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21 Outubro 2005Funções, Execução Condicional, Recursividade e Iteração1 Jorge Cruz DI/FCT/UNL Programação para as Ciências Experimentais 1º Semestre 2005/2006.

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1 21 Outubro 2005Funções, Execução Condicional, Recursividade e Iteração1 Jorge Cruz DI/FCT/UNL Programação para as Ciências Experimentais 1º Semestre 2005/2006

2 21 Outubro 2005 Funções, Execução Condicional, Recursividade e Iteração 2 Programas e Funções Como foi visto no exemplo anterior, um programa pode ser considerado como o encadeamento de diversas funções, isto é, no corpo de uma função são chamadas outras funções. Um programa pode pois ser estruturado de forma a ser composto por várias funções, tal como é feito na matemática. Por exemplo, tg(x) = sin(x) / cos(x). Em algumas linguagens de programação, em vez de funções são usados procedimentos, mas a filosofia de encadeamento é semelhante. De notar que o programa principal, pode ele próprio ser visto como uma função.

3 21 Outubro 2005 Funções, Execução Condicional, Recursividade e Iteração 3 Funções Recursivas Um caso particular ocorre quando as funções se chamam a si próprias, isto é, quando as funções são recursivas. Talvez o exemplo mais simples seja o da função factorial, que pode ser definida (incompletamente) como fact(n) = n * fact(n-1) Nestas condições, tal como nos ciclos, levanta-se o problema da terminação. Se uma função se chama a si própria, existe o risco de a computação se tornar infinita (entrar em ciclo fechado ou loop). É pois condição necessária para evitar estes ciclos infinitos que sejam definidas e testadas em primeiro lugar as condições de fim da recursividade.

4 21 Outubro 2005 Funções, Execução Condicional, Recursividade e Iteração 4 Funções Recursivas Em geral, a recursividade é feita com base num conjunto recursivo (indutivo), definido através de cláusulas –de base; um ou vários elementos de base (que fecham a recursão) –de recursão: uma definição recursiva que permite a obtenção de elementos a partir de outros elementos. Num grande número de casos, o conjunto recursivo utilizado é o conjunto dos numeros inteiros, em que –1 (ou 0) é um número inteiro (cláusula de base) –Se i é inteiro, i+1 também é inteiro (cláusula de recursão) Tendo em conta esta estrutura recursiva, podemos definir (correctamente) a função factorial tendo em conta a cláusula de base e a cláusula recursiva:

5 21 Outubro 2005 Funções, Execução Condicional, Recursividade e Iteração 5 Execução Condicional Quando queremos, como no caso do factorial, que um programa execute uma de duas alternativas, dependendo do valor de uma condição, deve ser usada a instrução se: Em Condição deve estar uma expressão cujo resultado ou é verdadeiro ou é falso (para que, em tempo de execução, se possa decidir qual a alternativa a executar) As expressões cujo resultado pode ser verdadeiro ou falso chamam-se Expressões Booleanas. se Condição então % alternativa a executar quando a condição for verdadeira senão % alternativa a executar quando a condição for falsa fim se;

6 21 Outubro 2005 Funções, Execução Condicional, Recursividade e Iteração 6 Expressões Booleanas Expressões booleanas podem ser construidas recursivamente a partir de outras mais simples com os operadores booleanos de –Conjunção, e ou and, expressa como & em OCTAVE –Disjunção, ou ou or, expressa como | em OCTAVE –Negação, não ou not, expressa como ! em OCTAVE As variáveis booleanas podem tomar os valores verdade ou falso. Em OCTAVE, que só considera variáveis numéricas, 0 corresponde a falso e qualquer outro valor a verdade! De notar que uma variável booleana pode ser atribuído o valor booleano de uma comparação numérica. Por exemplo: encontrada = (x > xmin & y > ymax)

7 21 Outubro 2005 Funções, Execução Condicional, Recursividade e Iteração 7 Função Factorial A função factorial pode ser definida (em pseudo-código) como função fact(n) se n = 0 então % elemento base fact 1 senão % definição recursiva fact n * fact(n-1) fimse; fimfunção; Em Octave, a definição é semelhante function f = fact(n); if n == 0 % elemento base f = 1 else % definição recursiva f = n * fact(n-1) endif; endfunction;

8 21 Outubro 2005 Funções, Execução Condicional, Recursividade e Iteração 8 Limites à Recursividade De notar que para prevenir os ciclos infinitos, o Octave tem uma variável prédefinida, max_recursion_depth, que limita o número de chamadas recursivas de uma função. Por omissão (default), o valor da variável é 256, pelo que não se pode calcular fact(260) sem alterar o valor da variável. Existem várias outras funções recursivas em que pode existir mais do que um elemento base ou em que o conjunto recursivo é mais difícil de definir. Em qualquer caso é essencial definir a condição de terminação. Para exemplificar estas funções, estudamos de seguida –a determinação dos números de Fibonacci e –o cálculo do maior divisor comum entre dois números.

