Campus de Caraguatatuba Matemática Discreta 2 – MD 2

Apresentação em tema: "Campus de Caraguatatuba Matemática Discreta 2 – MD 2"— Transcrição da apresentação:

1 Campus de Caraguatatuba Matemática Discreta 2 – MD 2
Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia de São Paulo - IFSP Campus de Caraguatatuba Tecnólogo em Análise e Desenvolvimento de Sistemas Semestre de 2013 Matemática Discreta 2 – MD 2 Prof. Lineu Mialaret Aula 3: Combinatória (1)

2 Introdução (1) A Combinatória (ou Análise Combinatória) é o ramo da Matemática que trata de contagem. Problemas desse tipo são importantes sempre que se utiliza recursos finitos. Quanto espaço de armazenamento uma tecnologia de banco de dados usa? Quantos usuários uma determinada configuração de computador pode suportar? Quantas computações um determinado algoritmo executa? Esses problemas se resumem, muitas vezes, em determinar o número de elementos em algum conjunto finito. Exemplos de problemas de contagem já vistos: Quantas linhas tem uma tabela verdade com n letras de proposição? Quantos subconjuntos tem um conjunto com n elementos?

3 Introdução (2) Outros exemplos de problemas de contagem:
Qual o número de elementos dos seguintes conjuntos? A é o conjunto de números de dois algarismos com repetição formados pelos dígitos 1, 2 e 3. B é o conjunto de diagonais de um heptágono. C é o conjunto das seqüências das letras que se obtém a partir das letras da palavra ARI (anagramas); Obs.: Um anagrama é uma (outra) palavra construída com as mesmas letras da palavra original trocadas de posição. D é o conjunto dos números de três algarismos, todos distintos, formados pelos dígitos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8.

4 Princípio da Multiplicação (1)
Seja o seguinte cenário: Uma criança pode escolher uma entre duas balas, uma rosa e outra preta, e um entre três chicletes, um amarelo, outro verde e um outro branco. Quantos conjuntos diferentes de doces a criança pode ter? Pode-se resolver esse problema separando-se a tarefa de escolha dos doces em duas etapas (eventos ou escolhas) seqüenciais: Primeiro, escolher a bala (R ou P); Depois, escolher o chiclete (A, V ou B). Para se facilitar a compreensão desse problema, pode-se usar uma Árvore de Possibilidades (apresentada na próxima transparência), que ajuda visualmente a entender a solução do problema.

5 Princípio da Multiplicação (2)
Árvore de Possibilidades: A árvore mostra que existem 2 x 3 = 6 possibilidades de escolhas de balas e chicletes, a saber ({R,A}, {R,V},{R,B}, {P,A}, {P,V}, {P,B}).

6 Princípio da Multiplicação (3)
A seqüência de eventos também pode ser trocada, sem afetar o resultado (3 x 2 = 6 possibilidades).

7 Princípio da Multiplicação (4)
O exemplo anterior ilustra o fato de que o número total de resultados possíveis para uma seqüência de eventos (no caso a escolha de balas e de chicletes) pode ser obtido multiplicando-se o número de possibilidades do primeiro evento (escolha das balas) pelo número de possibilidades do segundo evento (escolha dos chicletes). Isso é sintetizado no seguinte princípio abaixo. Princípio da Multiplicação: Se existem n1 resultados (escolhas) possíveis para um primeiro evento e1 e n2 resultados (escolhas) possíveis para um evento e2, então existem n1 x n2 resultados possíveis para a seqüência e1e2 dos dois eventos. Obs.: O princípio vale para uma seqüência com qualquer número de eventos.

8 Princípio da Multiplicação (5)
Exemplo 1: A última parte de um número de telefone possui 4 dígitos. Quanto desses números de 4 dígitos existem? A seqüência de eventos (escolhas) é: escolher o primeiro dígito, depois o segundo, o terceiro e finalmente o quarto. O primeiro dígito pode ser escolhido entre 0 a 9, ou seja de 10 dígitos, significando que há 10 possibilidades para a primeira opção de escolha. As escolhas seguintes também terão cada uma 10 opções. Usando o princípio da multiplicação, deve-se multiplicar essas possibilidades para cada tarefa. Existem 10 x 10 x 10 x 10 = números diferentes. Obs.: Se um elemento (dígito) não puder ser usado de novo (não são permitidas repetições), o número de possibilidades é afetado.

