (T 5 - T 3 ) + W 5 2

( 18) W 10 = W 5 (20) Q c = W 5 ( 2 + Cp 2l (T 5 - T 10 )) (12) W 6 = Q e / ( 3 + Cp 3 (T 6 - T 7 )) (15) A e = Q e / (U e e ) (24) W 13 = W 10 (19) W 8 = Q c / (Cp 3 (T 9 - T 8 )) (21) A c = Q c / (U c c ) (11) W 7 = W 6 (29) W 14 = W 15 - W 13 (17) W 9 = W 8 (30) T 13 = T 15 + W 14 (T 15 - T 14 ) / W 13 (26) Q r = W 10 Cp 2l (T 10 - T 13 ) (28) D 1 = T 10 - T 12 : D 2 = T 13 - T 11 : r = (D 1 - D 2 ) / ln (D 1 / D 2 ) (25) W 11 = Q r / (Cp 3 (T 12 - T 11 )) (27) A r = Q r / (U r r ) (23) W 12 = W 11

3.1 Equações Não-Lineares 3.1.1 Representação 3.1.2 Resolução: redução de intervalos e aproximações sucessivas 3.2 Sistemas de Equações Não-Lineares 3.2.1 Estrutura e representação 3.2.2 Resolução: partição, abertura, ordenação de equações 3.3 Dimensionamento e Simulação de Equipamentos 3.4 Dimensionamento e Simulação de Processos 3.4.1 Estratégia Global 3.5 Incerteza e Análise de Sensibilidade 3.5.1 Questionamento do Dimensionamento 3.5.2 Questionamento do Desempenho Futuro 3. ESTRATÉGIAS DE CÁLCULO 3.4.2 Estratégia Modular

Para cada problema, os módulos são seqüenciados convenientemente segundo o fluxograma material do processo. Havendo a presença de reciclos no fluxograma, torna-se necessária a abertura de um certo número de correntes e a inserção de um módulo promotor de convergência para cada uma. É a estratégia mais indicada para simulação. Utiliza módulos criados previamente para cada equipamento. Cada módulo contem as equações já ordenadas para dimensionamento ou simulação (Seção 3.3).

Simulação do Processo Ilustrativo Estratégia Modular

W 6 =8.594 kg/h T * 6 = 150 o C W 10 =36.284 kg/h T * 10 = 80 o C W 13 = 36.284 kg/h T 13 = 25 o C W 11 = 59.969 kg/h T * 11 = 15 o C W 8 = 232.603 kg/h T * 8 = 15 o C W * 1 = 150.000 kg/h x * 11 = 0,002 T * 1 = 25 o C f 11 = 300 kg/h f 31 = 149.700 kg/h W 7 = 8.594 kg/h T * 7 = 150 o C W 5 = 36.284 kg/h T * 5 = 80 o C W 3 = 37.477 kg/h x 13 = 0,004 T 3 = 25 o C f 13 = 149 kg/h f 23 = 37.328 kg/h W 4 = 1.130 kg/h x 14 = 0,12 T 4 = 80 o C f 14 = 150 kg/h f 24 = 1.080 kg/h W 12 = 59.969 kg/h T 12 = 29 o C W 12 = 232.603 kg/h T 12 = 29 o C W * 14 = 1.080 kg/h T * 14 = 25 o C W 2 = 149.850 kg/h x 12 = 0,001 T 2 = 25 o C f 12 = 150 kg/h f 32 = 149.700 kg/h EXTRATOR Extrato Rafinado EVAPORADOR CONDENSADORRESFRIADORMISTURADOR BOMBA 1 2 3 4 5 67 8 9 10 11 12 13 14 15 V * d = 11.859 l = 0,0617 h r = 0,50 A * e = 124 m 2 A * c = 119 m 2 A * r = 361 m 2 W 15 = 37.328 kg/h T 13 = 25 o C O fluxograma exibe um reciclo. A cada iteração o módulo confere a convergência e atualiza o valor de W 5 O valor inicial arbitrado para W 5 pode ser aquele obtido no Dimensionamento. Implementa-se um módulo promotor de convergência: no caso, o de Substituição Direta. Seleciona-se uma corrente de abertura com o menor número possível de variáveis (simplificar o gerenciamento da convergência): no caso, foi selecionada a corrente 5 (é preciso gerenciar apenas W 5 ).

