1 Constraints and Logic Programming In principle, all the referred to problems may be solved with logic programming (LP) alone. After all, finite domains.

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1 1 Constraints and Logic Programming In principle, all the referred to problems may be solved with logic programming (LP) alone. After all, finite domains are a subset of the Herbrand Universe (constants). Why should one move towards Constraint Logic Programming (CLP), rather than staying within LP. Two types of reasons –Greater Expressiveness of CLP wrt LP CLP regarded as an extension of LP Specific constraint harder in LP (e.g. Conditional constraints) –Greater Efficiency to solve Finite Domains problems Combinatorial nature of Problems

2 2 Operational Semantics of CLP The operational semantics of CLP can be described as a transition system on states. The state of a constraint solving system can be abstracted by a tuple where –G is a set of constraints (goals) to solve –C is the set of active constraints –S is a set of passive constraints The sets C,S are considered the Constraint Store

3 3 Operational Semantics of CLP The state transitions are the following Handling a constraint it is assumed that a computation rule selects some goal g, among those still to be considered, that matches some constraint c to be solved. The other transition rules require the existence of two functions, adequate to the domains that are considered, infer(C,S) and consistent(C). g requires solving constraint c c

4 4 Operational Semantics of CLP Function infer(C,S) simply converts the Constraint Store in a more convenient form. For example, assuming that variables A and B can take values in 1..3 and A > B, then C = {A in 1..3, B in 1..3}, S = {A > B} and the application of infer, i.e. C,S = infer(C,S), would take into account that values A=1 and B = 3 cannot participate in any solution. Hence, a constraint solver for finite domains would possibly get C = {A in 2..3, B in 1..2, A > B}, S = { }

5 5 Operational Semantics of CLP Predicate consistent(C) checks whether it is possible to solve the constraints in C. For example, for the previous set C = {A in 2..3, B in 1..2, A > B } consistent(C) would be true. In contrast, for a different set C = {A in 1..3, B in 1..3, A > B, B > A } consistent(C) should evaluate to false. In some cases, it is not possible, or convenient, to work with such strong implementations of consistent, in which case, the constraint solver is incomplete.

6 6 Operational Semantics of CLP Given these functions the remaining state transitions are Processing a constraint (inferring its consequences) Checking consistency (C, S) = infer (C,S) i consistent (C) s ¬ consistent (C) s fail

7 7 Operational Semantics of CLP As usual, a derivation is just a sequence of transitions. A state that cannot be rewritten is a final state. A derivation is failed if it is finite and its final state is fail. A derivation is successful if it is finite and processes all the constraints, i.e. it ends in a state with form A derivation flounders if it is finite and is not able to handle all the constraints, i.e. its final state has the form

8 8 CLP as an extension of LP In this context, CLP can be regarded as an extension of LP. Put in other words, LP can be regarded as a special instance os CLP, where the domain to be considered is the Herbrand domain (finite trees). The Resolution rule, can be simply considered as a special case of handling literals (as equality constraints on the Herbrand Domain). g is a goal h B r

9 9 CLP as an extension of LP In the case of Logic Programming, function infer(C,S) simply passes the constraint from the passive set to the active set, and performs the necessary unification of terms. For example, assuming the following substitutions have already been performed on X and Y and an equality of terms h/1 needs to be checked C = {X / f(Z), Y / g(Z,W)}, S = {h(Z,W) = h(a,b)} the application of infer, i.e. C,S = infer(C,S), would implement the unification of terms. C = {X / f(a), Y / g(a,b), Z / a, W / b}, S = {}

10 10 CLP as an extension of LP In case of LP, predicate consistent(C), simply checks whether the unification was possible or not. In practice, in LP the two functions infer and consistent are performed at the same time, since the unification performed by infer either fails or not. For example, given C = {X / Z, Y / Z) }, S = {h(X,Y) = h(a,b)} the successive application of infer and consistent would result in false and the derivation would fail.

11 11 CLP Solutions In LP, solutions of a problem should be found in the set C of the final state of a successful derivation. In all CLP domains for which the solvers are complete (not only in LP, but also booleans and rationals, to name the most common), a successful derivation implies the existence of solutions. For example, given C = {X / f(Z), Y / g(Z, b)} possible solutions are X=f(b), Y= g(b,b), Z = b orX = f(f(b)), Y= g(f(b),b), Z = f(b)...