9 21 Outubro 2005 Funções, Execução Condicional, Recursividade e Iteração 9 Função Fibonacci (Recursiva) Fibonacci (matemático da Renascença italiana) estabeleceu uma série curiosa de números para modelar o número de casais de coelhos em sucessivas gerações. Em cada geração, o número pode ser obtido através dos das 2 gerações anteriores através de fib(n) = fib(n-1) + fib(n-2) Assumindo que nas primeiras duas gerações só existe um casal de coelhos, os sucessivos números de Fibonacci são 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,... Estes números ocorrem em vários processos biológicos (e não só), por exemplo, no número de pétalas de algumas flores. A sua determinação recursiva impõe o cálculo directo do valor para 2 elementos de base (a 1ª e a 2ª geração).

10 21 Outubro 2005 Funções, Execução Condicional, Recursividade e Iteração 10 Função Fibonacci (Recursiva) Em Octave, a definição do números de Fibonacci pode ser feita muito facilmente como function f = fib(n); if n == 1 % 1º elemento base f = 1; elseif n == 2 % 2º elemento base f = 1; else % definição recursiva f = fib(n-1) + fib(n-2); endif; endfunction; Como é fácil de constatar, se o número n inicial for maior ou igual a 1, a recursão termina. No entanto, se se chamar fib(0) a computação não termina (em Octave termina quando o número de chamadas recursivas exceder o valor da variável max_recursion_depth )!

11 21 Outubro 2005 Funções, Execução Condicional, Recursividade e Iteração 11 Função Máximo Divisor Comum (Recursiva) Como se sabe, o máximo divisor comum (mdc) entre dois números m e n é também um divisor da sua diferença, m-n. Por exemplo, o mdc de 60 e 36 é 12, que divide 24 = Por outro lado, o mdc dos dois números m e n é ainda o mdc do menor número (n) com a diferença (m-n). Se houvesse um divisor comum maior, ele seria igualmente divisor de n, contrariamente à hipótese. Assim, pode determinar-se o mdc de dois números através da determinação do mdc de números cada vez menores. A computação termina quando os números forem iguais, caso em que o mdc é esse número. Por exemplo: =24 ; 36-24=12; 24-12=12; 12 = 12 !

12 21 Outubro 2005 Funções, Execução Condicional, Recursividade e Iteração 12 Função Máximo Divisor Comum (Recursiva) Em Octave, pode determinar-se o maior divisor comum de dois números com a função seguinte function d = mdc(m,n); if m == n d = m; else if m-n >= n d = mdc(m-n,n); else d = mdc(n,m-n); endif; endfunction; De notar que na chamada, o 1º argumento (m) é sempre maior ou igual que o 2º (n), de forma a garantir que m-n seja positivo!

13 21 Outubro 2005 Funções, Execução Condicional, Recursividade e Iteração 13 Recursividade para Resolução de Problemas A recursividade pode ser usada na resolução de problemas, difíceis de resolver por outras técnicas de programação. Tal é o caso das Torres de Hanoi: dadas três torres (estacas) pretende-se passar uma pirâmide de peças ordenadas de uma torre para outra, movendo-se uma peça de cada vez, para o topo de uma torre encimada por uma peça menor.

14 21 Outubro 2005 Funções, Execução Condicional, Recursividade e Iteração 14 Apesar de aparentemente complicado, este problema tem uma solução recursiva simples. Para passar n peças de uma torre (A) para outra (C) 1.Passar n-1 peças da torre inicial (A) para a torre livre (B) 2.Mover a última peça, para a torre final (C) 3.Passar as n-1 peças da torre B para a torre final (C). Torres de Hanoi - Recursividade

15 21 Outubro 2005 Funções, Execução Condicional, Recursividade e Iteração 15 Torres de Hanoi: Movimentos Necessários Baseados nesta resolução recursiva podemos –Determinar o número de movimentos necessários –Determinar os movimentos necessários O número de movimentos necessários é bastante simples de determinar, na versão recursiva hanoi_count(n) = hanoi_count(n-1)+1+ hanoi_count(n-1) Neste caso, pode-se evitar a dupla recursividade (ver adiante) de uma forma muito simples hanoi_count(n) = 2*hanoi_count(n-1) + 1 Finalmente, há que especificar a condição de paragem (n=1) hanoi_count(1) = 1

16 21 Outubro 2005 Funções, Execução Condicional, Recursividade e Iteração 16 Torres de Hanoi: Movimentos Necessários Um programa Octave para resolver o programa é imediato function c = hanoi_count(n) if n == 1 c = 1; else c = 2*n_hanoi_count(n-1)+1; end; endfunction; De notar o aumento exponencial do número de movimentos necessários

17 21 Outubro 2005 Funções, Execução Condicional, Recursividade e Iteração 17 Torres de Hanoi O problema propriamente dito pode ser resolvido com base num vector T, com 3 números, correspondentes ao número de peças em cada uma das torres. Notar que não é necessário indicar o tamanho de cada peça, porque o algoritmo nunca coloca uma peça sobre uma menor! O movimento de uma só peça da torre A para a torre B, usado no corpo da recursão e na sua terminação, pode ser feito com uma função auxiliar, move_hanoi(T,A,B), especificada da forma óbvia (tira uma peça de A e aumenta em B). T = [3,1,1]