9 Princípio da Multiplicação (6)
Exemplo 2: A última parte de um número de telefone possui 4 dígitos. Quanto desses números de 4 dígitos existem se não houver repetição de dígitos? A seqüência de eventos (escolhas) continua a ser a mesma: escolher o primeiro dígito, depois o segundo, o terceiro e finalmente o quarto. O primeiro dígito pode ser escolhido entre 0 a 9, ou seja 10 dígitos, indicando que há 10 possibilidades para a primeira opção. As escolhas seguintes dos dígitos são afetadas. Há 9 opções para o segundo dígito (retira-se o dígito escolhido anteriormente) e assim por diante. Usando o princípio da multiplicação, deve-se multiplicar essas possibilidades para cada escolha. Existem 10 x 9 x 8 x 7 = 5040 números diferentes.

10 Princípio da Multiplicação (7)
Exemplo 3: Para qualquer conjunto finito S, seja |S| (cardinalidade) o número de elementos em S. Sejam A e B conjuntos finitos quaisquer, então |A  B| = |A| x |B|. A  B, o produto cartesiano de A com B, denota todos os pares ordenados com a primeiro elemento em A e o segundo em B. Pode-se formar tais pares ordenados como uma seqüência de dois eventos (escolhas): Escolher o primeiro elemento, com |A| possibilidades. Escolher o segundo, com |B| possibilidades. Esse resultado segue o princípio da multiplicação. Obs.:  representa o operador de produto cartesiano; x representa o operador de multiplicação.

11 Princípio da Multiplicação (8)
Exercício 1 – De quantas maneiras pode-se escolher três representantes em um grupo de 25 pessoas?

12 Princípio da Multiplicação (9)
Exercício 1 – De quantas maneiras pode-se escolher um grupo de três representantes em um conjunto de 25 pessoas? Resposta: Existem três escolhas sucessivas sem repetição. A primeira escolha tem 25 possibilidades. A segunda tem 24 e a terceira 23. O número total de possibilidades é de x 24 x 23 = possibilidades. 25 Escolhas 24 Escolhas 23 Escolhas Ev. 1 Ev. 2 Ev. 3

13 Princípio da Multiplicação (10)
Exercício 1 – De quantas maneiras pode-se escolher um representante para três comissões, num conjunto de 25 pessoas, se um representante pode participar de mais de uma comissão?

14 Princípio da Multiplicação (11)
Exercício 1 – De quantas maneiras pode-se escolher um representante para três comissões, num conjunto de 25 pessoas, se um representante pode participar de mais de uma comissão? Resposta: As três escolhas são realizadas sucessivamente, mas a repetição é permitida. O número total de possibilidades é de 25 x 25 x 25 = possibilidades. 25 Escolhas 25 Escolhas 25 Escolhas Com 1 Com 2 Com 3

15 Princípio da Multiplicação (12)
Exercício 1 – Se um homem tem quatro ternos, oito camisas e cinco gravatas, que quantos modos diferentes ele pode se vestir?

16 Princípio da Multiplicação (13)
Exercício 1 – Se um homem tem quatro ternos, oito camisas e cinco gravatas, que quantos modos diferentes ele pode se vestir? Resposta: Existem três escolhas sucessivas. A primeira escolha tem 4 possibilidades. A segunda tem 8 e a terceira 5. O número total de possibilidades é de 4 x 8 x 5 = 160 possibilidades.

17 Princípio da Adição (1) Seja o seguinte cenário: Deseja-se selecionar uma sobremesa entre três tortas e/ou quatro bolos. De quantos modos (maneiras) isso pode ser feito? Há dois eventos (escolhas), um com três resultados possíveis (a escolha da torta) e outro com quatro (a escolha do bolo). Não há uma seqüência de eventos (escolhas), pois só uma sobremesa será escolhida (dentre dois conjuntos disjuntos). O número total de escolhas possíveis é o número de escolhas de sobremesas (3 + 4 = 7). Princípio da Adição: Se A e B são eventos (escolhas) disjuntos com n1 e n2 resultados, então o número total de possibilidades de escolhas para o evento “A ou B” é n1 + n2.