12 12 Restrições Booleanas O domínio dos Booleanos (ou variáveis 0/1) tem especial aplicação em aplicações –Envolvendo circuitos digitais Exemplo: Circuito semi-somador –Em problemas envolvendo escolhas binárias Exemplo: Rainhas –Em problemas que envolvam conjuntos B G1 G2G2 A C S

13 13 Restrições Booleanas Nas restrições booleanas (de igualdade) podem ser utilizadas os habituais operadores (not, and, or, nand, nor, xor,...). Modelo do semi-somador C = and(A,B) S = xor(A,B) B G1 G2G2 A C S

14 14 Restrições Booleanas As restrições (correspondentes às variáveis Booleanas) podem ser igualmente expressas com esses operadores Modelo das 4-rainhas or(Q1, Q2, Q3, Q4)Linha 1 and(Q1,Q2) = 0Linha 1.... and(Q1, Q6) = 0Diagonal

15 15 Restrições Booleanas A satisfação de restrições booleanas pode ser abordada de várias formas diferentes –Simbolicamente Unificação booleana –SAT Colocação de todas as restrições na forma clausal Resolução construtiva (retrocesso) ou reparativa (pesquisa local) –Domínios finitos O domínio 0/1 é um domínio finito com 2 valores Resolução comum aos domínios finitos

16 16 Restrições Booleanas Para verificar a satisfação de restrições booleanas de uma forma simbólica é conveniente converter todas as restrições de forma a usar apenas, –os operadores + (ou-exclusivo) e · (conjunção), –constantes booleanas 0 e 1 ( e outras constantes, dependentes do domínio) – variáveis denotadas por letras maiúsculas Isto é sempre possível, já que o conjunto {0, 1, +, ·} é completo.

17 17 Restrições Booleanas Com efeito, dados os termos arbitrários a e b, todos os operadores e constantes podem ser expressos através destes operadores a b= a · b a b= a + b + a · b a= 1 + a a b= 1 + a + a · b a b= 1 + a + b Termos arbitrários serão denotados por minúsculas

18 18 Restrições Booleanas Mais formalmente, o tuplo, em que A é um qualquer domínio (contendo os elementos 0 e 1), constitui um anel booleano se se verificarem as seguintes propriedades Associatividade a+(b+c) = (a+b)+ca · (b · c) = (a · b) · c Comutatividade a + b = b + aa · b = b · a Distribuição a+(b · c) = a · b+a · ca · (b+c) = (a+b) · (a+c) Elemento Neutro a+0 = aa · 1 = a Exclusividade e Idempotência a+a = 0 a · a = a Elemento Absorvente a · 0 =0

19 19 Restrições Booleanas As restrições booleanas que consideraremos resumem- se à igualdade, já que todas as outras se podem exprimir em função da igualdade. Por exemplo, dada a equivalência a b a b = a a b = b a restrição de inclusão de conjuntos acima pode ser reescrita em termos de igualdade como a+b+a · b = b a+b+b+a · b = b+b a+ a · b = 0 a · b = a

20 20 Restrições Booleanas Conjuntos –A constante 1 corresponde ao conjunto U (Universal) –A constante 0 corresponde ao conjunto Ø (Vazio) –O operador + corresponde à União Exclusiva –O operador · corresponde à Intersecção De notar que no caso de conjuntos, uma vez definido os elementos que contém o conjunto universal, para além das constantes 0 e 1, o domínio A contém todos os subconjuntos de U.

21 21 Restrições Booleanas Circuitos digitais –A constante 1 corresponde ao H –A constante 0 corresponde ao L –O operador + corresponde ao XOR –O operador · corresponde ao AND A C D B E F G H I G1 G2 G3 G4 G5 E = A+B+A·B F = 1+B·C G = C·D H = 1+E·F I = 1+F·G

22 22 Unificação Booleana Uma restrição booleana t 1 = t 2 (em que os dois termos Booleanos, t 1 e t 2 são formados exclusivamente a partir dos operadores + e ·) pode ser satisfeita sse existir um unificador booleano para os dois termos. Um unificador booleano é uma substituição de variáveis por termos booleanos que garante que os dois termos tomam o mesmo valor booleano. Os unificadores booleanos serão designados através de letras gregas

23 23 Unificação Booleana Exemplo: Os termos t 1 =1+A e t 2 = A · B podem ser unificados com o unificador = {A/1, B/0} Com efeito, denotando por t (ou simplesmente t ) a aplicação da substituição ao termo t, temos t 1 = (1+A) {A/1, B/0}= 0 t 2 = (A · B) {A/1, B/0}= 0 o que garante a satisfação da restrição t 1 =t 2.

