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Franklina M. B. Toledo / Alysson M. Costa Otimização em grafos Problemas de roteamento em arcos.

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1 Franklina M. B. Toledo / Alysson M. Costa Otimização em grafos Problemas de roteamento em arcos

2 Franklina M. B. Toledo / Alysson M. Costa roteamento em nósroteamento em arcos

3 FMBT/ AMC 10:43 19 mar [I] H.A. Eiselt, M. Gendreau, and G. Laporte, Arc routing problems, part I: The Chinese postman problem, Operations Research 43 (1995), 231–242. H.A. Eiselt [II] H.A. Eiselt, M. Gendreau, and G. Laporte, Arc routing problems, part II: The rural postman problem, Oper Res 43 (1995), 399–414. [III] S. W hlk, A decade of capacitated arc routing, in: The vehicle routing problem, Bruce Golden et al. (eds), (2008) [IV] Computers & Operations Research, 33, Issue 12, December 2006, Pages Part Special Issue: Recent Algorithmic Advances for Arc Routing Problems

4 FMBT/ AMC 10:43 19 mar As pontes de Königsberg desenho original de Euler retirado de [I]

5 FMBT/ AMC 10:43 19 mar Kaliningrado Irina Gribkovskaia, Øyvind Halskau Sr. and Gilbert Laporte, The Bridges of KönigsbergA Historical Perspective, Networks, Vol. 49(3), 199–

6 FMBT/ AMC 10:43 19 mar Michael Clegg & Martin Guttmanns sculpture Clegg & Martin The Seven Bridges of Königsberg is an installation based on a partial selection from the themes of the original project, an Open Public Library which operated in Duisburg in connection with the exhibition Kant Park which took place in the Lehmbruck Museum in The structure of this library is based on a diagram of the seven bridges of Königsberg. The mathematician Euler proved that one cannot cross all the bridges, each only once and, without gap or overlap, return to the point of origin. As a consequence, the books in the library, whose structure is based on the same diagram, cannot be arranged alphabetically, from A to Z, when all the shelves are full. This is a library, which resists order, an anarchist library, if we may. Based on the original project we designed a new installation, which emphasizes the mathematical properties of the structure in virtue of which it cannot be ordered.

7 FMBT/ AMC 10:43 19 mar Euler, 1736 Uma solução (ciclo euleriano) existe se: a) o grafo é conexo b) cada nó tem grau par E se dois nós tiverem grau impar ? ! Então é possível obter um caminho euleriano saindo de um nó e chegando no outro.

8 FMBT/ AMC 10:43 19 mar 2009.

9 FMBT/ AMC 10:43 19 mar Qual o caminho ? Euller estava preocupado com existência. Qual caminho ?

10 FMBT/ AMC 10:43 19 mar Qual o caminho ?

11 FMBT/ AMC 10:43 19 mar Grafos direcionados e mistos Grafos não-direcionados Grafos direcionados (puros)

12 FMBT/ AMC 10:43 19 mar Grafos direcionados e mistos Grafos mistos

13 FMBT/ AMC 10:43 19 mar General routing problems (Orloff, 1974)

14 FMBT/ AMC 10:43 19 mar retirado de [I]

15 FMBT/ AMC 10:43 19 mar Rural/Chinese retirado de [I]

16 FMBT/ AMC 10:43 19 mar General routing problems (Orloff, 1974) Problema do carteiro chinês (CPP) Problema do carteiro rural (RPP)...

17 FMBT/ AMC 10:43 19 mar Problema do carteiro chinês: –"A mailman has to cover his assigned segment before returning to the post office. The problem is to find the shortest walking distance for the mailman". Meigu Guan (O "matemático/carteiro" chinês)

18 FMBT/ AMC 10:43 19 mar Estratégias de solução Quando não existe um ciclo euleriano... Duas etapas: –Fazer o menor "aumento" no gráfico que o torna euleriano. –Obter o ciclo euleriano (tempo polinomial).

19 FMBT/ AMC 10:43 19 mar Grafos não-direcionados: –matching problem (Edmonds and Johnson, 1973)

20 FMBT/ AMC 10:43 19 mar Edmonds and Johnson, 1973

21 FMBT/ AMC 10:43 19 mar Idéia grafo não euleriano grafo euleriano

22 FMBT/ AMC 10:43 19 mar the matching problem

23 FMBT/ AMC 10:43 19 mar Algoritmo (Edmonds e Johnson) 1.Se o grafo é euleriano, determinar tour. FIM 2.Seja I o conjunto de todos os nós de grau ímpar. 3.Seja d ij a distância do caminho mínimo entre os nós i e j, para cada i,j 2 I. 4.Determinar o matching M entre os elementos de I que minimiza os custos d ij envolvidos. 5.Adicione os arcos dos caminhos mínimos associados ao matching. O novo grafo é euleriano, determinar tour. FIM.

24 FMBT/ AMC 10:43 19 mar Exemplo matchings possíveis: 1 e 2, 3 e 4 1 e 3, 2 e 4 1 e 4, 2 e 3

25 FMBT/ AMC 10:43 19 mar Caso direcionado ?

26 FMBT/ AMC 10:43 19 mar Caso direcionado (completamente) Grafos completamente direcionados. –minimum cost flow problem (Edmonds and Johnson, 1973)

27 FMBT/ AMC 10:43 19 mar Caso direcionado (completamente) x ij =1, se o arco (i,j) está na solução

28 FMBT/ AMC 10:43 19 mar Caso misto NP-Hard mesmo se: –o grafo é planar; –todos os c ij 's são iguais. (Papadimitriou, 1976)

29 FMBT/ AMC 10:43 19 mar Windy Postman Problem (WPP) O grafo é não-direcionado, mas o custo de percorrer uma aresta depende do sentido tomado. NP-hard mas pode ser resolvido em tempo polinomial sob algumas condições. caso misto WPP cada aresta (i,j) gera custos c ij iguais para os dois sentidos cada arco (i,j) gera custos c ij no sentido i! j e 1 no sentido inverso caso direc. caso ñ-direc.