18 Princípio da Adição (2) Exemplo 4: Um consumidor deseja comprar um veículo numa concessionária. A loja tem 23 automóveis e 14 caminhões em estoque. Quantas escolhas possíveis de veículos o consumidor pode fazer? O consumidor pode escolher um carro ou um caminhão. Esses eventos (escolhas) são disjuntos: A escolha de um carro tem 23 possibilidades. A escolha de um caminhão tem 14 possibilidades. Pelo princípio da adição, o consumidor tem = 37 possibilidades de escolha de um veículo. Obs.: Notar que os conjuntos de escolhas (eventos) são disjuntos (o cliente só pode escolher ou um automóvel ou um caminhão).

19 Princípio da Adição (3) Exemplo 5: Sejam A e B conjuntos quaisquer disjuntos. Então |A  B| = |A| + |B|. Ou seja, a cardinalidade da união dos conjuntos A e B é igual a soma das cardinalidades dos conjuntos A e B. Pode-se encontrar |A  B| separando-se em dois casos disjuntos: Primeiro, conta-se o número de elementos de A, |A|. Depois, conta-se o numero de elementos de B, |B|. Pelo princípio da adição, soma-se esses dois números.

20 Princípio da Adição (4) Exemplo 6: Sejam A e B conjuntos quaisquer finitos. Então |A  B| = |A| - |A  B|; e |A  B| = |A| - |B|, se B  A. Relembrando (MD 1): Se A é um subconjunto de B, simboliza-se por A  B, que se lê “A está contido em B” ou “B contém A”, simbolizado por B  A. Caso contrário, indica-se que “A não está contido em B”, simbolizado por A ⊈ B ou “B não contém A”, denotado por B ⊉ A. Se A  B, mas A ≠ B (há pelo menos um elemento de B que não pertence a A), então diz-se que A é um subconjunto próprio de B, simbolizado por A  B.

21 Princípio da Multiplicação + Adição (1)
Freqüentemente o princípio da Adição é usado junto com o da Multiplicação. Seja o seguinte cenário referente ao exemplo da transparência 4: suponha que se quer encontrar de quantas maneiras a criança pode escolher o doce, ao invés do número de conjuntos de doces que ela pode ter. Logo, escolher uma bala rosa e um chiclete amarelo não é o mesmo que escolher primeiro um chiclete amarelo e depois uma bala rosa. Pode-se resolver esse problema considerando-se dois casos disjuntos: A escolha de balas ou chicletes primeiro. Cada um desses casos (pelo princípio da multiplicação) tem 6 possibilidades, de modo que (pelo princípio da adição) há = 12 modos diferentes de escolher os doces.

22 Princípio da Multiplicação + Adição (2)
Exemplo 7: Quantos números de quatro dígitos começam com o dígito 4 ou 5? Podem ser considerados dois casos disjuntos: números que começam com 4 e aqueles que começam com 5. Para aqueles que começam com o dígito 4, o número de escolhas possíveis é uma escolha para o primeiro dígito, e 10 escolhas possíveis para cada um dos três outros dígitos. Pelo princípio da multiplicação, há 1x10x10x10 = 1000 escolhas possíveis. O mesmo raciocínio vale para a seqüência de 4 dígitos começando com o dígito 5,ou seja, há 1000 escolhas. Pelo princípio da adição, há = 2000 escolhas de números de quatro dígitos que começam com 4 ou 5.

23 Princípio da Multiplicação + Adição (3)
Exercício 2: Se uma mulher possui sete blusas, cinco saias e nove vestidos, de quantos modos diferentes ela pode se vestir?

24 Princípio da Multiplicação + Adição (4)
Exercício 2: Se uma mulher possui sete blusas, cinco saias e nove vestidos, de quantos modos diferentes ela pode se vestir? Resposta:?

25 Princípio da Multiplicação + Adição (5)
Exemplo 8: Quantos números de quatro dígitos começam com o dígito 4 ou 5? Uma outra solução para esse problema, sem usar o princípio da adição, é dividí-lo em quatro tarefas (escolhas) sucessivas, onde a primeira tarefa é escolher o primeiro dígito. Isso gera duas possibilidades: escolher o dígito 4 ou 5. Existem então 2 x 10 x 10 x 10 = 2000 possibilidades. Isso mostra que um problema de contagem pode ser resolvido, muitas vezes, de mais de uma forma.

26 Princípio da Multiplicação + Adição (6)
Exemplo 9: Suponha que os quatro últimos dígitos de um número de telefone têm que incluir pelo menos um dígito repetido. Quantos desses números existem? Pode-se resolver esse problema usando-se o princípio da adição diretamente, mas essa solução não é muito conveniente. Por exemplo, se os dois primeiros dígitos são iguais mas o terceiro e o quarto são diferentes, há 10 x 1 x 9 x 8 modos disso ocorrer. Se o primeiro e o terceiro são iguais e o segundo e quarto dígitos são diferentes, há 10 x 9 x 1 x 8 possibilidades, e assim por diante. Como resolver esse problema de contagem?