24 24 Unificação Booleana Em geral, dados dois termos Booleanos, t1 e t 2, pode existir mais do que um unificador mais geral como pode ser visto pelo seguinte exemplo. Exemplo: A unificação dos termos t 1 =1+A · B e t 2 =C+D pode ser obtida por qualquer um dos seguintes unificadores mais gerais 1 = { C/1+A · B+D} 2 = { D/1+A · B+C} 3 = { A/1+C+D, B/1} 4 = { A/1, B/1+C+D } Com efeito, t 1 1 = (1+A · B) {C/1+A · B+D} = 1+A · B t 2 1 = (C+D) {C/1+A · B+D}=(1+A · B+D)+D = 1+A · B

25 25 Unificação Booleana Existem outros unificadores (menos gerais) que podem ser obtidos através de instâncias dos anteriores, isto é, da composição delas com outras substituições. Por exemplo, a substituição λ obtida pela composição de 1 com a substituição {A/0} ainda é um unificador dos termos t 1 =1+A · B e t 2 =C+D λ= {C/1+A · B+D } o {A / 0} = {C/1+D, A/0} Com efeito, t 1 λ = (1+A · B) {C/1+D, A/0} = 1+0 · B = 1 t 2 λ = (C+D) {C/1+D, A/0} = (1+D+D) = 1

26 26 Algoritmo de Unificação Booleana Tendo em atenção que t 1 =t 2 é equivalente a t 1 +t 2 =0, a unificação de dois termos Booleanos t 1 e t 2 equivale a anular o termo t 1 +t 2. As condições em que um termo t se pode anular, podem ser analisadas através dos pontos seguintes. 1.O anulamento de um termo constante t é trivialmente verificável: se t=0 o termo já é nulo; se t=1 o termo não é anulável. 2.Dada a propriedade distributiva, um termo t, não constante, pode sempre ser reescrito na forma a · U+b (em que U é uma qualquer das variáveis que ocorrem em t ) pondo U em evidência.

27 27 Algoritmo de Unificação Booleana 3. Um termo t=a · U+b só se pode anular, se tivermos ou a=1 ou b=0 (na situação contrária, a=0 e b=1 teremos t=1 0, independentemente do valor de U). 4. Essa condição ( a=1 ou b=0 ) é garantida se se anular o termo (1+a) · b. 5. Uma vez garantida esta situação, constata-se que –se a=0 (e b=0 ), U pode tomar um valor arbitrário (pois 0 · U+0=0 ) –se a=1, então U tem de tomar o valor b (pois 1 · b+b=0 )

28 28 Algoritmo de Unificação Booleana 6.Esta condição pode ser implementada com o recurso a uma variável booleana nova, isto é que não ocorra em t. Chamando _U a essa variável a condição anterior é equivalente à substituição U = (1+a) · _U + b 7.Com efeito, se a=0 (e b=0 ) temos U=_U, ou seja U pode tomar um valor arbitrário, já que a variável _U é uma variável nova, que não está associada a quaisquer restrições; Se a=1 temos U=(1+1) · _U + b, ou seja U = b como pretendido.

29 29 Algoritmo de Unificação Booleana Estas considerações podem ser materializadas no seguinte predicado unif_bool, que recebe os termos t 1 e t 2 a unificar, e sucede se o predicado anular suceder, retornando a substituição retornada por este predicado. predicado unif_bool (in: t 1, t 2 ; out: ); t t 1 +t 2 ; unif_bool anula(t, ); fim predicado. O predicado anula é implementado a seguinte forma.

30 30 Algoritmo de Unificação Booleana predicado anula (in: t; out: ); caso t = 0: anula = Verdade, = {}; caso t = 1: anula = Falso; caso contrário: A · u + B t; s (1+A) · B; se anula(s,σ) então anula Verdade; {U/(1+A) · _U+B} o σ senão anula = Falso fim se fim caso fim predicado.

