Produto vetorial de dois vetores; Interpretação geométrica do módulo do produto vetorial; Produto misto. Aula 4.

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1 Produto vetorial de dois vetores; Interpretação geométrica do módulo do produto vetorial; Produto misto. Aula 4

2 PRODUTO VETORIAL DE DOIS VETORES
Definição É um produto definido apenas para vetores do ℝ³ que resulta em um vetor do próprio ℝ³. O produto vetorial dos vetores 𝑢 = (x1, y1, z1) e 𝑣 = (x2, y2, z2) do ℝ³, denotado por 𝑢 x 𝑣 (lê-se 𝑢 vetorial 𝑣 ), é definido como: 𝑢 x 𝑣 = 𝑖 𝑗 𝑘 𝑥 1 𝑦 1 𝑧 1 𝑥 2 𝑦 2 𝑧 2

3 PRODUTO VETORIAL DE DOIS VETORES
Características do vetor 𝒖 x 𝒗 Consideremos os vetores 𝑢 = (x1, y1, z1) e 𝑣 = (x2, y2, z2). Direção de 𝑢 x 𝑣 O vetor 𝑢 x 𝑣 é simultaneamente ortogonal a 𝑢 e 𝑣 𝑢 x 𝑣 𝑣 𝑢 𝜋 𝑣 x 𝑢

4 PRODUTO VETORIAL DE DOIS VETORES
Características do vetor 𝒖 x 𝒗 Consideremos os vetores 𝑢 = (x1, y1, z1) e 𝑣 = (x2, y2, z2). b) Sentido de 𝑢 x 𝑣 𝑢 x 𝑣 𝑢 𝑣

5 PRODUTO VETORIAL DE DOIS VETORES
Características do vetor 𝒖 x 𝒗 Consideremos os vetores 𝑢 = (x1, y1, z1) e 𝑣 = (x2, y2, z2). c) Comprimento de 𝑢 x 𝑣 Se 𝜃 é o ângulo entre os vetores 𝑢 e 𝑣 não-nulos, então | 𝑢 x 𝑣 | = | 𝑢 || 𝑣 |sen𝜃

6 PRODUTO VETORIAL DE DOIS VETORES
Exemplo O produto vetorial dos vetores 𝑢 = (1, 2, 1) e 𝑣 = (–2, 3, 1) é dado por:

7 Interpretação geométrica do módulo do produto vetorial
No paralelogramo ao lado, determinado pelos vetores não-nulos 𝑢 e 𝑣 , a medida da base é 𝑢 e da altura é 𝑣 sen𝜃, a área A deste paralelogramo é A = (base)(altura) = 𝑢 𝑣 sen𝜃 ou seja, A = | 𝑢 x 𝑣 | 𝑣 𝑣 sen𝜃 𝜃 ∙ 𝑢 Exemplo Determinar a área do paralelogramo formado pelos vetores 𝑢 = (2, 0, 0) e 𝑣 = (0, 3, 0)

8 PRODUTO MISTO Definição Chama-se produto misto dos vetores 𝑢 = x1 𝑖 + y1 𝑗 + z1 𝑘 , 𝑣 = x2 𝑖 + y2 𝑗 + z2 𝑘 e 𝑤 = x3 𝑖 + y3 𝑗 + z3 𝑘 , tomados nesta ordem, ao número real 𝑢 ∙ ( 𝑣 x 𝑤 ). O produto misto de 𝑢 , 𝑣 e 𝑤 também por ( 𝑢 , 𝑣 , 𝑤 ). 𝑢 ∙ ( 𝑣 x 𝑤 ) = 𝑥 1 𝑦 1 𝑧 1 𝑥 2 𝑦 2 𝑧 2 𝑥 3 𝑦 3 𝑧 3

9 Propriedade do produto misto
( 𝑢 , 𝑣 , 𝑤 ) = 0 se, e somente se, os três vetores forem coplanares. 𝑣 x 𝑤 𝑢 𝑤 𝑣 𝜋

10 Interpretação geométrica do módulo do produto misto
Geometricamente, o produto misto 𝑢 ∙ ( 𝑣 x 𝑤 ) é igual, em módulo, ao volume do paralelepípedo de arestas determinadas pelos vetores não-coplanares 𝑢 , 𝑣 e 𝑤 . V = | ( 𝑢 , 𝑣 , 𝑤 ) | 𝑣 x 𝑤 𝑢 𝑤 𝑣

11 PRODUTO MISTO Exemplos 1. Calcular o produto misto dos vetores 𝑢 = 2 𝑖 + 3 𝑗 + 5 𝑘 , 𝑣 = – 𝑖 + 3 𝑗 + 3 𝑘 e 𝑤 = 4 𝑖 – 3 𝑗 + 2 𝑘 . 2. Verificar se são coplanares os vetores 𝑢 = (2, –1, 1), 𝑣 = (1, 0, –1) e 𝑤 = (2, –1, 4). 3. Calcular o valor de m para que o volume do paralelepípedo determinado pelos vetores 𝑣 1 = (0, −1, 2), 𝑣 2 = (−4, 2, −1) e 𝑣 3 = (3, m, −2) seja igual a 33.

12 REFERÊNCIAS LORETO, A. P.; LORETO, A. C. C. Vetores e geometria analítica – teoria e exercícios. 2. ed. SP: LCTE, 2009. WINTERLE, P. Vetores e geometria analítica. São Paulo: Pearson Makron Books, 2000. SANTOS, F. J.; FERREIRA, S. F. Geometria analítica. SP: Bookman, 2009. CORRÊA, P. S. Q, Álgebra linear e geometria analítica. Rio de Janeiro: Interciência, 2006. CENGAGE LEARNING 2010.