Simulação do Processo Ilustrativo - Estratégia Modular EXTRATOR RESFRIADOR MISTURADOR CONDENSADOR EVAPORADOR SS 18. W 10 20. Q c 19. c 22'. T 9 21. W 8 17. W 9 24. W 13 23. W 12 25'. Q r 28. T 13 27. T 12 26. r 29. W 15 30. T 15 02. f 23 32. f 11 31. f 31 03. f 32 05. T 2 07. 06. T 3 01' f 12 04. f 13 08. r W 1 T 1 x 11 f 11 f 31 W 15 T 15 W 45 T 14 W 13 T 13 W 10 T 10 f 13 f 23 T 3 W 4 T 4 x 14 f 14 f 24 09. f 14 13. T 4 16. e 15. Q e 12. W 6 14. W 5 10. f 24 11. W 7 33. W 4 34. x 14 T5T5 T 2 f 12 f 32 W 5a W 5c Repetição até convergir |W 5c – W 5a | / W 5a erro relativo

SUB SimularOProcesso '------------------------------------------------------------ ---------------- INPUT "W5= "; W5c W5$ = "W5 = " + STR$(INT(W5c)) NoDeIteracoes = 0 DO W5a = W5c SimularOCondensador SimularOResfriador SimularOMisturador SimularOExtrator SimularOEvaporador MostrarOResultado NoDeIteracoes = NoDeIteracoes + 1 ErroRelativo = ABS(W5a - W5c) / W5a PausaSeQuizer LOOP UNTIL Convergir END SUB

Simulação de Processos com Estrutura Complexa 12345678 1*1* 23 4 56 7 8 9 1011 12 13 14 Problema: Estabelecer uma estratégia de cálculo e implementá-la sob a forma de um algoritmo executável em computador. Cada equipamento é representado por um módulo computacional em que as equações se encontram ordenadas para simulação. A estratégia de cálculo é a ordem em que os equipamentos devem ser simulados.

Simulação de Processos com Estrutura Complexa 12345678 1*1* 23 4 56 7 8 9 1011 12 13 14 Procedimento: (a) identificação dos ciclos. (b) seleção das correntes de abertura (c ) construção do algoritmo de simulação Dificuldade: os diversos reciclos

(a) Identificação dos Ciclos Pode-se utilizar o Método do Traçado de Percursos (labirinto) 12345678 1*1* 23 4 56 7 8 9 1011 12 13 14 Percorre-se o fluxograma anotando, numa lista dupla, as correntes (LC) e os equipamentos visitados (LE). Corrente: 1 2 3 4 Destino : 1 2 3 1 Um ciclo é identificado ao se chegar a um equipamento já visitado. Equipamento 1 já visitado : ciclo 2 3 4

(a) Identificação dos Ciclos 12345678 1*1* 23 4 56 7 8 9 1011 12 13 14 ALGORITMO RESUMIDO Colocar uma corrente conhecida na LC (toda corrente colocada fica aberta) Colocar o seu destino na LE REPETIR O destino já está na LE: registrar o ciclo formado por todas as correntes abertas após o primeiro registro do destino) e fechar as correntes até à última aberta; tomar a última corrente aberta e colocar seu destino na LE. O destino não está na LE: colocar as suas correntes de saída na LC; colocar o destino da primeira delas na LE. ATÉ NÃO MAIS HAVER CORRENTES ABERTAS

MATRIZ CICLO - CORRENTE 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 1 2 1 1 1 3 1 1 1 1 1 1 4 1 1 1 1 5 1 1 1 1 1 1 1 6 1 1 1 1 1 Os Ciclos encontrados são registrados na 12345678 1*1* 23 4 56 7 8 9 1011 12 13 14