31 31 Algoritmo de Unificação Booleana Dada a sua natureza recursiva, a substituição retornada pelo predicado anula é obtida pela composição da substituição {U/(1+A) · U+B}, com a substituição σ obtida na chamada recursiva do predicado (se este suceder). Exemplo: Satisfazer a restrição X+X · Z=Y · Z+1, anulando o termo X+X · Z+Y · Z+1 Unifica X+X · Z e Y · Z+1 anulaX+X · Z+Y · Z+1 =(1+Z) · X+Y · Z+1% A x · X+B x anula(1+(1+Z)) · (Y · Z+1)% (1+A x ) · B x =Z · (Y · Z+1) =Z · Y+Z% A y · X+B y anula (1+Z) · Z%(1+A y ) · B y =0

32 32 Algoritmo de Unificação Booleana Unifica X+X · Z e Y · Z+1 anulaX+X · Z+Y · Z+1 = (1+Z) · X+Y · Z+1 anula(1+(1+Z)) · (Y · Z+1)=Z · Y+Z %(1+A x ) · B x anula (1+Z) · Z = 0 %(1+A y ) · B y = {} σ y = {Y/(1+A y ) · _Y+B y } o σ z = {Y/(1+Z) · _Y+Z} o {} = {Y/(1+Z) · _Y+Z} σ x = {X/(1+A x ) · _Y+B x } o σ y = {X/(1+1+Z) · _X + Y · Z+1} o {Y/(1+Z) · _Y+Z} = {X/ Z · _X +Y · Z+1} o {Y/(1+Z) · _Y+Z} = {X/ Z · _X +((1+Z) · _Y+Z) · Z+1, Y/(1+Z) · _Y+Z} = {X/ Z · _X +Z+1, Y/(1+Z) · _Y+Z}

33 33 Restrições Booleanas Desta forma a restrição X+X · Z = Y · Z+1 é satisfazível, já que a unificação dos termos X+X · Z e Y · Z+1 sucede retornando o unificador booleano mais geral = {X/Z · _X +Z+1, Y/(1+Z) · _Y+Z} Podemos confirmar este resultado, verificando que (X+X · Z) = (Z · _X+Z+1)+(Z · _X+Z+1) · Z = (Z · _X+Z+1)+Z · _X = Z+1 e que (Y · Z+1) = ((1+Z) · _Y+Z) · Z+1) = Z+1

34 34 Restrições Booleanas Podemos pois concluir que a restrição X+X · Z = Y · Z+1 pode ser satisfeita independentemente do valor da variável Z, dado o unificador mais geral = {X/Z · _X +Z+1, Y/(1+Z) · _Y+Z} Numa análise mais pormenorizada se Z=0 então X=1 e Y=_Y, ou seja, X deve tomar o valor 1, e Y pode tomar qualquer valor; se Z=1 então X=_X e Y=1, ou seja, X pode tomar qualquer valor, e Y=1; O unificador tem pois como instâncias fechadas (ground), os unificadores {X/1, Y/0, Z/0}, {X/1, Y/1, Z/0}, {X/0, Y/1, Z/1}, {X/1, Y/1, Z/1},

35 35 Aplicações Um domínio de eleição para a utilização de restrições booleanas é o domínio dos circuitos digitais. Exemplo: 1. Modelar o circuito abaixo através de um conjunto de restrições booleanas 2. Verificar em que condições a saída toma o valor 1. C G1G1 F G4G4 D G2G2 E G3G3 B A R 1 : C = 1+ A · B R 2 : D = 1+ A · C R 3 : E = 1+ B · C R 4 : F = 1+ D · E

36 36 Aplicações 1. Restrições: R 1 : C = 1+ A · B R 2 : D = 1+ A · C R 3 : E = 1+ B · C R 4 : F = 1+ D · E Resolução das Restrições R 1 : Resolvendo R 1 obtemos a substituição 1 C = 1+A · B 1 ={C/1+A · B} R 2 : Aplicando 1 temos R 2 : R2 1 : D = (1+A · C) {C/1+A · B} : D = (1+A · (1+A · B)) : D = 1+A+A · B Resolvendo R 2 obtemos a substituição 2 = {D/1+A+A · B}