27 Princípio da Multiplicação + Adição (7)
Pode-se resolver esse problema observando-se que os números com repetição e sem repetição formam um conjunto disjunto cuja união é o conjunto de todos os números com quatro dígitos. Lembrar que |A  B| = |A| + |B|. Pode-se encontrar o número de inteiros com dígitos repetidos subtraindo o número de casos sem repetição (que é de 5040, de acordo com o exemplo 2, transp. 9 ) do número total de possibilidades (que é de 10000, de acordo com o exemplo 1, transp. 8). Logo, o número total de dígitos com algarismos repetidos é – 5040 = 4960.

28 Princípio da Multiplicação + Adição (8)
Exercício 3: Quantos inteiros de 3 dígitos no intervalo [100, 999] são pares?

29 Princípio da Multiplicação + Adição (9)
Exercício 3: Quantos inteiros de 3 dígitos no intervalo [100, 999] são pares? Resposta:?

30 Árvore de Decisão (1) Árvores como a mostrada no exemplo da escolha dos doces, que ilustram o número de possibilidades de um evento baseado em uma série de escolhas possíveis são chamadas de Árvores de Decisão (ou Árvore de Possibilidades). O estudo de árvores (uma importante estrutura de dados da Ciência da Computação) será introduzido posteriormente, mas elas já podem ser usadas para resolver problemas de contagens adicionais. Árvores regulares são as que os números de resultados possíveis em qualquer nível da árvore é o mesmo em todo o nível, como as do exemplo mostrado.

31 Árvore de Decisão (2) Exemplo 10: Uma árvore de decisão para uma proposição com duas letras proposicionais. Árvore de Decisão.

32 Árvore de Decisão (3) Exemplo 11: Considere um sistema computacional que possui quatro unidades de Entrada/Saída A, B, C e D e três processadores X, Y e Z. Qualquer unidade de E/S pode ser conectada a um processador. Quantas possibilidades existem de conectar uma unidade de E/S a um processador? Pode-se fazer 4 escolhas referentes às unidades de E/S e 3 escolhas referentes ao processador. Logo existem 4 x 3 = 12 possibilidades.

33 Árvore de Decisão (4) Exemplo 12: Quantas vezes o trecho de programa entre os dois laços for é executado?

34 Árvore de Decisão (5) Exemplo 12: Quantas vezes o trecho de programa entre os dois laços for é executado? Resposta:?

35 Árvore de Decisão (6) Exemplo 13: Antônio está jogando moedas. Cada jogada resulta em cara (C) ou coroa (K). Quantos resultados possíveis ele pode obter se jogar cinco vezes sem cair duas caras consecutivas? Cada jogada da moeda tem dois resultados possíveis; o ramo da esquerda está marcado com um C, denotando cara, e o da direita, com um K, denotando coroa. Será visto na árvore a seguir, o número de possibilidades obtido.

36 Árvore de Decisão do Exemplo 11.

37 Princípio de Inclusão e Exclusão (1)
Este é mais um princípio usado para se resolver problemas de combinatória. Para se desenvolver esse princípio, sejam A e B subconjuntos de um conjunto universo S. Então A  B, B  A e A  B são disjuntos dois a dois, conforme apresentado abaixo.

38 Princípio de Inclusão e Exclusão (2)
Exercício 4: No que resulta (A  B)  (B  A)  (A  B)?

39 Princípio de Inclusão e Exclusão (3)
Exercício 4: No que resulta (A  B)  (B  A)  (A  B)? Resposta: A  B.

40 Princípio de Inclusão e Exclusão (4)
Lembrando-se que |A  B| = |A| + |B| (para conjuntos disjuntos) e estendendo para os três conjuntos, tem-se |(A  B)  (B  A)  (A  B)| = |A  B| + |B  A| + |A  B| (i). Sabe-se que |A  B| = |A| - |A  B| e |A  B| = |A| - |B|, se B  A (transp. 20). Usando essas equações em (i), e juntamente com o resultado do exercício anterior, tem-se |A  B| = |A| - |A  B| + |B| - |A  B| + |A  B| |A  B| = |A| + |B| - |A  B| (ii). A equação (ii) ilustra o princípio. Ele surge do fato de que ao contar o número de elementos na união de A e B, deve-se incluir o números de elementos de A e B e excluir os elementos comuns de A e B (para evitar contá-los novamente). Se A e B são disjuntos, |A  B| vale ?