18 21 Outubro 2005 Funções, Execução Condicional, Recursividade e Iteração 18 Torres de Hanoi function T = hanoi(T,N,A,B) % move N peças de A para B if N == 1 T = hanoi_move(T,A,B); % move a peça de A para B else C = 6-A-B; % C é a outra torre! T = hanoi(T,N-1,A,C); % move N-1 peças de A para C T = hanoi_move(T,A,B); % move 1 peça de A para B T = hanoi(T,N-1,C,B); % move N-1 peças de C para B endif; endfunction; function T = hanoi_move(T,A,B) T(A) = T(A) - 1; T(B) = T(B) + 1; disp(T); endfunction;

19 21 Outubro 2005 Funções, Execução Condicional, Recursividade e Iteração 19 O funcionamento do programa pode ser visto com a chamada >> hanoi([4,0,0],4,1,3); Torres de Hanoi hanoi(_,2,1,3) hanoi(_,2,3,2) hanoi(_,3,1,2) move(_,1,2) hanoi(_,2,2,1) hanoi(_,2,1,3) hanoi(_,3,2,3) move(_,2,3) move(_,1,3)

20 21 Outubro 2005 Funções, Execução Condicional, Recursividade e Iteração 20 Recursão e Iteração Em geral, uma função ou procedimento definidos recursivamente podem ser também definidos de uma forma iterativa (através de ciclos). Em geral, a definição recursiva é mais declarativa na medida em que explicita o que se pretende obter e não a forma como se obtém (ou seja, um determinado programa que é usado). Por outro lado, uma definição iterativa, embora não permita uma compreensão tão imediata, é geralmente mais eficiente, já que as instruções de programação de baixo nível para a iteração são mais eficientes que as de chamadas de funções. No entanto, estas diferenças são geralmente pouco importantes, excepto em casos de recursão múltipla, em que a ineficiência pode ser catastrófica.

21 21 Outubro 2005 Funções, Execução Condicional, Recursividade e Iteração 21 Recursão e Iteração function f = fib(n); % versão recursiva if n <= 2 f = 1; else f = fib(n-1) + fib(n-2); endif; endfunction; function f = fib(n) % versão iterativa if n <= 2 f = 1; else f1 = 1; f2 = 1; for i = 3:n f = f1+f2; f1 = f2; f2 = f; endfor; endif; endfunction;

22 21 Outubro 2005 Funções, Execução Condicional, Recursividade e Iteração 22 Recursão e Iteração Esta é a situação da função de Fibonacci, em que o seu valor depende de 2 chamadas recursivas. Como as chamadas são independentes, a mesma função acaba por ser recalculada várias (muitas !) vezes Na realidade, o número de funções chamadas é o próprio número de fibonacci (7:1, 6:1, 5:2, 4:3, 3:5, 2:8) que aumenta exponencialmente com o valor de n.

23 21 Outubro 2005 Funções, Execução Condicional, Recursividade e Iteração 23 Recursão e Iteração Para se ter uma ideia do aumento, podemos notar que apesar de inicialmente pequenos os números tornam-se rapidamente enormes tornando proibitiva a sua computação recursiva (normal).

24 21 Outubro 2005 Funções, Execução Condicional, Recursividade e Iteração 24 Memorização Por vezes é possível aliar a declaratividade da versão recursiva, com a eficiência da versão iterativa, através da memorização dos valores já computados. Por exemplo se se pretenderem os primeiros 100 números de fibonacci, pode criar-se uma tabela, fib_m, com os valores já computados. –Se fib_m(n) ainda não contiver o valor de fib(n), então determina-se fib(n) e escreve-se em fib_m(n). –Caso contrário, apenas se retorna o valor de fib_m(n). Para que este esquema seja posível, é conveniente que a tabela fib_m seja visível por todas as instâncias da função fib(n). Para evitar passá-la como parâmetro deve declarar-se como uma variável global.

25 21 Outubro 2005 Funções, Execução Condicional, Recursividade e Iteração 25 Variáveis Globais em Octave Em Octave, para que uma variável seja global, ela deve ser declarada no programa principal com a declaração global. No caso actual, se se pretende um vector linha com 100 elementos inicializados a zero, devemos declarar a variável global global fib_m = zeros(1,100) Uma vez declarada uma variável global, ela só pode ser eliminada através da declaração clear. Se pretendermos um vector com 200 elementos deveremos fazer clear fib_m global fib_m = zeros(1,200) Para que na função a variável, fib_m considerada seja a variável global e não uma variável local, a variável deve ser identificada novamente como global.

26 21 Outubro 2005 Funções, Execução Condicional, Recursividade e Iteração 26 Memorização function f = fib_mem(n); % versão recursiva com memória global fib_m; if fib_m(n) > 0 f = fib_m(n); else if n <= 2 f = 1; else fib_m(n) = fib_mem(n-1)+fib_mem(n-2); f = fib_m(n); endif; endfunction;


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