37 37 Aplicações Combinando 2 com 1 obtemos 2 = 1 o 2 = {C/1+A · B} o {D/1+A+A · B} = {C/1+A · B, D/1+A+A · B} R 3 : Aplicando 2 temos R 3 : R 3 2 : E = (1+B · C) {D/1+A+A · B, C/1+A · B} : E = 1+B · (1+A · B) : E = 1+B+A · B Resolvendo R 3 obtemos a substituição 3 = {E/1+B+A · B} Combinando 3 com 2 obtemos 3 = 2 o 3 = {E/1+B+A · B} o {D/1+A+A · B} o {C/1+A · B} = {E/1+B+A · B, D/1+A+A · B, C/1+A · B}

38 38 Aplicações R 4 : Aplicando 3 temos R 4 : R 4 3 : F = (1+D · E) {E/1+B+A · B, D/1+A+A · B, C/1+A · B} : F = 1+(1+A+A · B) · (1+B+A · B) : F = 1+1+B+A · B+A+A · B+A · B+A · B+A · B+A · B : F = A+B Resolvendo R 4 obtemos a substituição 4 = {F/A+B} Combinando 4 com 3 obtemos 4 = 3 o 4 = {E/1+B+A · B, D/1+A+A · B, C/1+A · B}o{F/A+B} = {E/1+B+A · B, D/1+A+A · B, C/1+A · B, F/A+B} Interpretando 4 concluímos que o circuito com 4 portas nand implementa um ou-exclusivo, já que F/A+B

39 39 Aplicações 2. Saída igual a 1 Para representar esta situação acrescenta-se a restrição R 5 : F = 1. R 5 : Aplicando 4 temos R 5 :R 5 4 :(F = 1) {E/1+B+A · B, D/1+A+A · B, C/1+A · B, F/A+B} : A+B = 1 Resolvendo R 5 obtemos a substituição 5 = {A/1+B} Combinando 5 com 4 obtemos 5 = 4 o 5 = {E/1+B+A · B, D/1+A+A · B, C/1+A · B, F/A+B}o{A/1+B} = {E/1+B, D/B, C/1, F/1, A/1+B} Interpretando o resultado concluímos que para o circuito ter uma saída 1, as suas entradas devem ser complementares. Com efeito a substituição A/1+B permite concluir que se B=0 então A=1; e se B=1 então A=0 e

40 40 Restrições Booleanas no SICStus Prolog Uma vez carregado o SICStus Prolog o módulo de Restrições Booleanas, através da directiva use_module(library(clpb)) As restrições Booleanas podem ser verificadas através do predicado sat(E), em que a igualdade é representada por =:= e os operadores + e · através de # e *, respectivamente. Exemplos: 1. ?- sat(A#B=:=F). sat(A=:=B#F)? % A restrição A+B=F é satisfazível, com a substituição A/B+F

41 41 Restrições Booleanas no SICStus Prolog 2. ?- sat(A*B=:=1#C*D). sat(A=\=C*D#B)? % A restrição A · B=1+C · D é satisfazível, com substituição A/1+C·D+B 3. ?- sat(A#B=:=1#C*D), sat(C#D=:=B). sat(B=:=C#D), sat(A=\=C*D#C#D) ? % As restrições A+B=1+C · D e B=C+D são satisfeitas com a substituição {A/1+C·D+C+D, B/C+D} Nota: Atenção à notação das respostas. A=:= Exp corresponde a A/Exp A=\= Exp corresponde a A/1+Exp

42 42 Restrições Booleanas no SICStus Prolog Um exemplo mais completo, relativo ao circuito anterior :- use_module(library(clpb)). nand_gate(X,Y,Z):- sat(X*Y =:= 1#Z). circuit(A,B,[C,D,E],F):- nand_gate(A,B,C), nand_gate(A,C,D), nand_gate(B,C,E), nand_gate(D,E,F). C G1G1 F G4G4 D G2G2 E G3G3 B A

43 43 Restrições Booleanas no SICStus Prolog Alguma interacção com o sistema | ?- circuit(A,B,[C,D,E],1). C = 1, E = A, sat(B=\=A), sat(D=\=A) ? Esta resposta pode ser comparada com 5 anterior, constatando-se que são variantes do unificador mais geral {E/1+B, D/B, C/1, F/1, A/1+B} C G1G1 F G4G4 D G2G2 E G3G3 B A