APLICAÇÃO AO PROBLEMA ILUSTRATIVO

C: D: 345671 1*1* 2 23 4 56 7 8 9 1011 12 13 8 14 123 54154123 541541 C: 1 2 3 5 D: 1 2 3 4 765765 8686 11 10 4 765765 8686 7 C: 1 2 3 5 6 8 11 D: 1 2 3 4 5 6 8 13 2 7 C: 1 2 3 5 6 8 11 D: 1 2 3 4 5 6 8 13 2 C: 1 2 3 5 7 D: 1 2 3 4 7 12 9 5 8686 11 10 4 C: 1 2 3 5 7 D: 1 2 3 4 7 12 9 5 8686 11 10 4 12 C: 1 2 3 5 7 9 8 11 D: 1 2 3 4 7 5 6 8 13 2 12 C: 1 2 3 5 7 9 8 11 D: 1 2 3 4 7 5 6 8 13 2 C: 1 2 3 5 7 12 D: 1 2 3 4 7 8 13 2 C: 1 2 3 5 7 12 D: 1 2 3 4 7 8 13 2 Colocar uma corrente conhecida na LC (toda corrente colocada fica aberta) Colocar o seu destino na LE REPETIR O destino já está na LE: registrar o ciclo formado por todas as correntes abertas após o primeiro registro do destino) e fechar as correntes até à última aberta; tomar a última corrente aberta e colocar seu destino na LE. O destino não está na LE: colocar as suas correntes de saída na LC; colocar o destino da primeira delas na LE. ATÉ NÃO MAIS HAVER CORRENTES ABERTAS

(b) Seleção das Correntes de Abertura Matriz Ciclo - Corrente ALGORITMO Calcular os elementos de C Repetir Identificar a corrente com o maior valor em C (pode ser a primeira encontrada) Inscrever a corrente em A Remover os ciclos abertos pela corrente (anular os elementos na linhas correspondentes) Atualizar C Até C = 0 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 1 2 1 1 1 3 1 1 1 1 1 1 4 1 1 1 1 5 1 1 1 1 1 1 1 6 1 1 1 1 1 1 4 1 3 2 3 4 1 2 2 1 3 C 000000000000 A

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 1 2 1 1 1 3 1 1 1 1 1 1 4 1 1 1 1 5 1 1 1 1 1 1 1 6 1 1 1 1 1 1 4 1 3 2 3 4 1 2 2 1 3 C 000000000000 A 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 0 0 0 2 1 1 1 3 0 0 0 0 0 0 4 1 1 1 1 5 0 0 0 0 0 0 0 6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 2 1 2 0 0 0 C 300000300000 A

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 0 0 0 2 0 0 0 3 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 5 0 0 0 0 0 0 0 6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 C 380000380000 A 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 0 0 0 2 1 1 1 3 0 0 0 0 0 0 4 1 1 1 1 5 0 0 0 0 0 0 0 6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 2 1 2 0 0 0 C 300000300000 A

(c) Construção do Algoritmo de Simulação 12345678 1*1* 2 4 56 7 8 9 1011 12 13 14 3 Abrir C 3 REPETIR Simular E 3 (C 4,C 5 ) Simular E 1 (C 2 ) REPETIR Simular E 6 (C 10,C 11 ) Simular E 4 (C 6,C 7 ) Simular E 7 (C 9, C 12 ) Simular E 5 (C 8 ) ATÉ Convergir C 8 Simular E8 (C 13, C 14 ) Simular E2 (C 3 ) ATÉ Convergir C 3 Abrir C 8 Corrente 1: única conhecida

3.1 Equações Não-Lineares 3.1.1 Representação 3.1.2 Resolução: redução de intervalos e aproximações sucessivas 3.2 Sistemas de Equações Não-Lineares 3.2.1 Estrutura e representação 3.2.2 Resolução: partição, abertura, ordenação de equações 3.3 Dimensionamento e Simulação de Equipamentos 3.4 Dimensionamento e Simulação de Processos 3.4.1 Estratégia Global 3.4.2 Estratégia Modular 3.5.1 Questionamento do Dimensionamento 3.5.2 Questionamento do Desempenho Futuro 3. ESTRATÉGIAS DE CÁLCULO 3.5 Incerteza e Análise de Sensibilidade

ASSUNTO TRANSFERIDO PARA DEPOIS DO CAPÍTULO 4

3.5 INCERTEZA E ANÁLISE DE SENSIBILIDADE (a)modelos matemáticos: aproximações lineares, coeficientes constantes... A Análise de Processos é executada em ambiente de muita incerteza. A avaliação dos efeitos da incerteza é efetuada através da (b) parâmetros físicos e econômicos: valores incertos (aproximados e variáveis). Fontes de incerteza: Análise de Sensibilidade

(b) questionamento do desempenho futuro: (a) questionamento do próprio dimensionamento: A Análise de Sensibilidade avalia os efeitos da incerteza através de dois questionamentos ao final do dimensionamento, Em que grau a incerteza nos parâmetros compromete o resultado do dimensionamento ? Em que grau a incerteza nos parâmetros comprometerá as metas de projeto que serviram de base para o dimensionamento?