41 Princípio de Inclusão e Exclusão (5)
Exemplo 14: Um pesquisador de opinião pública entrevistou 35 eleitores, todos apoiando o referendo 1, o referendo 2 ou ambos, e descobriu que 14 eleitores apóiam o referendo 1 e 26 apóiam o referendo 2. Quanto eleitores apóiam ambos? Seja A como o conjunto de eleitores que apóiam o referendo 1 e B o conjunto dos eleitores que apóiam o referendo 2. Sabe-se que |A  B| = 35, |A| =14 e |B| =26. Lembrando da equação abaixo, |A  B| = |A| + |B| - |A  B| Tem-se então que |A  B| = |A| + |B| - |A  B| |A  B| = = 5 eleitores.

42 Princípio de Inclusão e Exclusão (6)
Exercício 5 – Calcule o resultado da equação |A  B  C|. Lembrar que |A  B| = |A| + |B| - |A  B|.

43 Princípio de Inclusão e Exclusão (7)
Exercício 5 – Calcule o resultado da equação |A  B  C|. Lembrar que |A  B| = |A| + |B| - |A  B|. Resposta:

44 Princípio de Inclusão e Exclusão (8)
Exercício 5 – Calcule o resultado da equação |A  B  C|. Lembrar que |A  B| = |A| + |B| - |A  B|. Resposta: Pode-se usar um argumento geométrico para o resultado da equação acima, conforme mostrado na figura abaixo. Quando se soma |A| + |B| + |C|, conta-se cada elemento em |AB|, |AC| e |BC| duas vezes, de modo que se deve retirar cada um deles uma vez. Nessa mesma soma, se conta cada elemento em |ABC| três vezes, mas ao se subtrair as interseções anteriores, elimina-se três vezes esses elementos, logo deve-se colocá-los de volta uma vez, somando |ABC| ao final.

45 Princípio de Inclusão e Exclusão (9)
Exercício 5 – Calcule o resultado da equação |A  B  C|. Lembrar que |A  B| = |A| + |B| - |A  B|. Resposta: A = {1,3,4}; B = {1,3,5}; C = {1,4,5}. A  B = {1,3}; A  C = {1,4}; B  C = {1,5}. A  B  C = {1}. 1 3 4 5

46 Princípio de Inclusão e Exclusão (10)
Exercício 6: Um grupo de estudantes do curso de ADS do IFSP de Caraguatatuba está planejando fazer uma festa e encomendar pizzas. Se 13 alunos comem pizza que contém calabresa como um dos ingredientes, 10 comem pizza que contém salame como um dos ingredientes, 12 comem pizza que contém catupiry como um dos ingredientes, 4 comem pizza de calabresa e salame, 5 comem pizza de salame e catupiry, 7 comem pizza de calabresa e catupiry e 3 comem pizza que contenham os três ingrediente, quantos estudantes tem o grupo?

47 Princípio de Inclusão e Exclusão (11)
Resposta: Sejam: A = {estudantes que comem pizza que tem calabresa como um dos ingredientes} B = {estudantes que comem pizza que tem salame como um dos ingredientes} C = {estudantes que comem pizza que tem catupiry como um dos ingredientes} Logo, |A| = 13; |B| = 10; |C| = 12; |A  B| = 4; |B  C| = 5; |A  C| = 7 e |A  B  C| = 3. |A  B  C| = – 4 – 5 – = 22.

48 Princípio de Inclusão e Exclusão (12)
O Exercício 6 também pode ser resolvido usando-se diagramas de Venn, conforme apresentado abaixo.

49 Princípio de Inclusão e Exclusão (13)
Sabe-se que existem 3 pessoas que estão em A  B  C, conforme mostrado na figura a.

50 Princípio de Inclusão e Exclusão (14)
Sabe-se também o número de pessoas nas interseções A  B, A  C e B  C, conforme a figura b.

51 Princípio de Inclusão e Exclusão (15)
Sabe-se também a quantidade de elementos de A, B e C que não foram identificados (estão fora das interseções), conforme a figura c. O número total de estudantes é obtido somando-se todos os elementos obtidos.