30 FMBT/ AMC 10:43 19 mar WPP Formulação

31 FMBT/ AMC 10:43 19 mar Algumas variações Hierarchical Postman Problem.

32 FMBT/ AMC 10:43 19 mar Exemplo

33 FMBT/ AMC 10:43 19 mar Algumas variações The cumulative chinese postman problem:

34 FMBT/ AMC 10:43 19 mar General routing problems (Orloff, 1974) Problema do carteiro chinês (CPP) Problema do carteiro rural (RPP)...

35 FMBT/ AMC 10:43 19 mar A maioria das aplicações práticas estão relacionadas ao carteiro rural vila rural arcos não necessários.

36 FMBT/ AMC 10:43 19 mar Aplicações Street sweeping –Bodin and Kursh (1978, 1979) –Restrições nos horários ("janelas de tempo")

37 FMBT/ AMC 10:43 19 mar Aplicações Retirada de neve –Níveis de prioridade (HRPP). –Restrições adicionais: roteamento dos veículos depósito, estratégias de re-roteamento em caso de intensificação da tempestade...

38 FMBT/ AMC 10:43 19 mar Coleta de lixo –questão do aterro sanitário –tarifação

39 FMBT/ AMC 10:43 19 mar Aplicações Problema dos leituristas Retirado de: "Algoritmos para o problema de roteamento de leituristas", Fábio Usberti

40 FMBT/ AMC 10:43 19 mar Entrega de correspondências –depósitos... PRV PRA

41 FMBT/ AMC 10:43 19 mar Para o CPP: –Versão não-direcionada ou totalmente direcionada: polinomial –Versão mista ou WPP: NP-Hard. Para o RPP: –Versões não-direcionada e direcionada são NP-Hard. (Salvo quando R=A ! CPP).

42 FMBT/ AMC 10:43 19 mar RPP não direcionado Resolução –I) O grafo G(V,R) é conexo –II) O grafo G(V,R) não é conexo I)Unem-se os vértices de grau ímpar de R e se resolve um problema CPP (ciclo euleriano).

43 FMBT/ AMC 10:43 19 mar RPP não direcionado II) pre-processamento

44 FMBT/ AMC 10:43 19 mar RPP não direcionado II) pre-processamento

45 FMBT/ AMC 10:43 19 mar Heurística para o RPP não- direcionado O grafo resultante do pre- processamento tem "ilhas" conexas de subgrafos com arestas requeridas G1G1 G2G2...G n

46 FMBT/ AMC 10:43 19 mar ) Construa a menor árvore ligando G 1...G n, seja l(t) o custo desta árvore; –seja l(R) o custo dos arcos em R. –l(R)+l(t) · z* –No exemplo: l(R) = 11, l(t)=3

47 FMBT/ AMC 10:43 19 mar ) Obtenha o menor matching entre os nós de grau ímpar do grafo induzido por R + a árvore. –seja l(M) o custo deste matching. –l(R)+l(t)+l(M) · 1.5z* –No exemplo: l(R) = 11, l(t)=3, l(M) =5

48 FMBT/ AMC 10:43 19 mar Este algoritmo foi proposto por –Frederickson (1979) baseado no trabalho de –Christofides (1976)

49 FMBT/ AMC 10:43 19 mar Heurística para o RPP direcionado Pode ser reduzido ao caso direcionado do CPP sempre que R for conexo. Procedimento de pre-processamento similar ao anterior.

50 FMBT/ AMC 10:43 19 mar Cristofides et al. (1986) –Construa uma arborescência centrada em um vértice qualquer e atingindo G 1...G n –Resolva um problema de transporte tal que o número de arcos chegando em cada vértice seja igual ao número de arcos saindo do vértice –Determine um grafo euleriano

51 FMBT/ AMC 10:43 19 mar Atualmente... Computers & Operations Research, 33, Issue 12, December 2006, Pages Part Special Issue: Recent Algorithmic Advances for Arc Routing Problems

52 FMBT/ AMC 10:43 19 mar Recent Algorithmic Advances (títulos) Lower and upper bounds for the mixed capacitated arc routing problem New lower bound for the Capacitated Arc Routing Problem A comparison of two different formulations for arc routing problems on mixed graphs A tabu search algorithm for the min–max k- Chinese postman problem (min–max k-Chinese postman problem: k ciclos, com cada arco sendo atravessado ao menos uma vez. Objetivo: minimizar o comprimento do ciclo mais longo. )

53 FMBT/ AMC 10:43 19 mar Recent Algorithmic Advances (títulos) A constraint programming approach to the Chinese postman problem with time windows Privatized rural postman problems b e (lucro) - na primeira vez que o arco é atravessado c e (custo) - sempre que o arco é atravessado

54 FMBT/ AMC 10:43 19 mar Recent Algorithmic Advances (títulos) A constructive heuristic for the Undirected Rural Postman Problem

55 FMBT/ AMC 10:43 19 mar Recent Algorithmic Advances (títulos) Road network monitoring: algorithms and a case study A genetic algorithm for a bi-objective capacitated arc routing problem


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