Fazem parte da Análise: - as variáveis características do dimensionamento: dimensões. - as variáveis características do desempenho do processo: variáveis de saída (metas de projeto). - os parâmetros cujos valores são considerados incertos (variáveis conhecidas são aqui incorporadas ao conjunto dos parâmetros).

F: variável do processo cujo valor é incerto devido à incerteza nos parâmetros. Exemplo: W 3, A. : vetor dos parâmetros (físicos e econômicos) e das variáveis especificadas cujos valores são incertos. Exemplo: Cp 1, Cp 3, U, W 1, T 1, T 3. Fundamento da Análise de Sensibilidade Exemplo: Trocador de Calor T 1 * = 80 o C W 1 * = 30.000 kg/h A = 265,6 m 2 T 2 * = 25 o C W 3 = 44.000 kg/h T 3 * = 15 o C T 4 * = 30 o C

F: variável do processo cujo valor é incerto devido à incerteza nos parâmetros. Exemplo: W 3, A. S (F; i ): Sensibilidade de F à incerteza no parâmetro i. : vetor dos parâmetros (físicos e econômicos) e das variáveis especificadas cujos valores são incertos. Exemplo: Cp 1, Cp 3, U, W 1, T 1, T 3. Fundamento da Análise de Sensibilidade i * F i Exemplo: A Sensibilidade é função do parâmetro

Conveniência: usar variáveis adimensionais F/F* e i / i * Análise de Sensibilidade com Variáveis Adimensionais Vantagens: (a) os valores independem das dimensões das variáveis e dos parâmetros. (b) as Sensibilidades podem ser comparadas, permitindo verificar a qual parâmetro a variável de interesse é mais sensível, e em que grau. Nova definição de Sensibilidade: Exemplo

Sensibilidade de F/F * à incerteza em i / i * 1 F/F* i / i * F i i * F*

Utilizando um incremento de 1% para melhor aproximar a derivada Em processos complexos é impossível obter a derivada aproximação linear

S(F/F * ; i / i * ) estima a incerteza % em F diante de uma incerteza de 1% em i |S| > 1 : incerteza ampliada |S| < 1 : incerteza amortecida

S (T 2 ;U) = 100 (24,828-25)/25 = - 0,686 S (T 4 ;U) = 100(30,047-30)/30 = 0,156 S(A;U) = 100 (262,93-265,6)/265,6 = - 0,99 S(W 3 ;U) = 0 QUESTIONAMENTO DO PROJETO Re-dimensionamento com U = 101 QUESTIONAMENTO DO DESEMPENHO Simulação com U = 101 DIMENSIONAMENTO ORIGINAL (BASE) T 1 * = 80 o C W 1 * = 30.000 kg/h A = 265,6 m 2 [U = 100] T 2 * = 25 o C W 3 = 44.000 kg/h T 3 * = 15 o C T 4 * = 30 o C [U = 101] A = 262,93 m 2 T 1 * = 80 o C W 1 * = 30.000 kg/h T 3 * = 15 o C W 3 = 44.000 kg/h T 4 * = 30 o C T 2 * = 25 o C [U = 101] T 2 = 24,828 o C T 1 * = 80 o C W 1 * = 30.000 kg/h T 3 * = 15 o C W 3 * = 44.000 kg/h T 4 = 30,047 o C A * = 265,6 m 2

Para um incremento de 1% em todos os parâmetros (aproximação da derivada): Ou seja, a Sensibilidade de F à incerteza em todos os parâmetros é a soma das Sensibilidades a cada parâmetro: A Sensibilidade de F à incerteza em todos os parâmetros, considerados simultaneamente, pode ser estimada:

Questionamento do Projeto Sensibilidades de W 3, A e C T à incerteza em cada parâmetro e variável especificada e ao conjunto: i S(W 3 ; i )S(A; i )S(C T ; i ) W1W1 110,93 T1T1 1,450,451,21 T3T3 1,010,560,88 Cp 1 110,93 Cp 3 - 10- 0,78 U0- 1- 0,13 Por serem adimensionais, as Sensibilidades podem ser comparadas. S(F; ) 3,462,013,04

Questionamento do Projeto Sensibilidades de W 3, A e C T à incerteza em cada parâmetro e ao conjunto de parâmetros: i S(W 3 ; i )S(A; i )S(C T ; i ) S(F; ) 3,462,013,04 Caso os valores reais de todos os parâmetros estivessem positivamente afastados em 1% dos seus valores-base (usados no dimensionamento), os valores de corretos de W 3, A e C T estariam afastados de seus valores-base (calculados no dimensionamento) nos percentuais acima.