44 44 Restrições Booleanas no SICStus Prolog Outra interacção | ?- circuit(A,B,[C,D,E],F). sat(C=:=_A*F#F#_A), sat(A=\=_A*F#_B*F#F#_A), sat(B=\=_A*F#_B*F#_A), sat(D=\=_B*F), sat(E=\=_B*F#F) ? ; A comparação com 4 anterior é um pouco menos óbvia... { E/1+B+A · B, D/1+A+A · B, C/1+A · B, F/A+B} 1+A·B= 1+ (1+_A·F+_B·F+F+_A)· (1+_A·F+_B·F+_A) = 1+((1+_A·F+_B·F+_A)+F)·(1+_A·F+_B·F+_A) = 1+(1+_A·F+_B·F+_A)+(1+_A·F+_B·F+_A)·F = 1+ 1+_A·F+_B·F+_A + F+_A·F+_B·F+_A·F = F+_A+_A·F = C C G1G1 F G4G4 D G2G2 E G3G3 B A

45 45 Restrições Booleanas no SICStus Prolog N Rainhas Para modelar o problemas das rainhas há que garantir –Em todas as linhas há exactamente uma rainha Em todas as linhas há uma ou mais rainhas Em todas as linhas há uma ou menos rainhas –Em todas as colunas há exactamente uma rainha Em todas as colunas há uma ou mais rainhas Em todas as colunas há uma ou menos rainhas –Em todas as diagonais há uma ou menos rainhas

46 46 Restrições Booleanas no SICStus Prolog rainhas_3([Q1, Q2, Q3, Q4, Q5, Q6, Q7, Q8, Q9]):- um_ou_mais( [Q1, Q2, Q3]), % linha 1 um_ou_menos([Q1, Q2, Q3]),... um_ou_mais( [Q1, Q4, Q7]), % coluna 1 um_ou_menos([Q1, Q4, Q7]),... um_ou_menos([Q2,Q6]), um_ou_menos([Q1, Q5, Q9]), % diagonais \ um_ou_menos([Q4,Q8]), um_ou_menos([Q2,Q4]), um_ou_menos([Q3, Q5, Q7]), % diagonais / um_ou_menos([Q6,Q8]).

47 47 Restrições Booleanas no SICStus Prolog % Uma ou mais rainhas um_ou_mais(L):-% L = [A,B,C,...,Z] or_exp(L, Exp),% Exp = A+B+C+...+Z sat(Exp =:= 1).% A+B+C+...+Z = 1 or_exp([H], H). or_exp([H|T], H + T_exp):- or_exp(T, T_exp). % Uma ou menos rainhas um_ou_menos([_]). um_ou_menos([H1,H2|T]):- sat(H1 * H2 =:= 0), % A1*A2 = 0 um_ou_menos([H1|T]), % idem para outros pares com A1 um_ou_menos([H2|T]). % idem para outros pares sem A1

48 48 Restrições Booleanas no SICStus Prolog Padrões de Teste de Avarias (Stuck-at-0/1) Há que garantir uma saída diferente entre –o circuito correcto e –o circuito com falhas tp(F, [I1, I2]):- semi_somador([],[I1, I2], [S1,C1]), semi_somador(F, [I1, I2], [S2,C2]), gate(xor, [S1, S2], S), gate(xor, [C1, C2], C), gate(or,[S,C],1). 1 I1 I2 S2 C2 S1 C1 S C B G1 G2G2 A C S

49 49 Restrições Booleanas no SICStus Prolog Há naturalmente que definir o que é um circuito em termos das suas componentes, que podem estar avariadas (Stuck-at-0/1) semi_somador(F, [I1,I2],[S,C]):- % F é o conjunto gate(1, F, and, [I1,I2], C),% de falhas gate(2, F, xor, [I1,I2], S). Na definição do comportamento de cada gate há que prever a possibilidade dessas falhas gate(N,F,_,_,0):- member(N/0, F), !. gate(N,F,_,_,1):- member(N/1, F), !. gate(_,_,T,I,O):- gate(T,I,O). member(H,[H|_]). member(H,[H|T]):- member(H,T).

50 50 Restrições Booleanas no SICStus Prolog Finalmente há que definir o comportamento de cada gate (sem falhas) por intermédio da correspondente restrição booleana gate(or, [I1,I2],O):-sat(I1+I2 =:= O). gate(nor, [I1,I2],O):-sat(I1+I2 =\= O). gate(xor, [I1,I2],O):-sat(I1#I2 =:= O). gate(and, [I1,I2],O):-sat(I1*I2 =:= O). gate(nand,[I1,I2],O):-sat(I1*I2 =\= O). gate(not,[I1],O):-sat(I1 =\= O).