Questionamento do Desempenho Sensibilidades de T 2 e T 4 à incerteza em cada parâmetro e variável especificada, e ao conjunto: i S(T 2 ; i )S(T 4 ; i ) W1W1 0,800,32 T1T1 0,480,63 T3T3 0,480,37 W3W3 - 0,12- 0,47 A- 0,680,17 Cp 1 0,800,32 Cp 3 - 0,12- 0,47 U- 0,680,17 Por serem adimensionais, as Sensibilidades podem ser comparadas. S(F; ) 0,961,04

Questionamento do Desempenho Sensibilidades de T 2 e T 4 à incerteza em cada parâmetro e variável especificada, e ao conjunto: i S(T 2 ; i )S(T 4 ; i ) S(F; ) 0,961,04 Caso os valores reais de todos os parâmetros estivessem positivamente afastados em 1% dos seus valores-base (usados no dimensionamento), os valores reais esperados para T 2 e T 4, durante a operação do trocador, estariam afastados de seus valores-base nos percentuais acima.

EXTRATOR: DIMENSIONAMENTO

EXTRATOR: SIMULAÇÃO

EVAPORADOR: DIMENSIONAMENTO

EVAPORADOR: SIMULAÇÃO

EXEMPLO: convergência pela Bisseção 31. x31 = 1 – x11 32. x32 = 1 – x12a 04. x13 = k x12a 07. W3 = W11 x11 r / x13 01. W2 = W1 x31 / x32 02. W1 x11 – W2 x12a – W3 x13 = 0 x12a 3204070201 x31 x32 x13 W3 W2 BISS x12a f (x12) Na ordenação das equações surgiu um ciclo. A eq. 02 foi escolhida como Final. Resultou x12 como variável de abertura f (x12) = W1 x11 – W2 x12a – W3 x13 = 0

f (x) x xi xs fs x1 f1 x2 f2 fi Esquema de convergência pela Bisseção 3204070201 x31 x32 x13 W3 W2 BISS x12a f (x12) f (x12) = W1 x11 – W2 x12a – W3 x13 = 0 Até convergir

EXEMPLO: convergência pela Substituição Direta 31. x31 = 1 – x11 32. x32 = 1 – x12a 04. x13 = k x12a 07. W3 = W11 x11 r / x13 01. W2 = W1 x31 / x32 02. W1 x11 – W2 x12a – W3 x13 = 0 x12a 3204070201 x31 x32 x13 W3 W2 SD x12a = x12c x12c Na ordenação das equações surgiu um ciclo. A eq. 02 foi escolhida como Final. Resultou x12 como variável de abertura x12c = (W1 x11– W3 x13) / W2

Um instrumento fundamental para a resolução de problemas ALGORITMO

ALGORITMO é uma seqüência inequívoca de ações bem definidas que conduzem sempre à solução de um problema Assim, qualquer pessoa, ou mesmo um computador por ela programado, chegará sempre à solução do problema. O exemplo mais trivial e prosaico de algoritmo é uma receita culinária. Um outro no campo da matemática é o da extração da raiz quadrada de um número. Algoritmos podem incluir etapas repetitivas (iterações) ou exigir decisões (lógica e comparações). Algoritmos podem ser programas em computadores Existem algoritmos complexos e poderosos capazes de gerar outros algoritmos (Inteligência Artificial)

Origem dos Algoritmos An algorithm is a procedure or formula for solving a problem. The word derives from the name of the mathematician, Mohammed ibn-Musa al-Khwarizmi, who was part of the royal court in Baghdad and who lived from about 780 to 850. Al-Khwarizmi's work is the likely source for the word algebra as well. www.nist.gov/dads/html/algorithm.html

CAPÍTULO 3 ESTRATÉGIAS DE CÁLCULO 28 de agosto de 2013.

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